MODEL SIKLUS BISNIS IS-LM DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL TUNDAAN

Transkripsi

1 Jurnal Matematika Vol. 2 No. 1, Juni ISSN : MODEL SIKLUS BISNIS IS-LM DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL TUNDAAN Ni Ketut Tari Tastrawati Jurusan Matematika FMIPA, Universitas Uayana Kampus Bukit Jimbaran Baung, Bali taritastrawati@yahoo.com Abstract: Sistem inamik apat ikembangkan alam berbagai biang kehiupan. Seperti alam biang ekonomi, salah satu sistem inamik alam biang ini aalah moel siklus bisnis. Aa beberapa moel siklus bisnis, iantaranya moel IS-LM. Dalam penelitian ini akan ianalisa moel siklus bisnis IS-LM engan parameter time elay. Perbeaan antara keputusan investasi engan implementasinya menganjurkan untuk merumuskan moel siklus bisnis IS-LM yang baru, yang memperlihatkan bahwa inamika moel sangat bergantung paa parameter time elay (waktu persiapan perioe investasi. Dalam penelitian ini akan igunakan teorema bifurkasi Hopf untuk mempreiksi kejaian ari limit cycle untuk parameter time elay, yang menggambarkan siklus ari moel IS-LM. Keywors: bifurkasi Hopf, moel IS-LM, siklus bisnis, time elay 1. Penahuluan Sistem inamik apat ikembangkan alam berbagai biang kehiupan, seperti biang teknik, biologi, ekonomi, an ilmu-ilmu sosial lainnya. Umumnya sistem inamik apat imoelkan alam bentuk persamaan iferensial, an ianalisa kestabilan lokal an global ari sistem tersebut. Salah satu moel yang merupakan sistem inamik alam biang ekonomi, khususnya alam ekonomi makro aalah moel siklus bisnis. Moel siklus bisnis aa beberapa macam, salah satunya aalah moel siklus bisnis IS-LM yang melibatkan beberapa fungsi, seperti investasi (I, saving(s, permintaan akan uang (L, an perseiaan uang (M. Moel ini telah banyak ikembangkan, salah satunya oleh Torre [14] yang menganalisa keberaaan orbit tertutup engan menggunakan teorema bifurkasi Hopf. Dari moel tersebut, keputusan investasi hanya mempertimbangkan kejaian paa saat sekarang. Paa banyak aplikasi, iasumsikan suatu sistem yang menjai perhatian, bahwa keaaan menatang ari sistem tiak tergantung paa keaaan sebelumnya an hanya itentukan oleh keaaan saat ini. Apabila sistem tersebut imoelkan engan suatu persamaan yang menyatakan keaaan beserta percepatan perubahan keaaan tersebut, maka umumnya igunakan persamaan iferensial biasa atau persamaan iferensial parsial. Prinsip hubungan sebab akibat sering hanya merupakan suatu penekatan awal untuk situasi sebenarnya, an moel yang lebih realistik harus meliputi keaaan sistem paa waktu sebelumnya [6]. Oleh karena itu alam moel siklus bisnis Kalecki [7], Kalecki mengasumsikan bahwa bagian yang isimpan ari keuntungan aalah investasi an pertumbuhan moal bergantung paa keputusan investasi sebelumnya. Ini merupakan perioe persiapan atau time elay. Dalam penelitian ini, 44

