PENENTUAN SOLUSI SOLITON PADA PERSAMAAN KDV DENGAN MENGGUNAKAN METODE TANH

Transkripsi

1 Jurnal Matematika UNND Vol. 5 No. 4 Hal ISSN : c Jurusan Matematika FMIP UNND PENENTUN SOLUSI SOLITON PD PERSMN KDV DENGN MENGGUNKN METODE TNH SILVI ROSIT, MHDHIVN SYFWN, DMI NZR Program Stui Magister Matematika, Fakultas Matematika an Ilmu Pengetahuan lam, Universitas nalas, Kampus UNND Limau Manis Paang, Inonesia, silvia.rosita.sr@gmail.com bstrak. Persamaan Korteweg-e Vries (KV) merupakan salah satu persamaan yang sering muncul paa berbagai aplikasi ilmu pengetahuan. Tesis ini mengkaji penentuan solusi soliton engan menggunakan metoe tangen hiperbolik (tanh). Hasil yang iperoleh kemuian ibaningkan engan hasil yang suah iperoleh sebelumnya ari beberapa literatur. Berasarkan analisis yang ilakukan, apat isimpulkan bahwa perhitungan solusi soliton menggunakan metoe tanh engan menerapkan syarat batas asimtotik paa keua arah omain lebih efektif ibaningkan engan syarat batas satu arah omain an tanpa ikenakan syarat batas. Kata Kunci: Persamaan KV, Soliton, Metoe tanh 1. Penahuluan Meningkatnya kajian an perhatian terhaap moel-moel PDP alam menjelaskan fenomena gelombang nonlinier, membuat semakin berkembangnya metoe-metoe alternatif alam menyelesaikan suatu PDP (nonlinier) secara eksak. Beberapa iantaranya aalah Metoe tanh, Metoe Bilinier Hirota, Metoe Ekspansi Painlevè, Metoe Scattering Invers [10]. Dari berbagai macam metoe yang telah ikembangkan tersebut, metoe tanh ianggap paling efektif alam menyelesaikan suatu moel PDP (nonlinier) khususnya untuk memperoleh solusi gelombang berjalan [5,10]. Paa paper ini, metoe tanh secara khusus akan igunakan untuk mencari solusi soliton paa persamaan Korteweg-e Vries (KV), yaitu suatu persamaan yang memoelkan perambatan gelombang air paa lorong (chanel) yang tiak terlalu lebar []. Hal khusus yang ibahas paa paper ini aalah penerapan syarat batas paa metoe tanh. Hal ini sesuai engan sifat lokalisasi solusi yang ingin icari, yaitu mempunyai profil yang menurun secara eksponensial menuju nol ketika koorinat spasial menuju ±. Pembahasan paa tesis ini mengeksplorasi kembali kajian paa [7], tetapi engan perhitungan yang berbea paa syarat batas.. Soliton an Persamaan KV Paa Definisi.1 an Definisi. iberikan efinisi tentang soliton. Definisi.1. [11] Solusi gelombang soliter (solitary waves) paa persamaan ifer- 1

2 Silvia Rosita kk. ensial parsial (x, t, u) = 0, (.1) aalah solusi gelombang berjalan (traveling waves) yang berbentuk u(x, t) = U(ξ), (.) imana ξ = x V t engan x an t aalah variabel bebas, u aalah variabel tak bebas an V aalah kecepatan (bernilai konstan), imana paa profilnya terjai peralihan ari suatu keaaan asimtotik konstan bilamana ξ ke suatu keaaan asimtotik konstan lainnya bilamana ξ. Definisi.. [11] Soliton aalah gelombang soliter yang tetap mempertahankan bentuk an kecepatannya setelah terjai interaksi (tubrukan) engan gelombang soliter lainnya atau bahkan engan gelombang terlokalisasi lainnya. Lebih lanjut, terapat ua jenis profil (gelombang soliter) yang sering ipelajari, yaitu: (i) Gelombang yang memiliki puncak engan ekor yang menurun secara eksponensial menuju nol bilamana koorinat spasial menuju ±. Gelombang ini inamakan pulse. (ii) Gelombang yang memiliki nilai asimtotik yang berbea bilamana koorinat spasial menuju + an. Gelombang ini inamakan kink. Disamping itu, terapat anti-kink yang merupakan hasil pencerminan ari kink. Untuk lebih jelasnya, bentuk soliton pulse, soliton kink an anti-kink apat ilihat paa Gambar 1. Paa pembahasan selanjutnya, jika tiak isebutkan secara spesifik, istilah soliton paa paper ini mengacu ke soliton pulse. Gambar 1. Dua jenis profil soliton 3. Metoe tanh Metoe tangen hiperbolik (metoe tanh) merupakan metoe yang efektif secara simbolis untuk menghitung solusi gelombang berjalan. Secara umum persamaan

