PENGGUNAAN MODEL EPIDEMI SIR (SUSCEPTIBLES-INFECTED-REMOVED) PADA PENYEBARAN PENYAKIT HIV/AIDS DI MAKASSAR

Transkripsi

1 PENGGUNAAN MODEL EPIDEMI SIR (SUSCEPTIBLES-INFECTED-REMOVED) PADA PENYEBARAN PENYAKIT HIV/AIDS DI MAKASSAR M. Ras Rwa, Farah Program Stu Peka Matematka STKIP YPUP Makassar, Program Stu Peka Matematka STKIP YPUP Makassar, ABSTRAK, Peelta megguaka ata jumlah peuuk Kota Makassar a jumlah vu yag terfeks peyakt HIV/AIDS mula tahu 4 s. 6 peroleh moel peyebara peyakt HIV/AIDS ega pegguaa moel epem SIR ega ttk ekulbrum ( S,I ) = ( 565,476795). Kemua berasarka la ege matrks Jacob peroleh ttk ( S,I ) tersebut bersfat stabl asmtotk ega la la ege λ=-, a λ = -9, 4. Selajutya, peroleh blaga reprouks asar, yak R = 9, 47, yag meujukka bahwa satu vu yag terfeks, rata-rata apat meularka kepaa 9 hgga 9 jwa vu reta terhaap peyakt HIV/AIDS. Dalam hal, peyakt tersebut Kota Makassar aka bersfat eemk alam kuru waktu tahu ke epa. Hal buktka ega smulas umerk megguaka software Maple a Matlab ega melhat perlaku solus peyelesaa S ( t) a I ( t) utuk kuru waktu t yag relatf lama. Kata Kuc: Moel Epem SIR, Ttk Ekulbrum, Kestabla Ttk Ekulbrum, Smulas Numerk. PENDAHULUAN Dalam beberapa tahu terakhr, peyakt HIV/AIDS merupaka peyakt ega tgkat peyebara yag sagat megkhawatrka meskpu berbaga upaya pecegaha a peaggulaga terus lakuka. Hal kareaka semak tggya mobltas peuuk atarwlayah, semak muahya komukas atarwlayah, megkatya perlaku seksual yag tak ama serta megkatya peyalahguaa NAPZA melalu sutka. Perkembaga kasus HIV/AIDS Makassar ar tahu ke tahu ceerug megalam pegkata. Paa tahu temuka 37 peerta HIV a 87 peerta AIDS a megkat tahu yatu 56 peerta HIV yag temuka Puskesmas a Rumah Sakt a 448 peerta AIDS temuka Rumah Sakt. Aka tetap, paa tahu, kasus HIV AIDS meuru bagka tahu sebelumya yatu 493 kasus yag temuka Puskesmas a Rumah Sakt a kasus AIDS meuru meja 47 kasus yag temuka Rumah Sakt. Serg ega perkembaga lmu pegetahua, perkembaga lmu bag matematka memberka peraa petg alam megaalss a megotrol peyebara peyakt. Peraa tersebut berupa moel matematka yag mempelajar peyebara peyakt. Peyakt HIV/AIDS apat moelka ega megguaka moel epemolog yak moel epem SIR (Susceptbles-Ifecte- Remove). Moel epem SIR merupaka moel epem ega karakterstk bahwa setap vu reta terfeks suatu peyakt, otaska ega S (susceptbles), kemua vu yag reta terfeks tersebut berteraks ega vu yag terfeks, a akhrya setap vu yag terfeks otaska ega I (fecte). Selajutya, ega pegobata mes, vu yag terfeks mugk aka sembuh, yag otaska ega R (remove). Moel epem SIR lah yag selajutya guaka utuk memoelka peyebara peyakt a tulska alam betuk sstem persamaa feresal a lebh lajut aplkasya lakuka utuk meyelk perlaku peyebara peyakt yag bcaraka.. TINJAUAN PUSTAKA Sstem Persamaa Dferesal Dberka sstem persamaa feresal berkut: = f ( x, x,..., x ) = f( x, x,..., x ), = f ( x, x,..., x ) (.)

