ANALISIS MODEL SIR PENYEBARAN DEMAM BERDARAH DENGUE MENGGUNAKAN KRITERIA ROUTH-HURWITZ ABSTRACT

Transkripsi

1 ANALISIS MODEL SIR PENYEBARAN DEMAM BERDARAH DENGUE MENGGUNAKAN KRITERIA ROUTH-HURWITZ Chintari Nurul Hananti 1 Khozin Mu tamar 2 12 Program Stui S1 Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika an Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Wiya Pekanbaru chintarinurul03@gmail.com ABSTRACT This article iscusses the stability of mathematical moel for engue fever transmission. The moel uses a system of ifferential equation with Susceptible Infecte Recovere (SIR) with two compartments. In this moel there are two cases observe base on their equilibrium points using Routh-Hurwitz criteria. Futhermore simulation is given for each case to show the behaviour an the stability of the equilibrium points. Keywors: System of ifferential equation engue fever SIR moel Routh-Hurwitz stability ABSTRAK Artikel ini membahas analisis moel matematika ari penyebaran emam berarah engue. Paa moel ini igunakan sistem persamaan iferensial engan Susceptible Infecte Recovere (SIR) engan ua kompartemen. Moel yang iamati teriri atas ua kasus yang iamati berasarkan titik ekuilibriumnya engan menggunakan kriteria Routh-Hurwitz. Selanjutnya iberikan simulasi untuk setiap kasus yang menggambarkan perilaku an kestabilan isekitar titik ekuilibrium. Kata kunci: Sistem persamaan iferensial emam berarah engue moel SIR kestabilan Routh-Hurwitz 1. PENDAHULUAN Demam berarah engue (DBD) banyak itemukan i aerah beriklim tropis an sub-tropis. Data ari seluruh unia menunjukkan Asia menempati urutan pertama alam jumlah penerita DBD setiap tahun. Sementara itu terhitung sejak 1

2 tahun 1968 hingga tahun 2009 Worl Health Organization (WHO) mencatat Inonesia merupakan negara engan kasus DBD tertinggi i Asia Tenggara. Dalam buletin yang ikeluarkan Kementerian Kesehatan Inonesia [6] isebutkan bahwa penyakit DBD masih merupakan salah satu masalah kesehatan masyarakat yang utama i Inonesia. Jumlah penerita an luas aerah penyebarannya semakin bertambah seiring engan meningkatnya mobilitas an kepaatan penuuk. Di Inonesia DBD pertama kali itemukan i kota Surabaya paa tahun 1968 imana sebanyak 58 orang terinfeksi an 24 orang iantaranya meninggal unia. Sejak saat itu penyakit ini menyebar luas i Inonesia. Banyaknya jumlah kasus an penerita penyakit ini membuat banyak ilmuwan yang tertarik meneliti penyakit ini khususnya alam biang matematika. Masalah tersebut apat ianalisis secara matematis an iperoleh hasil yang eksak engan cara memoelkan masalah yang aa. Penelitian ini bertujuan untuk mengembangkan ilmu matematika alam menganalisis permasalahan DBD sehingga iharapkan matematika apat menjai alat untuk mengamati perkembangan unia. Moel yang igunakan aalah moel SIR yang berbea ari moel SIR klasik karena memiliki ua kompartemen. Kermack an McKenrick [2] merumuskan moel SIR klasik alam bentuk S t = βsi I =βsi γi t R t =γi engan β an γ aalah parameter yang nilainya iperoleh ari ata. Moel SIR untuk emam berarah teriri ari ua populasi yaitu populasi manusia (host) an populasi nyamuk (vector). Moel ini berasarkan ari moel SIR epiemiologi penyakit menular yang iaaptasi ari artikel Nuraini Soewono an Siarto [4] an Yaacob [8]. Paa moel SIR untuk DBD sistem apat ituliskan sebagai t S h =µ h β vh I v S h µ h S h t I h = β vh I v S h (µ h + γ h )I h t R h =γ h I h µ h R h t S v =µ v N v β hv I h S v µ v S v t I v = β hv I h S v µ v I v engan µ h µ v N v β vh β hv γ h aalah parameter-parameter yang nilainya 2

