ISNN WAHANA Volume 68, Nomer 1, 1 Juni 2017 HUBUNGAN ANTARA DAERAH IDEAL UTAMA, DAERAH FAKTORISASI TUNGGAL, DAN DAERAH DEDEKIND

Transkripsi

1 HUBUNGAN ANTARA AERAH IEAL UTAMA, AERAH FATORISASI TUNGGAL, AN AERAH EEIN Eka Susilowati Fakultas eguruan an Ilmu Peniikan, Universitas PGRI Aibuana Surabaya Abstrak Setiap aerah ieal utama merupakan aerah faktorisasi tunggal, namun tiak berlaku sebaliknya Setiap aerah ieal utama merupakan aerah eekin, namun sebaliknya tiak berlaku Seangkan setiap aerah eekin bukan merupakan aerah faktorisasi tunggal, begitu pula tiak berlaku sebaliknya Hubungan ekuivalensi antara aerah ieal utama an aerah faktorisasi tunggal apat berlaku jika iberikan syarat cukup paa aerah faktorisasi tunggal Syarat cukup yang iberikan paa aerah faktorisasi tunggal aalah aerah faktorisasi tunggal tersebut merupakan aerah eekin Selanjutnya, hubungan ekuivalensi aerah ieal utama an aerah eekin apat berlaku jika iberikan pula syarat cukup paa aerah eekin Jika merupakan aerah eekin maka juga merupakan aerah faktorisasi tunggal jika iberikan pula syarat cukup paa aerah eekin ata kunci: aerah eekin, aerah faktorisasi tunggal, aerah ieal utama, gelanggang bilangan bulat 1 PENAHULUAN Para matematikawan i aba ke 19 mengarah ke pertanyaan jika sifat ketunggalan faktorisasi yang berlaku untuk himpunan bilangan bulat apakah juga apat berlaku untuk struktur himpunan yang lebih umum, yaitu gelanggang bilangan bulat alam lapangan bilangan aljabar Paa tahun 1844, ummer menunjukkan bahwa hal itu tiak berlaku secara umum Selama tiga tahun, ummer meneliti bahwa faktorisasi alam gelanggang bilangan bulat mungkin berlaku, jika merupakan elemen ari ieal paa gelanggang bilangan bulat, yang isebut bilangan ieal (ieal number) Penelitian ummer iseerhanakan an ilanjutkan oleh eekin eekin menemukan konsep ieal alam gelanggang Paa tahun 1871, Richar eekin ( ) membuktikan bahwa alam gelanggang bilangan bulat, setiap ieal sejati taknol apat ifaktorkan secara tunggal sebagai hasil kali ieal prima Apabila iabstraksi, gelanggang bilangan bulat merupakan aerah integral aerah integral 13 engan sifat ini ikenal engan aerah eekin alam penelitian selanjutnya yang ilakukan Emmy Noether, menemukan beberapa aksioma untuk gelanggang yang ipenuhi oleh gelanggang bilangan bulat ari lapangan bilangan aljabar Hal tersebut selanjutnya mengarah paa karateristik aerah eekin Emmy Noether ( ) menunjukkan bahwa karakteristik aerah eekin yaitu memenuhi Aksioma Noether, yaitu : 1 Setiap ieal ibangun secara berhingga Setiap ieal prima tak nol merupakan ieal maksimal 3 aerah integral bersifat tertutup secara integral arakteristik aerah eekin yang ikemukan Emmy Noether yang nantinya igunakan sebagai efinisi aerah eekin arakteristik yang imaksu i sini bahwa aerah eekin memiliki sifat aerah integral yang merupakan gelanggang Noetherian, tertutup secara integral alam lapangan hasil baginya, an ieal prima tak nol i alamnya merupakan ieal maksimal

2 alam perkembangan selanjutnya, para peneliti menemukan bahwa karakteristik aerah eekin juga imiliki aerah ieal utama Penelitian sebelumnya telah ibuktikan bahwa aa hubungan searah bahwa aerah ieal utama merupakan aerah eekin, namun bagaimana sebaliknya Hal ini membangkitkan keingintahuan para peneliti mengenai hubungan ekuivalensi aerah ieal utama an aerah eekin Paa penelitian sebelumnya, telah iuraikan hubungan aerah ieal utama an aerah faktorisasi tunggal ari hal tersebut, perlu iperhatikan kembali salah satu peta jalan penelitian yang iusulkan aalah mengenai hubungan ekuivalensi aerah ieal utama an aerah eekin engan aanya keterkaitan aerah ieal utama an aerah faktorisasi tunggal serta aerah ieal utama an aerah eekin, mengarahkan para peneliti bagaimana hubungan ekuivalensi aerah faktorisasi tunggal an aerah eekin alam penelitian mengenai hubungan ekuivalensi antara aerah ieal utama an aerah eekin, aerah faktorisasi tunggal an aerah eekin memiliki kemungkinan tiak berlaku Apabila ugaan tersebut terjai, hal yang harus itunjukkan ketika suatu hubungan ekuivalensi antara ua struktur aljabar tiak berlaku aalah engan mencari contoh penyangkalnya Secara garis besar, penelitian yang iusulkan ini aalah menghubungkan antara aerah eekin an aerah ieal utama arena aanya hubungan antara aerah ieal ieal utama an aerah faktorisasi tunggal, maka ilanjutkan bagaimana hubungan antara aerah eekin an aerah faktorisasi tunggal METOE PENELITIAN alam penelitian ini, efinisi aerah ieal utama yang igunakan aalah aerah integral yang setiap ieal i alamnya merupakan ieal utama Selain itu, yang imaksu, aerah faktorisasi tunggal aalah aerah integral yang memenuhi ua aksioma, yaitu setiap p {0} bukan unit apat inyatakan sebagai hasil kali sejumlah berhingga elemen ireusibel an jika p1, p,, p r an 14 q1, q,, q s ua macam faktorisasi ari suatu elemen engan elemen p r s p, q ireusibel maka, an apabila perlu engan mengubah urutan, iperoleh berasosiasi engan q i i i p i Pembahasan mengenai aerah ieal utama an aerah faktorisasi tunggal apat iperoleh iantaranya alam buku Hungerfor [5] Hungerfor [5] alam bukunya menyatakan bahwa setiap aerah ieal utama merupakan aerah faktorisasi tunggal Sifat ini tiak berlaku sebaliknya engan memberikan contoh penyangkal Berikut teorema yang menjelaskan hubungan aerah ieal utama an aerah faktorisasi tunggal alam buku Hungerfor [5] Teorema 1 Setiap aerah ieal utama merupakan aerah faktorisasi tunggal Hungerfor juga memberikan contoh penyangkal bahwa tiak setiap aerah faktorisasi tunggal merupakan aerah ieal utama alam hal ini, peneliti telah membahas alam penelitiannya yang merupakan topik ketika menempuh program sarjana alam perkembangannya, Stein [11] memberikan efinisi aerah eekin bahwa aerah integral yang mempunyai karakteristik gelanggang Noetherian, tertutup secara integral alam lapangan hasil baginya, an setiap ieal prima tak nol i alamnya merupakan ieal maksimal engan menggunakan efinisi yang iusulkan Stein [11], terlihat hubungan antara aerah ieal utama an aerah eekin Teorema Setiap aerah ieal utama merupakan aerah eekin Hubungan sebaliknya Teorema yang ikemukakan alam buku Ghorpae [4] memberikan contoh penyangkal yang membuktikan bahwa ugaan hubungan ekuivalensi antara aerah ieal utama an aerah eekin tiak berlaku Begitu pula hubungan antara aerah eekin an aerah faktorisasi tunggal apakah terjai

3 hubungan ekuivalensi i antara keuanya alam buku Bosman [1] telah memberikan contoh penyangkal ugaan hubungan ekuivalensi tiak berlaku ari hasil penelitian sebelumnya, telah ibuktikan bahwa hubungan ekuivalensi antara aerah ieal utama an aerah faktorisasi tunggal tiak berlaku alam Osserman [8], Chow [3], Milne [6] an Bosman [] memberikan syarat cukup agar hubungan ekuivalensi arah ieal utama an aerah faktorisasi tunggal apat berlaku Proposisi 3 [5] iberikan aerah eekin aerah ieal utama jika an hanya jika aerah faktorisasi tunggal i alam buku Milne [6] juga memberikan syarat cukup agar hubungan ekuivalensi antara aerah eekin an aerah ieal utama berlaku Lemma 4 [6] iberikan aerah eekin engan beberapa ieal maksimal berhingga merupakan aerah eekin jika an hanya jika merupakan aerah ieal utama Berasarkan Proposisi 3 an Lemma 4, karena belum ibahas syarat cukup ugaan hubungan ekuivalensi aerah eekin an aerah faktorisasi tunggal, maka iteliti syarat cukup yang iberikan agar hubungan ekuivalensi antara aerah eekin an aerah faktorisasi tunggal apat berlaku 3 ASAR TEORI Proposisi 31 [5] Jika aalah aerah ieal utama, maka setiap ieal prima tak nol I aalah ieal maks]mal Proposisi 3 [5] Setiap aerah ieal utama merupakan gelanggang Noetherian efinisi 33 [6] aerah integral R ikatakan tertutup secara integral i alam lapangan hasil bagi S, jika untuk setiap i alam lapangan hasil bagi S an merupakan akar ari polinomial 15 f [ x] monik maka, sehingga tertutup secara integral alam lapangan hasil bagi Proposisi 34[5] iberikan aerah integral an aalah lapangan hasil bagi ari Jika aerah faktorisasi tunggal maka tertutup secara integral Jika aerah ieal utama maka tertutup secara integral efinisi 35 [11] aerah integral isebut aerah eekin (eekin omain) jika gelanggang Noetherian, tertutup secara integral alam lapangan hasil baginya, an ieal prima tak nol ari merupakan ieal maksimal Proposisi 36 [11] Setiap aerah ieal utama aerah eekin merupakan 4 HASIL AN PEMBAHASAN 41 Hubungan Antara aerah Ieal Utama an aerah eekin efinisi 41 [5] iberikan merupakan lapangan perluasan ari Elemen isebut bilangan bulat aljabar (algebraic integer) jika integral atas, yaitu jika merupakan akar ari suatu polinomial monik engan koefisien alam Proposisi 4 [5] Himpunan yang memuat semua bilangan bulat aljabar merupakan gelanggang, yaitu penjumlahan an perganaan ua bilangan bulat aljabar juga merupakan bilangan bulat aljabar efinisi 43 [5] iberikan lapangan perluasan ari Lapangan ikatakan number fiel jika merupakan lapangan perluasan ari engan erajat berhingga efinisi 44 [6] Gelanggang bilangan bulat (ring of integer) ari number fiel aalah gelanggang yang teriri ari elemen - elemen yang merupakan

4 irisan ari berikut : an, inotasikan sebagai O { x x aalah bilangan aljabar} Sebagai contoh, lapangan merupakan number fiel engan erajat 1 Gelanggang bilangan bulat ari aalah efinisi 45[5] Bilangan bulat inamakan square - free integer, jika untuk setiap bilangan prima seemikian sehingga Apabila iberikan maka karena monik x p p tiak membagi habis square - free integer, merupakan bilangan bulat aljabar merupakan akar ari polinomial engan koefisien alam Lebih lanjut, minimal polinomial ari aalah x, yang mempunyai akar Biasanya, bilangan bulat aljabar alam inamakan bilangan bulat kuaratik Berikut akan iberikan efinisi bilangan bulat kuaratik beserta contohnya efinisi 46 [5] iberikan lapangan engan square - free integer Elemen inamakan bilangan bulat kuaratik (quaratic integer), jika r s engan rs, merupakan bilangan bulat aljabar alam lapangan O ( ) ( ) Lemma 49 [1] Jika merupakan number fiel maka gelanggang tertutup secara integral Proposisi 410 [1] iberikan gelanggang bilangan bulat Ieal prima tak nol ari maksimal merupakan ieal Proposisi 411 [1] Jika merupakan gelanggang number (number ring) an I ieal tak nol alam maka gelanggang hasil bagi berhingga Akibat 4,1 [1] Gelanggang bilangan bulat gelanggang Noetherian O, / I merupakan Proposisi 413[1,5] Gelanggang ( 5) bukan merupakan aerah ieal utama Berasarkan Proposisi 36, setiap aerah ieal utama merupakan aerah eekin Namun sebaliknya tiak berlaku Contoh penyangkalnya aalah ( 5) Berasarkan Teorema 48, ( 5) merupakan Paahal merupakan aerah eekin Namun, Proposisi 413 menunjukkan bahwa ( 5) bukan aerah ieal utama, Contoh 47 [5] alam 5, 1 5 aalah bilangan bulat kuaratik karena 1 5 merupakan akar ari suatu polinomial monik x x 6 0 engan koefisien alam Teorema 48 [5] iberikan lapangan perluasan berhingga ari engan square - free integer alam hal ini, 0mo 4 Jika mo4 atau 3mo 4 maka 16 4 Hubungan Antara aerah Faktorisasi Tunggal an aerah eekin Hubungan selanjutnya yang akan ipaparkan aalah antara aerah faktorisasi tunggal engan gelanggang eekin ( 5) bukan merupakan aerah faktorisasi tunggal, karena faktorisasi suatu elemen alam ( 5) tiaklah tunggalhal ini berarti elemen alam ( 5) apat inyatakan lebih ari satu faktorisasi elemen - elemen tak tereuksi, namun elemen tak tereuksi tersebut tiaklah saling berasosiasi

