SOLUSI NUMERIK MODEL REAKSI-DIFUSI (TURING) DENGAN METODE BEDA HINGGA IMPLISIT

Transkripsi

1 SOLUSI NUMERIK MODEL REAKSI-DIFUSI (TURING) DENGAN METODE BEDA HINGGA IMPLISIT Junik Rahayu, Usman Pagalay, an 3 Ari Kusumastuti,,3 Jurusan Matematika UIN Maulana Malik Ibrahim Malang rahayujunik@yahoo.com ABSTRAK Alan Turing (95) mengemukakan bahwa sistem interaksi bahan kimia ipengaruhi oleh ifusi yang tiak stabil yang kemuian berkembang menjai pola spasial. Hasil ari penelitian ini isebut engan moel reaksi-ifusi (Turing). Paa umumnya moel ifusi mempunyai ifusifitas berupa konstanta. Barras kk. (006) mengganti mekanisme Murray (003) alam menganalisis moel ini, sehingga terbentuklah moel engan rasio pertumbuhan omain yang tumbuh secara eksponensial sebagai ifusifitasnya. Hal inilah yang membuat moel ini lebih menarik ibaningkan engan moel ifusi yang lain. Berbagai moel matematika ipastikan mempunyai solusi, begitu juga engan moel ini. Paper ini membahas penyelesaian numerik paa contoh moel. Digunakan metoe bea hingga implisit sebagai metoe asar menyelesaikan moel. Dalam moel terapat ua konsentrasi yang bereaksi untuk mencapai suatu kesetimbangan. Dari konsentrasi ini akan iperiksa keterikatan paa pertumbuhan omain engan aanya inamika gangguan kecil serta pengaruh pertumbuhan omain terhaap penyelesaian numerik moel. Dari penyelesaian numerik iperoleh bahwa pertumbuhan omain mempengaruhi ua konsentrasi alam moel an penyelesaian numerik. Kata kunci: Metoe Bea Hingga Implisit, Moel Reaksi-Difusi (Turing), Pertumbuhan Domain. ABSTRACT Alan Turing (95) telling that chemicals interaction system influence by unstable iffusion which later;then roun into pattern of spasial. Result of from this research is referre as with of reaction-iffusion (Turing) moel s. In general iffusion moel s have coeficient iffuson in the form of constanta. Barras et. al (006) changing mechanism of Murray (003) in analysing this moel, is so that forme by moel with omain growth ratio which grow by eksponensial as its. This matter make this moel more is interesting compare to other iffusion moel. Various mathematics moel ascertaine to have solution, so also with this moel. This Paper stuy the solving of numeric at moel of example.use by ifferent metho till implisit as basic metho finish moel. In moel there are two concentration reacting to reach an is balance. Than this concentration will be checke by bining at omain growth with existence of small trouble ynamics an also influence of omain growth to solving of moel numerik. From solving of numeric obtaine that omain growth influence two concentration in moel an numerical solution. Keywors: Reaction-Diffusion (Turing) Moel s, Finite ifference methos, Implicit Scheme,Domain Growth Rate. PENDAHULUAN Alan Turing (95) mengemukakan bahwa sistem interaksi bahan kimia ipengaruhi oleh ifusi yang tiak stabil yang kemuian berkembang menjai pola spasial. Dalam era integrasi biologi, moel hasil penelitian Alan Turing merupakan salah satu contoh pertama bagaimana mengintegrasikan proses seerhana yang apat memberikan hasil yang kompleks, alam