KENDALI LQR DISKRIT UNTUK SISTEM TRANSMISI DATA DENGAN SUMBER JARINGAN TUNGGAL. Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Tembalang Semarang

Transkripsi

1 KENDALI LQR DISKRIT UNTUK SISTEM TRANSMISI DATA DENGAN SUMBER JARINGAN TUNGGAL Dita Anies Munawwaroh Sutrisno Jurusan Matematika FSM Universitas Diponegoro Jl Prof H Soearto SH Tembalang Semarang itaaniesm@gmailcom tresnomath@unipaci Abstract In this research iscusse about control of ata transmission systems with a single network source Linier quaratic regulator (LQR) control with iscrete time is use to control the systems The linier quaratic regulator (LQR) control is optimal control with quaratic objective function an has linear constrains The control has aim to optimizing the acceptance rate of ata transmission The ata transmission systems have a single network source can receive % the entering ata although have time elay Keywors : linier quaratic regulator control ata transmission systems single network source time elay PENDAHULUAN Selama aba kunci ari teknologi aalah informasi proses an istribusi [] Diantara perkembangan tersebut apat ilihat aanya penemuan jaringan telepon penemuan raio an televisi kelahiran an perkembangan jaringan komputer serta iluncurkannya satelit komunikasi Sebagai hasil ari cepatnya perkembangan teknologi tersebut juga ibutuhkan an ituntut suatu kemampuan untuk segera menyimpan mengirim menyimpan an memproses segala infromasi yang sifatnya muah hilang Pengertian komunikasi ata aalah bagian ari telekomunikasi yang berhubungan engan peminahan ata atau infromasi iantara piranti alam bentuk igital melalui meia komunikasi ata Terapat 3 unsur alam moel komunikasi yaitu sumber ata meia komunikasi an penerima Permasalahan paa jaringan komunikasi yang terhubung aalah perambatan ata paa jaringan yang membutuhkan waktu yang panjang Paahal ata tersebut harus sampai paa penerima sesuai engan waktu yang ibutuhkan (ketepatan waktu) Sehingga sistem transmisi ata membutuhkan perencanaan an pengenalian Perencanaan imaksukan untuk membentuk sistem transmisi ata yang apat menjaga agar proses aliran ata ari sumber (source) menuju ke tempat penerima (receiver) apat berlangsung engan lancer efektif an efisien Seangkan pengenalian imaksukan agar sistem transmisi ata yang telah ijalankan apat berlangsung optimal Berikut ini aalah penelitian yang menasari munculnya penelitian ini yaitu [] membahas tentang penentuan kenali paa masalah perguangan engan menggunakan linier kuaratik kontrol engan input referensi kemuian [3] [4] membahas tentang penentuan kenali paa masalah perguangan engan menggunakan regulator linier kuaratik an [5] membahas tentang penentuan kenali paa masalah transmisi ata engan sumber jaringan tunggal tetapi iasumsikan bahwa hanya ρ ata yang sampai paa penerima (receiver) engan < ρ < [] igunakan sebagai asar untuk menggambarkan proses sistem transmisi ata paa jaringan Selanjutnya proses penyelesaian engan menggunakan teknik kenali regulator linier kuaratik igunakan teori penukung ari [6] [7] an [8] Seangkan untuk penyelesaian 4