3 Penentuan Solusi Soliton paa Persamaan KV engan Menggunakan Metoe tanh 3 iferensial parsial (PDP) nonlinier yang akan itinjau paa paper ini apat itulis sebagai berikut. u t = f[u, u x, u xx, ]. (3.1) Selanjutnya ingin iketahui solusi gelombang berjalan paa persamaan (.). Untuk tujuan itu ilakukan transformasi u(x, t) = U(ξ) imana ξ = c(x V t) engan c > 0 aalah bilangan gelombang an V aalah kecepatan ari gelombang berjalan. Oleh karena itu, persamaan iferensial parsial (3.1) apat itransformasi menjai persamaan iferensial biasa, yaitu : cv U ξ = f[u, cu ξ, c U, ]. (3.) ξ Dalam mencari solusi tersebut, Malfliet [5,6,7] memperkenalkan variabel baru yaitu Y = tanh(ξ). Perhatikan bahwa perhitungan kita sekarang hanya bergantung paa Y, karena turunan xi iganti engan (1 Y ) Y. Solusi yang ingin icari itulis alam bentuk eret pangkat hingga alam Y. a ua kasus yang akan itinjau, yaitu apakah solusi tersebut ikenakan syarat batas atau tiak. (1) Tanpa syarat batas. Solusi tanpa syarat batas itulis alam bentuk eret F (Y ) = N a n Y n. (3.3) () Dengan syarat batas. a tiga subkasus yang akan itinjau terkait engan syarat batas ini. (i) Solusi engan syarat batas: U(ξ) 0, bilamana ξ, atau Y 1. Dalam hal ini solusi itulis alam bentuk eret imana m = 1,, N. (ii) Solusi engan syarat batas: N m F (Y ) = (1 Y ) m a n Y n, (3.4) U(ξ) 0, bilamana ξ, atau Y 1. Dalam hal ini solusi itulis alam bentuk eret imana m = 1,, N. (iii) Solusi engan syarat batas: N m F (Y ) = (1 + Y ) m a n Y n, (3.5) U(ξ) 0, bilamana ξ ± atau Y ± 1.

