PENGARUH STRATEGI VAKSINASI KONTINU PADA MODEL EPIDEMIK SVIRS

Transkripsi

1 SEMIRATA MIPAnet Agustus 27 UNSRAT, Manao PENGARUH STRATEGI VAKSINASI KONTINU PADA MODEL EPIDEMIK SVIRS TONAAS KABUL WANGKOK YOHANIS MARENTEK Universitas Universal Batam, Abstrak Penyebaran penyakit menular sangat berbahaya sehingga perlu iminimalisir. Vaksinasi aalah salah satu cara untuk meminimalisir penyebaran penyakit menular ataupun untuk memberantas penyakit. Berasarkan proses vaksinasi terapat ua strategi vaksinasi yaitu strategi vaksinasi kontinu an strategi vaksinasi terputus. Penelitian ini membahas strategi vaksinasi kontinu paa moel epiemik SVIRS, ari hasil analisis iperoleh ua titik tetap yaitu titik tetap bebas penyakit an tititk tetap enemik an juga suatu nilai ambang batas epiemik yaitu bilangan reprouksi asar yang selanjutnya igunakan sebagai batasan untuk analisis selanjutnya. Ambang batas epiemik atau bilangan reprouksi asar sepenuhnya bergantung paa strategi vaksinasi kontinu yang ilakukan. Jika strategi vaksinasi yang ilakukan beraa iatas atau sama engan tingkat vaksinasi minimum maka titik tetap bebas penyakit akan stabil asimtotik yang artinya penyakit tiak akan menyebar an paa akhirnya penyakit akan hilang ari populasi. Sebaliknya, jika strategi vaksinasi kontinu yang ilakukan beraa ibawah tingkat vaksinasi minimum maka titik tetap enemik akan stabil asimtotik sehingga penyakit akan menyebar an menjai enemik. Selain itu ari hasil simuasi yang ilakukan engan perangkat lunak Mathematica iperoleh bahwa vaksinasi berpengaruh apat menurunkan proporsi iniviu yang terinfeksi ari populasi an engan strategi vaksinasi yang tepat yaitu strategi yang ilakukan lebih ari atau sama engan tingkat vaksinasi minimum akan berhasil mencegah penyebaran penyakit menular. Kata Kunci: Moel Epiemik, SVIR, Vaksinasi, Strategi, Kestabilan. PENDAHULUAN Penyebaran penyakit menular memiliki pengaruh yang luar biasa paa kehiupan manusia. Setiap tahun jutaan orang meninggal karena berbagai penyakit menular. Sehingga perlu ikenalikan atau iminimalisir agar tiak terjai epiemik salah satu caranya engan melakukan program vaksinasi. Sehingga untuk mengetahui seberapa besar laju penyebaran suatu penyakit menular secara matematis aalah engan membuat moel matematika penyebaran penyakit menular atau moel matematika epiemik. Pertama, pola epiemik apat igambarkan secara matematis engan menghampiri keaaan sebenarnya. Keua, menganalisa pola epiemik melalui moel yang telah irumuskan. Kemuian menginterpretasikan hasil analisa ke alam keaaan sebenarnya. Vaksinasi aalah salah satu cara untuk mencegah atau meminimalisir penyebaran suatu penyakit menular. Dan kini vaksinasi rutin iseiakan isemua negara-negara berkembang terhaap semua penyakit. Pemberantasan atau eraikasi penyakit cacar yang terakhir terlihat alam kasus alami paa tahun 977 telah ianggap sebagai keberhasilan paling spektakuler vaksinasi [].