2 Jurnal Matematika Vol 7 No3 Desember 4 : 4 - secara aljabar matriks igunakan teori penukung ari [6] Dengan emikian paa penelitian ini penulis akan mengemukakan tentang penyelesaian kenali masalah sistem transmisi ata engan sumber jaringan tunggal an iasumsikan bawa ata akan iterima % kepaa penerima (receiver) engan kata lain ρ = PEMBAHASAN Sistem Transmisi Data paa Jaringan Tunggal Berikut ini ibeikan ilustrasi ari proses komunikasi yaitu sumber (source) membangkitkan ata yang akan itransmisikan kemuian pengirim (transmitter) meminah an menanai ata engan cara yang sama seperti menghasilkan sinyal - sinyal elektromagnetik yang apat itransmisikan melewati beberapa sistem transmisi ata yang berurutan selanjutnya sistem transmisi aalah berapa jalur transmisi tunggal atau jaringan kompleks yang akan menghubungkan sumber an tujuan Data yang ikirim akan sampai paa penerima (receiver) alam bentuk sinyal-sinyal an menggabungkannnya alam bentuk tertentu yang akan itangkap oleh tujuan (estination) Moel alam penelitian ini iasumsikan bahwa sumber ata (source) tunggal akan siap mengirimkan ata secara terus menerus bergantung terhaap waktu Sumber ata akan menerima sinyal ari pengontrol setelah waktu tunggu T selanjutnya sumber ata akan mengirim sejumlah ata yang ibutuhkan alam waktu tunggu T Diasumsikan bahwa ata yang ibutuhkan akan sampai seutuhnya ( %) kepaa penerima (receiver) Pemoelan Matematika Dalam memoelkan sistem transmisi ata akan iberikan variabel-variabel yang berpengaruh alam sistem yaitu T aalah perioe peniskritan kt aalah perioe sampling engan k = 3 L Kemuian RTT aalah waktu perjalanan ata (Roun Trip Time) imana RTT = T + T Untuk selanjutnya RTT iasumsikan aalah perganaan ari perioe penikritan an n RTT suatu integer poistif engan kata lain RTT = nrtt T Selanjutnya u ( kt ) aalah jumlah ata yang ibutuhkan paa saat kt y ( kt ) aalah jumlah ata yang aa paa simpul jaringan y aalah kapasitas maksimal ata yang apat itampung paa simpul jaringan aalah jumlah max maksimum permintaan ata an h( kt ) aalah jumlah barang yang telah ikirim kepaa penerima paa saat kt Dengan kata lain h( kt ) ( kt ) max Berikut ini akan ijelaskan cara menentukan jumlah ata yang terseia x kt engan kata alam simpul jaringan lain aalah ata yang seang alam masa tunggu untuk ikirim kepaa penerima (receiver) Diasumsikan kebutuhan ata ipesan paa saat kt = maka k n k RTT = y kt u jt h jt j= j= Diefinisikan x( kt ) = x ( kt ) x ( kt ) K xn ( kt ) aalah vektor state engan x ( kt ) menyatakan ata alam masa tunggu isimpang jaringan paa saat kt seangkan xi ( kt ) menyatakan banyaknya ata yang ipesan paa saat ( k n + i ) engan n = n RTT + Sehingga apat ibentuk persamaan ruang keaaan an persamaan keluaran alam sistem iskrit LTI sebagai berikut x ( k + ) k = Gx( kt ) + Hu( kt) + vh( kt) T y kt = C x kt () engan G aalah matriks keaaan berukuran n n an HvC aalah vector 5

3 Dita Anies Munawwaroh an Sutrisno (Kenali LQR Diskrit untuk Sistem Transmisi Data engan) berukuran n Bentuk vektor-matriks aalah : K K G = K K K O K ; H = M ; K K v = M ; C = M () Tujuan ari masalah optimal linier kuaratik aalah menentukan aturan kenali yang membawa state awal x = menuju ke x kt = x tak nol engan k = Dibentuk ineks performansi yang bersesuaian engan persamaan ruang keaaan an persaman keluaran tersebut aalah k= { } J ( u) = u ( kt ) + wy y( kt ) (3) Ineks performansi yang igunakan untuk Persamaan (3) aalah ineks performansi yang berbentuk fungsi biaya Fungsi biaya yang imaksukan isini aalah biaya yang timbul selama proses transmisi ata Seangkan aanya konstanta positif w sebagai konstanta pembobotan yang mempengaruhi error ari ata alam masa tunggu an ata yang terkirim Selanjutnya igunakan Kenali Regulator Linier Kuaratik Steay State yang bertujuan menentukan aturan kenali yang membawa state awal