MODEL SIS (SUSCEPTIBLE INFECTED SUSCEPTIBLE) PADA PENULARAN DUA PENYAKIT ENDEMIK YAYA SUKARYA

Transkripsi

1 MOEL I (UCEPTIBLE INFECTE UCEPTIBLE) PAA PENULARAN UA PENYAKIT ENEMIK YAYA UKARYA EPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTA MATEMATIKA AN ILMU PENGETAHUAN ALAM INTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 9

2 ABTRACT YAYA UKARYA. I (usceptible Infecte usceptible) Moel for a sprea of a two isease Enemic. upervise by PAIAN IANTURI an N. K. KUTHA ARANA. I (usceptible Infecte usceptible) moel is an epiemiology moel, obtaine via IR (usceptible Infecte Remove) moel, in which iniviuals have no immunity might reinfecte again after they get recovere of a isease. In this paper, we stuie the I moel for a sprea of two enemic iseases in a population. The three types of equilibrium points were obtaine via stability analysis, the first point calle the isease free equilibrium point an the other two points were consiere as enemic equilibrium points. The stability of equilibrium I moel epen on reprouction basic number ( R ). If R < then isease free equilibrium is stable. For the enemic equilibrium, if R > then the enemic equilibrium is stable. Base on simulations performe, there were three types behavior of solutions obtaine; that is when only major, only minor or both iseases were present. The stability of population infecte by major isease was proportional to the effective transmission rate with which iniviual become infecte with the major isease. Keywors: epiemic moel, I moel, stability analysis

3 ABTRAK YAYA UKARYA. Moel I (usceptible Infecte usceptible) paa Penularan ua Penyakit Enemik. ibimbing oleh PAIAN IANTURI an N. K. KUTHA ARANA. Moel I (usceptible Infecte usceptible) merupakan salah satu moel epiemiologi yang iperoleh ari moel IR (usceptible Infecte Remove), ketika iniviu tiak mempunyai kekebalan tubuh setelah terserang penyakit an menyebabkan iniviu tersebut menjai rentan kembali setelah sembuh ari penyakit. alam tulisan ini ipelajari moel I paa penularan ua penyakit enemik alam suatu populasi. ari analisis kestabilan iperoleh tiga titik tetap yaitu satu titik tetap tanpa penyakit an ua titik tetap enemik. Analisis kestabilan titik tetap tersebut bergantung paa bilangan reprouksi asar ( R ). Titik tetap tanpa penyakit beraa alam kestabilan ketika R <. Untuk titik tetap enemik, beraa alam kestabilan ketika R >. ari simulasi numerik yang ilakukan terhaap moel ua penyakit enemik iperoleh tiga tipe perilaku moel yaitu ketika hanya penyakit utama yang muncul, ketika hanya penyakit tambahan yang muncul atau keua penyakit (co-infecte) yang muncul. Konisi kestabilan populasi iniviu yang terinfeksi oleh penyakit utama berbaning lurus engan laju penularan efektif iniviu menjai terinfeksi oleh penyakit utama. Kata kunci: moel epiemik, moel I, analisis kestabilan

4 MOEL I (UCEPTIBLE INFECTE UCEPTIBLE) PAA PENULARAN UA PENYAKIT ENEMIK YAYA UKARYA kripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar arjana ains paa epartemen Matematika EPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTA MATEMATIKA AN ILMU PENGETAHUAN ALAM INTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 9

5 Juul kripsi Nama NRP : Moel I (usceptible Infecte usceptible) paa Penularan ua Penyakit Enemik : Yaya ukarya : G5445 isetujui r. Paian ianturi Pembimbing I Ir. N. K. Kutha Arana, M.c. Pembimbing II iketahui r. rh. Hasim, EA ekan Fakultas Matematika an Ilmu Pengetahuan Alam Tanggal Lulus:

6 RIWAYAT HIUP Penulis ilahirkan i ubang paa tanggal esember 986 sebagai anak keua ari tiga bersauara, ari pasangan Ana an A ah Komariah. Tahun 998 penulis lulus ari Negeri Pamanukan ebrang I. Tahun penulis lulus ari LTP Negeri Pamanukan. Tahun 4 penulis lulus ari MA Negeri ubang an paa tahun yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Ujian aringan Masuk IPB (UMI). Penulis memilih Jurusan Matematika, Fakultas Matematika an Ilmu Pengetahuan Alam. elama mengikuti kegiatan perkuliahan, penulis aktif iberbagai kegiatan mahasiswa yaitu sebagai staf epartemen Lingkar Muslim Matematika (LIMIT) Gugus Mahasiswa Matematika (Gumatika) IPB (5/6), staf ivisi Relasi erambi Ruhiyah Mahasiswa FMIPA (6/7). Penulis juga aktif sebagai panitia paa beberapa acara antara lain Kajian Ilmu Pengetahuan Al Qur an an unnah (KIPA) tahun 7, Masa Perkenalan epartemen (5 & 6), Matematika RIA Nasional (6), Pesta ains Nasional (6), Musyawarah Wilayah (Muswil) III IKAHIMATIKA (6).

7 PRAKATA Puji an syukur penulis panjatkan kepaa Allah WT yang telah melimpahkan rahmat an karunia-nya sehingga penulis apat menyelesaikan karya ilmiah ini. Penyusunan karya ilmiah ini tiak terlepas ari bantuan berbagai pihak. Oleh karena itu, alam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepaa:. r. Paian ianturi selaku osen pembimbing I.. Ir. N. K. Kutha Arana, M.c selaku osen pembimbing II. 3. rs. Ali Kusnanto, M.c selaku osen penguji an moerator seminar. 4. emua osen epartemen Matematika. 5. Bu Ae, Bu usi, Mas Yono, Mas Bono, Mas eni, Mas Heri. 6. Keluarga tercinta: Ayah, Ibu, Kakak an Aik. 7. Ibrahim Amin, Niia Rosita an Nur Armi selaku pembahas. 8. Teman-teman Math 4: Rangga, bang Iris, Triyai, Iboy, Ujang, Great, Fariz, Frerick, Mahnur, Maji, Mora, Aji, Jali, ika, ee-ee, Lia Y, Lia M, Mahar, Mukti, Nurjanah, Mba yifa, arwisah, Eli, Rofah, Niken, Mariam, an semuanya yang tiak apat isebutkan satu per satu. 9. Teman-teman Math 39, 4, 4 an semuanya yang tiak apat isebutkan satu per satu.. Temen-temen kost-an : Ponok 55, PPM Al Inayah, Wisma avana.. emua pihak yang telah membantu yang tiak apat penulis sebutkan satu per satu. emoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi semuanya. Bogor, eptember 9 Yaya ukarya

8 AFTAR II Halaman AFTAR GAMBAR... viii AFTAR LAMPIRAN... viii I PENAHULUAN. Latar Belakang.... Tujuan... II LANAAN TEORI... III PEMBAHAAN 3. Perumusan Moel Titik Tetap Analisis Kestabilan Titik Tetap Kestabilan istem i Titik Tetap E Kestabilan istem i Titik Tetap E Kestabilan istem i Titik Tetap E Analisis Kualitatif IV IMPULAN... 3 AFTAR PUTAKA... 4 LAMPIRAN... 5

9 viii AFTAR GAMBAR halaman iagram alur untuk penularan ua penyakit enemik... 4 Kurva solusi p( ) an q( ) terhaap engan β = Kurva solusi p( ) an q( ) terhaap engan β = Kurva solusi p( ) an q( ) terhaap engan β = Kurva solusi p( ) an q( ) terhaap engan β = inamika populasi ari keempat moel terhaap t engan =. 5 an β = inamika populasi ari keempat moel terhaap t engan =. 6 an β = inamika populasi ari keempat moel terhaap t engan =.8 an β = inamika populasi ari keempat moel terhaap t engan =.9 an β =.9... AFTAR LAMPIRAN halaman Pembuktian teorema an teorema... 6 Penurunan persamaan (6)-(9) Mencari titik tetap Matriks Jacobi untuk persamaan (8)... 5 Penurunan persamaan (4) an persamaan (6)... 6 Penurunan persamaan (3) Program analisis kestabilan engan metoe Routh-Hurwizt Criterion untuk titik tetap E Program analisis kestabilan engan metoe Routh-Hurwizt Criterion untuk titik tetap E Program untuk menentukan gambar kurva solusi p( ) an q( ) terhaap... 5 Program untuk menentukan gambar inamika populasi... 7

