Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. Diagonalisasi Matrik Sistem Anxn

Transkripsi

1 Institut Teknologi Seuluh Noember Surabaya Diagonalisasi Matrik Sistem Ann

2 Materi Contoh Soal Latihan

3 Materi Contoh Soal Eigenvalue Matrik Ann Eigenvektor Diagonalisasi Matrik Ann Latihan

4 Materi Contoh Soal Latihan Pengantar Sub bab ini meruakan salah satu sub bab dari okok bahasan Karakteristik Sistem Berdasar Persamaan Keadaan. Pada sub bab ini akan membahas mengenai diagonalisasi matrik Ann. Selain diagonalisasi matrik ann, eigen value dan eigen vektor yang akan dibahas ada materi ini.

5 Materi Contoh Soal Latihan Eigenvalue Matrik Ann Materi Eigenvalue dari matrik Ann adalah akar dari ersamaan karakteristik yang dinyatakan sebagai diterminan berikut, λi A eigenvalue sering disebut akar - akar karakteristik. Sebagai contoh suatu matrik A sebagai berikut, A

6 Materi Contoh Soal Latihan Materi Eigenvalue Matrik Ann ersamaan karakteristiknya adalah, λi A ( )( )( ) eigenvelue dari A adalah akar dari ersamaan karakteristik tersebut, atau,-,dan.

7 Materi Contoh Soal Latihan Eigenvektor Materi Eigenvektor sangat berguna dalam engendalian modern. Matrik vektor tidak negatif i, bersama dengan eigenvalue dinyatakan dengan ersamaan. ( i I-A) i = dimana i, i=,,,n, adalah eigenvalue matarik A, disebut sebagai eigenvektor matrik A.

8 Materi Materi Contoh Soal Latihan Pengantar Jika suatu matrik Ann dengan eigenvalue-eigenvalue yang berbeda dinyatakan dengan ersamaan sebagai berikut: maka transformasi =Pz dimana,.. : : : :.... a a a a n n n A.. : : : : n n n n n n n P Diagonalisasi Matrik Ann.

9 Materi Materi Contoh Soal Latihan Pengantar,,., sama dengan eigenvalue dari A yang berbeda akan mentransformasi P - AP menjadi matrik diagonal, atau n P AP Jika matrik A yang didefinisikan oleh ersamaan 9 4 z z z z z z y Diagonalisasi Matrik Ann.

10 Materi Materi Contoh Soal Latihan Pengantar Diagonalisasi Matrik Ann. a a a A yang melibatkan eigenvalue jamak, maka diagonalisasi tersebut tidak mungkin dieroleh. Sebagai contoh, jika matrik A dimana, memunyai eigenvalue,,.,, maka transformasi P dimana, P

11 Materi Contoh Soal Latihan Diagonalisasi Matrik Ann. Materi akan menghasilkan, P AP bentuk ini disebut bentuk matrik Jordan

12 Contoh Soal Materi Contoh Soal Latihan Pengantar ) )( )( ( A λi Penyelesaian: Persamaan karakteristiknya adalah, eigenvelue dari A adalah akar dari ersamaan karakteristik tersebut, atau,-,dan. u Persamaan ruang keadaan dinyatkan dalam bentuk di bawah. Tentukan nilai eigen nya

13 Materi Contoh Soal Latihan Contoh Soal Dengan menggunakan ersamaan y y y y u Tunjukkan bahwa enyajian ruang keadaan seerti yang dinyatakan oleh ersamaan A Bu y C Dan P 4 9 dengan cara diagonalisasi matrik.

14 Contoh Soal Penyelesaian Materi Contoh Soal Latihan Pengantar A 9 4 P P AP dengan eigenvalue = -, = -, = - maka matrik P, maka matrik, Dari enyelesaian telah dieroleh matrik,

15 Contoh Soal Materi Contoh Soal Latihan Pengantar Penyelesaian: Berdasarkan nilai eigen dari matrik A adalah,-,dan, maka dieroleh bentuk diagonalisasi matrik (Pers. ): u Persamaan ruang keadaan dinyatakan dalam bentuk di bawah. Tentukan diagonalisasi matrik dan ersamaan keluaran nya. y P = 4 9 Persamaan keluaran, Pers. (9) dan Pers. (): 9 4 z z z z z z y

16 Materi Contoh Soal Latihan Contoh Soal 4 Diberikan matrik A sebagai berikut, Carilah eigenvektor matrik A A 5 4

17 Contoh Soal 4 Penyelesaian Materi Contoh Soal Latihan Pengantar Dengan menggunakan ersamaan karakteristik, dieroleh eigenvalue =, = =. Maka matrik A dikatakan memunyai orde dua ada eigenvelue=. Eigenvektor untuk eigenvelue = ditentukan dengan menggunakan ersamaan A I 5 ) 4 5 ( ) ( i i

18 Materi Contoh Soal Latihan Contoh Soal 4 Penyelesaian dari matrik ini akan dieroleh dua ersamaan indeendent, sehingga bisa diilih sebarang harga = dan menghasilkan =- dan =-, maka

19 Contoh Soal 4 Penyelesaian Materi Contoh Soal Latihan Pengantar Sedangkan generalized eigenvektor, yang berkaitan dengan eigenvelue orde-, dieroleh dengan mensubtitusi = A I 5 ) ( diambil harga sebarang =, dieroleh =-/7 dan =-5/7, maka 7 5 7

20 Contoh Soal 4 Penyelesaian Materi Contoh Soal Latihan Pengantar Subtitusi = A I 5 ) ( diambil harga sebarang =, dieroleh =-/49 dan = -4/49, maka

21 Materi Contoh Soal Latihan Diagonalisasi matrik A nn daat dinyatakan dalam bentuk berikut yang biasa disebut dengan matrik Jordan P AP Dimana memunyai eigenvalue,,.,

22 Materi Contoh Soal Latihan Latihan Diberikan matrik A sebagai berikut, A 7 Carilah eigenvektor matrik A

23 Materi Contoh Soal Latihan. Eigen value dari matrik system A, daat digunakan untuk menentukan koefisien ada matrik Diagonal.. Diagonalisasi matrik daat digunakan untuk membentuk ersamaan keluaran, dengan semua variable statenya di amati

24 SEKIAN & TERIMAKASIH