hal ini, kombinasi ari proses penyetabilan yang menghasilkan sistem yang tiak stabil. Paa moel tersebut, iasumsikan bahwa sel tiak bergerak tetapi hanya menanggapi pembeaan isyarat kimia. Hasil ari penelitian ini isebut engan moel reaksi-ifusi (Turing). Barras kk (006) mengganti mekanisme moel Murray (003) alam menganalisis moel ini engan omain pertumbuhan menggunakan kinetika Schnakenberg, yang timbul ari suatu penerapan hukum aksi massa untuk skema trimolecular. Menurut Barras kk (006) moel teriri ari persamaan iferensial parsial an persamaan iferensial biasa, sehingga membentuk sistem. Dalam jurnalnya Barras kk (006) mengungkap bahwa proses transisi alam

2 Solusi Numerik Moel Reaksi-Difusi (Turing) engan Metoe Bea Hingga Implisit moel mencapai puncak iorong oleh pertumbuhan omain sehingga menghasilkan urutan pola. Moel matematis yang kompleks seperti moel ini, sukar menapatkan solusinya engan solusi analitis. Walaupun metoe numerik alam pencarian solusi ari suatu sistem juga jarang igunakan akhir-akhir ini, akan tetapi metoe ini merupakan alternatif alam menyelesaikan persoalan matematik. Metoe ini apat igunakan untuk menekati solusi secara eksak. Salah satu metoe numerik untuk menyelesaikan persamaan iferensial parsial seperti moel ini aalah metoe bea hingga. Dalam metoe bea hingga terapat bermacam skema, salah satunya skema implisit yang stabil tanpa syarat. KAJIAN TEORI A. Analisis Persamaan Diferensial Parsial Paa Moel Reaksi-Difusi (Turing) Suatu persamaan yang i alamnya terapat turunan parsial an terapat ua atau lebih variabel bebas maka persamaan tersebut isebut persamaan iferensial parsial (partial ifferential equation/pe) (Ayres, 99). Bentuk umum persamaan iferensial parsial linear ore alam variabel bebas aalah: Af xx + Bf xy + Cf yy + Df x + Ef y + Ff = G Menurut Sasongko (00) persamaan i atas apat inyatakan sebagai konisi-konisi berikut:. Apabila koefisien A, B, C, D, E, F, G aalah konstanta atau fungsi yang teriri ari variabel bebas saja, maka persamaan tersebut isebut linier.. Apabila koefisien A, B, C, D, E, F, G aalah fungsi ari variabel tak bebas an atau merupakan turunan engan ore yang lebih renah aripaa persamaan iferensialnya u u,, maka persamaan tersebut isebut x t kuasilinier. 3. Apabila koefisien A, B, C, D, E, F, G aalah fungsi engan ore turunan yang sama engan ore persamaan iferensialnya u u u,,, x t xt maka persamaan tersebut isebut persamaan non-linier. Tipe ari persamaan iferensial ore ua itentukan oleh eterminan (D) jika: a. b. c. D B AC 4 0, maka bertipe Eliptik. D B AC 4 0, maka bertipe Parabolik. D B AC 4 0, maka bertipe Hiperbolik. Moel Turing menurut Barras kk (006) berbentuk: u u a uv u t L x v v b uv v v t L x L L t Dengan mengganti persamaan L = ρl menjai persamaan iferensial biasa, iasumsikan L(0) =, maka moel menjai bentuk berikut: Lt () ut u xx a uv u Lt ( ) t vt v xx b uv v v L( t) e t Dari erinisi yang telah iuraikan i atas, maka moel apat iklasifikasikan menjai persamaan iferensial parsial kuasilinier ore ua tipe Parabolik. Solusi moel aalah fungsi u( x, t ) an v( x, t ) yang memenuhi