Relasi Dispersi dalam Pandu Gelombang Planar Nonlinear Kerr

Transkripsi

1 Kontribusi Fisika Inonesia Vol. 13 No.3, Juli 00 Relasi Dispersi alam Panu Gelombang Planar Nonlinear Kerr Abstrak Hengki Tasman 1) an E Soewono 1,) 1) Pusat Penelitian Pengembangan an Penerapan Matematika, ITB ) Departemen Matematika, ITB Jl. Ganesa 10 Banung hengki_tasman@ahoo.com ; esoewono@bg.centrin.net.i Dalam makalah ini itinjau panu gelombang planar ang i alamna terapat nonlinearitas jenis Kerr. Dengan menggunakan metoe ineks bias eekti an perata-rataan, iapat relasi ispersi alam bentuk implisit secara analitis untuk panu gelombang tersebut. Relasi ispersi ini apat meneerhanakan perhitungan numerik alam menapatkan kurva ispersi. Sebagai hasil iperoleh kurva relasi ispersi engan beberapa moel perata-rataan untuk panu gelombang planar simetrik. Kata kunci : panu gelombang planar, nonlinearitas Kerr, relasi ispersi. Abstract In this paper planar waveguies with Kerr-tpe nonlinearit are consiere. B using an eective reractive inex metho an averaging, an implicit ispersion relation is obtaine analiticall or the waveguies. This ispersion relation can simpli numerical calculation in obtaining ispersion curves. Dispersion relation curves with ierent averaging schemes or smmetric planar waveguies are shown here. Kewors : planar waveguie, Kerr-tpe nonlinearit, ispersion relation. 1. Penahuluan Panu gelombang planar ang i alam ilmna menganung materi nonlinear ang bersiat sel-ocusing menghasilkan sel-trapping paa gelombang alam arah ang sejajar engan batas panu gelombang tersebut. Dalam kasus ini kombinasi proil ineks bias eekti linear alam satu arah an ineks bias nonlinear ang iinuksi alam arah tegak lurus menghasilkan sebuah panu gelombang eekti engan potongan melintang ua imensi. Di samping itu kasus ini menghasilkan solusi ang ikenal sebagai soliton spasial 1). Dalam literatur panu gelombang linear, metoe ineks bias eekti telah banak ipakai sebagai suatu proseur untuk menemukan solusi hampiran bagi struktur panu gelombang ua imensi ang rumit ). Metoe ini ipakai untuk menganalisa panu gelombang planar nonlinear. Panu gelombang apat ikarakterisasi oleh relasi ispersi ang terapat i alamna. Dalam makalah ini akan iturunkan relasi ispersi untuk panu gelombang planar ang i alam ilmna terapat nonlinearitas jenis Kerr. Untuk menapatkan relasi ispersi ini, mula-mula persamaan gelombang skalar ua imensi untuk panu gelombang planar nonlinear tersebut iselesaikan engan menggunakan metoe ineks bias eekti, kemuian engan menerapkan perata-rataan iapat relasi ispersi tersebut. Selanjutna iberikan beberapa contoh pemakaian relasi ispersi tersebut engan beberapa moel perata-ratan alam panu gelombang planar simetrik ang i alam ilmna terapat nonlinearitas jenis Kerr.. Permasalahan Panu gelombang planar ang ikaji i sini mempunai ineks bias ang bervariasi secara tangga (step inex) alam arah sumbu Y. Variasi ini inotasikan engan n (. Selain itu juga terapat nonlinearitas jenis Kerr alam arah sumbu Y, an inotasikan engan n (. Kita akan meninjau gelombang TE ang merambat i sepanjang panu gelombang ini (alam arah sumbu Z). Vektor mean listrik untuk gelombang TE ini mempunai r bentuk E = ( x, exp( i( βz ωt)) xˆ imana β aalah konstanta propagasi, ω aalah rekuensi