taknol menuju ke suatu state nol Akan iefinisikan variable baru sebagai berikut : ( kt ) ( kt ) ss ( kt ) ss = = x% = x x = x x y% kt = y kt y = y kt y u% kt u kt u u kt ss (4) Sehingga iperoleh persamaan ruang keaaan an persamaan keluaran engan ; ; menggunakan variable baru yang iefinisikan paa Persamaan (4) sebagai berikut : x % ( k + ) k = Gx %( kt ) + H u% ( kt ) + v h( kt ) (5) T y% ( kt ) = C x% ( kt ) (6) engan G H v an C sesuai paa Persamaan () Selanjutnya apat igunakan bentuk penyelesaian masalah paa Regulator Linier Kuaratik untuk mencari u% ( kt ) yang meminimalkan ineks perfromansi baru yaitu: T J ( u% ) = [ x% ( kt ) Qx% ( kt ) k = (7) T + u% kt Ru% kt ] 3 Penyelesaian Masalah Regulator Linier Kuaratik-Steay State Tujuan ari penyelesaian paa masalah regulator linier kuaratik steay state aalah menentukan matriks kenali umpan balik yaitu K ( kt ) seemikian sehingga sistem tersebut stabil Berikut ini iberikan Teorema mengenai kenali umpan balik Teorema [6] Misalkan Persamaan () merepresentasikan sistem iskrit LTI iberikan kenali u% kt = K kt x% kt (8) engan K ( kt ) aalah matriks umpan balik maka nilai eigen ari G - HK apat iletakkan paa biang kompleks yang bersesuaian engan memilih matriks K ( kt ) yang sesuai jika hanya jika () terkenali penuh Dan memungkinkan pula K kt seemikian sehingga memilik sistem kontrol tertutup stabil jika hanya jika () apat istabilkan Persamaan Riccati igunakan untuk menapatkan vektor kenali optimal u% kt Di asumsikan bahwa λ ( kt ) = P ( kt ) x% ( kt ) (9) 6

4 Jurnal Matematika Vol 7 No3 Desember 4 : 4 - engan P aalah matriks simetris engan kata lain P T = P an P Selanjutnyam ilakukan proses operasi matriks hingga iperoleh matriks P an K aalah P = G T P T I + HH P H + Q () K = H T P T I + HH P G () Untuk mencari matriks P akan igunakan iterasi matriks yang bertujuan agar setiap elemen paa matriks P apat inyatakan alam ua variabel yaitu p an w Suatu matriks simetris P berbentuk p p p3 K p n p p p3 p K n P = p3 p3 p33 K p 3n K K K O K pn pn pn3 K p nn () Iterasi iteruskan hingga seluruh elemen terganti sehingga iperoleh pola paa matriks P aalah sebagai berikut p p w p w K p ( n ) w p p w p w K p ( n ) w p3 p3 p w K p ( n ) w (3) K K K O K p n p n p3 n p ( n ) w K engan p = nw + p ( n ) w + (4) Persamaan (4) mempunyai akar w ( n ) w ± w + 4 p ± = (5) Selanjutnya iperoleh matriks K yaitu K = [ K ] α (6) engan ( 4) w w + w α = (7) Akhirnya ihasilkan n u% ( kt ) = α y y( kt ) u ( k j) T j= (8) k = α y y( kt ) u( jt ) j= np 4 Analisis Kestabilan Kestabilan sistem iskrit LTI apat ianalisis engan melihat nilai eigen ari sistem tersebut Selanjutnya akan icari nilai eigen yang bersesuaian engan matriks G-HK yaitu z = µ z = µ K z = µ n z = µ n yang berasal ari persamaan karakteristik zi ( G - HK ) = (9) engan I aalah matriks Ientitas Ekspansi laplace igunakan untuk mencari hasil ari Persamaan (9) sebagai berikut zi G - HK = z K z K M M M O M = K α α α K z + α z K M M O M ( z ) K α α K α K z K + α M M O M = K n 3 z ( z ) z α z + α n 3 + α z = z n z z α = () Diperhatikan Persamaan () bahwa nilai eigen yang ihasilkan aalah µ = µ = K = µ n = an µ n = α Suatu sistem iskrit ikatakan stabil jika 7

