METODE REDUKSI UKURAN PADA MASALAH PENUGASAN KUADRATIK SIMETRIS (Size Reduction Method over Simmetric Quadratic Assignment Problem (SQAP))

Transkripsi

1 METOE REUKSI UKURAN PAA MASALAH PENUGASAN KUARATIK SIMETRIS (Size Reduction Method over Simmetric Quadratic Assignment Problem (SQAP)) aturiyati 1 1 Staf Pengaar Jurusan Pendidikan Matematika MIPA UNY wcaturiyati@yahoocom Abstrak Masalah penugasan kuadratik simetris (SQAP) merupakan suatu optimisasi masalah penugasan N fasilitas ke N lokasi dengan setiap ( i k) fasilitas akan ditugaskan pada ( n) lokasi i k n B i k n N dan masing-masing hanya melaksanakan satu tugas Masalah SQAP adalah masalah menentukan total biaya penugasan seekonomis mungkin alam paper ini akan didiskusikan suatu metode yang mereduksi matriks biaya berukuran N N menadi berukuran ( N 1) ( N 1) Kata-kata kunci: masalah penugasan kuadratik simetris metode reduksi ukuran 1 Pendahuluan Masalah penugasan kuadratik (QAP) merupakan masalah optimisasi yang dapat diumpai pada berbagai bidang ilmu seperti ekonomi riset operasi dan teknik [1] Masalah ini merupakan masalah penugasan N fasilitas ke N lokasi tertentu yang meminimumkan biaya kuadratik total QAP menadi bagian dari masalah NP-complete dan dipandang sebagai suatu masalah yang paling sulit diselesaikan Strategi-strategi penyelesaian eksak (exact solution) besar kemungkinan untuk gagal kecuali untuk kasus kecil ( N 20) Sehingga banyak dikembangkan metode-metode heuristic Salah satu metode eksak yang digunakan untuk menyelesaikan masalah QAP adalah metode Branch and Bound [2] dan [3] Paper ini tidak akan membahas optimisasi masalah QAP Namun akan membahas suatu metode untuk memperkecil ukuran matriks biaya yang ada pada masalah QAP simetris yang akan memperkecil ukuran matriks arus dan matriks arak yaitu metode reduksi ukuran 2 ormulasi masalah QAP Suatu masalah penugasan linear (Linear Assignment Problem / LAN) merupakan suatu masalah yang dlustrasikan dalam contoh sederhana sebagai berikut Andaikan seorang manaer perusahaan X menginginkan dua orang karyawannya untuk menyelesaikan dua macam tugas dalam waktu (hari) yang seminimum mungkin setiap karyawan harus menyelesaikan satu tugas saa Jika karyawan A dapat menyelesaikan tugas 1 dalam 3 hari tugas 2 dalam 5 hari sedangkan karyawan B dapat menyelesaikan tugas 1 dalam 4 hari tugas 2 dalam 2 hari Maka kedua tugas dapat selesai dalam 3 hari dengan karyawan A mengerakan tugas 1 dan karyawan B mengerakan tugas 2 efinisi masalah QAP adalah menempatkan N fasilitas terhadap N lokasi tertentu dengan setiap pasangan fasilitas ( i k) arus komoditasnya dinotasikan dengan f ( i k) diketahui dan untuk setiap pasangan lokasi ( n) araknya dinotasikan dengan d ( n) uga diketahui Biaya transportasi antara

2 fasilitas i dan k dengan fasilitas i ditugaskan ke lokasi dan fasilitas k ditugaskan ke lokasi n didefinisikan sebagai berikut f ( i k) d( n) f ( k i) d( n ) dengan tuuan mencari penugasan yang umlah biaya transportasinya seminimum mungkin ormulasi umum suatu masalah QAP didefinisikan sebagai berikut: 4 iberikan N koefisien biaya 0 penyelesaian N N ( k n N) ikn i yang akan menentukan suatu matriks U [ u ab ] (1) an disebut dengan penugasan dan akan meminimumkan fungsi biaya R U) ikn ui u ikn ( (2) Terhadap kendala-kendala pada U u 01 ( N) i kn i (3) N u i i1 N u i 1 1 ( N) (4) 1 ( i N) (5) 3 Matriks-matriks pada QAP ari definisi masalah QAP dapat ditentukan matriks-matriks berikut: (i) Matriks arus komoditas berukuran N N dengan entri-entri matriks adalah ik f ( i k) () Matriks arak berukuran N N dengan entri-entri matriks adalah n d( n) 2 (i) Matriks biaya berupa matriks blok berukuran N 2 N dengan entri-entri matriks adalah f ( i k) d( n) i k n B i k n N ikn ik n Sebagai ilustrasi diambil N 3 diperoleh : matriks arus komoditas matriks arak dan matriks biaya

