CATATAN KULIAH Pertemuan XII: Optimasi dengan Kendala Persamaan dan Aplikasinya

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "CATATAN KULIAH Pertemuan XII: Optimasi dengan Kendala Persamaan dan Aplikasinya"

Suparman Iskandar
7 tahun lalu
Tontonan:

1 CATATAN KIAH ertemuan XII: Optimasi enan Kenala ersamaan an Aplikasina A. Efek ari Satu Kenala Tujuan utama iunakanna sebuah kenala aalah memberi tanun jawab kepaa faktor-faktor pembatas (constrains) tertentu alam masalah optimasi. Misalkan Funsi tilitas seerhana : Jika konsumen inin membelanjakan 6 ollar, an hara baran an, maka terapat kenala anaran (buet constrain): 6 Kenala ini menebabkan pilihan an menjai salin terantun. ntuk melihat efek kenala ini, apat ilakukan substitusi : 3 ( 3 ) Ambil erivatifna : u 3 Hasilna aalah :,, 8 8 ji erivatif ore keua: u (ma) B. encarian Nilai-nilai Stasioner Baaiman jika kasusna: Bentuk funsional kenala kompleks Terapat banak kenala Maka apat iunakan Metoe enali-arane Inti ari metoe penali-arane aalah menubah persoalan titik ekstrem terkenala menjai persoalan ekstrem bebas kenala. Konisi Ore ertama: menjamin kenala akan ipenuhi, mentransformasikan funsi terkenala enan n variabel menjai Funs tanpa kenala enan n variabel

2 Funsi arane : f(, ) [c - (, )]; enan f(,)funsi objektif ; (,)funsi kenala ; an penali arane Contoh: Funsi tilitas ), ( Kenala anaran : 6 C Funsi arane: ( ) 6 Metoe penali-arane membuat penekatan funsi tanpa Kenala an suah ibahas sebelumna apat iunakan: Konisi ore pertama untuk, aalah: Jika Konisi Ore ertama: ipenuhi, maka kenala akan ipenuhi: 6 an Selanjutna iapat: Atur alam bentuk matriks: bentuk matriks 6 A Kemuian pecahkan untuk,, enan Aturan Cramer Jacobian matri J J J

3 J J () 8 () Nilai Stasioner i atas perlu iuji lai enan Sarat Ore Keua sebelum iketahui maksimum atau minimum atau bukan keuana. enekatan Diferensial Total Diferensial ari f(,) : f f Diferensial ari (,) : imana an berantun satu enan an lain Graien ari kurva isokuan : / -f / f Graien ari kurva kenala : / - / Maka iapat persamaan : - / -f / f Apakah penekatan iferensial total menhasilkan konisi ore pertama an sama enan metoe penali arane? Dari metoe enali arane iapat: f / f / Hal ini menhasilkan informasi an tepat sama enan hasil penekatan iferensial total. Selanjutna apat iintrepretasikan terseniri. Intrepetasi ari enali arane aalah ukuran sensitivitas ari terhaap perubahan ari kenala c, an : bersifat enoen, an c : bersifat eksoen F(,, ; c) Diferensial total ari funsi implisit aalah: /c,

4 sehina apat iintrepetasikan sebaai ukuran penaruh suatu perubahan i alam kenala melalui parameter c terhaap perubahan nilai optimal ari funsi objektifna C. Sarat Ore Keua enali arane tiak mempunai efek paa nilai stasioner Z karena kenala sama enan nol, tetapi menakibatkan Sarat Ore Keua an baru iperlukan untuk menuji nilai stasioner Z Aana kenala menubah konisi untuk maksimum relatif atau minimum relatif. Ilustrasi: I. Kasus tanpa kenala z z(, ) Diferensial Ore ertama : z z z Diferensial Ore Keua : alam bentuk matriks : z z z z z z z z z z [ ] Maka uji Hessian untuk kasus tanpa kenala (Free Etremum Hessian tests) :. z aalah maksimum relatif jika z aalah efinit neatif, aitu jika : H <, H, H3 <,. z aalah minimum relatif jika z aalah efinit positif, aitu jika : H, H, H3, II. Kasus enan kenala z a h b kenala : α β pecahkan kenala untuk : α β substitusikan ke funsi objektif: z α α β β a h b z ( aβ α β h bα ) β

5 z jika aβ α β h bα Seankan H α β α a h β h b - aβ α β h - bα Maka z efinit positif minimum relatif jika H α β α a h β h < b Maka uji Hessian Terbatas untuk kasus enan kenala (Borere Hessian tests) :. z aalah maksimum relatif jika z aalah efinit neatif ( ), aitu jika : H. z aalah minimum relatif jika z aalah efinit positif ( ), aitu jika : H < ji Hessian Terbatas Jika z f(,) enan kenala (,) k Funsi anranena: (,, ) f(,) [(,) k] ntuk membuktikan apakah titik ekstrim an itemukan merupakan titik maksimum atau minimum, an merupakan sarat cukup untuk titik ekstrim relatif, maka icari MATRIKS HESSIAN TERBATAS (BORDERED HESSIAN MATRIX) sebaai berikut: H i mana: turunan pertama kenala terhaap. turunan pertama kenala terhaap. turunan ari terhaap. turunan ari terhaap. turunan ari terhaap. turunan ari terhaap. Bila H maka funsi tersebut mempunai titik maksimum relatif.

6 Bila H < maka funsi tersebut mempunai titik minimum relatif. Kasusn n-variabel Jika funsi objektifna mempunai bentuk : zf(,,..., n ) enan sarat (,,..., n )c Funsi anranena: (,,..., n, ) f(,,..., n ) [(,,..., n ) k] MATRIKS HESSIAN TERBATAS (BORDERED HESSIAN MATRIX) sebaai berikut: H n Maka uji Hessian Terbatas untuk kasus enan kenala (Borere Hessian tests) :. z aalah maksimum relatif jika z aalah efinit neatif ( ), aitu jika : minor utama H, H3 <, H. z aalah minimum relatif jika z aalah efinit positif ( ), aitu jika : minor utama H <, H3 <, H < Contoh: Funsi tilitas (, ) Kenala anaran : C 6 (, ) 6 Funsi arane: ( 6 ) Dalam baian sebelumna telah iapatkan nilai stasioner contoh ini sbb: () 8 () 8 8 ji Hessian Terbatas : H 6 Yan memastikan nilai sebaai suatu maksimum relatif. n n n n n nn

7 Note: Seperti ana lihat elemen-elemen matriks Hessian hampir sama enan matriks Jacobian, kecuali baian an berlawanan tana antara matriks Hessian an matriks Jacobian. Walaupun beitu perhitunan Determinanna mempunai nilai an sama. D. Aplikasi ari Optimasi enan Kenala ersamaan Memaksimumkan tilitas an ermintaan Konsumen Misalkan terapat pilihan ua baran saja, imana keuana mempunai funsi utilitas marinal postif (, ) an kontinu. Hara keua baran itentukan oleh pasar sehina bersifat eksoen. Jika aa beli konsumen aalah B, maka persoalanna aalah pemaksimuman funsi utilitas : (,) enan sarat: B Funsi aranena: Z (, ) ( B ) Sarat Ore ertama: Z B Z Z Diferensial Funsi Implisitna:. Dalam bentuk matriks: B B Sarat Ore ertama Sarat ore pertama ekuivalen enan persamaan berikut:, B Kurva tilitas iniferens (, )

8 Denan implikasi neatif r rasio utilitas marjinal ntuk Garis anaran, apat itulis sebaai: B B, Bentuk an baru ini apat iinterpretasikan sbb: alam memaksimumkan utilitas, konsumen harus menalokasikan anaran sehina kemirinan/leren aris anaran sama enan kemirinan kurva iniferens. Sarat Ore Keua Jika Hessian Terbatas na aalah positif maka: H H : efinit neatif ma Di sini nilai stasioner ipastikan maksimum. I. Kemirinan kurva iniferen telah ijamin oleh neatif r rasio utilitas marjinal, Seankan kecembunan sempurna ijamin oleh ntuk menapatkan, apat iiferensiasikan, sbb: b ( ( ) ( )

9 Sehina i apat: ( ) ( ) ( ) ( ) peneerhanaan, subtitusi, Kurvatur ari funsi utilitas iniferens aalah : positif,, : apat Sh i maksimum, (efinit neatif) sehina positif, H H H enan H Interpretasi ari aalah : Kurva tilitas Iniferensna Cembun sempurna paa titik sinunna.

10 Kuantitas Q aris anaran kemirinan B Kurva iniferens C A kemirinan Kuantitas Q atihan. Diketahui funsi kepuasan (utilit) seoran konsumen an menkonsumsi baran X an Y aalah, an funsi anaran ari konsumen itu aalah p p I, imana: an jumlah baran X an Y an ikonsumsi (alam unit). hara baran $3. hara baran $6. I income konsumen $8. Berapa unit an an harus ikonsumsi konsumen itu aar kepuasanna maksimum? Berapa kepuasan maksimumna?

dokumen-dokumen yang mirip

CATATAN KULIAH #8 Optimasi Dengan Kendala Persamaan dan Aplikasinya. Sumber: Alpha C. Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Ch.

CATATAN KULIAH #8 Optimasi Dengan Kendala Persamaan dan Aplikasinya. Sumber: Alpha C. Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Ch. CATATAN KUIAH #8 Optimasi Denan Kendala Persamaan dan Aplikasinya Sumber: Alpha C. Chian, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Ch.1 6.1 Pendahuluan Sejauh ini, proses optimasi dilakukan tanpa