suut optik. Fungsi (x, memenuhi persamaan gelombang skalar ua imensi berikut x [ k n ( k n ( n ( I( x, β ] = 0, engan sarat batas berupa kekontinuan an turunan parsialna i setiap titik paa batas antara ua lapisan, imana k = π/λ merupakan bilangan gelombang i ruang hampa, λ aalah panjang gelombang i ruang hampa an I(x, aalah intensitas lokal. Intensitas lokal ini iberikan oleh (1) I( x, = 1 cε0n ( ( x, ), () imana c aalah kecepatan cahaa i ruang hampa, an ε 0 aalah permitivitas ruang hampa. Untuk menelesaikan persamaan (1) igunakan metoe ineks bias eekti 1,). Dalam metoe ini iasumsikan bahwa apat ipisah secara parsial alam 187

2 188 KFI Vol. 13 No. 3, 00 bentuk (x, = ( x (x, an x (x, merupakan ungsi ang slowl varing terhaap variabel, maksuna perubahan x ibaningkan engan perubahan x kecil sekali alam satu panjang gelombang, sehingga aktor x apat iabaikan. Ie pengasumsian metoe ini aalah membuat hampir semua pengaruh variabel paa ungsi x (x, iambil alih oleh ungsi (, sehingga pemisahan (x, secara parsial ini mirip engan pemisahan variabel biasa. Dengan metoe ini persamaan gelombang (1) apat ipisah menjai x x k [ k n ( β ] = 0 e, (3) [ n ( α( ( n ( ] = 0 x e x, () imana n e ( aalah ineks bias eekti an α( = cε0n ( n(, seangkan ineks bias eekti kuaratna aalah n ( n ( k P ( ne ( = n ( 1, (5) β imana P aalah aa optis. Solusi persamaan () ikenal sebagai soliton spasial, namun alam makalah ini solusi ini tiak ibahas lebih lanjut. Ineks bias eekti kuarat tersebut membuat persamaan (3) menjai nonlinear. Kenonlinearan ini membuat solusi an relasi ispersi persamaan tersebut sulit iapat secara analitis, seangkan penekatan numerik ang ilakukan engan mempartisi imensi ketebalan ilm an melinearkan ineks bias eekti kuarat i setiap sub intervalna 1) akan membuat kerumitan alam pengaopsian sarat batas. Dalam makalah ini iturunkan penekatan analitis ang lebih seerhana engan merata-ratakan ineks bias eekti kuarat. Dalam hal ini pengaruh perubahan ineks bias eekti kuarat paa arah tiak itinjau titik emi titik, tetapi alam imensi ketebalan ilm. Dengan melakukan perata-rataan ini, maka persamaan (3) menjai linear an apat iperoleh relasi ispersi secara analitis. Ineks bias eekti kuarat (5) irata-rata engan merata-ratakan ( sebagai berikut imana ( ). n ( n ( k P ˆ ( nˆ e ( = n ( 1, (6) β ˆ ( menatakan hasil perata-rataan ari 3. Penurunan Relasi Dispersi an Analisa Perata-rataan Misal ineks bias panu gelombang tersebut aalah nc ; < < n ( = n ; 0 < <, ns ; < < 0 imana aalah ketebalan ilm, n c aalah inek bias claing, n aalah ineks bias ilm, an n s aalah ineks bias substrat, serta koeisien nonlinear jenis Kerr sebagai berikut n ; 0 < < n ( =. 0 ; lainna Dengan perata-rataan (6) i atas, persamaan (3) apat itulis menjai [ ˆ k n ( β ] = 0 Persamaan (7) i atas mempunai solusi e [ a cos( w ) bsin( w ) ]. (7) c( = exp( wc )exp( wc ( = ( = a cos( w bsin( w s( = a exp( ws, (8) imana c ( aalah solusi i lapisan claing, ( aalah solusi i lapisan ilm, s ( aalah solusi i lapisan substrat, seangkan w ˆ = k ne B, wc = k B n c, an ws = k B n s, imana B = β/k aalah ineks mous. Perlu iperhatikan bahwa pemilihan ( i atas telah memasukan sarat batas kontinuitas ( i setiap titik paa batas antara ua lapisan. Akibatna sarat batas untuk persamaan (7) tinggal kontinuitas turunan ( i setiap titik paa batas antara ua lapisan i panu gelombang tersebut. Untuk menapatkan relasi ispersi panu gelombang cukup itinjau persamaan i lapisan ilm, aitu w engan sarat batas = 0, (9) ( 0) s (0) = ( ) c ( ) =, serta ineks bias eekti kuarat an n nk P ˆ ( nˆ e ( = n 1. (10) B