persamaan i atas. Solusi tersebut merupakan solusi umum, sehingga iperlukan subtitusi konisi batas an konisi awal agar iapatkan solusi khusus. Konisi batas yang igunakan paa moel aalah Dirichlet Bounary Conitions. Untuk interval 0 t 0.00 an 0x. Nilai batas u(0, t) ; u(0, 0.00) ; v(0, t) an v(0,0.00) untuk semua t. Seangkan konisi awal yang igunakan untuk moel aalah Lt () yang irumuskan sebagai berikut: u(x, 0) = v(x, 0) = L(t) = e ρt () Persamaan tersebut akan igunakan untuk membuat iterasi numerik paa pembahasan. B. Analisis Moel Reaksi-Difusi (Turing) Pemoelan Matematika mengenai moel reaksi-ifusi ikemukakan oleh Alan Turing (95) yang mengientifikasi perkembangan embrio menjai ewasa. Dalam penelitiannya Alan Turing mengasumsikan bahwa sistem interaksi bahan kimia ipengaruhi oleh ifusi yang tiak stabil yang kemuian berkembang menjai pola spasial. Barras kk (006) mengganti mekanisme moel Murray (003) alam menganalisis moel Jurnal CAUCHY ISSN:

3 Junik Rahayu, Usman Pagalay, an Ari Kusumastuti engan omain pertumbuhan menggunakan kinetika Schnakenberg, yang timbul ari suatu penerapan hukum aksi massa untuk skema trimolecular, sehingga terbentuklah moel. Paa moel iasumsikan proses ifusi alam kasus pertumbuhan omain yang tumbuh secara eksponensial. Selanjutnya Brownian motion untuk persamaan u t = L(t) xx + a uv ρu apat ituliskan sebagai, u t L(t) u xx a + uv + ρu = 0 () Menurut Zauerer (998:-5), untuk u x, t i atas, menyelesaikan persamaan igunakan asumsi-asumsi sebagai berikut:. Ekspektasi ari variabel acak x atau isebut juga sebagai lokasi perpinahan partikel alam gelombang yang iefinisikan: E(x) = x = (p q)δ engan C aalah kecepatan ifusi, an alam masalah ini kecepatan ifusi ianggap sama engan nol.. Varian ari suatu variabel acak x atau isebut juga engan besarnya perpinahan yang terjai ari suatu proses ifusi, iefinisikan sebagai berikut: V(x) = 4pδ engan D aalah konstanta atau koefisien ifusi yang alam hal ini iasumsikan besarnya sama engan /L(t). 3. Asumsi asar ifusi yang igunakan aalah u x, t yang merupakan istribusi peluang. Dimana istribusi peluang ari suatu partikel paa langkah x an paa waktu yang ke t sama engan peluang ketika beraa paa titik x paa waktu t ikalikan engan peluang perpinahan partikel ke arah kanan (p) paa suatu langkah itambah engan peluang partikel paa saat beraa i titik x paa waktu t ikalikan engan probabilitas perpinahan ke arah kiri (q) paa suatu langkah, imana pq, yang apat ituliskan alam bentuk berikut: u(x, t + τ) = pu(x δ, t) + qu(x + δ, t) (3) imana merupakan partisi waktu. 4. p aalah peluang perpinahan partikel ke arah kanan, seangkan q aalah peluang perpinahan partikel ke arah kiri, imana p, q R. Untuk menyelesaikan brownian motion u x, t i atas, igunakan eret Taylor persamaan sebagai berikut: a. Untuk u(x, t + τ) = u(x, t) + τu t (x, t). b. Untuk u(x δ, t) = u(x, t) δu x (x, t) + δ u xx (x, t). c. Untuk u(x + δ, t) = u(x, t) + δu x (x, t) + δ u xx (x, t) seangkan untuk persamaan v t = v L(t) xx + b + uv v ρv apat itulis sebagai: v t L(t) v xx b uv + v + ρv = 0. Menurut Zauerer (998:-5), untuk v x, t i