2 Jural MSA Vol. 6 No. E. Jul-Desember 8 ega f : E,, j =,,..., a ( x, x,..., x ) E. Kemua berka syarat awal ( ) (.) apat tuls sebaga x t =x, =,,...,. Sstem x = f( x ) (.) ega (,,..., ) = ( f, f,..., f ) x ( t ) = ( x, x,..., x ) E ( t) = ( t ) t x =, x x x E f, a syarat awal (, ). Selajutya, otas x x x meyataka solus Sstem (.) ega la awal x. Ttk Ekulbrum a Krtera Kestabla Ttk paa Sstem Persamaa Dferesal Berkut efska ttk ekulbrum Sstem (.) a berkutya berka krtera kestabla ttk ekulbrum. Defs. (Perko, 99) Ttk x ˆ yag f x ˆ = sebut ttk ekulbrum memeuh Sstem (.). Defs. (Olser, 994) Msalka x ( t) aalah solus ar Sstem (.) a ˆx aalah ttk ekulbrumya. () Ttk ˆx kataka stabl jka utuk setap blaga ε >, terapat blaga = ε > sehgga utuk setap solus x ( t) ega sfat ( t ) ( t) ˆ < ε x x < berlaku ˆ x x, utuk setap t t. () Ttk ˆx kataka stabl asmtotk jka ˆx stabl a terapat > sehgga utuk setap solus x ( t) ega sfat ( t ) ˆ < lm x x berlaku ( t) ˆ = t x x. () Ttk ˆx kataka tak stabl jka tak memeuh (). Learsas Sstem Persamaa Nolear Sstem persamaa lear mempuya betuk berkut, yak: = a x + a x a x = ax + ax ax, = a x + a x a x ega (,,..., ) T (.3) x x x B ega B. Sstem (.3) apat tuls alam betuk x t Ax (.4) = ega x B a A erupaka matrks ega ukura, tuls A. Selajutya, berka sstem x t f( x ) (.5) = ega x B a : f merupaka fugs kotu paa B. Kemua Sstem (.5) sebut sstem persamaa olear, jka sstem persamaa tersebut tak bsa yataka sepert paa betuk Sstem (.3). Defs.3 (Kocak a Hale, 99) Dberka fugs = ( f, f,..., f ) ega f C ( B) T f paa Sstem (.), =,,...,, B a ˆx ttk ekulbrum Sstem (.). Kemua matrks f( xˆ) f( xˆ) f( xˆ) x x x f( xˆ) f( xˆ) f( xˆ) Jf ( xˆ ) = x x x (.6) f ( ˆ) ( ˆ) ( ˆ x f x f x) x x x amaka matrks Jacoba fugs f ar Sstem (.) ttk ˆx. Defs.4 (Perko, 99) Dberka matrks x = Jf xˆ x Jacoba (.6). Sstem lear sebut learsas Sstem (.) sektar ttk ekulbrum ˆx. Defs.5 (Perko, 99) Ttk ekulbrum ˆx sebut ttk ekulbrum hperbolk jka semua Jf x ˆ la ege ar matrks Jacoba mempuya baga real tak ol.

