SYARAT CUKUP UNTUK OPTIMALITAS MASALAH KONTROL KUADRATIK LINIER

Transkripsi

1 Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 2 Hal ISSN : c Jurusan Matematika FMIPA UNAND SYARAT CUKUP UNTUK OPTIMALITAS MASALAH KONTROL KUADRATIK LINIER SUCI FRATAMA SARI Program Stui Matematika, Fakultas Matematika an Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Analas, Kampus UNAND Limau Manis Paang, Inonesia, sucifratamasari@rocketmail.com Abstract. The LQR problem is an optimal control problem which is now use in various fiels of science. The optimal control is given by u (t) K(t), where K R 1 (P B) T an P is a unique positive semiefinite solution of Algebraic Riccati Equation (ARE). The eistence of optimal control u (t) epens on the eistence matri P. In this paper, the sufficient conitions which ensures the eistence an uniqueness of the optimal control u (t) will be etermine. Moreover, some eamples as an illustration of the LQR problem will be given. Kata Kunci: LQR, algebraic Riccati equation (ARE), stability. 1. Penahuluan Masalah kontrol kuaratik linier merupakan masalah penentuan suatu pengontrol optimal u R m yang meminimumkan fungsional J i mana u memenuhi sistem inamik T Q + u T Ru]t (1.1) ẋ A + Bu, (), (1.2) engan Q aalah matriks simetris semiefinit positif, R aalah matriks simetris efinit positif, A R n n, B R n m an t. Paa sistem (1.2), (t) R n menyatakan vektor keaaan (state), u u(t) R m menyatakan vektor kontrol (input) an t menyatakan waktu 6]. Notasi R n m menyatakan himpunan matriks riil berukuran n m an R n menyatakan himpunan vektor riil yang teriri atas n komponen. Dalam Bolza 3], telah ibuktikan bahwa solusi optimal ari permasalahan tersebut aalah u K, (1.3) i mana K R 1 (P B) T an P aalah solusi efinit positif ari persamaan aljabar Riccati A T P + P A + Q P BR 1 (P B) T. (1.4) 63

2 64 Suci Fratama Sari Persamaan (1.3) memperlihatkan bahwa eksistensi ari pengontrol optimal sangat bergantung kepaa eksistensi matriks simetris P yang memenuhi persamaan aljabar Riccati (1.4). Dalam skripsi ini, akan ikaji syarat cukup yang menjamin eksistensi an ketunggalan pengontrol optimal tersebut untuk masalah kontrol kuaratik linier (1.1) an (1.2). 2. Syarat Cukup untuk Optimalitas Masalah Kontrol Kuaratik Linier Dalam bagian ini akan ijabarkan syarat cukup yang menjamin eksistensi an ketunggalan pengontrol optimal u yang meminimumkan fungsional J T Q + u T Ru]t (2.1) i mana u memenuhi sistem inamik ẋ A + Bu, (), (2.2) engan Q aalah matriks simetris semiefinit positif, R aalah matriks simetris efinit positif, A R n n, B R n m an t. Untuk menapatkan syarat cukup tersebut, terlebih ahulu fungsional tujuan (2.1) iupayakan iubah alam bentuk J J + (u u ) T R(u u )t, (2.3) i mana J aalah suatu entitas yang bebas ari u, an u aalah suatu pengontrol baru yang akan ipilih. Jika ini apat ilakukan, maka jelas bahwa minimum J(u) icapai paa u u, t, engan nilai minimum aalah J. Permasalahan yang muncul aalah bagaimana bentuk eksplisit ari J an u. Lema berikut iperlukan untuk menapatkan pengontrol optimal u. Lema ] Misalkan P R n n aalah suatu matriks simetris. Jika lim t (t), untuk setiap kontrol u engan t, maka T ( A T P + P A ) + 2 T P Bu ] t T ()P (). Bukti.

3 Syarat Cukup untuk Optimalitas Masalah Kontrol Kuaratik Linier 65 T ( A T P + P A ) + 2 T P Bu ] t ( T A T + u T B T ) P + T P (A + Bu) ] t (ẋt P + T P ẋ ) t t (T P )t a lim t (T P )t ( lim T P a ) lim T (a)p (a) T ()P () ] lim t T (t)p (t) ] T ()P () T ()P (). Berasarkan Lema (3.1), maka J paa persamaan (2.1) apat itulis menjai J + Selanjutnya, misalkan maka T Q + u T Ru]t + T ()P () T ()P () + { T ( A T P + P A) ) + 2 T P Bu } t T ( A T P + P A + Q ) + u T Ru + 2 T P Bu ] t. (2.4) u R 1 (P B) T, (u u ) T R(u u ) (u + R 1 (P B) T ) T R(u + R 1 (P B) T ) atau apat itulis u T Ru + u T (P B) T + T (P B)(R 1 ) T Ru + T (P B)(R 1 ) T RR 1 (P B) T u T Ru + u T (P B) T + T (P B)(R 1 ) T R T u + T (P B)(R 1 ) T R T R 1 (P B) T u T Ru + u T (P B) T + T (P B)(RR 1 ) T u + T (P B)(RR 1 ) T R 1 (P B) T u T Ru + u T (P B) T + T (P B)u + T (P B)R 1 (P B) T u T Ru + 2 T P Bu + T (P B)R 1 (P B) T, u T Ru + 2 T P Bu (u u ) T R(u u ) T (P B)R 1 (P B) T. (2.5)