2 Ni Ketut Tari Tastrawati/MODEL SIKLUS BISNIS IS-LM 45 engan menggunakan ie ari Kalecki maka Cai [1] memperumum perumusan moel siklus bisnis seperti berikut: Ẏ = α(i(y, K, r S(Y, r ṙ = β(l(y, r M (1 K = I(Y (t T, K, r σk engan T aalah parameter time elay. Investasi bergantung paa penapatan paa waktu keputusan investasi ibuat an juga paa stok moal paa waktu investasi berakhir. Stok moal paa waktu investasi berakhir merupakan konsekuensi ari fakta bahwa paa waktu t T terapat beberapa investasi yang akan berakhir antara waktu t T an t. Diasumsikan bahwa hasil stok moal alam perioe ini menjai pertimbangan ketika investasi baru irencanakan. Dalam penelitian ini akan iaplikasikan teorema bifurkasi Hopf untuk mempreiksi kejaian ari limit cycle untuk parameter time elay. Yang ilakukan alam penelitian ini aalah menganalisa kestabilan linier moel siklus bisnis IS-LM untuk parameter time elay yang kecil serta menyeliiki keberaaan limit cycle ari moel siklus bisnis IS-LM engan analisa bifurkasi Hopf. Dengan mengetahui keberaaan limit cycle ari parameter time elay, maka apat itentukan perioe sistem. Dalam hal ini inamika ekonomi makro yang salah satunya itunjukkan alam moel siklus bisnis IS-LM mempunyai perioe tertentu. 2. Tinjauan Pustaka Moel yang terapat alam [1], [9], an [11] menganung persamaan iferensial fungsional. Persamaan iferensial fungsional aalah suatu persamaan iferensial yang memuat ketergantungan paa masa lalu [6]. Dalam [6] iberikan tiga tipe persamaan, yaitu tipe retare, tipe neutral an tipe avance. Paa penerapannya, variabel bebas (sebut saja engan t biasanya menyatakan waktu. Persamaan tipe retare menyatakan perilaku suatu sistem engan laju perubahan kuantitas yang iamati tergantung paa kuantitas yang lalu atau sekarang. Tipe neutral menyajikan suatu sistem engan laju perubahan kuantitas sekarang tergantung paa laju perubahan yang lalu an juga kuantitas sekarang atau yang lalu. Seangkan tipe avance menyatakan suatu sistem engan kuantitas sekarang tergantung paa keaaan yang lalu an laju perubahan yang lalu. Selanjutnya persamaan iferensial fungsional tipe retare akan isebutkan engan persamaan iferensial tunaan Kriteria Routh-Hurwitz [2, 3] Nilai eigen ari matriks Jacobian itentukan melalui polynomial karakteristik yang iperoleh ari persamaan λi A = 0 yaitu a 0 λ n + a 1 λ n 1 + a 2 λ n a n = 0 (2

3 Ni Ketut Tari Tastrawati/MODEL SIKLUS BISNIS IS-LM 46 engan a 0, a 1, a 2,..., a n aalah bilangan real an A aalah matriks Jacobian. Seringkali tiak muah menentukan akar-akar karakteristik λ 1, λ 2,..., λ n, untuk itu igunakan kriteria Routh-Hurwitz yaitu: Diefinisikan D 1 = a 1 D 2 = a 1 a 3 1 a 2 a 1 a 3 a 5 a 2k 1 1 a 2 a 4 a 2k 2 0 a 1 a 3 a 2k 3 D k = 0 1 a 2 a 2k a k engan k = 1, 2,..., n. Elemen a j = 0 jika j > n. Sistem ikatakan stabil jika akarakar karakteristiknya i titik setimbang ( x 1, x 2,..., x n mempunyai bagian real negatif. Akar-akar karakteristik ari (2 mempunyai bagian real negatif jika D k > 0, untuk setiap k Bifurkasi Dalam sistem inamik tak linear akan sering ijumpai transisi ari keaaan stabil ke suatu keaaan tiak stabil ataupun sebaliknya yaitu transisi ari keaaan tiak stabil ke keaaan stabil. Konisi seperti ini isebut engan bifurkasi. Analisa bifurkasi aalah bagian terpenting ari suatu sistem. Misal iberikan mean vektor sebagai berikut: ẋ = f(x, µ (3 engan x R n aalah variabel serta µ R aalah parameter. Sebagai konsekuensi aanya parameter apat mempengaruhi perubahan kestabilan titik setimbang maka ikatakan strukturnya tiak stabil. Nilai parameter yang mempengaruhi sifat kualitatif sistem berubah sesuai engan nilai bifurkasi. Dengan emikian bifurkasi apat iefinisikan sebagai perubahan kualitatif yang terjai paa penyelesaian persamaan iferensial. Perubahan kualitatif meliputi perubahan stabilitas an perubahan jumlah titik setimbang yang iakibatkan perubahan parameter. Untuk menganalisis bifurkasi ari mean vektor apat igunakan biang parameter, sehingga iapatkan berbagai jenis bifurkasi seperti bifurkasi Hopf, bifurkasi sael noe, an yang lainnya Bifurkasi Hopf Panang sistem persamaan iferensial ẋ = f(x, y, µ (4 ẏ = g(x, y, µ