10 I PENAHULUAN. Latar Belakang ejak ikenalkannya moel IR (usceptible Infecte Remove) oleh Kermack an McKenrick paa tahun 97 untuk penyebaran penyakit, persamaan iferensial secara luas igunakan alam matematika epiemiologi. Banyak moel matematika yang ibangun untuk mempelajari penularan penyakit, mengevaluasi atau menilai penularan ari suatu epiemik, an banyak lagi yang penting lainnya. Untuk memahami mekanisme ari epiemik untuk mencegah atau meminimumkan penularan suatu penyakit, iantaranya engan karantina an perlakuan lainnya. alam karya ilmiah ini akan ibahas suatu moel I (usceptible Infecte usceptible) ari penularan ua penyakit enemik alam suatu populasi. Moel I ini seniri iperoleh ari moel IR (usceptible Infecte Remove), engan mengganti R (Remove) menjai (usceptible), ketika iniviu tiak memiliki kekebalan tubuh setelah atangnya penyakit, yang menyebabkan iniviu tersebut menjai rentan kembali setelah sembuh ari penyakit. Moel ini menjelaskan gambaran secara umum ari ua penyakit enemik an analisis ari inamika populasi agar menambah pemahaman ari kelakuan atau perilaku sifat alam sistem tersebut. alam hal ini aanya hubungan antara penyakit utama an penyakit tambahan engan munculnya suatu p( ) an q( ) yang harus ipenuhi ketika salah satu ari ua penyakit enemik tersebut muncul engan sebagai parameter kontrol. Kestabilan titik tetap an analisis kestabilan titik tetap ari moel tersebut ilakukan engan menggunakan software Mathematica 6 an berasarkan parameter ari Blyuss & Kyrychko (5).. Tujuan Tujuan penulisan karya ilmiah ini aalah :. Mempelajari moel matematika ari sistem penularan ua penyakit enemik alam suatu populasi.. Menganalisis kestabilan titik tetap yang iperoleh. 3. Menganalisis perilaku solusi moel. II LANAAN TEORI Paa bab ini akan iberikan teori yang menjai lanasan pengerjaan karya ilmiah ini. Berikut ini aalah efinisi-efinisi mengenai istilah yang igunakan. istem Persamaan iferensial efinisi (Persamaan iferensial Linear Ore ) uatu persamaan yang inyatakan sebagai n x + a( t) x = g( t) x R, () isebut persamaan iferensial (P) linear ore. Jika g ( t) =, P isebut P linear homogen an jika g ( t), P isebut P linear takhomogen. [Tu, 994] efinisi (istem Persamaan iferensial Maniri) uatu sistem persamaan iferensial (P) inyatakan sebagai x n x f( x), x t = = R () engan f fungsi kontinu bernilai real ari x an mempunyai turunan parsial kontinu. P tersebut isebut P maniri (autonomous) jika tiak memuat waktu (t) secara eksplisit i alamnya. [Tu, 994] Kestabilan i ekitar Titik Tetap efinisi 3 (Titik Tetap) iberikan P x n = x = f ( x) x R. t Titik x isebut titik tetap jika f ( x ) =.Titik tetap isebut juga titik kritis atau titik keseimbangan. Untuk selanjutnya akan igunakan istilah titik tetap. [Tu, 994]

11 efinisi 4 (Titik Tetap tabil) Misalkan x aalah titik tetap P maniri x t aalah sebuah solusi P maniri an ( ) engan nilai awal x( ) = x engan x x. Titik x ikatakan titik tetap stabil jika untuk sebarang raius ε > terapat r > seemikan sehingga jika posisi awal x memenuhi x x maka solusi x ( t) < r memenuhi ( t) x x < ε, untuk setiap t >. [Verhulst, 99] efinisi 5 (Titik Tetap tabil Asimtotik Lokal) Titik x ikatakan titik tetap stabil asimtotik lokal jika titik x stabil an terapat ε > seemikian sehingga jika x x < ε maka lim x( t) = x t, engan x = x(). [ziarovszky & Bahill, 998] efinisi 6 (Titik Tetap tabil Asimtotik Global) Titik x ikatakan titik tetap stabil asimtotik global jika titik x n stabil an x Ω R, lim x( t) = x, engan x = x(). t [ziarovszky & Bahill, 998] efinisi 7 (Titik Tetap Tak tabil) Misalkan x aalah titik tetap sebuah P maniri an x ( t) aalah sebuah solusi P x = x engan maniri engan nilai awal ( ) x x. Titik x ikatakan titik tetap tak stabil jika terapat raius ε > engan ciri sebagai berikut : untuk sebarang r > terapat posisi awal x memenuhi < x t memenuhi x x r, berakibat solusi ( ) ( t) ε x x, untuk paling seikit satu t >. [Verhulst, 99] efinisi 8 (Nilai Eigen an Vektor Eigen) iberikan matriks koefisien konstan A Berukuran n x n, an P homogen berikut n x = Ax+ b, x() = x, x R (3) uatu vektor tak nol x alam ruang R n isebut vektor eigen ari A jika untuk suatu skalar λ berlaku Ax = λx (4) Nilai skalar λ inamakan nilai eigen ari A. Untuk mencari nilai λ ari matriks A, maka Persamaan (4) apat itulis kembali sebagai ( A-λ I) x = (5) engan I matrik ientitas. Persamaan (5) mempunyai solusi tak nol jika an hanya jika p( λ) = et( A-λI) = A λi = (6) Persamaan (6) isebut persamaan karakteristik ari matriks A. [Anton, 995] efinisi 9 (Pelinearan) iberikan P tak linear x n f ( ), R t = x = x x (7) engan menggunakan perluasan Taylor paa titik-titik tetapnya, maka iperoleh x = Ax + ϕ( x) (8) engan A = f ( x ) = f ( x) X= X f f x x n = fn fn x xn X= X lim ϕ( x ) =. an fungsi ϕ( x ) memenuhi x Akibatnya persamaan ifferensial (7) apat ihampiri oleh persamaan x = Ax (9) Persamaan (9) isebut pelinearan ari persamaan iferensial (7). [Tu, 994] Analisis Kestabilan Titik Tetap efinisi (Kestabilan Titik Tetap) iberikan P sebarang x n x f( x), x. t = = R Tentukan titik tetap x yang memenuhi f ( x ) =. Penentuan kestabilan titik tetap iapat engan melihat nilai-nilai eigennya, yaitu : λi imana i =,,, n yang iperoleh ari persamaan karakteristik (5). ecara umum kestabilan titik tetap mempunyai tiga perilaku : I. tabil, jika :

12 3 a. Re( λ i ) < untuk setiap i. b. Terapat Re( λ i ) = untuk sebarang j an Re( λ i ) < untuk setiap i j. II. Tak stabil, jika terapat paling seikit satu i imana Re( λ i ) >. III. ael, jika perkalian ua buah nilai eigen real sembarang aalah negatif ( λλ < untuk i an j sembarang). Kriteria Kestabilan [Grimshaw, 99] Konisi Routh Hurwitz Misalkan a, a,, ak bilangan-bilangan real, a j = jika j > k. emua nilai eigen ari persamaan karakteristik k k p( λ) = λ + aλ a λ + a λ + a = k k k mempunyai bagian real yang negatif jika an hanya jika eterminan ari matriks i i, untuk setiap i =,,, k, eterminan ari matriks i i, a a3 a5 ai a a4 ai M = a a3 ai 3 ai aalah positif. [Fisher, 99] ehingga menurut konisi Routh-Hurwitz, untuk suatu k, k =, 3, 4 isebutkan bahwa titik tetap x stabil jika an hanya jika (untuk k =,3,4 ), k = ; a >, a >, k = ; a >, a >, a a >, 3 3 a3 4; a >, a3 >, a4 >, aa a3 > a3 a a4 k = + i j. [Tu, 994] Untuk kasus k = 3an k = 4, konisi Routh- Hurwitz isajikan paa teorema an berikut. Teorema Misalkan A, B, C bilangan real. Bagian real ari setiap nilai eigen persamaan karakteristik 3 p( λ ) = λ + Aλ + Bλ + C = aalah negatif jika an hanya jika AC, bernilai positif an AB > C. Bukti : [lampiran ] Teorema Misalkan ABCan,, bilangan real. Bagian real ari setiap nilai eigen persamaan karakteristik 4 3 p( λ) = λ + Aλ + Bλ + Cλ+ = aalah negatif jika an hanya jika AC,, bernilai positif an ABC > C + A. Bukti : [lampiran ] efinisi (Bilangan Reprouksi asar ( R )) Bilangan Reprouksi asar ( R ) aalah ratarata banyaknya iniviu rentan yang terinfeksi secara langsung oleh iniviu lain yang suah terinfeksi bila iniviu yang suah terinfeksi tersebut masuk ke alam populasi yang seluruhnya masih rentan. Formula untuk menentukan bilangan reprouksi asar ( R ) aalah : R = maks{ R, R, R 3}, engan R, R, an R3, menyatakan bilangan reprouksi asar masing-masing ari penyakit utama, penyakit tambahan, an keua-uanya. Konisi yang akan timbul aalah salah satu i antara kemungkinan berikut :. Jika R <, maka penyakit akan menghilang.. Jika R =, maka penyakit akan menetap (enemis), 3. Jika R >, maka penyakit akan meningkat menjai wabah. [Blyuss & Kyrychko, 5]