2 Tonaas Kabul Wangkok Yohanis M. Vaksinasi Kontinu Moel SVIRS Menurut Ramali an Pamoentjak [2], vaksin itu merupakan suspensi bibit penyakit yang hiup tetapi telah ilemahkan atau imatikan untuk menimbulkan kekebalan aktif terhaap suatu penyakit sehingga apat mencegah atau mengurangi pengaruh infeksi oleh organisme alami. Seangkan untuk menyelesaikan proses vaksinasi biasanya aa jawal yang berbea untuk penyakit yang berbea ataupun untuk penerima vaksin yang berbea. Teori epiemik penyebaran penyakit menular secara matematis pertama kali i kemukakan oleh Kermack an McKenrick paa tahun 927 yaitu moel epiemik SIR an SIS. Dalam moel SIR ataupun SIS menyatakan bahwa penyebaran penyakit igambarkan oleh moelmoel kompartemen. Moel kompartemen SIR ataupun SIS engan setiap huruf mengacu paa kompartemen imana iniviu beraa. Kompartemen tersebut aalah : Susceptible (S) yaitu kelompok iniviu yang sehat tetapi rentan terhaap penyakit, Infecte (I) yaitu kelompok iniviu yang terinfeksi an apat sembuh ari penyakit an Recovere (R) yaitu kelompok iniviu yang telah sembuh an kebal ari penyakit. Iniviu yang rentan apat tertular penyakit karena aanya kontak antar iniviu yang rentan engan iniviu yang terinfeksi. Oleh karena itu secara matematis vaksinasi juga apat ianggap sebagai penambahan kompartemen V (Vaccinate) secara alami ke alam moel SIR, SIS ataupun SIRS sehingga moelnya menjai SVIR, SVIS maupun SVIRS. Moel epiemik SVIRS ini, berasarkan prosesnya terapat ua strategi vaksinasi yaitu strategi vaksinasi yang kontinu (CVS) an strategi vaksinasi yang terputus (PVS). Dimana strategi CVS apat ikenali sebagai perilaku ari iniviu-iniviu rentan yang ilakukan vaksinasi secara terus menerus seangkan strategi PVS aalah suatu proses vaksinasi yang ilakukan hanya sekali atau bisa juga lebih ari sekali tetapi engan jangka waktu tertentu yang telah itetapkan (musiman). Tulisan ini mengkaji mengenai pengaruh strategi vaksinasi kontinu paa moel epiemik SVIRS engan penekatan matematis. 2. TINJAUAN PUSTAKA 2. Moel Epiemik SVIRS engan Strategi Vaksinasi Kontinu Tailei Zhang an Zhiong Teng [3] menambahkan kompartemen V ke alam moel SIRS sehingga menjai moel SIRVS engan asumsi bahwa iniviu yang ivaksinasi selain masih bisa terinfeksi mereka tiak akan menapatkan kekebalan permanen tetapi akan langsung kembali ke populasi iniviu yang rentan. Xianning Liu et al. [4] menambahkan kompartemen V kealam moel SIR an memperkenalkan strategi vaksinasi kontinu paa moel epiemik SVIR, Alexaner et al. [5] juga menambahkan kompartemen V kealam moel SIRS sehingga menjai moel SVIRS engan asumsi bahwa iniviu tiak menapatkan kekebalan ari proses vaksinasi, iniviu yang ivaksinasi hanya memiliki kekebalan sementara sehingga langsung masuk ke populasi iniviu yang rentan an iniviu yang menapatkan kekebalan alami akibat sembuh ari penyakit masih memungkinkan untuk masuk ke populasi iniviu yang rentan karena kekebalan iniviu yang iperoleh ari penyakit akan berkurang oleh waktu. Sehingga iniviu yang telah sembuh akan menjai rentan terhaap penyakit lagi. Sehingga strategi vaksinasi kontinu paa moel SVIRS ini berasar paa moel epiemik asar untuk suatu penyakit yang tiak menyebabkan kematian (non fatal) serta berasarkan paa Hethcote [6], Alexaner et al.