4 Ni Ketut Tari Tastrawati/MODEL SIKLUS BISNIS IS-LM 47 engan parameter µ. Diasumsikan sistem (4 mempunyai titik setimbang (x 0, y 0 an µ = µ 0 aalah nilai parameter yang menyebabkan terjainya bifurkasi. Bifurkasi Hopf terjai jika titik setimbang x 0, y 0 mempunyai sepasang nilai eigen kompleks yaitu λ(µ 0 = α(µ 0 + iω(µ 0 an λ(µ 0 = α(µ 0 iω(µ 0 engan α(µ 0 = 0, ω(µ 0 0 an memenuhi syarat transversal [5]. 3. Hasil an Pembahasan 3.1. Moel IS-LM Diasumsikan bahwa fungsi Investasi I, fungsi Saving S, an permintaan akan uang L bergantung secara linear paa argumen-argumennya. Suku bunga r mempunyai hubungan yang berbaning terbalik engan investasi sehingga semakin tinggi tingkat suku bunga maka investasi semakin turun. Stok moal mengalami penyusutan nilai sebesar δ, sehingga fungsi investasi (I apat inyatakan sebagai besarnya penapatan (alam hal ini gross prouct ikurangi moal an suku bunga. Saving atau simpanan merupakan besarnya penapatan itambah suku bunga. Seangkan pemintaan uang i pasar berbaning terbalik engan suku bunga, semakin tinggi tingkat suku bunga semakin turun permintaan akan uang i pasar, sehingga fungsi permintaan akan uang (L apat inyatakan sebagai besarnya penapatan (gross prouct ikurangi besarnya suku bunga. Secara singkat apat inyatakan sebagai berikut: I = ηy δ 1 K β 1 r (5 S = l 1 Y + β 2 r (6 L = l 2 Y β 3 r (7 engan η, δ 1, l 1, l 2, β 1, β 2, β 3 aalah konstanta-konstanta positif alam interval [0, 1] Persamaan Karakteristik Moel IS-LM Berasarkan persamaan (5, (6, an (7, maka sistem (1 apat ibentuk menjai Ẏ = α((η l 1 Y (β 1 + β 2 r δ 1 K ṙ = β(l 2 Y β 3 r M (8 K = ηy (t T β 1 r (δ + δ 1 K Titik setimbang sistem (8, iperoleh engan membentuk Ẏ = 0, ṙ = 0, K = 0, serta T = 0, sehingga iapatkan titik setimbang trivial S 0 (0, 0, 0, seangkan titik setimbang nontrivialnya aalah S 1 = (Ȳ, r, K, engan Ȳ = (δβ 2 + δ 1 β 2 + δβ 1 β 3 l 1 δ 1 β 3 l 1 δ β 1 l 2 δ + β 3 ηδ β 2 l 2 δ 1 β 2 l 2 δ r = ( l 1 δ 1 l 1 δ + ηδ β 3 l 1 δ 1 β 3 l 1 δ β 1 l 2 δ + β 3 ηδ β 2 l 2 δ 1 β 2 l 2 δ K = (l 1 β 1 + ηβ 2 β 3 l 1 δ 1 β 3 l 1 δ β 1 l 2 δ + β 3 ηδ β 2 l 2 δ 1 β 2 l 2 δ