13 4 III PEMBAHAAN 3. Perumusan Moel alam penulisan karya ilmiah ini, moel yang akan ibahas aalah suatu moel I (usceptible Infecte usceptible) ari penularan ua penyakit enemik alam suatu populasi. Moel I merupakan suatu moel penyebaran penyakit yang iperoleh ari moel IR (usceptible Infecte Remove) yang ibuat oleh Kermack an McKenrick paa tahun 97. Moel I iperoleh engan mengganti R (Remove) menjai (usceptible), ketika iniviu tiak mempunyai kekebalan tubuh setelah terserang penyakit, artinya iniviu tersebut menjai rentan kembali setelah sembuh ari penyakit. ecara skematik, iagram alur moel I paa penularan ua penyakit enemik alam suatu populasi apat ilihat paa gambar. Misalkan banyaknya populasi iniviu paa waktu t inyatakan engan N = N (t). Populasi ini ibagi menjai tiga kelas yaitu populasi iniviu rentan = (t), populasi iniviu terinfeksi oleh penyakit utama I = I (t), populasi iniviu terinfeksi oleh penyakit tambahan I = I (t), an populasi iniviu terinfeksi oleh keua penyakit tersebut I = I (t). Total populasi ituliskan N = + I + I + I. Konstruksi moel matematika untuk moel I paa penularan ua penyakit enemik alam suatu populasi ini menggunakan asumsi:. Tiap iniviu setelah sembuh akan menjai rentan kembali.. Recruitment (B) konstan. 3. Efisiensi ari penularan penyakit iasumsikan sama untuk iniviu yang rentan an iniviu yang terinfeksi. 4. Peluang iniviu menjai terinfeksi oleh penyakit keua aalah sama engan peluang iniviu rentan menjai iniviu terinfeksi oleh penyakit tersebut. 5. Peluang iniviu menjai terinfeksi oleh penyakit utama setelah aanya interaksi engan iniviu yang terinfeksi oleh keua penyakit aalah ( β ), peluang iniviu menjai terinfeksi oleh penyakit tambahan setelah aanya interaksi engan iniviu yang terinfeksi oleh keua penyakit aalah β ( ), an peluang iniviu menjai terinfeksi oleh keua penyakit aalah β. B µ r β r β r ( β ) β ( ) I µ σ β µ I σ + σ β µ I σ Gambar. iagram alur untuk penularan ua penyakit enemik

14 5 etelah semua iasumsikan, moel apat ituliskan sebagai berikut: = B ( β) I I β( ) I βi βi + r I + r I + ri, () t N N N N N I I = ( β) I + I ( σ + µ + r ) I β( I + I ), t N N N () I I = β( ) I + βi ( σ + µ + r ) I ( I + I), t N N N (3) I I I I = ( + β) + ( I + βi ) ( σ + σ + µ + r ) I + βi, t N N N (4) N = + I + I + I. (5) engan, N : total populasi, : populasi iniviu rentan, I : populasi iniviu terinfeksi oleh penyakit utama, I : populasi iniviu terinfeksi oleh penyakit tambahan, B : recruitment, B >, µ : Tingkat kematian alami, < µ, : penularan efektif iniviu menjai terinfeksi oleh penyakit utama, >, β : penularan efektif iniviu menjai terinfeksi oleh penyakit tambahan, β >, σ : tingkat kematian yang isebabkan oleh penyakit utama, < σ, σ : tingkat kematian yang isebabkan oleh penyakit tambahan, < σ, r : tingkat kesembuhan ari penyakit utama, < r, r : tingkat kesembuhan ari penyakit tambahan, < r, r : tingkat kesembuhan ari keua penyakit, r, < elanjutnya igunakan penskalaan engan mensubstitusikan persamaan (5) ke alam sistem persaman ()-(4), sehingga iperoleh sistem persamaan (6)-(9) sebagai berikut : = B ( β) I t + I + I + I I β β I + I + I + I ( ) I β I + I + I + I + I + I + I + I + I + I + ri + ri, + ri (6) I = ( β) I t + I + I + I + I ( σ + µ + r) I + I + I + I I β ( I + I), + I + I + I (7) I = β( ) I t + I + I + I + βi ( σ + µ + r ) I + I + I + I I ( I + I), + I + I + I (8) I I I = ( + β) t + I + I + I I + ( I + βi) + I + I + I ( σ + σ + µ + r) I + β I. + I + I + I (9)

15 6 elanjutnya akan iturunkan titik tetap untuk sistem persamaan (6)-(9) yang kemuian akan ibahas analisis kestabilan isekitar titik tetap tersebut serta inamika populasinya. 3. Titik Tetap Analisis titik tetap paa P sering igunakan untuk menentukan suatu solusi yang tiak berubah terhaap waktu t. Perhatikan kembali persamaan (6) (9), misalkan titik tetap persamaan tersebut inotasikan engan E = (, I, I, I ). engan emikian menurut efinisi, titik tetap E apat iperoleh engan menentukan I, I I = =, =, an =, t t t t ari persamaan (6)-(9). Titik tetap yang iperoleh aalah B E =,,, µ, ( ) ( ) E =, I,,, an E =,, I,, engan, N = + I () ˆ B N =, σ µ + µ + σ σ rσ () ( µ + σ + r) B =, σ µ + µ + σ σ rσ () ( σ r) B I = σ µ + µ + σ σ r σ, (3) N = + I (4) Bβ N =, σ µ + βµ + βσ σ r σ (5) I ( µ + σ + r ) B =, (6) σ µ + βµ + βσ σ σ r ( β σ r ) B =, (7) σ µ + βµ + βσ σ σ r Penentuan titik tetap ini apat ilihat i lampiran Analisis Kestabilan Titik Tetap Paa bagian ini akan ianalisis kestabilan titik tetap ari sistem persamaan (6)-(9). Misalkan persamaan (6) (9) ituliskan sebagai berikut : A(, I, I, I), t = I = B(, I, I, I), t I = C(, I, I, I), t I = (, I, I, I). t ari sistem persamaan i atas apat iperoleh matriks Jacobi: A A A A I I I B B B B I I I J = C C C C I I I I I I = (8) engan, J ={ ij } untuk i =,,3, 4 an j =,,3, 4 (lihat lampiran 5) Kestabilan istem i Titik Tetap E = ( ) B,,, µ istem persamaan iferensial paa titik tetap E akan menghasilkan matriks Jacobi sebagai berikut : 3 4 J = (9) engan, = µ 3 = = + r 3 = = β + r 33 = β ( σ + µ + r ) 3 β β r = + + = β( ) 4 34 = 4 = = ( σ + µ + r ) 4 = = 43 = 3 4 = ( β) 44 = ( σ + σ + µ + r) + β Persamaan karakteristik ari matriks J iperoleh ari persamaan et (J - λ I) =

16 7 λ 3 4 λ = λ λ 44 4 et ( λ)( λ)( λ)( λ) = () Persamaan () menghasilkan nilai eigen sebagai berikut : λ =, λ = ( µ + σ + r ), λ3 = β ( µ + σ + r), an λ4 = β ( µ + σ + σ + r). () Matriks J mempunyai empat nilai eigen yang mempunyai nilai bilangan realnya negatif jika an hanya jika < µ + σ + r, β < µ + σ + r, an () β < µ + σ + σ + r. engan mengekspresikan alam bentuk R, R, an R3, engan R =, σ + µ + r β R =, an (3) σ + µ + r β R3 =, σ + σ + µ + r maka kita peroleh bahwa E aalah stabil lokal asimtotik jika R <, R <, an R 3 <. engan menggunakan efinisi untuk R an R 3 akan secara muah iperoleh bahwa jika σ + σ + µ + r β < (4) σ + µ + r (lihat lampiran 6) maka R > R3 an cukup mengikuti inamika paa R saja untuk memperoleh nilai terkecil ari yang mana E akan menjai takstabil Kestabilan istem i Titik Tetap E = (, I,,) istem persamaan iferensial paa titik tetap E, akan menghasilkan matriks Jacobi sebagai berikut : 3 J = engan, I = ( + I) = + r ( + I) I ( + I) β 3 = + r ( + I) 4 = ( β+ β) ( + I ) + I + r ( + I) I = ( + I) = ( σ ) + µ + r ( + I) βi ( + β) I 3 = ( + I) ( I + ) β 4 = + ( + I ) ( + I ) 3 = 3 = I + β 33 = ( σ + µ + r) ( + I ) β ( ) 34 = ( + I ) (5) 4 = 4 = ( + β) I 43 = ( + I ) ( I + ) β 44 = ( σ + σ + µ + r) ( + I ) Persamaan karakteristik ari matriks J iperoleh ari persamaan et (J - λ I) = λ 3 4 λ 3 4 et = λ λ (6)

17 8 Kestabilan titik tetap E iperoleh engan mengamati nilai eigen matriks J paa persamaan (6) yaitu : 4 3 λ + Aλ + Bλ + Cλ+ = engan nilai A, B, C, aa paa lampiran 7. Berasarkan kriteria Routh Hurwitz, titik tetap E stabil jika keempat syaratnya ipenuhi yakni :. A >, konisi ini terpenuhi jika > µ + σ + r, (7) apat ituliskan sebagai R >.. C >, konisi ini terpenuhi jika β β p = + β + + >. R R R R3 (8) 3. >, konisi ini terpenuhi jika q = q+ q + q3 >, (9) isini, β q = +, R β q = β ( β), R + + R3 R β q3 =. R + 3 R R 4. ABC C A >, konisi ini terpenuhi jika ketiga syarat sebelumnya terpenuhi. (3) Jai titik tetap E stabil jika keempat syarat tersebut terpenuhi. (lihat lampiran 9) Kestabilan istem i Titik Tetap E = (,, I,) istem persamaan iferensial paa titik tetap E, akan menghasilkan matriks Jacobi sebagai berikut : 3 4 J = (3) engan, βi = ( + I ) ( + I ) + I β = + r ( + I ) ( ) β = + r 3 ( + I ) ( β+ β) βi = + + r 4 ( + I) ( + I) = ( βi ) ( + I ) = ( σ + µ + r ) 3 = ( β) = ( ) 4 + I β ( I ) 3 ( + I ) = ( + β) I ( I) 3 = ( + I ) β ( ) = ( σ + µ + r ) 33 ( + I ) ( I ) + β( )( ) + ( β + ) I 34 = ( + I ) 4 = ( + β) I 4 = ( + I ) 43 = β + I 44 = ( σ ) + σ + µ + r ( + I ) Persamaan karakteristik ari matriks J iperoleh ari persamaan et (J - λ I) = λ 3 4 λ 4 et = λ λ 4 44 (3) Kestabilan titik tetap E iperoleh engan mengamati nilai eigen matriks J paa persamaan (3) yaitu : 4 3 λ + A λ + B λ + C λ+ = engan nilai A, B, C, aa paa lampiran 8. Berasarkan kriteria Routh Hurwitz, titik E stabil jika keempat syaratnya ipenuhi yakni :. A >, konisi ini terpenuhi jika : β > µ + σ + r, (33)