4 4 Silvia Rosita kk. Dalam hal ini solusi itulis alam bentuk eret N p q F (Y ) = (1 Y ) p (1 + Y ) q imana p + q =,, N an p, q N. a n Y n, (3.6) Perhatikan bahwa ketiga subkasus i atas apat igunakan untuk mencari solusi soliton berbentuk kink atau pulse. Lebih khusus, subkasus (iii) ipakai untuk menentukan solusi soliton pulse. apun langkah-langkah umum alam metoe tanh aalah [9] : (1) Transformasikan bentuk umum persamaan gelombang nonlinier (3.1) menjai persamaan iferensial biasa, seperti paa persamaan (3.). () Dalam metoe tanh iperkenalkan variabel baru yaitu Y = tanh(ξ). (3.7) Dari fungsi i atas, iperoleh operator-operator turunan berikut ini : ξ = (1 Y ) ξ = (1 Y ) 3 ξ 3 = (1 Y ) Y, Y [(1 Y ) Y {(1 Y ) ], (3.8) Y Y [(1 Y ) Y ]}. (3) Karena metoe tanh ibeakan menjai ua kasus, tanpa an engan syarat batas, substitusikan solusi eret yang sesuai ke alam persamaan (.) engan menggunakan hasil-hasil turunan paa langkah. (4) Tentukan nilai N (pangkat tertinggi ari Y ) engan cara menggunakan prinsip ominant balance. (5) Setelah iperoleh nilai N, substitusikan nilai N tersebut ke alam persamaan sebelumnya (hasil langkah 3). Dengan membuat koefisien Y n sama engan nol, sehingga akan ihasilkan suatu sistem persamaan yang akan icari solusinya untuk parameter-parameter terkait. Sistem persamaan ini iselesaikan engan bantuan software Maple. (6) Sebagai langkah terakhir, tulis solusi yang iperoleh (alam Y ) ke alam bentuk variabel baru paa persamaan (3.7). 4. Penggunaan Metoe tanh Paa Persamaan KV Paa bagian ini akan itentukan solusi soliton ari persamaan KV i atas engan menggunakan metoe tanh. Berikut aalah langkah-langkah penyelesaiannya. Gunakan transformasi u(x, t) = U(ξ), imana ξ = c(x V t) an c > 0, sehingga iperoleh : cv U(ξ) ξ + 6cU(ξ) U(ξ) ξ + c 3 3 U(ξ) ξ 3 = 0. (4.1)

5 Penentuan Solusi Soliton paa Persamaan KV engan Menggunakan Metoe tanh 5 Dengan mengintegralkan persamaan (4.1) iperoleh : cv U(ξ) + 3cU(ξ) + c 3 U(ξ) ξ = 0. (4.) Untuk langkah selanjutnya akan ibeakan atas kasus tanpa syarat an engan syarat batas. (1) Tanpa Syarat Batas. Dengan menggunakan (3.), persamaan (4.) menjai cv F (Y ) + 3cF (Y ) + c 3 (1 Y ) Y [(1 Y ) F (Y )] = 0, (4.3) Y Selanjutnya, substitusi (3.3) ke (4.3) sehingga iperoleh persamaan engan ua suku yang mempunyai leaing orer yaitu Y N an Y N+. Dengan menggunakan prinsip ominant balance berlaku sehingga (3.3) menjai N = N + N =. (4.4) F (Y ) = a 0 + a 1 Y + a Y, (4.5) an persamaan (4.) setelah mengumpulkan suku-sukunya berasarkan pangkat Y kemuian membuat koefisien Y n, n = 0, 1,, 4, sama engan nol, sehingga iperoleh sistem persamaan berikut : Y 0 : cv a 0 + 3ca 0 + c 3 a = 0, Y 1 : cv a 1 + 6ca 0 a 1 c 3 a 1 = 0, Y : cv a + 3c(a 0 a + a 1) 8c 3 a = 0, (4.6) Y 3 : 6ca 1 a + c 3 a 1 = 0, Y 4 : 3ca + 6c 3 a = 0. Dengan menggunakan software Maple, iperoleh himpunan solusi untuk parameter-parameter sebagai berikut. a 0 = 0, a 1 = 0, a = 0, V = 3a 0 a 0 = c 3, a 1 = 0, a = 0, V = c a 0 = c 3, a 1 = 0, a = c, V = 4c (4.7) a 0 = c, a 1 = 0, a = c, V = 4c, imana c ibiarkan sebagai parameter sebarang. Dengan emikian solusi persamaan KV untuk kasus tanpa ikenakan