5 Ni Ketut Tari Tastrawati/MODEL SIKLUS BISNIS IS-LM 48 Selanjutnya akan icari persamaan karakteristik ari sistem (8. Persamaan karakteristik ibentuk melalui: α(η l 1 λ α(β 1 + β 2 αδ 1 βl 2 ββ 3 λ 0 ηe λt β 1 (δ + δ 1 λ = 0 sehingga persamaan karakteristik ari persamaan (8 berbentuk: engan λ 3 + Aλ 2 + Bλ + C + Dλe λt + Ee λt = 0 (9 A = δ + δ 1 + ββ 3 α(η l 1 B = (δ + δ 1 (ββ 3 α(η l 1 + αβl 2 (β 1 β 2 αββ 3 (η l 1 C = αββ 1 l 2 δ 1 (δ + δ 1 αβ(β 3 (η l 1 l 2 (β 1 + β 2 D = αηδ 1 E = αββ 3 ηδ 1 Persamaan transenental (9 tiak apat iselesaikan secara eksak sehingga mempunyai banyak akar. Untuk itu perlu ilakukan penekatan lain yaitu engan penekatan linear an penekatan alam ruang kompleks Penekatan Linear Untuk time elay T yang kecil, penekatan linear sangat cocok untuk memperoleh titik bifurkasi. Untuk T yang sangat kecil maka, sehingga persamaan (9 menjai e λt 1 λt λ 3 + (A DT λ 2 + (B + D ET λ + C + E = 0 (10 Dengan teorema bifurkasi Hopf an kriteria Routh-Hurwitz, maka terjai bifurkasi Hopf paa nilai T = T 0 engan A D T 0 > 0, B + D ET 0 > 0, C + E > 0 (11 an Misalkan (A DT 0 (B + D ET 0 = C + E (12 g(λ, T = λ 3 + (A DT λ 2 + (B + D ET λ + C + E = 0 maka apat itentukan g paa T = T 0 g(λ, T = λ 3 + sλ 2 + k 2 λ + k 2 s

6 engan Ni Ketut Tari Tastrawati/MODEL SIKLUS BISNIS IS-LM 49 s = (A D T 0, k 2 = (B + D ET 0 Nilai eigen ari persamaan (10 iperoleh sebagai berikut: λ 0 (T 0 = s = (A DT 0 λ 1,2 (T 0 = ±ik = ±i(b + D ET Selanjutnya, akan itunjukkan bahwa syarat transversal terpenuhi, yaitu ( Re (λ(t 0 t Diferensiasi total g(λ(t, T menghasilkan g λ T = T g λ Dλ 2 Eλ = 3λ 2 + 2(A DT λ + B + D ET Dihitung turunan g untuk λ = λ 1 paa saat T 0, iperoleh T (λ 1(T = (Dk2 iek( 3k 2 + B + D ET 0 i2k(a DT 0 P 2 + R 2 (13 engan Bagian real ari (13 aalah ( Re T (λ 1(T P = 3k 2 + B + D ET 0 R = 2k(A DT 0 Aa ua kemungkinan yang terjai, yaitu: 1. Kemungkinan pertama = Dk2 ( 3k 2 + B + D ET 0 2Ek 2 (A DT 0 P 2 + R 2 ( Re T (λ 1(T > 0 Dk2 ( 3k 2 + B + D ET 0 2Ek 2 (A DT 0 P 2 + R 2 > 0 karena P 2 + R 2 pasti positif, maka haruslah Dk 2 < E(A DT 0 D(B + D ET 0 < E(A D T 0 (14 Perhatikan bahwa untuk D an E positif, pertiaksamaan (14 terpenuhi jika konisi (A D T 0 > 0 an (B + D ET 0 > 0 terpenuhi