4 66 Suci Fratama Sari Dengan menggantikan (2.5) ke alam (2.4), iperoleh J J + i mana J T ()P () + (u u ) T R(u u )t, T ( A T P + P A + Q (P B)R 1 (P B) T ) ] t. Untuk menjamin agar J bebas ari u, pilih matriks simetris P seemikian sehingga A T P + P A P BR 1 B T P + Q. (2.6) Jai, pengontrol optimal untuk sistem (2.2) aalah u u K, t, (2.7) i mana K R 1 (P B) T, P memenuhi persamaan aljabar Riccati (2.6) an (t) memenuhi persamaan iferensial ẋ ( A BR 1 (P B) T ), (), (2.8) engan J T ()P (). Dengan memperhatikan lema (3.1) i mana lim t (t) an memenuhi persamaan iferensial (2.8), maka ini bermakna bahwa sistem (2.2) apat istabilkan. Fakta (2.7) memperlihatkan bahwa eksistensi ari pengontrol optimal sangat bergantung kepaa eksistensi matriks simetris P yang merupakan solusi persamaan aljabar Riccati (2.6). Teorema berikut menjamin eksistensi P tersebut. Teorema ] Jika (A, B) apat istabilkan an (Q + K T RK) aalah efinit positif maka solusi efinit positif persamaan aljabar Riccati (2.6) aalah tunggal, i mana iberikan oleh P e (A BK)T t (Q + K T RK)e (A BK)t t. (2.9) Bukti. Akan itunjukkan bahwa P aalah solusi ari (2.6). Persamaan (2.6) apat iubah menjai (A BK) T P + P (A BK) (Q + K T RK). (2.1) Subtitusikan (2.9) ke ruas kiri ari (2.1), iperoleh

5 (A BK) T P + P (A BK) + lim lim lim Syarat Cukup untuk Optimalitas Masalah Kontrol Kuaratik Linier 67 (A BK) T e (A BK)T t (Q + K T RK)e (A BK)t t e (A BK)T t (Q + K T RK)e (A BK)t (A BK)t t e(a BK) a t e(a BK) T t (Q + K T RK)e (A BK)t t T t (Q + K T RK)e (A BK)t t (e (A BK)T t (Q + K T RK)e (A BK)t a) e (A BK)T a (Q + K T RK)e (A BK)a e (A BK)T. (Q + K T RK)e (A BK).] lim e (A BK)T t (Q + K T RK)e (A BK)t] e (A BK)T. (Q + K T RK)e (A BK). t (Q + K T RK). Ini menunjukkan bahwa P merupakan solusi ari (2.6). Selanjutnya akan itunjukkan bahwa P aalah efinit positif. Dari (2.9) iperoleh T P T e (A BK)T t (Q + K T RK)e (A BK)t t, untuk. Karena Q + K T RK aalah efinit positif an e (A BK)t, t, maka T P >. Ini menunjukkan bahwa P aalah efinit positif. Selanjutnya akan itunjukkan bahwa P aalah solusi tunggal. Misalkan P n aalah solusi lain ari (2.6), maka an (A BK) T P n + P n (A BK) (Q + K T RK) (2.11) (A BK) T P + P (A BK) (Q + K T RK). (2.12) Pengurangan (2.11) engan (2.12) iperoleh Selanjutnya, (A BK) T (P n P ) + (P n P )(A BK). e (A BK)T t (A BK) T (P n P )e (A BK)t +e (A BK)T t (P n P )(A BK)e (A BK)t. (2.13) Persamaan (2.13) ekivalen engan T t e(a BK) t (P n P )e (A BK)t, t. (2.14)