5 Dita Anies Munawwaroh an Sutrisno (Kenali LQR Diskrit untuk Sistem Transmisi Data engan) moulus ari nilai eigen kurang ari satu Sehingga kestabilan sistem () bergnatung paa nilai α yaitu µ n < α < < α < Jai sistem () akan stabil jika memiliki < α < Diperhatikan Persamaan (7) secara grafis apat ilihat nilai α untuk sistem paa Persamaan () aalah Gambar Hubungan antara w terhaap α Dari Gambar apat ilihat bahwa untuk sebarang nilai w maka < α < Dengan emikian apat ipastikan sistem akan selalu stabil asimtotik 5 Sifat-sifat ari Sistem Transmisi Data engan Sumber Jaringan Tunggal Berikut ini akan ijelaskan sifat-sifat ari moel sistem transmisi ata engan sumber jaringan tunggal Teorema pertama menefinisikan bahwa jumlah ata yang aa paa simpul jaringan tiak akan melebihi kapasitas maksimal paa simpul tersebut Teorema Jika Persamaan (8) iaplikasikan paa sistem iskrit LTI paa Persamaan () maka jumlah ata yang beraa i simpul jaringan akan selalu memenuhi k y ( kt ) y Bukti Misalkan serangkaian ata membutuhkan waktu tunggu selama RTT sehingga paa saat kt RTT simpul jaringan alam keaaan kosong Inuksi matematika igunakan untuk membuktikan teorema i atas Diberikan persamaan m u( mt ) = α y y( mt ) u ( jt ) () j= nrtt lalu isubstitusikan persamaan m n m () RTT = y mt u jt h jt j= j= sehingga iperoleh m m u ( mt ) = α y u ( jt ) + h( jt ) j= j= Untuk m = iperoleh u T = α y u T + h T (3) { } u ( T ) + h( T ) = y u ( T ) α Akibatnya iperoleh y ( T ) = u ( T ) h( T ) y Selanjutnya iberikan sebarang integer positif m anaikan berlaku y ( mt ) y maka akan ibuktikan bahwa untuk m + akan berlaku juga y ( m + ) T y Untuk m + iperoleh y ( m + ) T = y ( mt ) + u ( m nrtt ) T (4) h ( mt ) Kemuian substitusikan Persamaan (3) ke alam Persamaan (4) sehingga iperoleh y ( m + ) T = y ( α ) y y ( mt ) (5) m α h ( jt ) h ( mt ) j = m nrtt Dikarenakan paa Persamaan (7) iperoleh bahwa α ( ) an h( kt ) selalu bernilai non-negatif akibatnya Persamaan (5) akan berlaku y ( m + ) T y ( α) y y( mt ) (6) Selanjutnya karena untuk sebarang integer m engan m n RTT + berlaku y mt y akibatnya Persamaan (6) akan berlaku juga y m + T y Terbukti bahwa suatu integer positif m + akan berlaku y m + T y Pembuktian teorema 8

6 Jurnal Matematika Vol 7 No3 Desember 4 : 4 - selesai an terbukti bahwa untuk setiap y kt y k akan berlaku Selanjutnya teorema keua akan menjamin bahwa jumlah ata yang beraa i simpul jaringan akan selalu apat memenuhi kebutuhan ata yang iperlukan oleh penerima (receiver) Teorema 3 Jika Persamaan (8) iaplikasikan paa sistem iskrit LTI paa Persamaan () an kapasitas maksimal paa simpul jaringan memenuhi y > max nrtt + α maka jumlah ata yang beraa paa simpul jaringan akan selalu positif tegas (strictly positve) untuk sebarang k n RTT + Bukti: Misalkan serangkaian ata membutuhkan waktu tunggu selama RTT engan RTT = nrttt Sehingga setelah waktu tunggu terlewati simpul jaringan akan terisi engan serangkaian ata yang telah ipanggil engan kata lain y ( k = nrtt + ) T > Akan ibuktikan teorema i atas berlaku untuk sebarang m engan m n RTT + Pembuktian teorema i atas menggunakan inuksi matematika Diperhatikan kembali Persamaan (3) saat m = maka u ( T ) = α y sehingga untuk m = iperoleh y T = α y h T Karena iasumsikan bahwa h( kt ) max maka y ( T ) α y max Telah iketahui bahwa y > max nrtt + yang akan α menjamin bahwa akan selalu berlaku y ( T ) Selanjutnya iberikan sebarang integer positif m anaikan berlaku y ( mt ) > maka harus ibuktikan bahwa untuk sebarang integer m + akan berlaku y ( m + ) T > (5) engan α ( ) maka berlaku Diperhatikan Persamaan m y ( m + ) T α y h( jt ) j= m nrtt (7) h( mt ) α Karena iasumsikan bahwa h( kt ) max akibatnya ari Persamaan (7) akan berlaku