[7] serta Xianning Liu [8] :. Total Populasi beraa paa tingkat konstan 2. Jumlah populasi iasumsikan cukup besar sehingga apat ianggap sebagai variabel kontinu 3. Laju rekrutmen an laju kematian alami populasi iasumsikan sama yaitu μ 4. Laju transmisi/penularan penyakit ketika iniviu rentan berinteraksi engan iniviu yang ivaksinasi yaitu β 5. Laju pemulihan iniviu yang terinfeksi yaitu γ, sehingga /γ aalah waktu ratarata iniviu terinfeksi atau menerita penyakit. SEMIRATA MIPAnet 27, Agustus 27, UNSRAT Manao

3 SEMIRATA MIPAnet Agustus 27 UNSRAT, Manao 6. Laju rata-rata ( aalah waktu rata-rata) iniviu yang mengalami vaksinasi. untuk menapatkan kekebalan yaitu 7. Sebelum memperoleh kekebalan, iniviu masih memiliki kemungkinan terinfeksi engan laju transmisi. Diasumsikan juga karena iniviu yang memperoleh vaksinasi mungkin memiliki kekebalan parsial selama proses vaksinasi. 8. Laju iniviu yang hilang kekebalan akibat terinfeksi yaitu. 9. Laju iniviu yang rentan menerima vaksin atau laju iniviu rentan ipinahkan kealam proses vaksinasi. sehingga berasarkan metoe Compartment Moelling, asumsi-asumsi iatas apat igambarkan alam bentuk iagram transfer sebagai berikut : Gambar. Diagram Transfer Moel Epiemik SVIRS asumsi-asumsi an iagram transfer iatas apat ituliskan alam bentuk persamaan iferensial linear yang selanjutnya isebut engan sistem sebagai berikut. S S SI S R t V S VI V V t (Sistem ) I SI VI I I t R V I R R t engan, an parameter lainnya bernilai positif. 2.2 Metoologi Penelitian Dalam penelitian ini akan ilakukan engan penekatan matematis an stui literatur. Aapun kerangka analisis penelitian ini aalah :. Menganalisis inamika sistem engan menentukan titik kesetimbangannya, memeriksa kestabilannya an menentukan bilangan reprouksi asarnya. 2. Menganalisis pengaruh vaksianasi kontinu berasarkan bilangan reprouksi asarnya secara matematis. 3. Mengimplementasikan engan cara melakukan simulasi terhaap suatu contoh penyakit yang sesuai engan moel SVIRS (Mis. Influenza) engan menggunakan perangkat lunak Mathematica 8.

4 Tonaas Kabul Wangkok Yohanis M. Vaksinasi Kontinu Moel SVIRS Langkah-langkah penelitian secara rinci apat ilihat paa Gambar 2 berikut : Gambar 2. Langkah-langkah penelitian. 3. HASIL DAN PEMBAHASAN 3. Kestabilan Titik Tetap Titik tetap atau titik kesetimbangan aalah suatu konisi setimbang paa populasi imana terjai zero growth rate atau tiak aa pertumbuhan paa masing-masing populasi. Jika N S V I R aalah jumlah total populasi sehingga titik tetap ini iperoleh engan mensubtitusikan R S V I, maka Sistem akan tereuksi menjai Sistem 2 berikut. S S SI S ( S V I) t V S VI V V Sistem 2 t I SI VI I I t persamaan keempat paa Sistem 2 bebas ari ketiga persamaan lain maka titik tetap paa Sistem 2 iperoleh engan membuat ketiga persamaannya sama engan nol yaitu : S S SI S ( S V I) t V S VI V V t I SI VI I I t Titik Tetap Bebas Penyakit Misalkan titik tetap bebas penyakit iasumsikan I yaitu tiak aa iniviu yang terinfeksi alam populasi. Sehingga titik tetap bebas penyakit moel ini aalah T ( S, V, I ) engan I an S ( ), V ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) Titik Tetap Enemik Misalkan T ( S, V, I ) aalah titik tetap enemik an iasumsikan bahwa alam SEMIRATA MIPAnet 27, Agustus 27, UNSRAT Manao

5 SEMIRATA MIPAnet Agustus 27 UNSRAT, Manao populasi masih terapat iniviu yang terinfeksi an apat menyebarkan penyakit maka aalah akar bernilai riil positif 2 ari persamaan g(i) yaitu g( I) A I A I A engan : I. Sehingga titik tetap enemik moel ini engan nilai I A ( ) A ( ) ( ) 2 ( )} (2 ) 2 A3 ( )( )( ) { ( ) ( )( )} an V I S S serta V I I Analisis Kestabilan Titik Tetap Misalkan persamaan-persamaan paa Sistem 2 ituliskan alam bentuk berikut : f ( S, V, I) S SI S S V I g( S, V, I) S VI V V h( S, V, I) SI VI I I engan melakukan pelinearan iperoleh matriks Jacobi sebagai berikut : f f f S V I ( I) S g g g J ( S, V, I) I V S V I I I S V h h h S V I Berasarkan Borrelli an Coleman [], jika semua nilai eigen ari matriks Jacobi bagian riilnya bernilai negatif maka titik tetap tersebut stabil an akan tiak stabil jika an hanya jika satu saja nilai eigen matriks tersebut bagian riilnya bernilai positif. Namun, jika nilai eigen matriks Jacobi sulit itentukan maka kestabilan titik tetap tersebut itentukan engan menggunakan kriteria Routh-Hurwits. Hasil analisis kestabilan titik tetap :. Sistem 2 akan selalu mempunyai titik tetap bebas penyakit yaitu yang stabil asimtotik lokal jika R an akan tiak stabil jika R. 2. Sistem 2 akan mempunyai satu titik tetap enemik yang unik (hanya satu) yaitu T jika an hanya jika R an T akan stabil asimtotik lokal jika aa. 3. Terapat yang aalah bilangan reprouksi asar yaitu suatu bilangan yang R menentukan konisi Sistem ini. Dengan R aalah : R ( ) ( )( )( ) ( )( ) 4. Keberaaan titik tetap enemik akan terpenuhi an stabil asimtotik jika an hanya jika R an Sistem 2 mempunyai ua titik tetap yaitu titik tetap bebas penyakit yang tiak stabil an titik tetap enemik yang unik T yang stabil asimtotik lokal. 5. Konisi titik tetap enemik T yang stabil asimtotik yang ipenuhi jika an hanya jika R mengartikan bahwa masih aa iniviu yang terinfeksi alam populasi an apat menyebarkan penyakit sehingga paa akhirnya penyakit akan enemik alam populasi.

6 Tonaas Kabul Wangkok Yohanis M. Vaksinasi Kontinu Moel SVIRS 3.2 Pengaruh Vaksinasi Hasil ari analisis kestabilan iatas menunjukan bahwa inamika Sistem paa moel ini sepenuhnya bergantung paa R yaitu bilangan reprouksi asar Sistem ini. Jika R maka iperoleh tingkat vaksinasi minimum moel ini yaitu : ( )( )( ) c ( )( ) ( ) sehingga bilangan reprouksi asar bergantung paa pengaruh ari strategi vaksinasi kontinu yang ilakukan. Jika yaitu tiak ilakukannya proses vaksinasi maka R akan tereuksi menjai R / ( ) yaitu bilangan reprouksi asar jika tiak ilakukan proses vaksinasi. Ketika R R R maka penyakit apat iberantas sehingga jika maka penyakit akan bisa iberantas engan melakukan strategi vaksinasi kontinu. Sehingga untuk melihat pengaruh ari strategi vaksinasi kontinu paa moel SVIRS iasumsikan bahwa jika maka R an penyakit tiak apat iberantas sehingga harus ilakukan proses vaksinasi. Jika atau ilakukan vaksinasi terapat tiga kemungkinan strategi vaksinasi yang ilakukan yaitu, an engan c aalah tingkat vaksinasi minimum. Strategi c Ketika strategi ini ilakukan akan menyebabkan titik tetap yaitu titik tetap bebas penyakit Strategi c R c c c, sehingga hanya akan terapat satu yang stabil asimtotik lokal. Ketika strategi ini ilakukan akan menyebabkan R sehingga keberaaan titik tetap enemik yang merupakan akar persamaan yang bernilai riil positif tiak aa T gi ( ) karena jika R maka A3, persamaan 2 g( I) A I A2 I ( A I A2 ) I an karena A an A2 gi ( ) maka memilik akar yang bernilai riil positif. Keberaaan titik tetap bebas penyakit tereuksi gi ( ) tiak ketika R akan menyebabkan semua nilai eigen bagian riilnya bernilai negatif kecuali nilai sehingga 3 akan aa an stabil asimtotik. Sehingga, ketika maka R tiak terapat titik tetap enemik T an hanya terapat titik tetap bebas penyakit stabil asimtotik. Strategi c c yang Ketika strategi ini ilakukan akan menyebabkan R, sehingga menurut hasil analisis kestabilan titik tetap iatas akan terapat ua titik tetap yaitu titik tetap bebas penyakit yang tiak stabil an titik tetap enemik T yang stabil asimtotik. Dari analisis kestabilan an strategi vaksinasi iatas apat isimpulkan :. Jika strategi yang ilakukan c akan menyebabkan R sehingga titik tetap bebas penyakit T akan stabil asimtotik global. 2. Jika srategi yang ilakukan c sehingga menyebabkan R maka titik tetap enemik T stabil asimtotik global. 3.3 Simulasi Untuk mengamati pengaruh ari strategi vaksinasi kontinu yang ilakukan terhaap moel ini ilakukan simulasi numerik engan bantuan perangkat lunak Mathematica 8. SEMIRATA MIPAnet 27, Agustus 27, UNSRAT Manao

7 SEMIRATA MIPAnet Agustus 27 UNSRAT, Manao Simulasi ini bertujuan untuk melihat pengaruh ketika ilakukan tiga strategi yang berbea paa proses tersebut. Gambaran ari simulasi ini alam bentuk kurva biang solusi ari masing-masing populasi terhaap variabel waktu (t). Tabel. Nilai Parameter Simulasi Parameter Nilai Parameter S().6 V(). I().3 R() μ.3653 β.25 γ.43 β. γ.5 θ. c, c an c Gambar 3. Dinamika Populasi ketika. c Gambar 4. Dinamika Populasi ketika.3 c Gambar 3 menunjukan inamika populasi engan konisi bebas penyakit. Konisi ini terjai ketika ilakukan strategi vaksinasi kontinu paa populasi iniviu rentan yaitu engan. atau % ari jumlah populasi iniviu yang rentan ivaksinasi setiap hari secara terus-menerus atau secara kontinu yang menyebabkan R.75. Kurva S, V, I an R akan stabil menuju titik tetap bebas penyakit yaitu : T ( S, V, I, R ) (.45,.9,,.46)

8 Tonaas Kabul Wangkok Yohanis M. Vaksinasi Kontinu Moel SVIRS Proporsi iniviu yang terinfeksi (kurva merah) akan turun stabil menuju titik nol ketika ilakukan program vaksinasi engan strategi % proporsi populasi rentan ivaksinasi secara kontinu maka apat strategi ini apat memberantas penyakit. Sebaliknya, Paa Gambar 4 jika ilakukan strategi, menunjukan konisi enemik yang tercapai, yaitu suatu konisi masih tetap aanya penyakit alam populasi. Kurva S, V, I an R akan stabil menuju titik tetapnya yaitu.3 T ( S, V, I, R ) (.65,.38,.47,.85) Proporsi iniviu yang terinfeksi (kurva merah) paa Gambar 4 akan turun an stabil menuju titik.47 yang berarti bahwa ketika ilakukan program vaksinasi engan strategi hanya 3% proporsi populasi rentan ivaksinasi secara kontinu maka penyakit tiak bisa iberantas an akan enemik tetapi apat menurunkan proporsi iniviu yang terinfeksi. Simulasi menunjukan paa Gambar 3 an Gambar 4 iatas, inamika populasi sistem ini terapat ua konisi yang berbea. Pertama, konisi bebas penyakit yang akan tercapai engan melakukan strategi