atas, menyelesaikan persamaan igunakan asumsi-asumsi sebagai berikut:. Ekspektasi ari variabel acak x atau isebut juga sebagai lokasi perpinahan partikel alam gelombang yang iefinisikan: E x x p q, engan C aalah kecepatan ifusi, an alam masalah ini kecepatan ifusi ianggap sama engan nol.. Varian ari suatu variabel acak x atau isebut juga engan besarnya perpinahan yang terjai ari suatu proses ifusi, iefinisikan sebagai berikut: V x 4 p, engan D aalah konstanta atau koefisien ifusi yang alam hal ini iasumsikan besarnya sama engan /L(t). 3. Asumsi asar ifusi yang igunakan aalah v x, t yang merupakan istribusi peluang. Dimana istribusi peluang ari suatu partikel paa langkah x an paa waktu yang ke t sama engan peluang ketika beraa paa titik x paa waktu t ikalikan engan peluang perpinahan partikel ke arah kanan p paa suatu langkah itambah engan peluang partikel paa saat beraa i titik x paa waktu t ikalikan engan q probabilitas perpinahan ke arah kiri paa suatu langkah, imana p + q =, yang apat ituliskan alam bentuk berikut: v(x, t + τ) = pv(x δ, t) + qv(x + δ, t) (4) imana merupakan partisi waktu. 4. p aalah peluang perpinahan partikel ke arah kanan, seangkan q aalah peluang 0 Volume 3 No. November 03

4 Solusi Numerik Moel Reaksi-Difusi (Turing) engan Metoe Bea Hingga Implisit perpinahan partikel ke arah kiri, imana p, q R. Untuk menyelesaikan brownian motion persamaan v x, t i atas, igunakan eret Taylor sebagai berikut: a. Untuk v(x, t + τ) = v(x, t) + τv t (x, t). b. Untuk v(x δ, t) = v(x, t) δu x (x, t) + δ v xx (x, t). c. Untuk v(x + δ, t) = u(x, t) + δv x (x, t) + δ v xx (x, t). Nilai parameter, konisi awal an konisi batas mengacu paa keterangan Barras kk (006) engan merupakan rasio omain pertumbuhan, u an v aalah ilution effect, energi kinetik a an b 0. an koefisien ifusi Beberapa nilai yang sesuai engan keterangan Barras kk (006) yaitu 0.00, 0.05 an 0.0. PEMBAHASAN A. Metoe Bea Hingga Skema Implisit Moel Reaksi-Difusi (Turing) Berikut merupakan moel reaksi-ifusi (Turing): u t = L(t) u xx + a uv ρu v t = L(t) v xx + b + uv v ρv { L(t) = e ρt paa persamaan u t = L(t) u xx + a uv ρu, maka apat inyatakan bentuk iskritnya sebagai berikut: αu n+ i + ( + α)u n+ n+ i αu i+ = u n i + Δt(a u n i (v n i ) n ρu i Δt engan α = L(t) Δx. Aapun stensilnya apat igambarkan sebagai berikut: C. Metoe Bea Hingga Skema Implisit untuk Moel Reaksi-Difusi (Turing) Dibentuk skema bea hingga untuk turunan parsial fungsi u an v yang teriri ari ua variabel bebas x an t. Berikut merupakan eret Taylor:(Causaon an Mingham, 00) x u( x0 x, t) u( x0, t) uxx( x0, t)...! n x (, ) n u x, n 0 t O x n! (5) Dalam skema implisit, untuk menghitung variabel i suatu titik perlu ibuat suatu sistem persamaan yang menganung variabel i titik tersebut an titik-titik sekitarnya paa waktu yang sama (Triatmojo, 00). Berikut merupakan langkah iterasi paa skema implisit: Gambar. Stensil untuk Persamaan u x, t Selanjutnya paa persamaan vt v, xx b uv v v maka apat inyatakan Lt () bentuk iskritnya sebagai berikut: n n n n n n n n i i i i i i i i v v v v t( b u v v v ). engan t L() t x. Stensilnya apat i lihat paa gambar 3 berikut ini. Gambar. Gambar Skema Implisit Gambar skema i atas igunakan untuk menghitung turunan petama an keua moel reaksi-ifusi (Turing). Gambar 3. Stensil untuk Persamaan v x, t Jaringan titik hitung bea hingga implisit untuk moel paa aerah x 0 x R an t 0 Jurnal CAUCHY ISSN:

5 Junik Rahayu, Usman Pagalay, an Ari Kusumastuti t T aalah sebagai berikut apat ilihat paa gambar 4. Setelah iapatkan nilai awal an nilai batas, iterasi ilakukan paa hasil iskritisasi sesuai jaringan titik hitung paa Gambar 5. Gambar 4. Jaringan Titik Hitung Bea Hingga Implisit untuk Moel. Digunakan konisi awal sebagai berikut: u(x, 0) = + bilangan ranom v(x, 0) = + bilangan ranom Setelah iapatkan nilai awal an nilai batas, iterasi ilakukan paa hasil iskritisasi engan sesuai jaringan titik hitung paa Gambar 4. B. Penyelesaian Numerik Moel Reaksi- Difusi (Turing) Diselesaikan contoh moel reaksi-ifusi (Turing) paa aerah batas 0 < x < an 0 < t < 0.00, rasio pertumbuhan omain ρ = 0.00, energi kinetik a = an a = 0. serta rasio koefisien ifusi = 0.06 sehingga moel apat ituliskan sebagai berikut: u t = L(t) u xx + uv 0.00u v t = 0.06 L(t) v xx uv v 0.00v { L(t) = e αt (6) Dipilih nilai Δt = an Δx = 0.0. Selanjutnya ilakukan iterasi engan konisi batas sebagai berikut: u(x 0, t) = u(0, t) =, u(r, t) = u(, t) = v(x 0, t) = v(0, t) =, v(r, t) = v(, t) = sehingga iperoleh: u i n =, n = 0,,,,00, i = 0,,,,00 v i n =, n = 0,,,,00, i = 0,,,,00 Langkah berikutnya yaitu ilakukan iterasi konisi awal sebagai berikut: u i n = f(t i ) = + bilangan ranom, n = 0, i =,,,99. v i n = g(t i ) = + bilangan ranom, n = 0, i =,,,99. Gambar 5. Jaringan Titik Hitung Skema Bea Hingga Implisit untuk Moel engan Parameter x an t Gambar 6. Grafik Solusi Numerik untuk u(x, t) terhaap engan ρ = x 0-3 Gambar 7. Grafik Solusi Numerik untuk u(x, t) terhaap waktu (t) engan ρ = x 0-3 Gambar 8. Grafik Solusi Numerik untuk v(x, t) terhaap engan ρ = Volume 3 No. November 03

6 Solusi Numerik Moel Reaksi-Difusi (Turing) engan Metoe Bea Hingga Implisit x 0-3 Gambar 9. Grafik Solusi Numerik untuk v(x, t) terhaap engan ρ = Gambar 3. Grafik Solusi Numerik untuk v(x, t) terhaap engan ρ = x Gambar 0. Grafik Solusi Numerik untuk u(x, t) terhaap engan ρ = Gambar. Grafik Solusi Numerik untuk u(x, t) terhaap engan ρ = Gambar 4. Grafik Solusi Numerik untuk u(x, t) terhaap engan ρ = Gambar 5. Grafik Solusi Numerik untuk u(x, t) terhaap engan ρ = Gambar. Grafik Solusi Numerik untuk v(x, t) terhaap engan ρ = x 0-3 Gambar 6. Grafik Solusi Numerik untuk v(x, t) terhaap engan ρ = 0.0. Jurnal CAUCHY ISSN:

7 Junik Rahayu, Usman Pagalay, an Ari Kusumastuti Gambar 7. Grafik Solusi Numerik untuk v(x, t) terhaap engan ρ = 0.0. C. Interpretasi Penyelesaian Numerik Moel Reaksi-Difusi (Turing) Konisi batas yang igunakan alam bahasan ini aalah 0, 0,, u R t u t, 0,, vr t v t u x t u t v x t v t 0,,.,,. hal tersebut iinterpretasi bahwa x 0 an R merupakan batas omain yang iselesaikan x an R iabaikan. sehingga efek ilusi sebelum 0 Nilai batas apat imaknai bahwa energi kinetik non-imensional paa titik x0 0 