6 6 Silvia Rosita kk. syarat batas iberikan oleh u 1 (x, t) = 0, (4.8) u (x, t) F (Y ) = c 3, (4.9) u 3 (x, t) F (Y ) = 3 {1 3 tanh [ (x + t)]}, (4.10) u 4 (x, t) F (Y ) = sech [ (x t)], (4.11) engan = c. Perhatikan bahwa solusi (4.11) merupakan solusi soliton berbentuk pulse, tampilan profilnya iberikan oleh Gambar. Gambar. Profil Solusi (4.11) an (4.1) untuk c = 1 an t = 0 () Dengan Syarat Batas. a tiga subkasus syarat batas yang akan itinjau. (i) Solusi syarat batas yang iberikan oleh (3.4) engan menggunakan cara yang sama paa kasus tanpa syarat iperoleh N =, sehingga (3.4) menjai m F (Y ) = (1 Y ) m a n Y n. (4.1) Perhatikan bahwa terapat ua kemungkinan nilai untuk m. (i) Untuk m = 1, iperoleh F (Y ) = (1 Y )(a 0 + a 1 Y ), (4.13) engan solusi persamaan KV iperoleh sebagai berikut : u(x, t) F (Y ) = sech [ (x t)], (4.14)

7 Penentuan Solusi Soliton paa Persamaan KV engan Menggunakan Metoe tanh 7 (ii) Untuk m =, iperoleh iperoleh solusi trivial u(x, t) = 0. F (Y ) = a 0 (1 Y ). (4.15) (ii) Solusi syarat batas yang iberikan oleh (3.5), iperoleh N =, sehingga (3.5) menjai m F (Y ) = (1 + Y ) m a n Y n. (4.16) Perhatikan bahwa terapat ua kemungkinan nilai untuk m. (i) Untuk m = 1, iperoleh F (Y ) = (1 + Y )(a 0 + a 1 Y ), (4.17) engan solusi persamaan KV iperoleh sebagai berikut : u(x, t) F (Y ) = sech [ (x t)], (4.18) (ii) Untuk m =, iperoleh iperoleh solusi trivial u(x, t) = 0. F (Y ) = a 0 (1 + Y ). (4.19) (iii) Solusi syarat batas yang iberikan oleh (3.6), iperoleh N =, sehingga (3.6) menjai iperoleh engan = c, (p+q) F (Y ) = (1 Y ) p (1 + Y ) q a n Y n. (4.0) u(x, t) F (Y ) = sech [ (x t)], (4.1) 5. Kesimpulan Perhitungan metoe tanh engan menggunakan syarat batas (iii) menghasilkan solusi tunggal, yaitu solusi soliton berbentuk pulse. Sehingga apat isimpulkan untuk menentuan solusi soliton pulse engan menerapkan syarat batas (iii) lebih efektif perhitungannya ibaningkan engan syarat batas lain. Daftar Pustaka [1] Balwin, D., Göktas, Ü., an Hereman, W., 004, Symbolic Computation of Hyperbolic Tangent Solutions for Nonlinear Differential-Difference Equations, Computer Physics Communications 16 : [] Dauxois, T., an Michel, P. 010, Physics of Solitons, Cambrige University Perss, Cambrige.

8 8 Silvia Rosita kk. [3] Drazin, P. G., an Jhonson, R.S., 1989, Soliton : n Introuction, Cambrige University Perss, Cambrige. [4] King,.C., Billingham, J., an Otto, S.R., 003, Differential Equations, Cambrige University, Cambrige. [5] Malfliet, W., 199, Solitary Wave Solutions of Nonlinear Wave Equations, m. J. Phys. 60 : [6] Malfliet, W., an Hereman, W., 1996, The tanh Metho : 1. Exact Solutions of Nonlinear Evolution an Wave Equation, Physica Scripta 54 : [7] Malfliet, W., 004, The tanh Metho : Tool for Solving Certain Classes of Nonlinear Evolution an Wave Equations, Journal of Computational an pplie Mathematics 164 : [8] Nayfeh,. H., 1993, Introuction to Pertubation Techniques, Wiley Classic Library, Virginia. [9] Wazwaz,.M., 004, The tanh Metho for Traveling Wave Solutions of Nonlinear Equations, pplie Mathematics an Computations 154 : [10] Wazwaz,.M., 009, Partial Differential Equations an Solitary Waves Theory, Springer, Berlin Heielberg. [11] Verultz, M. W. J., 011, Soliton, Disertasi, University Utrecht.