18 9 apat ituliskan sebagai R >.. C >, konisi ini terpenuhi jika β β p = + + β + >. R R R R3 (34) 3. >, konisi ini terpenuhi jika isini, q = β +, R q = q + q + q > (35) 3, q = β + β + ( β), R R3 R β q3 = β. R + 3 R R 4. ABC C A >, konisi ini terpenuhi jika ketiga syarat sebelumnya terpenuhi. (36) Jai titik tetap E stabil jika keempat syarat tersebut terpenuhi. (lihat lampiran ). Rj Berikut aalah tabel konisi kestabilan ari tiga titik tetap yang iperoleh. Tabel. Kestabilan titik tetap Konisi E E E <, j =,, 3 tabil Tak tabil Tak tabil R >, β β p = + β + + >, an R R R R3 β β q = β + ( β) R R R3 R β +. R + > 3 R R R >, β β p = + + β + >, an R R R R3 q = β + + β + β + ( β) R R R3 R β + β. R + > 3 R R Tak tabil tabil Tak tabil Tak tabil Tak tabil tabil elanjutnya akan ibahas analisis kualitatif untuk mengetahui perilaku solusi moel an inamika populasinya. 3.4 Analisis Kualitatif Ilustrasi konisi kestabilan sistem paa ketiga titik tetap apat itunjukkan alam kurva solusi an inamika populasinya engan menggunakan bantuan software Mathematica 6. Untuk itu iperlukan nilai-nilai parameter yang terapat alam persamaan ()-(5). Parameter yang iberikan alam tulisan ini iambil ari Blyuss & Kyrychko (5). a. engan menggunakan nilai-nilai parameter µ =., σ =.4, σ =.3, r =.5, r =.8, an B =, kurva solusi p( ) an q( ) iperoleh paa saat β =. 3, β =. 5

19 β =.7, an β =. 8 yang iilustrasikan paa Gambar (a) - (). p@,q@ (a) p@,q@ (b) p@,q@ (c) p@,q@ Gambar. (a)-() kurva solusi p( ) an q( ) terhaap engan (a) β =. 3,(b) β =. 5,(c) β =.7, an () β =. 8 () Keterangan : : kurva p( ) : kurva q( ) Paa Gambar (a) terlihat bahwa untuk nilai β =.3, terlihat nilai sekitar,6 paa gambar (a) atau tepatnya paa saat nilai =.55, keseimbangan titik tetap E menjai takstabil an keaaan enemik E muncul. Keaaan enemik E muncul ketika R > an konisi p( ) > an q( ) > ipenuhi. Paa Gambar (b) terlihat bahwa untuk β yang lebih besar menjai β =.5, keaaan enemik E ini secara alami mulai tak stabil. Tetapi, menjai tak stabil untuk lebih besar. Paa Gambar (c) an () terlihat bahwa untuk nilai β yang sama besar, garis enemik titik tetap E tak stabil untuk semua nilai saat konisi untuk kestabilan p( ) > an q( ) > tiak ipenuhi. b. engan menggunakan nilai-nilai parameter µ =., σ =.4, σ =.3, r =.5, r =.8, an B =, hubungan inamika populasi antara, I I, N N N,, iperoleh paa N saat (a) =. 5 an β =. 75 ; (b) =. 6 an β =. 4 ; (c) =. 8 an β =. 8 ; () =.9 an β =.9, iilustrasikan paa Gambar 3(a) - 3() berikut. I

20 ,I,I,I 8 6 4,I,I,I t (a),i,i,i 8 6 4,I,I,I t (b) 3 4 t (c) 3 4 t Gambar 3. (a) inamika populasi ari keempat moel terhaap t engan =. 5 an β =. 75 (b) inamika populasi ari keempat moel terhaap t engan =. 6 an β =. 4 (c) inamika populasi ari keempat moel terhaap t engan =.8 an β =.8 () inamika populasi ari keempat moel terhaap t engan =.9 an β =.9 () Keterangan : : Populasi iniviu rentan : Populasi iniviu terinfeksi oleh penyakit utama : Populasi iniviu terinfeksi oleh penyakit tambahan : Populasi iniviu terinfeksi oleh keua penyakit Paa Gambar 3(a) terlihat bahwa secara biologis hanya populasi ari populasi iniviu rentan apat bertahan hiup an stabil. eangkan untuk populasi iniviu terinfeksi oleh penyakit utama, iniviu terinfeksi oleh penyakit tambahan an iniviu terinfeksi oleh keua penyakit banyaknya populasi akan menuju kepunahan. Paa Gambar 3(b) terlihat bahwa ketika meningkat menjai =. 6 an β menurun menjai β =. 4, secara biologis populasi iniviu rentan, iniviu terinfeksi oleh penyaki utama an iniviu terinfeksi oleh keua penyakit apat bertahan hiup. Akan tetapi terlihat bahwa populasi iniviu rentan menjai menurun an cenerung takstabil an menyebabkan titik tetap E takstabil an titik tetap E stabil mulai terlihat. Populasi iniviu terinfeksi oleh penyakit utama meningkat ibaningkan sebelumnya ikarenakan nilai yang meningkat pula. eangkan Populasi iniviu terinfeksi oleh penyakit tambahan banyaknya populasi menurun an cenerung akan menuju kepunahan. Paa Gambar 3(c) terlihat bahwa ketika an β meningkat menjai =.8 an β =.8, secara biologis populasi ari populasi iniviu terinfeksi oleh keua penyakit meningkat an menyebabkan titik tetap E menjai takstabil an keaaan coinfecte mulai terlihat stabil. eangkan untuk populasi iniviu rentan an iniviu terinfeksi oleh penyakit utama an iniviu terinfeksi oleh penyakit tambahan banyaknya populasi menurun an akan menuju kepunahan.

21 Paa Gambar 3() terlihat bahwa ketika an β meningkat menjai =.9 an β =.9, secara biologis populasi iniviu terinfeksi oleh keua penyakit meningkat an keaaan co-infecte stabil. eangkan untuk populasi iniviu rentan an iniviu terinfeksi oleh penyakit utama an iniviu terinfeksi oleh penyakit tambahan banyaknya populasi menurun an akan menuju kepunahan. ari ketiga titik tetap yang telah ibahas iatas, engan mengambil contoh nilai parameter yang berbea apat iketahui bagaimana aanya saling keterikatan ari masing-masing titik tetap tersebut alam menganalisis kestabilannya. Titik tetap E akan stabil jika R <, R <, an R 3 <. alam hal ini, setelah mensubstitusikan semua nilai parameter an sebagai parameter kontrol, maka iperoleh bahwa ketika nilai =.55, titik tetap E akan menjai tiak stabil an titik tetap E akan muncul untuk nilai.55. Ini akan terjai ketika salah satu R atau R 3 menjai lebih besar ari. engan menggunakan efinisi untuk R an R3 akan secara muah iperoleh bahwa jika σ + σ + µ + r β < σ + µ + r maka R > R3 an cukup mengikuti inamika paa R saja untuk memperoleh nilai terkecil ari yang mana E akan menjai takstabil. engan emikian titik tetap E akan menjai stabil paa saat titik tetap E menjai tak stabil an menghilang. eangkan untuk titik tetap E sama seperti titik tetap E, karena alam hal ini β yang ijaikan parameter kontrol.

22 3 IV IMPULAN ari analisis yang telah ilakukan terhaap moel ua penyakit enemik iperoleh tiga tipe titik tetap, yaitu titik tetap tanpa penyakit E an titik tetap enemik E an E. Analisis kestabilan titik tetap tersebut bergantung paa R, R an R 3 yang masingmasing menyatakan bilangan reprouksi asar ari penyakit utama, penyakit tambahan an keuanya. Titik tetap E beraa alam kestabilan ketika bilangan reprouksi asar kurang ari satu ( R < ) an titik tetap enemik E an E alam kestabilan ketika bilangan reprouksi asar lebih ari satu ( R > ), R = maks{ R, R, R 3}. ari simulasi yang telah ilakukan terhaap moel ua penyakit enemik iperoleh tiga tipe perilaku moel yaitu ketika hanya penyakit utama yang muncul,an ketika hanya penyakit tambahan atau keua penyakit (co-infecte) yang muncul. Konisi kestabilan populasi iniviu yang terinfeksi oleh penyakit utama berbaning lurus engan laju penularan efektif iniviu menjai terinfeksi oleh penyakit utama ( ).

23 4 AFTAR PUTAKA Anton H Aljabar Linear Elementer. Eisi ke-5. Pantur ilaban & I Nyoman usila, penerjemah. Jakarta: Erlangga. Blyuss KB, Kyrychko YN. 5. On a basic moel of a two-isease epiemic. Elsevier Applie Mathematics an Computation 6 : Chavez CC, Feng Z, Huang W.. On the Computation of R an its role on Global tability. Berlin: pringer- Verlag. Fisher. 99. Complex Variables. n eition. California: Wasworth & Brooks/Cole. Grimshaw R. 99. Nonlinear Orinary ifferensial Equations. Oxfor: Blackwell cientific Publications. Purcell EJ, Varberg.998. Kalkulus an Geometri Analisis. Jili. Eisi ke-5. I Nyoman usila, Bana Kartasasmita an Rawuh, penerjemah. Jakarta: Erlangga. trogatz H Nonlinear ynamics an Chaos: with Application to Physics, Biology, Chemestry, an Engeneering. Canaa: Aison-Wesley Publishing Company. ziarovszky F, Bahill AT Linear ystem Theory. n eition. Floria: CRC Press. Tu PNV ynamics ystems : An Introuction with Application in Economics an Biology. New York: pinger-verlag. Verhulst F. 99. Nonlinear ifferential Equation an ynamics ystems. Berlin: pinger-verlag.

24 L A M P I R A N 5

25 6 Lampiran Pembuktian Teorema Teorema. Misalkan ABC,, bilangan-bilangan real. Bagian real ari setiap nilai eigen persamaan karakteristik 3 p( λ) = λ + Aλ + Bλ+ C = aalah negatif jika an hanya jika ACpositif, an ΑΒ> C. Bukti : 3 ari persamaan p( λ) = λ + Aλ + Bλ+ C, maka a =, a = A, a = B, a3 = C an ai = jika i selainnya. Berasarkan kriteria Routh-Hurwitz, maka 3 bagian real ari setiap akar polinomial p( λ) = λ + Aλ + Bλ+ C aalah negatif jika an hanya jika M. M. M 3 positif, imana : M () = a = A = A> a a A C 3 M = AB C a = B = > () a a A C 3 3 = a = B = ABC C > M (3) a a A C 3 ari () maka iperoleh A > ari () maka iperoleh AB C > ari (3) maka iperoleh ABC C > yang apat iubah alam bentuk C( AB- C ) >, sehingga ari () iperoleh nilai C >. engan emikian iperoleh bahwa bagian real ari setiap akar polynomial 3 p( λ) = λ + Aλ + Bλ+ Caalah negatif jika an hanya jika A >, C > serta AB > C. Terbukti Lampiran Pembuktian Teorema Teorema. Misalkan ABCan,, bilangan-bilangan real. Bagian real ari setiap nilai eigen persamaan karakteristik 4 3 p( λ) = λ + Aλ + Bλ + Cλ+ = aalah negatif jika an hanya jika ACan, positif an ABC > C + A. Bukti : 4 3 ari persamaan p( λ) = λ + Aλ + Bλ + Cλ+,, maka a =, a = A, a = B, a3 = C, a4= an ai = jika i selainnya. Berasarkan kriteria Routh- 4 3 Hurwitz, maka bagian real ari setiap akar polinomial p( λ) = λ + Aλ + Bλ + Cλ+ aalah negatif jika an hanya jika M, M, M3, M 4 positif, imana : M () = a = A = A>

26 7 a a A C 3 M = = = AB C > () a a B a a a A C 3 5 M 3 = a a a4 = B = ABC A C > (3) a a A C 3 a a a a A C M 4 = = = ABC ( A C)> (4) a a3 a5 A C 4 a a a a B a a a B ari () maka iperoleh A > ari (3) an (4) iperoleh >. ari () an (3), maka apat itulis C( AB C) > A, karena ari iperoleh nilai C >. Persamaan (4) benar jika > an ABC > C + A. A> an AB -C >, sehingga engan emikian iperoleh bahwa bagian real ari setiap akar polynomial 3 p( λ) = λ + Aλ + Bλ+ Caalah negatif jika an hanya jika A >, C >, >. serta ABC > C + A. Terbukti Lampiran 3 Penurunan persamaan (6) (9) ubsitusikan persamaan (5) yaitu N = + I + I + I, ke persamaan () (4) berikut ini = B µ ( β ) I I β ( ) I βi βi + r I + r I + ri, () t N N N N N I I = ( β ) I + I ( σ + µ + r ) I β ( I I ), t N N + () N I I = β ( ) I + βi ( σ + µ + r ) I ( I I ), t N N + (3) N I I I I = ( + β ) + ( I + βi ) ( σ + σ + µ + r ) I + βi, (4) t N N N sehingga iperoleh persamaan (6) (9) sebagai berikut = B ( β) I I β( ) I t + I + I + I + I + I + I + I + I + I βi βi + ri + ri + ri, + I + I + I + I + I + I (6) I = ( β) I + I ( σ + µ + r ) I t + I + I + I + I + I + I I β ( I + I), + I + I + I (7) I = β( ) I + βi ( σ + µ + r ) I t + I + I + I + I + I + I I ( I + I), + I + I + I

27 8 I I I I = ( + β) + ( I + βi ) ( σ + σ + µ + r ) I t I I I I I I β I + I + I + I. (8) (9) Lampiran 4 Mencari titik tetap I engan mensubstitusikan I I = = = =, maka persamaan (6) (9) menjai t t t t B ( β) I I β( ) I + I + I + I + I + I + I + I + I + I βi βi + ri + ri + ri =, + I + I + I + I + I + I ( β) I + I ( σ + µ + r ) I + I + I + I + I + I + I I β ( I + I) =, + I + I + I β( ) I + βi ( σ + µ + r ) I + I + I + I + I + I + I I ( I + I) =, + I + I + I I I I I I r I + I + I + I + I + I + I + β I =. + I + I + I ( + β) + ( + β ) ( σ + σ + µ + ) Untuk konisi =, solusi tiak itemukan. Untuk konisi, an I =, I =, I = (keaaan bebas penyakit) iperoleh B =. µ Untuk konisi, an I, I =, I = persamaan () (3) menjai B I + ri =, + I I ( r) I, I σ + µ + = + () () () (3) (4) (5) ari persamaan (5) iperoleh

28 9 I = σ + µ + r I ( ) + I = ( + I)( σ + µ + r) = ( σ + µ + r) + I( σ + µ + r) ( σ r) = I( σ + µ + r) I( σ + µ + r) =. ( σ r) ubstitusikan ke persamaan (4), sehingga iperoleh I( σ + µ + r) I( σ + µ + r) ( σ r) B I + ri =, ( σ ) ( ) ( ) r I σ + µ + r + I σ r ( σ r) I( σ + µ + r) I( σ + µ + r) B I + ri =, ( σ r) I( σ + µ + r) + I( σ r) I( σ + µ + r) I( σ + µ + r) B I + ri =, ( σ r) I I( σ + µ + r) B I( σ + µ + r) + ri =, ( σ r) I( σ + µ + r) B I( σ + µ ) = µ, ( σ µ r) [ B I( σ + µ )]( σ r) = µ I( σ + µ + r) [ B( σ r) I( σ + µ )( σ r)] = µ I( σ + µ + r) B( σ r) = I( σ + µ )( σ r) + µ I( σ + µ + r) B( σ r) = [( σ + µ )( σ r) + µ ( σ + µ + r)] I B( σ r ) = [( σ r ) σ + ( σ r ) µ + µ ( σ + µ + r )] I B( σ r) = [( σ r) σ + µ ] I B( σ r) = ( σ σ σ rσ + µ ) I B( σ r) I = ( σ σ σ r σ + µ ) Karena persamaan yang iperoleh tai masih alam bentuk variabel I maka substitusikan kembali persamaan I ke persamaan sehingga iperoleh I( σ + µ + r) = ( σ r) B( σ r) ( σ ) + µ + r ( σ σ σ rσ + µ ) = ( σ r) B( σ + µ + r) = ( σ σ σ r σ + µ ) ehingga iperoleh nilai titik tetap yaitu I( σ + µ + r) B( σ r) E = (,,,), ( σ r ) ( σ σ σ r σ + µ ) Untuk konisi, an I, I =, I = persamaan () (3) menjai B βi + ri =, + I (6)

29 β I σ + µ + r I = ( ), + I ari persamaan (7) iperoleh βi = ( σ + µ + r ) I + I β = ( + I)( σ + µ + r) β = ( σ + µ + r) + I( σ + µ + r) ( β σ r) = I( σ + µ + r) I( σ + µ + r) =. ( β σ r) ubstitusikan ke persamaan (6), sehingga iperoleh I( σ + µ + r) I( σ + µ + r) ( β σ r) B βi + ri =, ( β σ ) ( ) ( ) r I σ + µ + r + I β σ r ( β σ r) I( σ + µ + r) I( σ + µ + r) B βi + ri =, ( β σ r) I( σ + µ + r) + I( β σ r) I( σ + µ + r) I( σ + µ + r) B βi + ri =, ( β σ r) β I I( σ + µ + r) B I( σ + µ + r) + ri =, ( β σ r) I( σ + µ + r) B I( σ + µ ) = µ, ( β σ µ r) [ B I( σ + µ )]( β σ r) = µ I( σ + µ + r) [ B( β σ r) I( σ + µ )( β σ r)] = µ I( σ + µ + r) B( β σ r) = I( σ + µ )( β σ r) + µ I( σ + µ + r) B( β σ r) = [( σ + µ )( β σ r) + µ ( σ + µ + r)] I B( β σ r) = [( β σ r) σ + ( β σ r) µ + µ ( σ + µ + r)] I B( β σ r) = [( β σ r) σ + βµ ] I B( β σ r) = ( βσ σ σ rσ + βµ ) I B( β σ r) I = ( βσ σ σ rσ + βµ ) Karena persamaan yang iperoleh tai masih alam bentuk variabel I maka substitusikan kembali persamaan I ke persamaan sehingga iperoleh I( σ + µ + r) = ( β σ r) B( β σ r) ( σ ) + µ + r ( βσ σ σ rσ + βµ ) = ( β σ r) B( σ + µ + r) = ( βσ σ σ r σ + βµ ) ehingga iperoleh nilai titik tetap yaitu I( σ + µ + r) B( β σ r) E = (,,,), ( β σ r ) ( βσ σ σ rσ + βµ ) ehingga ari semua konisi iperoleh tiga nilai titik tetap yaitu (7)

30 B E = (,,,), µ I ( σ + µ + r ) B( σ r ) E = (,,,), ( σ ) ( σ σ σ σ + µ ) r r I ( σ + µ + r ) B( β σ r ) E = (,,,), ( β σ ) ( βσ σ σ σ + βµ ) r r an Lampiran 5 Matriks Jacobi untuk persamaan (8) J ={ ij } untuk i =,,3, 4 an j =,,3, 4 engan, ( I+ I + I)( I+ I) = ( + I+ I + I) ( I+ I + I)( I + I I) β + ( + I+ I + I) ( + I ) + I ( + I I) β = + r ( + I+ I + I) I ( + I) ( + I+ I) β 3 = + r ( + I+ I + I) ( + I+ I) 4 = ( β) ( + I + I + I ) + I ( + I+ I + I) ( + I+ I) β( ) ( + I + I + I ) + βi ( + I+ I + I) ( + I+ I) β + r ( + I+ I + I) ( I( I + I) I( I + I + I) ) β = ( + I+ I + I) ( I+ I)( I+ I + I) + ( + I+ I + I) (( I + I)( + I + I) I) β = ( + I+ I + I) ( + I ) + ( σ ) + µ + r ( + I+ I + I) ( β) I βi ( + β) I 3 = ( + I + I + I ) (( + I ) I + ( + I + I ) ) β = 4 ( + I+ I + I) ( + I ) + ( + I + I + I ) ( I + I + I )( I + I I ) β = 3 ( + I + I + I) ( I + I) I + ( + I + I + I ) ( + I ) I + ( I + I I ) β = 3 ( + I + I + I) ( I + I )( + I + I ) = 33 ( + I + I + I) ( + I + I) β + ( σ ) + µ + r ( + I + I + I ) 34 = ( + I + I + I) I + β( )( + I ) + ( β + ) I ( I ( I + I ) + I ( I + I + I )) β = 4 ( + I + I + I) ( I + I) I ( + I + I + I) (( I + I )( + I + I ) I ) β = ( + I + I + I ) 4 ( + I) I + ( + I + I + I ) ( I + I )( + I + I ) = 43 ( + I + I + I) (( + I ) I I ) β + ( + I + I + I ) (( + I ) I + ( + I + I ) ) β = 44 ( + I + I + I) ( + I) I + ( σ ) + σ + µ + r ( + I + I + I )

31 Lampiran 6 Penurunan persamaan (4) R =, ( σ + µ + r) β R =, an ( σ + µ + r) β R3 =, ( σ + σ + µ + r) Perhatikan R an R 3, supaya keaaan lokal asimtotik stabil maka Rj <, j =,, 3. Untuk < µ + σ + r, maka β < µ + σ + σ + r β ( µ + σ + r) < ( µ + σ + σ + r) µ + σ + σ + r β < µ + σ + r et (J - λ I) = λ 3 4 λ 3 4 = λ Lampiran 7 Penurunan persamaan (6) λ λ ( λ) 33 λ λ 34 = λ λ ( λ)[ ( λ)(( 33 λ)( 44 λ) 3443) ] [( 33 λ)( 44 λ) 3443 ] = ( λ) ( λ)[( 33 λ)( 44 λ) 3443] [( 33 λ)( 44 λ) 3443 ] = [ ( λ) ( λ) ][( 33 λ)( 44 λ) 3443] = [ λ ( + ) λ+ ( )][ λ ( ) λ+ ( )] = [ λ ( ) λ + ( ) λ ( + ) λ + ( + )( ) λ ( + )( ) λ+ ( ) λ ( )( ) λ + ( )( )] = 4 3 [ λ ( ) λ + ( ) λ (( + )( ) + ( )( )) λ + ( )( )] =. 4 3 Misalkan λ + Aλ + Bλ + Cλ+ =, maka nilai A = ( ) B = ( ) C = (( + )( ) + ( )( )) = ( )( )

32 3 et (J - λ I) = λ 3 4 λ 4 = λ Lampiran 8 Penurunan persamaan (3) λ 4 44 λ ( λ) 3 33 λ λ 4 = 4 44 λ 4 44 λ ( λ) [( 33 λ)(( λ)( 44 λ) 44 )] + 3[ 3(( λ)( 44 λ) 44)] = ( λ) ( 33 λ)[( λ)( 44 λ) 44 ] 33[( λ)( 44 λ) 44 ] = [ ( λ) ( 33 λ) 33][( λ)( 44 λ) 44 ] = [ λ ( + 33) λ+ ( 33 33)][ λ ( + 44 ) λ+ ( )] = [ λ ( + 44 ) λ + ( ) λ ( + 33) λ + ( + 33)( + 44 ) λ ( + 33)( ) λ+ ( 33 33) λ ( + 44 )( 33 33) λ + ( 33 33)( )] = 4 3 [ λ ( ) λ + ( ) λ (( + 33)( ) + ( + 44 )( 33 33)) λ + ( 33 33)( )] = 4 3 Misalkan λ + Aλ + Bλ + Cλ+ =, maka nilai A = ( ) B = ( ) C = (( + 33)( 44 44) + ( + 44)( 33 33)) = ( )( ) Lampiran 9 Program Analisis kestabilan engan metoe Routh-Hurwitz Criterion untuk titik tetap E Clear[,β,µ,B,δ,δ,r,r,r3,s,i,i,i3] eqsatu=b-µs-(-β)i3s/(s+i+i+i3)-is/(s+i+i+i3)-β(- )i3s/(s+i+i+i3)-βis/(s+i+i+i3)- βi3s/(s+i+i+i3)+(ri)+(ri)+(r3i3); equa=(-β)i3s/(s+i+i+i3)+is/(s+i+i+i3)-(δ+µ+r)i- β(i+i3)i/(s+i+i+i3); eqtiga=β(-)i3s/(s+i+i+i3)+βis/(s+i+i+i3)-(δ+µ+r)i- (i+i3)i/(s+i+i+i3); eqempat=(+β)ii/(s+i+i+i3)+((i)+(βi))i3/(s+i+i+i3)- (δ+δ+µ+r3)i3+βi3s/(s+i+i+i3); linmatrix={{[eqsatu,s],[eqsatu,i],[eqsatu,i],[eqsatu,i3]},{ [equa,s],[equa,i],[equa,i],[equa,i3]},{[eqtiga,s],[eqti ga,i],[eqtiga,i],[eqtiga,i3]},{[eqempat,s],[eqempat,i],[eq empat,i],[eqempat,i3]}};

33 4 MatrixForm[linmatrix]//Fullimplify; ua=linmatrix/.{s (δ+µ+r)b/(-(δµ)+(µ)+(δ)-(δ)^- (rδ)),i (-δ-µ-r)b/(-(δµ)+(µ)+(δ)-(δ)^- (rδ)),i,i3 }; ua//matrixform; a=ua[[,]];a=ua[[,]];a3=ua[[,3]];a4=ua[[,4]];a=u a[[,]];a=ua[[,]];a3=ua[[,3]];a4=ua[[,4]];a3=ua[[3, ]];a3=ua[[3,]];a33=ua[[3,3]];a34=ua[[3,4]];a4=ua[[4,]];a4 =ua[[4,]];a43=ua[[4,3]];a44=ua[[4,4]]; A=-(a+a+a33+a44); B=(aa+aa33+aa44+aa33+aa44+a33a44-aa- a34a43); C=-((a+a)(a33a44-a34a43)+(a33+a44)(aa-aa)); =((aa)-(aa))((a33a44)-(a34a43)); stabilua = HA B CL HCL HHAL L > Lampiran Program Analisis kestabilan engan metoe Routh-Hurwitz Criterion untuk titik tetap E Clear[,β,µ,B,δ,δ,r,r,r3,s,i,i,i3] eqsatu=b-µs-(-β)i3s/(s+i+i+i3)-is/(s+i+i+i3)-β(- )i3s/(s+i+i+i3)-βis/(s+i+i+i3)- βi3s/(s+i+i+i3)+(ri)+(ri)+(r3i3); equa=(-β)i3s/(s+i+i+i3)+is/(s+i+i+i3)-(δ+µ+r)i- β(i+i3)i/(s+i+i+i3); eqtiga=β(-)i3s/(s+i+i+i3)+βis/(s+i+i+i3)-(δ+µ+r)i- (i+i3)i/(s+i+i+i3); eqempat=(+β)ii/(s+i+i+i3)+((i)+(βi))i3/(s+i+i+i3)- (δ+δ+µ+r3)i3+βi3s/(s+i+i+i3); linmatrix={{[eqsatu,s],[eqsatu,i],[eqsatu,i],[eqsatu,i3]},{ [equa,s],[equa,i],[equa,i],[equa,i3]},{[eqtiga,s],[eqti ga,i],[eqtiga,i],[eqtiga,i3]},{[eqempat,s],[eqempat,i],[eq empat,i],[eqempat,i3]}}; MatrixForm[linmatrix]//Fullimplify; tiga=linmatrix/.{s (δ+µ+r)b/(-(δµ)+(βµ)+(βδ)-(δ)^- (rδ)),i,i (β-δ-µ-r)b/(-(δµ)+(βµ)+(βδ)-(δ)^- (rδ)),i3 }; b=tiga[[,]];b=tiga[[,]];b3=tiga[[,3]];b4=tiga[[,4]];b =tiga[[,]];b=tiga[[,]];b3=tiga[[,3]];b4=tiga[[,4]];b3= tiga[[3,]];b3=tiga[[3,]];b33=tiga[[3,3]];b34=tiga[[3,4]];b4=ti ga[[4,]];b4=tiga[[4,]];b43=tiga[[4,3]];b44=tiga[[4,4]]; A=-(b+b+b33+b44) B=(bb+bb33+bb44+bb33+bb44+b33b44-bb- b34b43); C=-((b+b33)(bb44-b4b4)+(b+b44)(bb33-b3b3)); =((bb33)-(b3b3))((bb44)-(b4b4)); stabiltiga = HA B CL HCL HHAL L >

34 5 Lampiran Program untuk menentukan gambar kurva solusi p( ) an q( ) terhaap ( Gambar (a) - () ) Gambar (a) sysi Mathematica 6., ynpac.7, 8 / 6 / 9 β=.3; δ=.4; δ=.3; r=.5; r=.8; µ=.; r3=β(δ+µ+r)-(δ+δ+µ); R = Hδ+ µ+rl ; β R = Hδ+ µ+rl ; β R 3 = Hδ+ δ+ µ+r3l ; f@_ := β +β i j y z + i j y z + β ê; R k R { k R { R 3 g@_ := i j+ β y z+ i j^+ H βl i y j z + β H βl y z+ i j i y j z+ β y zê; k R { R k k R 3 { R { R 3 k k R { R { picture=plot[f[],{,,},axeslabel {"","f[]"},plotrange {-.5,},Plottyle {Thickness[.5]},Imageize 3]; picture=plot[g[],{,,},axeslabel {"","g[]"},plotrange {-.5,},Plottyle {Thickness[.]},Imageize 3]; how[picture,picture,plotrange {-.5,},AxesLabel {"","u,v"},axesorigin {,},Imageize 3,ispl ayfunction $isplayfunction] Gambar (b) sysi Mathematica 6., ynpac.7, 8 / 6 / 9 β=.5; δ=.4; δ=.3; r=.5; r=.8; µ=.; r3=β(δ+µ+r)-(δ+δ+µ); R = Hδ+ µ+rl ; β R = Hδ+ µ+rl ; β R 3 = Hδ+ δ+ µ+r3l ; f@_ := β +β i j y z + i j y z + β ê; R k R { k R { R 3 g@_ := i j+ β y z+ i j^+ H βl i y j z + β H βl y z+ i j i y j z+ β y zê; k R { R k k R 3 { R { R 3 k k R { R { picture=plot[f[],{,,},axeslabel {"","f[]"},plotrange {-.5,},Plottyle {Thickness[.5]},Imageize 3];

35 6 picture=plot[g[],{,,},axeslabel {"","g[]"},plotrange {-.5,},Plottyle {Thickness[.]},Imageize 3]; how[picture,picture,plotrange {-.5,},AxesLabel {"","u,v"},axesorigin {,},Imageize 3,ispl ayfunction $isplayfunction] Gambar (c) sysi Mathematica 6., ynpac.7, 8 / 6 / 9 β=.7; δ=.4; δ=.3; r=.5; r=.8; µ=.; r3=β(δ+µ+r)-(δ+δ+µ); R = Hδ+ µ+rl ; β R = Hδ+ µ+rl ; β R 3 = Hδ+ δ+ µ+r3l ; f@_ := β +β i j y z + i j y z + β ê; R k R { k R { R 3 g@_ := i j+ β y z+ i j^+ H βl i y j z + β H βl y z+ i j i y j z+ β y zê; k R { R k k R 3 { R { R 3 k k R { R { picture=plot[f[],{,,},axeslabel {"","f[]"},plotrange {-.5,},Plottyle {Thickness[.5]},Imageize 3]; picture=plot[g[],{,,},axeslabel {"","g[]"},plotrange {-.5,},Plottyle {Thickness[.]},Imageize 3]; how[picture,picture,plotrange {-.5,},AxesLabel {"","u,v"},axesorigin {,},Imageize 3,ispl ayfunction $isplayfunction] Gambar () sysi Mathematica 6., ynpac.7, 8 / 6 / 9 β=.8; δ=.4; δ=.3; r=.5; r=.8; µ=.; r3=β(δ+µ+r)-(δ+δ+µ); R = R = R 3 = Hδ+ µ+rl ; β Hδ+ µ+rl ; β Hδ+ δ+ µ+r3l ; f@_ := β +β i j y z + i j y z + β ê; R k R { k R { R 3 g@_ := i j+ β y z+ i j^+ H βl i y j z + β H βl y z+ i j i y j z+ β y zê; k R { R k k R 3 { R { R 3 k k R { R { picture=plot[f[],{,,},axeslabel {"","f[]"},plotrange {-.5,},Plottyle {Thickness[.5]},Imageize 3];

36 7 picture=plot[g[],{,,},axeslabel {"","g[]"},plotrange {-.5,},Plottyle {Thickness[.]},Imageize 3]; how[picture,picture,plotrange {-.5,},AxesLabel {"","u,v"},axesorigin {,},Imageize 3,ispl ayfunction $isplayfunction] Lampiran Program untuk menentukan gambar inamika populasi ( Gambar 3(a) - 3() ) Gambar 3(a) sysi Mathematica 6., ynpac.7, 8 / 4 / 9 B=;µ=.;δ=.4;δ=.3;r=.5;r=.8; =.5; β=.75; r3=β(δ+µ+r)-(δ+δ+µ).335 Off[General::spell] Off[General::spell] eq=s'[t] B-µs[t]-(-β)i3[t]s[t]/(s[t]+i[t]+i[t]+i3[t])- i[t]s[t]/(s[t]+i[t]+i[t]+i3[t])-β(- )i3[t]s[t]/(s[t]+i[t]+i[t]+i3[t])- βi[t]s[t]/(s[t]+i[t]+i[t]+i3[t])- βi3[t]s[t]/(s[t]+i[t]+i[t]+i3[t])+ri[t]+ri[t]+r3i3[t] ; eq=i'[t] (- β)i3[t]s[t]/(s[t]+i[t]+i[t]+i3[t])+i[t]s[t]/(s[t]+i[t]+i [t]+i3[t])-(δ+µ+r)i[t]- β(i[t]+i3[t])i[t]/(s[t]+i[t]+i[t]+i3[t]); eq3=i'[t] β(- )i3[t]s[t]/(s[t]+i[t]+i[t]+i3[t])+βi[t]s[t]/(s[t]+i[t]+i [t]+i3[t])-(δ+µ+r)i[t]- (i[t]+i3[t])i[t]/(s[t]+i[t]+i[t]+i3[t]); eq4=i3'[t] (+β)(i[t]+i[t])/(s[t]+i[t]+i[t]+i3[t])+(i[t]+ βi[t])i3[t]/(s[t]+i[t]+i[t]+i3[t])- (δ+δ+µ+r3)i3[t]+βi3[t]s[t]/(s[t]+i[t]+i[t]+i3[t]); solusi=nolve[{eq,eq,eq3,eq4,s[],i[].5,i[].5,i 3[] },{s[t],i[t],i[t],i3[t]},{t,,5}]; {a,b,c,}={s[t],i[t],i[t],i3[t]}/.flatten[solusi]; gambar=plot[a,{t,,5},axeslabel {"t","s"},axesorigin {,},Plo trange {,5},Plottyle {RGBColor[,,],Thickness[.]},Image ize 3] ; gambar=plot[b,{t,,5},axeslabel {"t","i"},axesorigin {,},Pl otrange {,5},Plottyle {RGBColor[,,],Thickness[.]},Image ize 3]; gambar3=plot[c,{t,,5},axeslabel {"t","i"},axesorigin {,},Pl otrange {,5},Plottyle {RGBColor[,,],Thickness[.]},Image ize 3]; gambar4=plot[,{t,,5},axeslabel {"t","i"},axesorigin {,},Pl otrange {,5},Plottyle {RGBColor[,,],Thickness[.]},Image ize 3];

37 8 how[gambar,gambar,gambar3,gambar4,plotrange {,5},AxesLabel {" t, ",I,I,I " },AxesOrigin {,},Imageize 3,isplayFunction $ isplayfunction] Gambar 3(b) sysi Mathematica 6., ynpac.7, 8 / 4 / 9 B=;µ=.;δ=.4;δ=.3;r=.5;r=.8; =.6; β=.4; r3=β(δ+µ+r)-(δ+δ+µ).4 Off[General::spell] Off[General::spell] eq=s'[t] B-µs[t]-(-β)i3[t]s[t]/(s[t]+i[t]+i[t]+i3[t])- i[t]s[t]/(s[t]+i[t]+i[t]+i3[t])-β(- )i3[t]s[t]/(s[t]+i[t]+i[t]+i3[t])- βi[t]s[t]/(s[t]+i[t]+i[t]+i3[t])- βi3[t]s[t]/(s[t]+i[t]+i[t]+i3[t])+ri[t]+ri[t]+r3i3[t] ; eq=i'[t] (- β)i3[t]s[t]/(s[t]+i[t]+i[t]+i3[t])+i[t]s[t]/(s[t]+i[t]+i [t]+i3[t])-(δ+µ+r)i[t]- β(i[t]+i3[t])i[t]/(s[t]+i[t]+i[t]+i3[t]); eq3=i'[t] β(- )i3[t]s[t]/(s[t]+i[t]+i[t]+i3[t])+βi[t]s[t]/(s[t]+i[t]+i [t]+i3[t])-(δ+µ+r)i[t]- (i[t]+i3[t])i[t]/(s[t]+i[t]+i[t]+i3[t]); eq4=i3'[t] (+β)(i[t]+i[t])/(s[t]+i[t]+i[t]+i3[t])+(i[t]+ βi[t])i3[t]/(s[t]+i[t]+i[t]+i3[t])- (δ+δ+µ+r3)i3[t]+βi3[t]s[t]/(s[t]+i[t]+i[t]+i3[t]); solusi=nolve[{eq,eq,eq3,eq4,s[],i[].5,i[].5,i 3[] },{s[t],i[t],i[t],i3[t]},{t,,5}]; {a,b,c,}={s[t],i[t],i[t],i3[t]}/.flatten[solusi]; gambar=plot[a,{t,,5},axeslabel {"t","s"},axesorigin {,},Plo trange {,5},Plottyle {RGBColor[,,],Thickness[.]},Image ize 3] ; gambar=plot[b,{t,,5},axeslabel {"t","i"},axesorigin {,},Pl otrange {,5},Plottyle {RGBColor[,,],Thickness[.]},Image ize 3]; gambar3=plot[c,{t,,5},axeslabel {"t","i"},axesorigin {,},Pl otrange {,5},Plottyle {RGBColor[,,],Thickness[.]},Image ize 3]; gambar4=plot[,{t,,5},axeslabel {"t","i"},axesorigin {,},Pl otrange {,5},Plottyle {RGBColor[,,],Thickness[.]},Image ize 3]; how[gambar,gambar,gambar3,gambar4,plotrange {,5},AxesLabel {" t, ",I,I,I " },AxesOrigin {,},Imageize 3,isplayFunction $ isplayfunction] Gambar 3(c) sysi Mathematica 6., ynpac.7, 8 / 4 / 9 B=;µ=.;δ=.4;δ=.3;r=.5;r=.8;

38 9 =.8; β=.8; r3=β(δ+µ+r)-(δ+δ+µ).36 Off[General::spell] Off[General::spell] eq=s'[t] B-µs[t]-(-β)i3[t]s[t]/(s[t]+i[t]+i[t]+i3[t])- i[t]s[t]/(s[t]+i[t]+i[t]+i3[t])-β(- )i3[t]s[t]/(s[t]+i[t]+i[t]+i3[t])- βi[t]s[t]/(s[t]+i[t]+i[t]+i3[t])- βi3[t]s[t]/(s[t]+i[t]+i[t]+i3[t])+ri[t]+ri[t]+r3i3[t] ; eq=i'[t] (- β)i3[t]s[t]/(s[t]+i[t]+i[t]+i3[t])+i[t]s[t]/(s[t]+i[t]+i [t]+i3[t])-(δ+µ+r)i[t]- β(i[t]+i3[t])i[t]/(s[t]+i[t]+i[t]+i3[t]); eq3=i'[t] β(- )i3[t]s[t]/(s[t]+i[t]+i[t]+i3[t])+βi[t]s[t]/(s[t]+i[t]+i [t]+i3[t])-(δ+µ+r)i[t]- (i[t]+i3[t])i[t]/(s[t]+i[t]+i[t]+i3[t]); eq4=i3'[t] (+β)(i[t]+i[t])/(s[t]+i[t]+i[t]+i3[t])+(i[t]+ βi[t])i3[t]/(s[t]+i[t]+i[t]+i3[t])- (δ+δ+µ+r3)i3[t]+βi3[t]s[t]/(s[t]+i[t]+i[t]+i3[t]); solusi=nolve[{eq,eq,eq3,eq4,s[],i[].5,i[].5,i 3[] },{s[t],i[t],i[t],i3[t]},{t,,5}]; {a,b,c,}={s[t],i[t],i[t],i3[t]}/.flatten[solusi]; gambar=plot[a,{t,,5},axeslabel {"t","s"},axesorigin {,},Plo trange {,5},Plottyle {RGBColor[,,],Thickness[.]},Image ize 3] ; gambar=plot[b,{t,,5},axeslabel {"t","i"},axesorigin {,},Pl otrange {,5},Plottyle {RGBColor[,,],Thickness[.]},Image ize 3]; gambar3=plot[c,{t,,5},axeslabel {"t","i"},axesorigin {,},Pl otrange {,5},Plottyle {RGBColor[,,],Thickness[.]},Image ize 3]; gambar4=plot[,{t,,5},axeslabel {"t","i"},axesorigin {,},Pl otrange {,5},Plottyle {RGBColor[,,],Thickness[.]},Image ize 3]; how[gambar,gambar,gambar3,gambar4,plotrange {,5},AxesLabel {" t, ",I,I,I " },AxesOrigin {,},Imageize 3,isplayFunction $ isplayfunction] Gambar 3() sysi Mathematica 6., ynpac.7, 8 / 4 / 9 B=;µ=.;δ=.4;δ=.3;r=.5;r=.8; =.9; β=.9; r3=β(δ+µ+r)-(δ+δ+µ).45 Off[General::spell] Off[General::spell] eq=s'[t] B-µs[t]-(-β)i3[t]s[t]/(s[t]+i[t]+i[t]+i3[t])- i[t]s[t]/(s[t]+i[t]+i[t]+i3[t])-β(- )i3[t]s[t]/(s[t]+i[t]+i[t]+i3[t])-

39 3 βi[t]s[t]/(s[t]+i[t]+i[t]+i3[t])- βi3[t]s[t]/(s[t]+i[t]+i[t]+i3[t])+ri[t]+ri[t]+r3i3[t] ; eq=i'[t] (- β)i3[t]s[t]/(s[t]+i[t]+i[t]+i3[t])+i[t]s[t]/(s[t]+i[t]+i [t]+i3[t])-(δ+µ+r)i[t]- β(i[t]+i3[t])i[t]/(s[t]+i[t]+i[t]+i3[t]); eq3=i'[t] β(- )i3[t]s[t]/(s[t]+i[t]+i[t]+i3[t])+βi[t]s[t]/(s[t]+i[t]+i [t]+i3[t])-(δ+µ+r)i[t]- (i[t]+i3[t])i[t]/(s[t]+i[t]+i[t]+i3[t]); eq4=i3'[t] (+β)(i[t]+i[t])/(s[t]+i[t]+i[t]+i3[t])+(i[t]+ βi[t])i3[t]/(s[t]+i[t]+i[t]+i3[t])- (δ+δ+µ+r3)i3[t]+βi3[t]s[t]/(s[t]+i[t]+i[t]+i3[t]); solusi=nolve[{eq,eq,eq3,eq4,s[],i[].5,i[].5,i 3[] },{s[t],i[t],i[t],i3[t]},{t,,5}]; {a,b,c,}={s[t],i[t],i[t],i3[t]}/.flatten[solusi]; gambar=plot[a,{t,,5},axeslabel {"t","s"},axesorigin {,},Plo trange {,5},Plottyle {RGBColor[,,],Thickness[.]},Image ize 3] ; gambar=plot[b,{t,,5},axeslabel {"t","i"},axesorigin {,},Pl otrange {,5},Plottyle {RGBColor[,,],Thickness[.]},Image ize 3]; gambar3=plot[c,{t,,5},axeslabel {"t","i"},axesorigin {,},Pl otrange {,5},Plottyle {RGBColor[,,],Thickness[.]},Image ize 3]; gambar4=plot[,{t,,5},axeslabel {"t","i"},axesorigin {,},Pl otrange {,5},Plottyle {RGBColor[,,],Thickness[.]},Image ize 3]; how[gambar,gambar,gambar3,gambar4,plotrange {,5},AxesLabel {" t, ",I,I,I " },AxesOrigin {,},Imageize 3,isplayFunction $ isplayfunction]