3 iambil ari ata yang iaaptasi ari artikel Sie an Noorani [7] yang merujuk paa artikel Derouich an Boutayeb [1]. 2. PEMBENTUKAN MODEL Perubahan jumlah populasi manusia sehat manusia sakit an nyamuk terinfeksi alam satuan waktu tertentu apat ipengaruhi oleh banyak faktor. Seperti faktor jumlah populasi jumlah kelahiran jumlah kematian intensitas interaksi antar populasi an lain sebagainya. Dalam proses pemoelan asumsi yang igunakan alam moel ini yaitu 1. Laju kelahiran an kematian proporsional (sebaning). 2. Manusia sehat akan langsung terinfeksi saat igigit oleh nyamuk an nyamuk sehat akan langsung terinfeksi saat menggigit manusia terinfeksi. 3. Penyebaran emam berarah engue hanya ipengaruhi oleh jumlah kelahiran jumlah kematian an laju kemungkinan manusia an nyamuk terinfeksi. 4. Pengaruh lain seperti perioe laten paa manusia maupun nyamuk penularan melalui meia lain selain gigitan nyamuk an lainnya iabaikan. Variabel-variabel an parameter yang igunakan aalah sebagai berikut: 1. (t) menyatakan jumlah populasi manusia paa saat t. 2. N v (t) menyatakan jumlah populasi nyamuk paa saat t. 3. µ h (t) menyatakan jumlah kelahiran an kematian populasi manusia paa saat t. 4. µ v (t) menyatakan jumlah kelahiran an kematian populasi nyamuk paa saat t. 5. γ h (t) menyatakan jumlah manusia yang sembuh ari infeksi paa saat t. 6. β vh (t) menyatakan laju kemungkinan manusia sehat menjai terinfeksi oleh gigitan nyamuk paa saat t. 7. β hv (t) menyatakan laju kemungkinan nyamuk sehat menjai nyamuk terinfeksi an menginfeksi manusia paa saat t. 3

4 Skema hubungan kompartemen populasi manusia an nyamuk untuk moel penyebaran penyakit emam berarah yang apat ilihat ari Gambar 1. Gambar 1: Skema kompartemen populasi manusia an nyamuk [1] Dengan emikian berasarkan asumsi an variabel yang igunakan iperoleh sistem yang menggambarkan penyebaran DBD yang melibatkan manusia an nyamuk yaitu t S h = µ h β vh I v S h µ h S h t I h = β vh I v S h (µ h + γ h )I h t R h = γ h I h µ h R h (1) t S v = µ v N v β hv I h S v µ v S v t I v = β hv I h S v µ v I v Oleh karena R h tiak mempengaruhi ua kompartemen yang lain an S v apat inyatakan engan N v I v persamaan (1) apat iseerhanakan alam tiga persamaan menjai t S h =µ h β vh I v S h µ h S h (2) t I h = β vh I v S h (µ h + γ h )I h (3) t I v = β hv I h (N v I v ) µ v I v. (4) 4

5 3. KESTABILAN SISTEM Titik ekuilibrium ari persamaan (2) (3) an (4) aalah ( 0 0) an (S h I h I v ) engan titik S h = 2(β hvµ h + µ h µ v + µ v γ h ) β hv (µ h + β vh N v ) I h = µ h ( β hv β vh N v + µ h µ v + µ v γ h ) β hv (β vh N v + µ h )(µ h + γ h ) I v = µ h(β hv β vh N v + µ h µ v + µ v γ h ). β vh (µ v γ h + µ h µ v + β hv µ h ) Selanjutnya matriks linearisasi iperoleh ari persamaan (2) (3) an (4) yaitu µ h β vh I v 0 β vh S h β vh β vh A = I v µ h γ h S h. (5) N h β hv 0 (N v I v ) β hv I h µ v Kestabilan sistem apat ianalisis berasarkan nilai eigen engan menggunakan kriteria Routh-Hurwitz. Definisi 1 [3 h.35] Misalkan nilai eigen ari matriks A aalah λ i untuk i = n. Jika Re(λ i ) < 0 maka sistem stabil asimtotik. Jika Re(λ i ) 0 maka sistem stabil. Jika terapat Re(λ i ) > 0 maka sistem tiak stabil engan Re merupakan bagian Real ari nilai eigen. Teorema 2 [5 h.212] Misalkan iberikan persamaan karakteristik ari matriks A paa persamaan (5) a 0 s 3 + a 1 s 2 + a 2 s + a 3 = 0 engan a 0 a 1 a 2 a 3 bernilai positif an a 0 a 1 a 2 a 3 0. Sistem ikatakan stabil jika memenuhi a 1 a 2 > a 0 a 3. Jika salah satu koefisien bernilai negatif atau nol maka sistem tiak stabil. Bukti. Terapat paa Ogata [5 h. 214]. Selanjutnya jenis kestabilan titik ekuilibrium itentukan berasarkan ua kasus berbea yaitu: Kasus 1 Titik ekuilibrium pertama ( 0 0) Paa kasus ini persamaan (5) apat itulis menjai µ h 0 β vh 0 µ h γ h β vh 0 β hv N v µ v. (6) 5