y ( m+ ) T α y max nrtt max (8) α Telah iketahui bahwa y > max nrtt + sehingga menjamin α y m + T > Jai terbukti bahwa untuk sebarang integer positif m + akan berlaku bahwa y m + T > Pembuktian secara inuksi matematika selesai an terbukti bahwa jumlah barang yang beraa i simpul jaringan akan selalu positif tegas (stricly positive) untuk setiap k n RTT + Teorema terakhir akan menjamin bahwa jumlah ata yang ibutuhkan oleh penerima akan selalu bernilai non-negatif an terbatas Teorema 4 Jika Persamaan (8) iaplikasikan paa sistem iskrit LTI paa Persamaan () maka jumlah ata yang ibutuhkan akan selalu non-negatif an terbatas yaitu k u ( kt ) max ( α y max ) Bukti Inuksi matematika akan igunakan untuk membuktikan Teorema 4 Diperhatikan kembali Persamaan (3) selanjutnya untuk sebarang integer m = akan ibuktikan bahwa u ( T ) max ( α y max ) Saat m = iperoleh u T = α y sehingga iapatkan ( ) = α α + ( ) u T y y h T 9

7 Dita Anies Munawwaroh an Sutrisno (Kenali LQR Diskrit untuk Sistem Transmisi Data engan) Karena iasumsikan bahwa h kt akibatnya max u ( T ) α y max + (9) Dari Persamaan (9) apat ikatakan bahwa u ( T ) max ( α y max ) an karena jumlah barang yang ipesan selalu non-negatif maka terbukti bahwa u ( T ) max ( α y max ) Selanjutnya iambil sebarang integer positif m anaikan berlaku u mt max α y maka akan max ibuktikan bahwa untuk sebarang integer positif m + juga akan berlaku u ( m + ) T max ( α y max ) Diperhatikan kembali Persamaan (3) saat m + maka akan berlaku u ( m + ) T = u ( mt ) αu ( mt ) (3) + αh( mt ) Oleh karena telah iketahui bahwa untuk h kt setiap m akan berlaku max u ( mt ) max ( α y max ) serta α ( ) akibatnya terbukti bahwa u ( m + ) T max ( α y ) max Pembu ktian selesai an terbukti bahwa untuk setiap k akan berlaku u kt max α y max 3 PENUTUP Berasarkan hasil ari stui literatur maka apat iberikan kesimpulan bahwa sistem transmisi ata engan sumber jaringan tunggal apat ibentuk menjai persamaan ruang keaaan an persamaan keluaran alam bentuk sistem iskrit LTI Selanjutnya ari keua persamaan tersebut apat icari kenali optimal sistem transmisi ata engan menggunakan teknik kenali regulator linier kuaratik Hasil kenali menjamin sistem transmisi ata akan stabil asimtotik Serta sifat-sifat sistem yang telah ikenalikan memperlihatkan bahwa jumlah ata yang beraa paa simpul jaringan tiak akan melebihi kapasitas maksimal jumlah ata yang beraa paa simpul jaringan juga apat memenuhi seluruh pesanan ata yang ibutuhkan oleh penerima (receiver) an jumlah ata yang ikirim oleh sumber (source) akan selalu bernilai non-negatif an terbatas 4 DAFTAR PUSTAKA [] Ogata K (995) Discrete Time Control Systems Prentice-Hall [] AS Tanenbaum an DJ Wetherall () Computer Networks Prentice-Hall [3] Ignaciuk P an Bartoszewicz (3) Linear Quaratic Optimal Congestion Control Strategy for Connection-oriente Networks with Lossy Links IEEE Transaction Control Systems Technology / [4] Munawwaroh Dita Anies an Salmah (4) Tesis : Kenali LQR Diskrit paa Sistem Perguangan engan Kebijakan Peninjauan Berkala UGM Yogyakarta [5] Ignaciuk P an Bartoszewicz() Linear-Quaratic Optimal Control Strategy for Perioic-Review Inventory Systems Automatica 46 : [6] Kwakernaak Huibert (97) Linier Optimal Control Systems John Wiley an Sons Canaa [7] Mital KV (976) Optimization Methos in Operations Research an Systems Analysis Wiley Eastern Limite New Delhi [8] Olser GJ (994) Mathematical Systems Theory Delft The Netherlans