7 Ni Ketut Tari Tastrawati/MODEL SIKLUS BISNIS IS-LM 50 ( 2. Re T (λ 1(T < 0 Dengan cara yang sama seperti kemungkinan pertama, ternyata kemungkinan yang keua tiak sesuai engan kriteria ( Routh-Hurwitz, sehingga yang memenuhi aalah kemungkinan pertama yaitu Re T (λ 1(T > 0, an apat isimpulkan bahwa Re ( T (λ 1(T 0. Menurut teorema bifurkasi Hopf, hal ini menjamin aanya limit cycle paa saat T = T Penekatan Dalam Ruang Kompleks (Analisa Bifurkasi Hopf Untuk time elay yang lebih panjang, penekatan linear tiak efektif lagi igunakan, sehingga iperlukan penekatan yang lain. Dengan mengambil λ = σ + iω, persamaan (9 apat itulis alam bentuk bagian real an bagian imajiner. (σ 3 3σω + Aσ 2 + Bσ + C + e σt (Dω cos ωt + Dω sin ωt + E cos ωt + i(3σ 2 ω ω 2 + 2Aσω + Bω + e σt (Dω cos ωt Dσ sin ωt E sin ωt = 0 (15 Sehingga bagian real persamaan (15 berbentuk σ 3 3σω + Aσ 2 Aω 2 + Bσ + C + e σt (Dσ cos ωt + Dω sin ωt + E cos ωt = 0 Seangkan bagian imajinernya aalah 3σ 2 ω ω 2 + 2Aσω + Bω + e σt (Dω cos ωt Dσ sin ωt E sin ωt = 0 Untuk menapatkan titik bifurkasi yang pertama, iambil σ = 0. Sehingga bagian real an bagian imajiner iatas ireuksi menjai Aω 2 + C + Dω sin ωt + E cos ωt = 0 (16 ω 3 + Bω + Dω cos ωt E sin ωt = 0 (17 Kemuian keua persamaan (16 an (17 ibentuk menjai Aω 2 + C = Dω sin ωt E cos ωt (18 ω 3 + Bω = Dω cos ωt + E sin ωt (19 Dengan menguaratkan persamaan (18 an (19, kemuian menjumlahkannya akan menghasilkan ω 6 + (A 2 2Bω 4 + (B 2 2AC D 2 ω 2 + C 2 E 2 = 0 (20 Jika titik bifurkasi pertama aalah ω bif, T bif, maka titik bifurkasi yang lain ω, T harus memenuhi ωt = ω bif T bif + 2nπ, n = 1, 2,

8 Ni Ketut Tari Tastrawati/MODEL SIKLUS BISNIS IS-LM 51 Persamaan (20 merupakan persamaan kubik alam ω 2 an sisi kiri ari persamaan ini bernilai positif untuk nilai ω 2 yang besar an akan bernilai negatif untuk ω = 0 an C 2 < E 2. Oleh karena itu, jika konisi iatas terpenuhi, maka persamaan (20 mempunyai paling seikit satu akar real positif. Lemma 3.1. Syarat perlu an cukup bahwa persamaan kubik z 3 + a 1 z 2 + a 2 z + a 3 = 0 engan a 3 > 0, mempunyai paling seikit satu akar positif aalah: 1. berlaku salah satu ari a. a 1 < 0, a 2 0 an a 2 1 > 3a 2 atau b. a 2 < 0 2. < 0, engan = 4 27 a a2 1a a3 1a a 1a 2 a 3 + a 3 3 Untuk membuktikan terjai bifurkasi Hopf paa T = T bif, maka perlu itunjukkan bahwa Re (λ(t T 0 T =T bif Misalkan G(λ(T, T = λ 3 +Aλ 2 +Bλ+C+Dλe λt +Ee λt, maka iferensiasi G(λ(T, T menghasilkan λ T = = G T G λ (Dλ 2 + Eλe λt 3λ 2 + 2Aλ + B + (D T λ ET e λt (21 Dihitung turunan G paa saat T = T bif an λ = iω bif T (λ(t = [( Dω2 bif cos ω bif T bif + Eω bif sin ω bif T bif + i(dω2 bif sin ω bif T bif + Eω bif cos ω bif T bif ] [( 3ω bif 2 + B + D cos ω bif T bif Dω bif T bif sin ω bif T bif ET bif cos ω bif T bif i(2aω bif D sin ω bif T bif Dω bif T bif cos ω bif T bif + ET bif sin ω bif T bif ]/ [( 3ω 2 bif T bif + B + D cos ω bif T bif Dω bif T bif sin ω bif T bif ET bif cos ω bif T bif + i(2aω bif D sin ω bif T bif Dω bif T bif cos ω bif T bif + ET bif sin ω bif T bif ] [( 3ω bif 2 + B + D cos ω bif T bif Dω bif T bif sin ω bif T bif ET bif cos ω bif T bif i(2aω bif D sin ω bif T bif Dω bif T bif cos ω bif T bif + ET bif sin ω bif T bif ] sehingga bagian real ari persamaan (21 paa saat T = T bif an λ = iω bif, aalah ( RE (λ(t = ω2 bif (3ω4 bif + 2ω2 bif (A2 2B + B 2 2AC D 2 T P1 2 + Q2 1