sebesar an nilai batas apat imaknai bahwa energi kinetik non-imensional paa titik x n = R sebesar paa masing-masing konsentrasi untuk semua waktu t. Dengan aanya konisi batas yang iberikan, maka apat memberikan batasan aerah yang akan iselesaikan. Parameter-parameter yang igunakan i alam moel yaitu merupakan rasio pertumbuhan omain, u an v aalah ilution effect, energi kinetik paa a b 0. an koefisien ifusi Konisi awal yang igunakan alam pembahasan contoh moel aalah sebagai berikut: n u f ( t ) 0,9 bilanganranom, n 0, i,,...,99 i i n v g( t ) bilangan ranom, n 0, i,,...,99 i x 0-3 i Konisi tersebut apat imaknai bahwa energi kinetik non-imensional paa titik x 0 paa waktu t i untuk masing-masing konsentrasi ipengaruhi oleh aanya penambahan bilangan ranom i belakang suatu konstanta. Dengan membaningkan Gambar,, 3, 4, 5 an 6 apat iketahui bahwa nilai mempengaruhi perubahan konsentrasi u( x, t) an v( x, t). Sehingga apat isimpulkan nilai mempengaruhi penyelesaian numerik paa moel reaksi-ifusi (Turing). PENUTUP Berasarkan pembahasan, apat iperoleh bahwa untuk menyelesaikan moel engan menttransformasikan alam bentuk skema bea hingga implisit menggunakan bea maju untuk turunan pertama terhaap waktu an bea simetrik untuk tururnan keua terhaap ruang, sehingga iperoleh bentuk iskrit moel reaksiifusi (Turing) sebagai berikut: u u u u t( a u v u ) n n n n n n n i i i i i i i v v v v t( b u v v v ). n n n n n n n n i i i i i i i i Selanjutnya ilakukan iterasi engan parameter, konisi batas an konisi awal paa aerah batas yang telah itentukan paa hasil iskritisasi i atas. Untuk menghitung solusi numerik igunakan program yang tertera paa Lampiran. Berasar hasil perhitungan iperoleh solusi numerik untuk moel reaksi-ifusi (Turing) berupa matriks ukuran 0x0. Simulasi Gambar, menunjukkan rasio omain pertumbuhan ( ) mempengaruhi ua konsentrasi paa proses ifusi serta mempengaruhi penyelesaian numerik moel. Peneliti lain iharapkan apat mengembangkan penelitian ini alam kasus ua imensi ataupun engan menurunkan moel yang berupa persamaan iferensial parsial menjai persamaan iferensial biasa sehingga apat ibaningkan hasilnya engan penelitian ini. DAFTAR PUSTAKA [] Ayres, F. 99. Persamaan Diferensial. Jakarta: Erlangga. [] Causon, D.M an Mingham, C.G Introuctory Finite Difference Methos for PDEs. Unite Kingom: Ventus Publishing Aps. [3] Barras, I., Crampin E. J., an Maini P. K Moe Transitions in a Moel Reaction- Diffusion System Driven by Domain Growth an noise. Bulletin of Mathematical Biology (006) 68: [4] Murray, J.D Mathematical Biology 3r eition in volumes: Spatial Moels an Biomeical Applications. New York: Springer. [5] Sasongko, S. B. 00. Metoe Numerik engan Scilab. Yogyakarta: C.V Ani Offset. 4 Volume 3 No. November 03

8 Solusi Numerik Moel Reaksi-Difusi (Turing) engan Metoe Bea Hingga Implisit [6] Triatmojo, B. 00. Metoe Numerik. Yogyakarta: Beta Offset. [7] Turing, A.M The chemical basis of morphogenesis. Lonon: Phil. Trans. R. Soc. [8] Zauerer, E Partial Differential Equations of Applie Mathematics, Secon Eition. New York: John Wiley. Jurnal CAUCHY ISSN: