DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA"

Ari Darmali
7 tahun lalu
Tontonan:

1 DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA Tujuan instruktusional khusus : Diharapkan mahasiswa apat memahami konsep iferensial an memanfaatkannya alam melakukan analisis bisnis an ekonomi yang berkaitan engan masalah perubahan penentuan tingkat maksimum an minimum. Materi embahasan : 1. Elastisitas. Biaya Marjinal 3. enerimaan Marjinal 4. Utilitas Marjinal 5. rouk Marjinal 6. Analisis rofit Maksimum 1

2 1. Elastisitas Elastisitas ari suatu fungsi y = f (x) berkenaan engan x apat iefinisikan sebagai: E E Berarti bahwa elastisitas y = f (x) merupakan limit ari rasio antara perubahan relatif alam y terhaap perubahan relatif alam x, untuk perubahan x yang sangat kecil atau menekati nol, engan kata lain elastisitas y terhaap x apat juga ikatakan sebagai rasio antara persentase perubahan y terhaap persentase perubahan x. 1. Elastisitas ermintaan y x y / y lim x 0 x / x y x Menunjukkan besarnya perubahan jumlah barang yang iminta isebabkan karena aanya perubahan harga. Jai merupakan rasio antara * x y persentase perubahan jumlah barang yang iminta terhaap persentase perubahan harga. Jika fungsi puritan inyatakan engan Q = f (p) maka elastisitas permintaannya : % Q % EQ E ( Q / Q) lim 0 ( / ) Q * Q ermintaan akan suatu barang ikatakan bersifat : Elastis apabila > 1 yang artinya jika harga barang berubah sebesar persentase tertentu maka jumlah barang yang iminta akan berubah (secara berlawanan arah) engan persentase yang lebih besar aripaa persentase perubahan harganya. Unitary elastis apabila = 1 yang artinya jika harga barang berubah sebesar persentase tertentu maka jumlah barang yang iminta akan berubah (secara berlawanan arah) engan persentase yang sama besar aripaa persentase perubahan harganya. Inelastis apabila < 1 yang artinya jika harga barang berubah sebesar persentase tertentu maka jumlah barang yang iminta akan berubah (secara berlawanan arah) engan persentase yang lebih kecil aripaa persentase perubahan harganya.

3 Contoh : Fungsi permintaan akan suatu barang itunjukkan engan persamaan Q = 5 3². Tentukan elastisitas permintaan paa tingkat harga = 5. Q 5 3 Q Q ' 6 Q * Q 6 * (5)* 3( elastis) 5 75 = 3 berarti bahwa apabila, ari keuukam =5, harga naik (turun) sebesar 1% maka jumlah barang yang iminta akan berkurang (bertambah) sebanyak 3%.. Elastisitas enawaran Menunjukkan besarnya perubahan jumlah barang yang itawarkan isebabkan karena aanya perubahan harga. Jai merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah barang yang itawarkan terhaap persentase perubahan harga. Jika fungsi penawaran inyatakan Q s = f () maka elastisitas penawarannya : % Qs s % EQs E ( Qs / Q) lim 0 ( / ) Qs * Q s enawaran akan suatu barang ikatakan bersifat : Elastis apabila s >1 yang artinya jika harga barang berubah sebesar persentase tertentu maka jumlah barang yang itawarkan akan berubah (secara searah) engan persentase yang lebih besar aripaa persentase perubahan harganya. Unitary elastis apabila s = 1 yang artinya jika harga berubah sebesar persentase tertentu maka jumlah barang yang itawarkan akan berubah (secara searah) engan persentase yang sama besarnya aripaa persentase perubahan harganya. 3

4 Inelastis apabila s <1 yang artinya jika harga barang berubah Contoh : sebesar persentase tertentu maka jumlah barang yang itawarkan akan berubah (secara searah engan persentase yang lebih kecil aripaa persentase perubahan harganya. Fungsi penawaran akan suatu barang itunjukkan engan persamaan Q s = ² Tentukan elastisitas penawaran paa tingkat harga = 10. Qs Qs ' 14 Qs s * Q s 14* (10)*,8( elastis) s =,8 berarti bahwa apabila, ari keuukan = 10, harga naik (turun) sebesar 1% maka jumlah barang yang itawarkan akan bertambah (berkurang) sebanyak,8%. 3. Elastisitas rouksi Menunjukkan besarnya perubahan jumlah keluaran (output) yang ihasilkan akibat aanya perubahan jumlah masukan (input) yang igunakan. Jai merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah keluaran terhaap persentase perubahan jumlah masukan. Jika fungsi prouksi inyatakan engan = f (x), maka elastisitas prouksinya : % E ( / ) lim % x EX x0 ( x / x) X p * x rouksi akan suatu barang ikatakan bersifat : Elastis apabila p > 1 yang artinya jika jumlah input berubah sebesar persentase tertentu maka jumlah output akan berubah (secara searah) engan persentase yang lebih besar aripaa persentase perubahan inputnya. Unitary elastis apabila p =1 yang artinya jumlah input berubah sebesar persentase tertentu maka jumlah output akan berubah (secara searah) engan persentase yang sama besarnya aripaa persentase perubahan inputnya. 4

5 Inelastis apabila p < 1 yang artinya jika jumlah input berubah sebesar persentase tertentu maka jumlah output akan berubah (secara searah) engan persentase yang lebih kecil aripaa persentase perubahan inputnya. Contoh : Fungsi prouksi akan suatu barang itunjukkan engan persamaan = 6x² - x³ Tentukan elastisitas prouksi paa tingkat penggunaan faktor prouksi sebanyak 3 unit. x 3 ' 6x x 1x 3x x p * 1x 3x * x x 3 ( 36 7)* 1(unitary elastis) 54 7 p = 1 berarti bahwa apabila, ari keuukan X = 3, maka jika jumlah input inaikkan (iturunkan) sebesar 1 % maka jumlah output akan bertambah (berkurang) sebesar 1 %.. Biaya Marjinal Biaya marjinal (Maginal Cost = MC) ialah biaya tambahan yang ikeluarkan untuk menghasilkan suatu unit tambahan prouk. Secara matematik fungsi biaya marjinal merupakan turunan pertama ari fungsi biaya total. Jika fungsi biaya total inyatakan engan C = f (Q) imana C aalah biaya total an Q melambangkan jumlah prouk, maka biaya marjinalnya : MC = C c' = Q Contoh : Biaya total : C = f (Q) = Q³ - 3 Q² + 4 Q + 4 Biaya Marjinal : MC = C = C/Q = 3Q² - 6Q + 4 aa umumnya fungsi biaya total yang non linear berbentuk fungsi kubik sehingga fungsi biaya marjinalnya berbentuk fungsi kuarat. 5

6 C = Q³ -3 Q² + 4Q + 4 MC = C = 3Q² - 6Q + 4 (MC) = C = 6Q - 6 MC minimum jika (MC) = 0 (MC) = 0 6 Q 6 = 0 Q = 1 aa Q = 1 MC = 3 (1)² - 6(1) + 4 = 1 C = 1³ - 3(1)² + 4(1) + 4 = 6 3. enerimaan Marjinal Aalah penerimaan tambahan yang iperoleh berkenaan bertambahnya satu unit keluaran yang iprouksi atau terjual. Secara matematik fungsi penerimaan marjinal merupakan turunan pertama ari fungsi penerimaan total. Jika fungsi penerimaan total inyatakan engan R = f(q) imana R aalah penerimaan total an Q melambangkan jumlah keluaran, maka penerimaan marjinalnya : Contoh : MR R' Anaikan fungsi permintaan akan suatu barang itunjukkan oleh = 16 Q, maka R Q R= 16Q- Q² enerimaan total : R = *Q = f(q) = 16Q Q² enerimaan marjinal : MR = R = 16 4Q aa MR = 0, Q = 4 = 16 (4) = 8 R =16(4) (4)² = 3 6

7 4. Utilitas Marjinal Aalah utilitas tambahan yang iperoleh konsumen berkenaan bertambahnya satu unit barang yang ikonsumsinya. Secara matematik fungsi utilitas marjinal merupakan turunan pertama ari fungsi utilitas total. Jika fungsi utilitas total inyatakan engan U = f(q) imana U aalah utilitas total an Q melambangkan jumlah barang yang ikonsumsi, maka utilitas marjinalnya : MU = U' = U Q Contoh : U = f(q) = 90Q 5 Q² MU = U = 90 10Q U maksimum paa MU = 0 MU = 0; Q = 9 U maks = 90(9) 5(9)² = = rouk Marjinal Aalah prouk tambahan yang ihasilkan ari satu unit tambahan faktor prouksi yang igunakan. Secara matematik fungsi prouk marjial merupakan turunan pertama ari fungsi prouk total. Jika fungsi prouk total inyatakan engan = f(x) imana aalah prouk total an X melambangkan jumlah masukan, maka prouk marjinalnya M ' X Contoh : rouksi total = = f(x) = 9x² - x³ rouk marjinal = M = = 18x 3x² maksimum paa = 0 yakni paa X = 6 engan maks beraa paa titik belok an M maks paa = (M) = 0 ; Yakni paa X = 3 7

8 6. Analisis rofit Maksimum Tingkat prouksi yang memberikan keuntungan maksimum apat isiik engan penekatan iferensial. Karena penerimaan total (Revenue, R) maupun biaya (Cost, C) sama-sama merupakan fungsi ari jumlah keluaran yang ihasilkan/terjual (Quantity, Q), maka i sini apat ibentuk suatu fungsi baru yaitu fungsi keuntungan (π). Aa ua syarat agar iperoleh suatu keuntungan maksimum (maximum profit): 1. π = 0. π < 0, imana π = R C Contoh Diketahui: R = Q Q C = Q 3 59Q Q Ditanyakan: a. Berapa tingkat prouksi yang menghasilkan keuntungan maksimum? b. Berapa biaya yang ikeluarkan untuk menghasilkan keuntungan maksimum? c. Berapa besarnya penerimaan paa saat perusahaan mencapai keuntungan maksimum?. Berapa harga jual per unit paa saat perusahaan mencapai keuntungan maksimum? e. Berapa besarnya keuntungan maksimum tersebut? 8

9 enyelesaian: a. π = R C = ( Q Q) (Q 3 59Q Q + 000) π = Q Q 315Q 000 π = 3Q + 114Q 315 Agar keuntungan maksimum: Syarat 1. π = 0 π = 3Q + 114Q 315 = 0 Maka iapat Q 1 = 3 an Q = 35 (engan rumus abc maupun engan pemfaktoran) Syarat. π < 0, Q 1 = 3, π = 6Q = = 96 Q = 35, π = 6Q = = 96 Karena syarat ke untuk Q = 35 hasilnya < 0, maka tingkat prouksi yang menghasilkan keuntungan maksimum aalah Q = 35 unit. b. Biaya yang menghasilkan keuntungan maksimum: C = Q 3 59Q Q C = (35 ) (35) C = c. Besarnya penapatan: R = Q Q R =.(35 ) (35) R = Harga jual per unit: R =.Q, maka = R/Q = 3550/35 = 930/unit e. Aapun besarnya keuntungan maksimum tersebut aalah: π = - (35) (35) 315 (35) 000 = atau: π = R C π = =

10 Latihan Diketahui: 1. R = 6Q Q C = Q 3 Q + 40Q = 0,Q C = 0,05Q 3 0,Q + 17Q = 3Q + 16 Ditanyakan: C = 0,08Q 3 3Q + 10Q + 00 a. Berapa tingkat prouksi yang menghasilkan keuntungan maksimum? b. Berapa biaya yang ikeluarkan untuk menghasilkan keuntungan maksimum? c. Berapa besarnya penerimaan paa saat perusahaan mencapai keuntungan maksimum?. Berapa harga jual per unit paa saat perusahaan mencapai keuntungan maksimum? e. Berapa besarnya keuntungan maksimum tersebut? Daftar ustaka: 1. Dumairy. Matematika Terapan untuk Bisnis an Ekonomi Yogyakarta.. Dowling Ewar. Matematika untuk Ekonomi Jakarta 10

dokumen-dokumen yang mirip

Aplikasi Turunan. Applied Derivatives A. Menentukan kemiringan (gradien) garis singgung kurva. Persamaan garis singgung kurva y = f ( x)

Aplikasi Turunan. Applied Derivatives A. Menentukan kemiringan (gradien) garis singgung kurva. Persamaan garis singgung kurva y = f ( x) Applie Derivatives 0 Aplikasi Turunan A. Menentukan kemiringan (graien) garis singgung kurva. ersamaan garis singgung kurva y f ( x) i titik T(, ) aalah y s ( f ( x ))( x x ) + y Atau y m( x ) engan m