9 Ni Ketut Tari Tastrawati/MODEL SIKLUS BISNIS IS-LM 52 engan P 1 = 3ω 2 bif + B + T bif ( Aω2 bif + C + D cos ω bif T bif Q 1 = 2Aω bif + T bif ( ω 3 bif + Bω bif D sin ω bif T bif Misalkan x = ωbif 2, maka persamaan (20 menjai an f(x = x 3 + (A 2 2Bx 2 + (B 2 2AC D 2 x + C 2 E 2 f (x = 3x 2 + 2(A 2 2Bx + (B 2 2AC D 2 Jika ω bif aalah akar positif terkecil ari persamaan (20 (kecuali jika merupakan akar kembar maka ipilih akar terkecil berikutnya, maka f (x > 0 T =T bif oleh karena itu σ T T =T bif = ω2 bif f (ω 2 bif P Q2 1 > 0 yang memperlihatkan bahwa syarat transversal terpenuhi, sehingga terbukti terjai bifurkasi Hopf paa saat T = T bif. Dari analisa bifurkasi Hopf iatas, jika Lemma 3.1 terpenuhi an ω bif aalah akar positif terkecil ari persamaan (20 (kecuali jika merupakan akar kembar maka ipilih akar terkecil berikutnya, maka bifurkasi Hopf terjai paa saat T melewati T bif. Contoh Jika α = 3, β = 2, σ = 0.1, σ 1 = 0.5, η = 0.31, l 1 = 0.2, l 2 = 0.1 M = 0.05, β 1 = β 2 = 0.2 maka sistem (1 menjai Ẏ = 0.3Y 1.2r 1.5K Persamaan karakteristik (22 akan berbentuk: ṙ = 0.2Y 0.4r 0.1 (22 K = 0.3Y (t T 0.2r 0.6K λ λ λ λ λt = 0 Jika Lemma 3.1 terpenuhi an ω bif aalah akar positif terkecil ari persamaan (20 (kecuali jika merupakan akar kembar maka ipilih akar terkecil berikutnya, maka bifurkasi Hopf terjai paa saat T melewati T bif = , engan nilai eigen λ 0 (T bif = λ 1,2 (T bif = ±0.6993i

10 Ni Ketut Tari Tastrawati/MODEL SIKLUS BISNIS IS-LM 53 Oleh karena itu perioe ari limit cycle aalah T = 2π λ(t bif = 2π = yang menggambarkan bahwa perioe ari sistem ekonomi (alam hal ini moel IS-LM aalah sekitar 9. Berikut ini hasil plotting time series ari Contoh: Gambar 1. Grafik kestabilan Moel IS-LM paa T bif = , engan history [0.5; 0.015; 1.25] Untuk T iluar T bif = , grafiknya sebagai berikut: Gambar 2. Grafik kestabilan Moel IS-LM paa T = 0.4, engan history [0.5; 0.015; 1.25]

11 Ni Ketut Tari Tastrawati/MODEL SIKLUS BISNIS IS-LM 54 Gambar 3. Grafik kestabilan Moel IS-LM paa T = 1, engan history [0.5; 0.015; 1.25] Gambar 1. menunjukkan terjai limit cycle paa = , hal ini menggambarkan perioe ari moel IS-LM sekitar 9. Gambar 2. menunjukkan struktur orbit i alam limit cycle akan menjauhi limit cycle ( terlihat bahwa osilasinya teream, seangkan Gambar 3 menunjukkan struktur orbit i luar limit cycle akan menjauhi limit cycle (osilasinya semakin membesar. Secara seerhana apat igambarkan bahwa limit cyclenya tiak stabil (Gambar 4.. Gambar 4. Ilustrasi seerhana ari limit cycle yang tiak stabil Lingkaran biru menunjukkan limit cycle ari moel IS-LM (Gambar 1, seangkan orbit spiral i alam limit cycle menunjukkan Gambar 2 an orbit spiral i luar limit cycle menunjukkan Gambar 3. Sehingga apat ikatakan bahwa bifurkasi Hopf yang terjai alam Contoh merupakan bifurkasi Hopf Subkritikal (tiak stabil.