6 68 Suci Fratama Sari Pengintegralan persamaan (2.14) paa, ) menghasilkan lim lim lim t e(a BK) a t e(a BK) T t (P n P )e (A BK)t t T t (P n P )e (A BK)t t (e (A BK)T t (P n P )e (A BK)t a) e (A BK)T a (P n P )e (A BK)a e (A BK)T. (P n P )e (A BK).] lim e (A BK)T t (P n P )e (A BK)t] e (A BK)T. (P n P )e (A BK). t (P n P ). Akibatnya P n P. Dengan emikian, syarat cukup yang menjamin eksistensi an ketunggalan pengontrol optimal untuk masalah kontrol kuaratik linier (2.1) an (2.2) aalah (A, B) apat istabilkan an matriks Q + K T RK aalah efinit positif, i mana K R 1 (P B) T an P aalah solusi persamaan aljabar Riccati (2.6). Contoh berikut mengilustrasikan untuk permasalahan kontrol kuaratik linier. Contoh 1. min J 2 2 (t) +.25u 2 (t)]t s.t. ẍ + u, (), ẋ() 1 Akan itentukan kontrol optimal ari masalah (2.15). Misalkan ẋ y, maka ẏ + u. Misalkan juga P (2.15) apat itulis menjai engan min J s.t. ( ẋ ẏ ( ) ( ) ( 2 y y ) ( ) ( ) y (2.15) ( ) a b, maka permasalahan b c ) +, 25u 2 ] t, ( ) u, 1 () an y() 1. (2.16) Persamaan aljabar riccati untuk permasalahan (2.15) aalah ( ) ( ) 2b + 2 4b 2 a c 4bc a c 4bc 2b 4c 2, atau ekivalen engan 2b + 2 4b 2 a c 4bc (2.17) 2b 4c 2.

7 Syarat Cukup untuk Optimalitas Masalah Kontrol Kuaratik Linier 69 Solusi sistem persamaan non linier (2.17) aalah a 1, 5, b, 5, an c, 5. Jai, ( ) 1, 5, 5 P., 5, 5 Sehingga, iperoleh Karena ẏ + u, maka Karena ẋ y, maka u R 1 (P B) T 2 2y. ẏ 3 2y. ẍ ẏ 3 2ẋ. (2.18) Persamaan karakteristik ari persamaan ifferensial (2.18) aalah r 2 + 2r + 3, yang akar-akarnya aalah r 1,2 1 ± 2i. Sehingga solusi persamaan ifferensial (2.18) aalah (t) c 1 e ( 1+ 2i)t + c 2 e ( 1 2i)t c 1 e t (cos 2t + i sin 2t) + c 2 e t (cos 2t i sin 2t) e t (C cos 2t + D sin 2t), engan C c 1 + c 2 an D (c 1 c 2 )i. Dari (2.16) iperoleh C an Jai, D 1 2. (t) 1 2 e t sin 2t, y(t) e t cos 2t 1 2 e t sin 2t. Sehingga, kontrol optimal untuk permasalahan (2.15) aalah u (t) 2e t cos 2t.

8 7 Suci Fratama Sari 3. Kesimpulan Berasarkan uraian ari pembahasan, maka pengontrol optimal u yang memininimumkan J i mana u memenuhi sistem inamik T Q + u T Ru]t (3.1) ẋ A + Bu, (), (3.2) engan engan Q aalah matriks simetris semiefinit positif, R aalah matriks simetris efinit positif, A R n n, B R n m an t. aalah u K, t. Paa sistem (3.2), (t) R n menyatakan vektor keaaan (state), u u(t) R m menyatakan vektor kontrol (input) an t menyatakan waktu. Syarat cukup untuk eksistensi an ketunggalan kontrol optimal tersebut aalah (A, B) apat istabilkan an matriks Q + K T RK aalah efinit positif, i mana K R 1 (P B) T an P aalah solusi yang memenuhi persamaan aljabar Riccati A T P + P A P BR 1 B T P + Q. 4. Ucapan Terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepaa Bapak Muhafzan, Ibu Arrival Rince Putri, Bapak Ami Nazra, Ibu Lyra Yulianti an Ibu Nova Noliza Bakar yang telah memberikan masukan an saran sehingga paper ini apat iselesaikan engan baik. Daftar Pustaka 1] Anton, H. an C. Rorres. 24. Aljabar Linear Elementer Eisi Keelapan. Erlangga, Jakarta. 2] Antsaklis, Panos J. an Anthony N. Michel. 27. A Linear Systems Primer. Birkhauser, Boston. 3] Bolza, O Lectures on The Calculus of Variations. The Decennial Publications, Chicago. 4] Meyer, C.D. 2. Matri Analysis an Applie Linier Algebra. SIAM, New York. 5] Naiu, D.S. 22. Optimal Control Systems. CRC Press, Iaho. 6] Ogata, K. 22. Moern Control Engineering. Aeeizh, Iran. 7] Rugh, W.J Linear System Theory. Prentice Hall, USA.