5 Salah satu contoh gelanggang bilangan bulat aalah ( 5) ( 5) emikian emikian, himpunan merupakan salah satu contoh aerah eekin Jai contoh penyangkal bahwa aa aerah eekin yang bukan merupakan aerah faktorisasi tunggal aalah ( 5) [ xy ] Himpunan merupakan aerah faktorisasi tunggal, tetapi bukan merupakan aerah ieal utama Paa proposisi sebelumnya, telah ijelaskan bahwa setiap aerah ieal utama merupakan aerah eekin arena bukan merupakan aerah ieal utama, maka [ xy ] bukan aerah eekin engan emikian, jika merupakan aerah faktorisasi tunggal, maka belum tentu merupakan aerah eekin [ xy ] 43 Syarat Cukup Hubungan Ekuivalensi Antara aerah Ieal Utama, aerah Faktorisasi Tunggal, an aerah eekin Proposisi 61 [,3,6,8] iberikan merupakan aerah eekin merupakan aerah ieal utama jika an hanya jika aerah faktorisasi tunggal Proposisi 6 [6] iberikan aerah integral engan hanya memiliki beberapa ieal prima yang berhingga, maka merupakan aerah eekin jika an hanya jika aerah ieal utama Berasarkan Proposisi 61 an Proposisi 6, apat itunjukkan bahwa aerah eekin merupakan aerah faktorisasi tunggal jika memenuhi suatu syarat cukup, sebagaimana ijelaskan alam akibat berikut : Akibat 63 Jika aerah eekin engan hanya memiliki beberapa ieal prima yang berhingga, maka merupakan aerah faktorisasi tunggal 5 ESIMPULAN AN SARAN 51 esimpulan Secara garis besar, i alam penelitian 17 ini apat isimpulkan bahwa 1 Tiak berlaku hubungan ekuivalensi aerah ieal utama an aerah eekin Tiak berlaku hubungan ekuivalensi antara aerah faktorisasi tunggal an aerah eekin 3 Aanya syarat cukup bahwa aerah faktorisasi tunggal merupakan aerah eekin mengakibatkan hubungan ekuivalensi aerah faktorisasi tunggal an aerah ieal utama 4 Aanya syarat cukup aerah eekin memiliki beberapa ieal prima yang berhingga mengakibatkan hubungan ekuivalensi aerah eekin an aerah ieal utama 5 Penulis mengaitkan kesimpulan nomor 3 an 4 sehingga iperoleh akibat bahwa aanya syarat cukup ketika aerah eekin memiliki beberapa ieal prima yang berhingga maka merupakan aerah faktorisasi tunggal 5 Saran alam penelitian selanjutnya, iteliti syarat cukup agar jika merupakan aerah faktorisasi tunggal maka merupakan aerah eekin 6 REFERENSI [1] Baker, M, 006, Algebraic Number Theory Course Notes (Fall 006), Georgia Institute of Thechnology, Atlanta, USA [] Bosman, Johan, 011, Algebraic Number Theory, Bounyer [3] Chow, Sam, 011, Thesis : An Introuction ri Algebraic Number Theory, an the Class Number Formula, University of Melbourne, Australia [4] Ghorpae, S R, 00, Lecture on Topics in Algebraic Number Theory, Inian Institute of Technology Bombay, Inia

6 [5] Hungerfor, TW, 1996, Abstract Algebra : An Introuction, Sauners College Publishing [6] Milne, JS, 009, Algebraic Number Theory, New Zealan [7] Murty, R, 004, Problem in Algebraic Number Theory : Secon Eition, Springer [8] Osserman, B, 011, Algebraic Number Theory, Bouyer [9] Salustri, F,011, Generalize eekin omain, Universita egli Stui [10] Stein, W, 005, Introuction to Algebraic Number Theory, William Stein [11] Stein W, 01, Algebraic Number Theory, A Computational Approach, William Stein 18