3 = Perhatikan bahwa suatu penugasan hanya boleh dilakukan dari satu fasilitas ke satu lokasi Sehingga pada matriks sub blok i misal 21 f ( 21) d(21 ) berarti terdapat biaya transportasi antara fasilitas 2 dan fasilitas 1 berupa 21 penugasan fasilitas 2 ke lokasi 2 dan fasilitas 1 ke lokasi 1 Hal ini bermakna sebab penugasan dilakukan dari satu fasilitas ke satu lokasi Sedangkan pada f ( 21) d(22) berarti biaya transportasi antara fasilitas 2 dan fasilitas 1 berupa penugasan fasilitas 2 ke lokasi 2 dan fasilitas 1 ke lokasi 2 menadi tidak bermakna sebab terdapat penugasan dari satu fasilitas ke dua lokasi berbeda Sehingga dapat dihilangkan dari matriks emikian uga dengan beberapa entri dari matriks yang tidak bermakna uga dihilangkan dari matriks Secara umum agar mempunyai makna maka i harus sama dengan k secara sama ik i agar mempunyai makna maka harus sama dengan n Yaitu agar satu fasilitas dapat iin n ditugaskan ke hanya satu lokasi Sehingga diperoleh matriks yang lebih bermakna setelah beberapa entri tidak bermakna dihilangkan yang ditandai dengan = (1)

4 = (2) Berikut ini didefinisikan matriks biaya linear L berukuran N N dengan L i i N ii yaitu biaya menempatkan fasilitas i ke lokasi isebut biaya linear sebab hanya satu fasilitas yang ditugaskan ke suatu lokasi Ketika dua fasilitas secara bersamaan ditugaskan ke lokasi yang berbeda maka biaya yang berkaitan disebut dengan biaya quadratic Sebagai ilustrasi matriks biaya linear pada N 3 yang telah diabarkan sebelumnya L 21 (3) 31 engan bermakna biaya transportasi penugasan dari fasilitas 2 ke lokasi 3 4 Metode Reduksi Ukuran Pada bagian ini akan dibahas mengenai metode memperkecil ukuran matriks biaya yang diharapkan dapat mempersingkat alannya penyelesaian masalah QAP yaitu metode reduksi ukuran Untuk mempermudah pemahaman dan penyampaian diambil N 3 Yang diharapkan dapat memberi gambaran dari teorema berikutnya yang masih berupa suatu conecture iberikan matriks arus komoditas matriks arak dan matriks biaya yang secara lengkap seperti pada (1) dan (2) iasumsikan matriks arus berukuran arak berukuran N N N N uga merupakan matriks simetri 0 merupakan suatu matriks simetri matriks atau 0 untuk setiap i N iasumsikan pula penugasan awal adalah penugasan dari fasilitas 1 ke lokasi 1 yang berakibat

5 yaitu 1k 2n n B k dan k n 3 berupa biaya transportasi penugasan dari fasilitas 1 ke lokasi 2 dan dari fasilitas k ke lokasi n menadi tidak bermakna emikian pula dengan Sehingga dapat dihilangkan dari matriks ditandai dengan Perhatikan sub blok matriks berupa biaya transportasi penugasan dari fasilitas 1 ke lokasi 1 dan dari fasilitas 1 ke lokasi 2 yaitu terdapat penugasan dari satu fasilitas ke dua lokasi yang berbeda sehingga menadi tidak bermakna dan dapat dihilangkan dari matriks ditandai dengan emikian pula dengan matriks Sehingga diperoleh Secara sama untuk dan sehingga diperoleh dan dapat dihilangkan dari dan 31 Secara keseluruhan matriks biaya menadi =