3 KFI Vol. 13 No. 3, Dengan mengolah keua sarat batas i atas, iapat relasi ispersi untuk P = 0 sebagai berikut cot( k n B ) = n B nc (11) n B B nc seangkan untuk P 0 relasi ispersina aalah k cot B B B B ( n B ) ( n kp) ( n ˆ ) B = ( nc n B ) ( nkp) ( n ˆ ) n ( n 1) B ( n P) ( n ˆ ) c. (1) Nilai B untuk panu gelombang tersebut iapat ari titik potong antara ungsi i ruas kiri an ungsi i ruas kanan ari keua relasi ispersi i atas. Untuk P = 0, relasi ispersi (11) tiak terpengaruh oleh perata-rataan ang ilakukan. Namun untuk P 0, perata-rataan ang ilakukan akan berpengaruh paa relasi ispersi (1). Ruas kiri relasi ispersi (1) merupakan ungsi ang monoton naik (engan omain B). Jika ˆ ang ipakai makin besar, maka ungsi tersebut akan bergeser ke kanan. Namun jika ˆ ang ipakai makin kecil, maka ungsi tersebut akan bergeser ke kiri. Ruas kanan relasi ispersi (1) merupakan ungsi ang monoton turun. Jika ˆ ang ipakai makin besar, maka ungsi tersebut akan bergeser ke kanan. Namun jika ˆ ang ipakai makin kecil, maka ungsi tersebut akan bergeser ke kiri. Jai jika ˆ ang ipakai makin besar, maka titik potong keua ungsi tersebut akan bergeser ke kanan, sehingga nilai B lebih besar, seangkan jika ˆ ang ipakai makin kecil, maka titik potong keua ungsi tersebut akan bergeser ke kiri, sehingga nilai B lebih kecil.. Beberapa contoh Paa bagian ini iberikan beberapa kurva ispersi untuk gelombang TE mous 0 ang iapat engan menggunakan relasi ispersi (1) an ibaningkan engan kurva ispersi ang iapat ari rujukan 1). Selain itu juga iberikan penekatan relasi ispersi engan menggunakan ekspansi Talor paa relasi ispersi tersebut i sekitar P = 0 mw. Parameter panu gelombang planar ang igunakan i sini aalah = µm, λ = 0,515 µm, n c = 1,55, n = 1,57, n s =1,55, n = 10-9 m /W, kecuali apat isebutkan lain..1 Contoh 1 Di sini ipakai empat moel perata-rataan. Paa Gambar 1 simbol menatakan ( ) irata-rata engan ( ) bernilai maksimum. Simbol menatakan peratarataan engan / ), simbol menatakan peratarataan engan ( *), imana * aalah nilai ang membuat ( 1 (, seangkan simbol 0 menatakan perata-rataan engan ( / ). Gambar 1. Kurva ispersi untuk λ = 0,515 µm an = µm(simbol ari atas ke bawah:,,, ) Paa Gambar 1 kurva engan garis tiak terputus iapat ari metoe ineks eekti, seangkan kurva engan garis titik-titik iapat ari metoe elemen hingga (sebagai acuan alam perbaningan). Keua kurva ini iapat ari contoh alam 1). Kurva ispersi moel ( *) an ( / ) aalah sama, karena panu gelombangna simetrik. Keua moel ini lebih baik ibaning keua moel lainna. Namun keempat moel perata-rataan tersebut belum apat mengkarakterisasi aana aa kritis Pc = 1,86π/(k n n ) = 0,05mW 1). Walau emikian hasil ang iperoleh apat ikatakan cukup baik, karena persentase kesalahan relatina cukup kecil (< 10%), kecuali ketika aa menekati aa kritis. Gambar berikut memuat Gambar 1 i atas itambah kurva engan garis putus-putus, imana kurva ini iapat ari pentaloran relasi ispersi i sekitar P = 0 mw, aitu B(P) = 1,567 31,71 P.