6 Matriks A aalah matriks nonsingular karena et(a) 0. Persamaan karakteristik ari matriks A aalah λ 3 + λ 2 (2µ h + µ v + γ h ) + λ(µ2 h + 2µ h µ v + µ h γ h + µ v γ h β hv β vh N v ) + µ h(µ h µ v + µ v γ h β hv β vh N v ) = 0. Berasarkan Teorema 2 sistem persamaan (2) (3) an (4) akan stabil jika memenuhi a 1 a 2 > a 0 a 3 engan a 0 =1 a 1 =2µ h + µ v + γ h a 2 = µ2 h + 2µ h µ v + µ h γ h + µ v γ h β hv β vh N v a 3 = µ h(µ h µ v + µ v γ h β hv β vh N v ). Kasus 2 Titik ekuilibrium keua (S h I h I v ) S h = 2(β hvµ h + µ h µ v + µ v γ h ) β hv (µ h + β vh N v ) I h = µ h ( β hv β vh N v + µ h µ v + µ v γ h ) β hv (β vh N v + µ h )(µ h + γ h ) I v = µ h(β hv β vh N v + µ h µ v + µ v γ h ). β vh (µ v γ h µ h µ v + β hv µ h ) Paa kasus ini persamaan (5) apat itulis menjai p 0 q S h 0 r s t I h = 0 0 u v I v 0 6

7 engan p = µ h + µ h( β hv β vh N v + µ h µ v + µ v γ h ) (β hv µ h + µ h µ v + µ v γ h ) q = β vh (β hv µ h + µ h µ v + µ v γ h ) β hv (β vh N v + µ h ) r = µ h( β hv β vh N v + µ h µ v + µ v γ h ) (β hv µ h + µ h µ v + µ v γ h ) s = µ h γ h t = β vh (β hv µ h + µ h µ v + µ v γ h ) β hv (β vh N v + µ h ) u = β hvµ v (β vh µ h N v + β vh γ h N v + µ 2 h + µ h γ h ) β vh (β hv µ h + µ h µ v + µ v γ h ) v = β vhn v (µ h β hv + µ h µ v + µ v γ h ). (β vh N v + µ h )(µ h + γ h ) (7) karak- Matriks A aalah matriks nonsingular karena et(a) 0. Persamaan teristik ari matriks A aalah λ 3 + λ 2 ( p s v) + λ(ps + sv + pv tu) + (ptu spv + qru) = 0. Berasarkan Teorema 2 sistem persamaan (2) (3) an (4) akan stabil jika memenuhi a 1 a 2 > a 0 a 3 engan a 0 =1 a 1 = p s v a 2 =ps + sv + pv tu a 3 =ptu spv + qru engan p q r s t u an v seperti paa sistem (7). 4. SIMULASI KASUS Paa bagian ini ilakukan simulasi berasarkan ua kasus seperti paa bagian sebelumnya. Tiap kasus berasarkan moel yang ibentuk engan memilih parameter bahwa β vh = β hv = γ h = = N v = µ h = µ v = [7]. Kasus Pertama Titik ekuilibrium pertama ( ) Berasarkan ata [7] iperoleh titik ekuilibrium pertama ( ). Oleh karena titik ekuilibrium tiak nol maka ilakukan pergeseran paa persamaan berikut: x = A(x x e ). 7

8 Misalkan θ = x x e θ e = 0 an x = θ iperoleh θ = Aθ sehingga berasarkan ata sekuner iperoleh bentuk linearisasi ari titik ekuilibrium pertama sebagai berikut: imana θ S h θ I h θ I v = A 1 = sehingga iperoleh nilai eigennya λ 1 = λ 2 = λ 3 = Oleh karena λ 1 λ 2 an λ 3 merupakan nilai eigen real an berbea maka solusi umum untuk kasus pertama sebagai berikut: θ Sh (t) θ Ih (t) =c 1 0 e t + c e t θ Iv (t) c e t. Diketahui nilai awal θ Sh (0) = 100 θ Ih (0) = 1 θ Iv (0) = 100 sehingga iperoleh solusi khusus untuk kasus pertama sebagai berikut: θ Sh (t) e t e t e t θ Ih (t) = e t e t θ Iv (t) e t e t atau θ Sh (t) = e t e t e t θ Ih (t) = e t e t θ Iv(t) = e t e t. Telah iketahui bahwa x = θ + x e an x e untuk kasus pertama aalah θ Sh θ Ih θ Iv 8

9 ( ) sehingga iperoleh solusi untuk kasus pertama sebagai berikut: S h (t) = e t e t e t I h (t) = e t e t I v (t) = e t e t. Hasil simulasi itunjukkan paa Gambar 2. Gambar 2: Solusi kasus 1 untuk titik ekuilibrium ( ). Terlihat ari Gambar 2 bahwa untuk t yang sangat besar nilai I h I v an S h bergerak ari nilai awal menjauhi titik ekuilibrium atau iperoleh solusi menuju ( ) sehingga sistem paa kasus ini bersifat tiak stabil. Kasus 2 Titik ekuilibrium keua ( ) Oleh karena titik ekuilibrium tiak nol maka ilakukan pergeseran paa persamaan berikut: x = A(x x e ) Misalkan θ = x x e θ e = 0 an x = θ iperoleh θ = Aθ sehingga berasarkan ata iperoleh bentuk linearisasi ari titik ekuilibrium keua sebagai berikut: θ S h θ Sh θ I h = θ Ih θ I v θ Iv engan A 2 =