12 4. Kesimpulan an Saran 4.1. Kesimpulan Ni Ketut Tari Tastrawati/MODEL SIKLUS BISNIS IS-LM 55 Kesimpulan yang iperoleh ari analisa an aplikasi bifurkasi Hopf paa moel siklus bisnis IS-LM aalah 1. Dari moel iperoleh persamaan karakteristik yang tiak apat iselesaikan secara eksak, sehingga perlu penekatan lain yaitu penekatan linear an penekatan alam ruang kompleks (analisa bifurkasi Hopf. 2. Dengan penekatan linear iperoleh tiga nilai eigen engan sepasang nilai eigen kompleks yang bagian realnya nol atau imajiner murni yang merupakan syarat terjainya bifurkasi Hopf. Dan engan terpenuhinya syarat transversal yaitu ( Re T (λ 1(T 0, maka bifurkasi Hopf terjai paa nilai T = T 0 yang menjamin aanya limit cycle paa nilai ini. 3. Paa penekatan alam ruang kompleks (analisa bifurkasi Hopf, bifurkasi Hopf terjai paa saat T melewati T bif Saran Untuk penelitian selanjutnya apat ianalisa i biang mana letak ari limit cycle yaitu engan analisa center manifol. Daftar Pustaka [1] Cai, J. (2005. Hopf Bifurcation in The IS-LM Business Cycle Moel with Time Delay. Electronic Journal of Differential Equations [2] Cronin, J., (1994. Differential Equations: Introuction an Qualitative Theory. Secon Eition. Marcel Dekker,Inc. NewYork. [3] Deo, S.G., Raghavenra,V. (1980. Orinary Differential Equations an Stability Theory. Tata McGraw-Hill. New Delhi. [4] Golubitsky,M.,Dellnitz,M. (1998. Linear Algebra an Differential Equations Using Matlab. Brooks/Cole Publishing Company. California. [5] Guckenheimer, J. an Holmes, P.(1990. Nonlinear Oscilations Dynamical System an Bifurcation of Vector Fiels. Springer-Verlag. New York. [6] Hale, J.K.,Lunel,S.M.V. (1993.Introuction to Functional Differential Equations. Springer-Verlag New York,Inc [7] Kalecki,M.(1935. A Macroynamic Theory of Business Cycle. Econometrica [8] Khan,Q.J.A. (2000.Hopf Bifurcation in Multiparty Political Systems with Time Delay in Switching. Applie Matematics Letters

13 Ni Ketut Tari Tastrawati/MODEL SIKLUS BISNIS IS-LM 56 [9] Krawiec,A. Szylowski,M. (2001.The Kalor-Kalecki Moel of Business Cycle as A Two-imensional Dynamical System. Journal of Nonlinear Mathematical Physics [10] Kuang, Y. (1993.Delay Diferential Equations with Applications in Population Dynamics. Acaemic Press, Inc. New York. [11] Neamtu,M., Opris,D., Chilarescu,C. (2005. Hopf Bifurcation in A Dynamic IS-LM Moel with Time Delay. arxiv:math.ds/ [12] Perko,L. (1998. Differential Equations an Dynamical Systems. Secon Eition. Springer-Verlag New York,Inc [13] Subiono. (2003.Matematika Sistem. Jurusan Matematika FMIPA ITS. Surabaya. [14] Torre,V. (1977.Existence of Limit Cycle an Control in Complete Keynesian Systems by Theory of Bifurcation. Econometrica [15] Wiggins,S.(1990. Introuction to Applie Non Linear Dynamical Systems an Chaos. Secon Eition. Springer - Verlag. New York