4 190 KFI Vol. 13 No. 3, 00 Gambar. Kurva ispersi untuk λ = 0,515 µm an = µm an penekatan Talorna i sekitar P = 0mW.. Contoh Dalam contoh ini ketebalan ilm ibuat bervariasi sebagai berikut 0,5 µm, 1 µm, µm, µm; an peratarataan ang igunakan aalah ( *). Gambar. Kurva ispersi untuk λ = 0,515 µm, = 0,5 µm ( ), = 1 µm (ο), = µm (), = µm( ) an penekatan Talorna i sekitar P = 0 mw Dalam Gambar kurva engan garis putus-putus iapat ari relasi ispersi ang italorkan i sekitar P = 0 mw, aitu B(P) = 1,557 73,08 P untuk = 0,5 µm; B(P) = 1,563 68,59 P untuk = 1 µm; B(P) = 1,567 31,71 P untuk = µm; B(P) = 1,569 10,701 P untuk = µm..3. Contoh 3 Paa contoh ini panjang gelombang ibuat bervariasi sebagai berikut 0,515 µm, 0,85 µm, an 1,3 µm, an perata-rataan ang igunakan aalah ( *). Gambar 3. Kurva ispersi untuk λ = 0,515 µm, = 0,5 µm ( ), = 1 µm (ο), = µm (), = µm( ) Paa Gambar 3 kurva ispersi engan garis tiak terputus iapat ari metoe ineks bias eekti. Kurva ini iapat ari contoh alam 1) an ipakai sebagai acuan alam perbaningan. Paa = µm an = µm, kurva ang ihasilkan ari relasi ispersi apat ikatakan baik, terutama untuk aa 0-0,0 mw. Demikian pula paa = 0,5 µm an = 1 µm, kurva ang iapat cukup baik untuk aa 0-0,0075 mw. Namun moel perata-rataan ang igunakan belum apat mengkarakterisasi aana aa kritis P c = 0,05 mw. Gambar 5. Kurva ispersi untuk = µm, λ = 0,515 µm ( ), λ = 0,85 µm (ο), λ = 1,3 µm () Paa Gambar 5 kurva engan garis tiak terputus iapat ari metoe ineks bias eekti 1) an ipakai sebagai acuan alam perbaningan.

5 KFI Vol. 13 No. 3, Untuk λ = 0,515 µm an λ = 0,85 µm, kurva ang iapat ari relasi ispersi cukup baik, terutama untuk aa 0-0,0 mw. Namun relasi ispersi masih belum apat mengkarakterisasi aana aa kritis P c = 0,05 mw untuk λ = 0,515 µm an P c = 0,068 mw untuk λ = 0,85 µm, seangkan untuk λ = 1,3 µm kurva ang ihasilkan cukup baik, terutama untuk aa 0-0,0 mw, namun belum apat mengkarakterisasi aana aa kritis P c = 0,159 mw. Gambar 6. Kurva ispersi untuk = µm, λ = 0,515 µm ( ), λ = 0,85 µm (ο), λ = 1,3 µm () an penekatan Talorna i sekitar P = 0 mw Dalam Gambar 6 garis putus-putus merupakan kurva ispersi ari relasi ispersi ang italorkan i sekitar P = 0 mw, aitu B(P) = 1,567 31,71 P untuk λ = 0,515 µm; B(P) = 1,56 7,833 P untuk λ = 0,85 µm; B(P) = 1,561 1,9 P untuk λ = 1,3 µm. 5. Kesimpulan Dengan metoe ineks bias eekti an peratarataan iapat relasi ispersi alam bentuk implisit secara analitis untuk panu gelombang planar nonlinear engan nonlinearitas jenis Kerr. Dengan menggunakan relasi ispersi ini, perhitungan numerik ang ilakukan untuk menapatkan kurva ispersi lebih seerhana. Dalam makalah ini telah ipakai relasi ispersi tersebut engan beberapa moel perata-rataan untuk menapatkan kurva ispersi panu gelombang planar simetrik ang i alam corena terapat nonlinearitas jenis Kerr. Kurva ispersi ang ihasilkan engan menggunakan relasi tersebut cukup baik, terutama untuk aa optis ang kecil. Moel perata-rataan ang igunakan masih perlu iperbaiki lebih lanjut untuk mengkarakterisasi aana aa optis kritis. Reerensi 1. K.S. Chiang, R.A. Sammut, 'Eective-Inex Metho or Spatial Solitons in Planar Waveguies with Kerr- Tpe Nonlinearit', J. Opt. Soc.Am. B, Vol. 10, No., pp , April K.S. Chiang, Analsis o Optical Fibers b the Eective-Inex Metho, Appl. Opt. 5, 38-35, Februar 1986.