vaksinasi. Keua, konisi enemik ketika melakukan strategi vaksinasi.3. Strategi vaksinasi engan.3 tiak apat memberantas penyakit namun apat menurunkan proporsi jumlah iniviu yang terinfeksi alam populasi karena strategi ini beraa ibawah ambang batas epiemik yaitu tingkat vaksinasi minimum moel ini. Nilai parameter yang sangat mempengaruhi nilai, imana aalah ambang batas strategi vaksinasi yang harus ilakukan secara kontinu paa iniviu yang rentan. c. R 4. KESIMPULAN Simpulan Berasarkan ari hasil an pembahasan, iperoleh ua titik tetap yaitu titik tetap bebas penyakit an titik tetap enemik. Dari analisis kestabilan, inamika moel SVIRS engan strategi vaksinasi kontinu ini sepenuhnya bergantung paa bilangan reprouksi asar. Ketika bilangan reprouksi asarnya kurang ari atau sama engan satu maka titik tetap bebas penyakit akan stabil asimtotik yang berarti bahwa penyakit tiak akan menyebar alam populasi atau paa akhirnya penyakit akan hilang ari populasi. Jika bilangan reprouksi asarnya lebih ari satu maka titik tetap enemik akan stabil asimtotik yang berarti bahwa penyakit akan tetap aa an menyebar alam populasi. Selanjutnya, ari analisis an simulasi terhaap pengaruh ari strategi vaksinasi kontinu iperoleh :. Diperoleh ambang batas atau tingkat vaksinasi minimum yang menjai acuan strategi vaksinasi kontinu yang harus ilakukan. 2. Vaksinasi bermanfaat untuk mengenalikan penyebaran penyakit yaitu engan mereuksi bilangan reprouksi asarnya an menurunkan proporsi iniviu yang terinfeksi paa tahap enemik. 3. Strategi yang ilakukan untuk memberantas penyakit harus lebih besar atau sama engan tingkat vaksinasi minimum. Saran Penelitian ini perlu ilanjutkan engan strategi vaksinasi yang berbea yaitu strategi vaksinasi terputus an membaningkan keua strategi ini. Selain itu perlu juga ipertimbangkan efektifitas atau efikasi ari vaksin itu seniri. Setiap makalah iakhiri engan kesimpulan, yang merangkum hasil ari makalah yang itulis. SEMIRATA MIPAnet 27, Agustus 27, UNSRAT Manao

9 SEMIRATA MIPAnet Agustus 27 UNSRAT, Manao 5. UCAPAN TERIMAKASIH Ucapan terima kasih saya ucapkan kepaa seluruh pihak yang telah ikut membantu penelitian ini khususnya kepaa Kemenristek Dikti atas bantuan ananya an semua ukungannya. Daftar Pustaka [] WHO. 25. Immunization against iseases of public health importance. meiacentre/factsheets/fs288/en/inex.html/ [2] Ramali & Pamoentjak. 25. Arti an Keterangan istilah. Kamus keokteran.cet.26. Jakarta [3] Tailei Zhang., Zhiong Teng., 27. An SIRVS Epiemic Moel With Pulse Vaccination Strategy. Journal of Theoretical Biology 25(28) [4] Xianning, L., Yasuhiro, T., Shingo, I., 27. SVIR moels with vaccination strategies. Shiuzuka University, Hammamatsu , Japan [5] Alexaner, M.E., Bowman, C., Moghaas, S.M., Summers, R., Gumel, A.B., Sahai, B.M., 24. A Vaccination Moel for Transmission Dynamics of Influenza. SIAM J. Appl. Dyn. Syst. 3, [6] Hethcote, HW., 2. The mathematics of infectious iseases. SIAM rev [7] Alexaner, M.E., Bowman, C., Moghaas, S.M., Summers, R., Gumel, A.B., Sahai, B.M., 24. A Vaccination Moel for Transmission Dynamics of Influenza. SIAM J. Appl. Dyn. Syst. 3, [8] Xianning, L., Yasuhiro, T., Shingo, I., 27. SVIR moels with vaccination strategies. Shiuzuka University, Hammamatsu , Japan