6 = Karena penugasan awal adalah dari fasilitas 1 ke lokasi 1 maka di dalam literatur QAP disebut menadi superleader Sedangkan entri-entri yang lain pada matriks biaya menadi entri pada matriks biaya linear ' L dengan ' ' L yang berukuran ( 1) ( N 1) N = 2 2 Namakan L adalah total biaya penugasan dari fasilitas 2 ke lokasi 2 adalah total biaya penugasan dari fasilitas 2 ke lokasi 3 adalah total biaya penugasan dari fasilitas 3 ke lokasi 2 dan adalah total biaya penugasan dari fasilitas 3 ke lokasi 3 Sehingga diperoleh dan Yaitu matriks biaya linear L ' = Pada matriks L ' entri L '( i1)( 1) adalah biaya-biaya dari penugasan fasilitas 1 ke lokasi 1 dan dari fasilitas i ke lokasi dengan 2 i N 3 Hal ini hampir sama dengan definisi matriks biaya linear original dengan Li menotasikan biaya transportasi penugasan fasilitas i ke lokasi Namun dalam maslah ini ditambahkan biaya transportasi penugasan dari fasilitas 1 ke lokasi 1 yang sudah termasuk di dalam matriks biaya linear L ' Perhatikan entri-entri matriks biaya linear L ' 2 i N 3 ( i1)( 1) 1i 1 i1 1 Berdasarkan asumsi di awal yaitu dan matriksmatriks simetri sehingga berlaku 1 dan asumsi bahwa 0 atau 0 sehingga i 1 1 i1 berlaku 0 Sehingga ( i 1)( 1) i1 Berdasrkan hal tersebut ika diambil ' ( i 1)( i1) i dan ' ( 1)( 1) 1 2 N 3 ( 2 1 i maka diperoleh i 1)( 1) 1i = ( i1)( i1) ' '( 1)( 1) Sedangkan entri lain pada dan ditentukan dengan elemen-elemen pada matriks biaya karena elemenelemen tersebut harus masuk di dalam matriks biaya yang baru

7 2 iperoleh ' dan ' 2 Teorema (onecture hoi [4]) Jika suatu masalah QAP berukuran berikut: (i) matriks arus () dan matriks arak () adalah matriks-matriks simetris () 0 dipenuhi ika 0 atau 0 untuk setiap i N maka ukuran masalah QAP dapat direduksi menadi ( 1) ( N 1) 5 Simpulan dan Saran Simpulan: N N N memenuhi dua kondisi 1 Metode reduksi ukuran hanya memperkecil ukuran matriks dari N N menadi ( N 1) ( N 1) 2 Jika diambil penugasan awal adalah menugaskan N fasilitas ke N lokasi N maka masalah QAP menadi menugaskan ( N 1) fasilitas ke ( N 1) lokasi tepatnya ika menugaskan fasilitas 1 2 N ke lokasi 1 2 N menadi menugaskan fasilitas 2 3 N ke lokasi 2 3 N 3 Jika diasumsikan dan matriks-matriks simetri sehingga berlaku i 11 1 i1 dan Saran: asumsi bahwa 0 atau 0 sehingga berlaku 0 maka metode reduksi ukuran dapat digeneralisasi seperti pada Teorema yaitu suatu fasilitas dapat ditugaskan ke sebarang lokasi Paper ini masih terbatas pada N 3 belum diperumum dan belum menggunakan program komputer sehingga pembaca dapat membahas untuk N yang tidak tertentu sehingga dapat membuktikan conecture yang ada serta dapat menggunakan program komputer sehingga dapat melakukan simulasi aftar Pustaka [1] Hahn P and Grant T 1998 Lower Bounds for the Quadratic Assignment Problem Based Upon a ual ormulation Opertaion Research Vol 46 No 6 diakses pada tanggal 3 esember 2008 [2] Hahn P Grant T and Hall N 1998 A Branch-and-Bound Algorithm for the Quadratic Assignment Problem Based on the Hungarian Method European Journal of Operational Research

8 diakses pada tanggal 3 esember 2008 [3] Hahn P Hightower W Johnson T Spielberg MG and Roucairol 2001 Tree Elaboration Strategies in Branch-and-Bound Algorithms for solving the Quadratic Assignment Problem Yugoslav Journal of Opertaion Research Vol No 1 diakses pada tanggal 3 esember 2008 [4] hoi 2003 Quadratic Assignment Problems (QAP) and its Size Reduction Method Math Journal Vol 4 No 1 diakses pada tanggal 3 esember 2008