10 an iperoleh nilai eigennya λ 1 = λ 2 = i λ 3 = i. Oleh karena λ 2 an λ 3 merupakan nilai eigen kompleks konjugat yaitu λ 23 = ± i maka iperoleh x (2) = x (3) = i i i i e ( i)t e ( i)t. Diasumsikan v (2) = w + iz maka w = z = sehingga x (2) = e t ie t cos( t) sin( t) sin( t) cos( t) an iperoleh p(t) = e t q(t) = e t cos( t) sin( t) cos( t) sin( t) cos( t) sin( t) cos( t) sin( t) cos( t) sin( t). 10

11 Selanjutnya solusi umum untuk kasus keua iperoleh sebagai berikut: θ S h (t) θ I h (t) θ I v(t) =c 1 + c e t + c 3 e t. e t cos( t) sin( t) cos( t) sin( t) cos( t) sin( t) cos( t) sin( t) cos( t) sin( t) Diketahui nilai awal θ Sh (0) = 20 θ Ih (0) = θ Iv (0) = sehingga iperoleh solusi sebagai berikut: θ Sh (t) = e t + ( cos( t) sin( t))e t θ Ih (t) = e t ( cos( t) sin( t))e t θ Iv (t) = e t ( cos( t) sin( t))e t. Telah iketahui bahwa x = θ + x e kasus keua sebagai berikut sehingga iperoleh solusi khusus untuk S h (t) = e t + ( cos( t) sin( t))e t I h (t) = e t ( cos( t) sin( t))e t I v (t) = e t ( cos( t) sin( t))e t Hasil simulasi itunjukkan paa Gambar 3. 11

12 Gambar 3: (a) Solusi kasus 2 untuk titik ekuilibrium ( ) (b) Kurva parametrik perbaningan grafik S h an I h Dari Gambar 3 bagian (a) terlihat bahwa untuk t yang sangat besar nilai I h I v an S h bergerak ari nilai awal menuju titik ekuilibrium atau iperoleh solusi menuju ( ) yang menunjukkan sistem paa kasus ini bersifat stabil asimtotik an untuk Gambar 3 bagian (b) terlihat bahwa S h an I h berawal ari nilai awal yang iberikan an bergerak sejalan menuju satu titik. Hal ini bermakna bahwa antara populasi manusia sehat an nyamuk terinfeksi terus bertambah an berkurang. Namun paa selang waktu tertentu populasi keuanya menjai stabil. Seangkan untuk populasi manusia sakit cenerung stabil ari awal. 5. KESIMPULAN Dari uraian yang telah iberikan paa bagian sebelumnya apat isimpulkan bahwa perilaku titik ekuilibrium untuk sistem yang telah ibentuk tiak selalu sama paa setiap kasusnya. Hal ini ipengaruhi oleh nilai parameter an nilai awal yang iberikan. Selain itu kestabilan sistem paa moel yang ibentuk juga berbea-bea untuk setiap kasusnya karena masing-masing nilai parameter yang iberi-kan akan mempengaruhi sifat-sifat nilai eigen kemuian nilai eigen tersebut juga akan mempengaruhi kestabilan sistem. DAFTAR PUSTAKA [1] M. Derouich an A. Boutayeb Dengue fever: mathematical moelling an computer simulation Applie Mathematics an Computation 177 (2006) [2] W. O. Kermack an A. G. McKenrick A contribution to the mathematical theory of epiemics Proceeings of the Royal Society of Lonon 115 (1927)

13 [3] X. Liao L. Wang an P. Yu Stability of Dynamical System Elsevier Amsteram [4] N. Nuraini E. Soewono an K. A. Siarto Mathematical moel of engue isease transmission with severe hf compartment Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society 30 (2007) [5] K. Ogata Moern Control Engineering Fifth E. Pearson New Jersey [6] S. Pangribowo A. Tryai an I. S. Inah Demam Berarah Dengue hal iakses 18 Sept 2016 pk [7] S. Sie an S. M. Noorani A SIR moel for sprea of engue fever isease (simulation for South Sulawesi Inonesia an Selangor Malaysia) Worl Journal of Moelling an Simulation 9 (2013) [8] Y. Yaacob Analysis of a engue isease transmission moel without immunity Matematika 23 (2007)