3 Jural MSA Vol. 6 No. E. Jul-Desember 8 Teorema.6 (Perko, 99) Dberka matrks Jf xˆ ar Sstem o lear (.). Jacoba () Jka baga real semua la ege λ ar Jf x ˆ berla egatf, maka ttk matrks ekulbrum ˆx stabl asmtotk. () Jka terapat palg sekt satu la ege Jf x ˆ yag baga realya λ matrks postf, maka ttk ekulbrum ˆx tak stabl. Teorema.7 (Perko, 99) Dberka sstem lear berkut: x=ax (.7) a b ega A = c a x x =. Selajutya, x et A τ = trace A msalka = a sehgga () Jka < maka Sstem (.7) merupaka sael paa ttk asal, () Jka > a τ 4 maka Sstem (.7) merupaka oe paa ttk asal. Stabl jka τ < a tak stabl jka τ >, () Jka > a τ 4 < ega τ maka Sstem (.7) merupaka fokus paa ttk asal. Stabl jka τ < a tak stabl jkaτ >, (v) Jka > a τ = maka Sstem (.7) merupaka ceter paa ttk asal. Hmpua Ivara Defs.8 (Khall, ) Hmpua M kataka hmpua Ivara paa Sstem (.), jka utuk setap la awal yag berka, yak =, x t, x M utuk setap x x maka ( ) t a x M. Defs.9 (Boy, 8) Dberka solus x t a ttk ekulbrum Sstem (.), yak x ˆ. Ttk ekulbrum ˆx kataka stabl asmtotk secara meyuluruh (global) jka utuk sebarag la awal x yag berka, maka utuk setap solus paa Sstem (.) yak x ( t) meuju ttk ekulbrum ˆx ega t. 3. METODOLOGI Tahapa Peelta Aapu tahapa atau proseur yag lakuka alam peelta aalah (a) Melakuka pegambla ata Das Kesehata Kota Makassar a Baa Pusat Statstka Kota Makassar; (b) Melakuka aalss eskrptf ata sebaga gambara awal peyebara peyakt HIV/AIDS Makassar; (c) Membuat asums berasarka ata-ata yag peroleh a megguaka moel epem SIR paa peyebara peyakt HIV/AIDS tersebut ke betuk sstem persamaa feresal; () Melakuka aalss ttk ekulbrum a kestabla ttk ekulbrum moel epem SIR paa peyebara peyakt HIV/AIDS; (e) Megterpretas kestabla ttk ekulbrum ega megetfkas peyebara peyakt HIV/AIDS alam kuru waktu tertetu yag relatf lama. Sumber Data Data yag guaka alam peelta aalah ata sekuer yag peroleh ar as Kesehata Kota Makassar a Baa Pusat Statstka (BPS) Kota Makassar. Data yag guaka merupaka ata alam kuru waktu 3 tahu yatu ata paa tahu 4 6. Varabel Peelta Varabel alam peelta aalah jumlah vu yag reta terhaap peyakt HIV/AIDS (S), jumlah vu yag terfeks peyakt HIV/AIDS (I), a jumlah vu yag sembuh ar peyakt HIV/AIDS. Aapu parameter alam peelta aalah laju kelahra atau mgras (A), laju peulara peyakt (ββ), a laju kemata alam (). 4. PEMBAHASAN Aalss Data Deskrptf Moel Epem HIV/AIDS Data yag guaka alam peelta aalah ata jumlah peerta HIV/AIDS a ata jumlah peuuk kota Makassar paa tahu 4 6. Berkut berka ata jumlah peuuk kota Makassar alam kuru 3 tahu. 3

4 Jural MSA Vol. 6 No. E. Jul-Desember 8 Tabel. Jumlah Peuuk Kota Makassar Tahu 4 6 Tahu Jumlah Peuuk (Jwa) Lak-lak Perempua Total 4 76,84 7,48,49,4 5 77,47 73,354,449,4 6 77,34 74,87,469,6 Tabel. atas meujukka bahwa jumlah peuuk kota Makassar paa tahu 4 sebayak 494 jwa, tuls N = 494 ega asums jumlah peuuk awal yag reta terhaap peyakt HIV/AIDS sebayak S = S 4 = , tuls Kemua jumlah peuuk paa tahu 6 sebayak 4696 jwa ega asums jumlah peuuk setelah tahu yag reta terhaap peyakt HIV/AIDS sebesar 4696, tuls S 6 = Selajutya, berkut berka ata jumlah peerta HIV/AIDS kota Makassar paa tahu 4 6. Tabel. Jumlah Peerta HIV/AIDS Kota Makassar Tahu 4 6 Tahu Jumlah Kasus yag temuka (Jwa) HIV AIDS Tabel. atas meujukka bahwa jumlah peuuk kota Makassar terfeks peyakt HIV/AIDS paa tahu 4 sebayak jwa, tuls I( t ) = ega asums jumlah peuuk awal yag terfeks peyakt HIV/AIDS sebayak, tuls I = I 4 =. Kemua jumlah peuuk yag terfeks paa tahu 6 sebayak 43 jwa ega asums jumlah peuuk setelah tahu yag terfeks peyakt HIV/AIDS sebesar 43, tuls I 6 = 43. Peetua Asums a Parameter Moel Epem HIV/AIDS Data-ata yag peroleh ar Das Kesehata Kota Makassar meujukka bahwa jumlah peuuk kota Makassar yag terfeks peyakt HIV/AIDS mula tahu 4 s.. 6 seagka ata yag peroleh ar Baa Pusat Statstk Kota Makassar meujukka bahwa ata jumlah peuuk kota Makassar mula tahu 4 s.. 6. Berasarka ata ata tersebut betuk asums asums sebaga berkut.. Dalam populas terja kelahra a mgras maa ata jumlah peuuk awal Kota Makassar reta terfeks peyakt HIV/AIDS. Peyakt yag bcaraka alam peelta peyakt meular 3. Ivu yag terfeks peyakt HIV/AIDS tak megalam kesembuha 4. Setap vu yag bcaraka megalam kemata secara alam. Berasarka asums-asums atas betuk moel epem HIV/AIDS berkut. S t = A βsi S { I (.8) t = βsi I, ega A meyataka parameter laju kelahra atau mgras, β meyataka laju peulara peyakt HIV/AIDS a meyataka laju kemata alam. Kemua utuk varabel S meyataka jumlah vu yag reta terhaap peyakt HIV/AIDS a I meyataka jumlah vu yag terfeks peyakt HIV/AIDS. Selajutya, berasarka ata varabel yag meyataka jumlah peuuk awal Kota Makassar a jumlah peuuk setelah tahu yag reta terhaap peyakt HIV/AIDS, masg-masg yak S = S 4 = 494 a S ( 6) = 4696 serta ata varabel jumlah peuuk setelah tahu yag terfeks I 6 = 43 peyakt HIV/AIDS, yak masg-masg substtuska ke alam betuk solus khusus ar subpopulas jumlah vu yag reta terhaap peyakt HIV/AIDS, yak S sehgga β I( t) S( t) = S( ) e, ega S( t ) meyataka jumlah peuuk yag reta terhaap peyakt HIV/AIDS setelah S meyataka jumlah peuuk tahu a awal serta I( t ) meyataka jumlah peuuk 4

5 Jural MSA Vol. 6 No. E. Jul-Desember 8 yag terfeks terhaap peyakt HIV/AIDS setelah tahu peroleh β 5 = 6, 4, ega laju peulara peyakt HIV/AIDS ar vu reta meja terfeks sebesar β = 6, 4 a asums laju kemata alam alam tahu sebesar = peroleh = =,. Akbatya, peroleh moel epem peyakt HIV/AIDS ega asums vu yag terfeks a tak megalam kesembuha terhaap peyakt yag bcaraka, yak. S t = I t = 6, 4 SI,I 494 6, 4 SI, S (.) Peetua Ttk Ekulbrum Moel Epem HIV/AIDS Dberka moel peyebara peyakt HIV/AIDS alam Sstem Persamaa (.). Berasarka Sstem (.) atas tetuka ttk ekulbrum atau ttk tetap ega memsalka S I t = a t = sehgga 494 6, 4 SI,S = (.) 6, 4 SI,I = Jka persamaaa () paa persamaa (.) msalka I, maka 6, 4 S, = peroleh S = 565. Selajutya, utuk S = 565 substtuska ke Persamaa () peroleh I = Ja, peroleh ttk ekulbrum Sstem Persamaa (.), yak SI, = 565, yag meyataka bahwa jumlah vu yag reta a terfeks terhaap peyakt HIV/AIDS selama tahu masg-masg aalah 565 jwa a jwa. Aalss Kestabla Ttk Ekulbrum Moel Epem HIV/AIDS Dketahu moel peyebara peyakt HIV/AIDS alam Sstem Persamaa (.), ega ttk ekulbrum SI, = 565, Kemua tetuka kestabla Sstem (.) ttk ekulbrum tersebut. Olehya tu, msalka S I t = f ( SI, ) a t = f ( SI, ) sehgga f S, I = 494 6, 4 SI,S (.) f S, I = 6, 4 SI, I, peroleh learsas Sstem Persamaa (.) atas, yak alam betuk matrks Jacoba berkut. Jf ( SI, ) f( S, I ) f( S, I ) S I = f( S, I ) f( S, I ) S I 6, 4 I, 6, 4 S = 6, 4 I 6, 4 S, (.3) Kemua berasarka (.3) peroleh matrks Jacoba ttk ekulbrum ( SI ) =, 565,476795, yak 9, 5, Jf ( 565,476795) = 9, 4 (.4) Selajutya, berasarka matrks Jacoba (.4) peroleh persamaa karakterstk, yak λ + 9,5λ+ 9,4 = peroleh la ege, yak λ =, a λ = 9, 4 ega λ < a λ < sehgga peroleh ttk ekulbrum SI, = 565, stabl asmtotk. Hal meujukka bahwa utuk jumlah vu yag reta a jumlah vu yag terfeks sagat sekt, maka ega bertambahya waktu populas meuju ke ttk ekulbrum SI, = 565, yag berart peyakt HIV/AIDS tetap aa alam populas. Peetua Blaga Reprouks Dasar Sstem persamaa (.8) atas mempuya ttk βa ekulbrum, yak ( SI) ( β β ) β A β A > maa reprouks asar, yak, =,, ega ( 6,4 )( 494) merupaka blaga β A R = = = 9, 47, ( ) yag meujukka bahwa satu vu yag terfeks, rata-rata apat meularka kepaa 9 hgga 9 jwa vu reta alam populas peyakt HIV/AIDS. 5

6 Jural MSA Vol. 6 No. E. Jul-Desember 8 Smulas Numerk Dberka smulas umerk Sstem Persamaa (.8) yag meujukka lustras perlaku kelas vu yag terfeks atau terjagkt peyakt ega kelas vu yag reta terhaap peyakt HIV/AIDS alam ukura jumlah mula tahu 4 s.. 6. Parameter yag guaka aalah A meyataka rata-rata jumlah vu yag lahr a mgras, maa jumlah peuuk Kota Makassar paa tahu 4. Kemua, parameter β meyataka rata-rata jumlah kotak yag meyebabka vu reta meja terfeks setelah melakuka kotak ega vu yag terfeks seagka meyataka rata-rata jumlah peuuk yag meggal secara alam. Berkut S t berka smulas umerk peyelesaa a I( t) yag meyataka jumlah vu yag reta a jumlah vu yag terfeks peyakt HIV/AIDS paa saat t. Gambar 5. Grafk peyelesaa S( t ) a I( t) utuk t Gambar 5. atas meglustraska bahwa paa waktu t tahu, jumlah vu yag reta a jumlah vu yag terfeks peyakt HIV/AIDS tak megalam perubaha pegkata jumlah yag sgfka serg berjalaya waktu. Dalam kos sebut ega kos stabl ar sstem ttk SI, = 565, Dega ekulbrum emka, peyakt HIV/AIDS Kota Makassar aka bersfat eemk alam kuru waktu tahu ke epa. Berkut berka lustras jumlah vu yag reta a jumlah vu yag terfeks alam bag fase. Gambar. Grafk peyelesaa S( t ) a I( t) utuk t 5 Gambar 5. atas meujukka bahwa paa waktu t 5 tahu, jumlah vu yag reta terhaap peyakt HIV/AIDS semak berkurag seagka jumlah vu yag terfeks peyakt HIV/AIDS megalam pegkata jumlah yag sgfka serg berjalaya waktu. Berkut berka lustras perkembaga jumlah vu yag reta a jumlah vu yag terfeks peyakt HIV/AIDS utuk waktu tahu. Gambar 3. Potret fase paa bag S( t ) a I( t) Sstem (5.) Berasarka Gambar 5.3 atas terlhat bahwa S t a utuk setap trayektor peyelesaa I( t) ega la awal a ( S, I ) = 3,3, 5, 45, { } { 6

7 Jural MSA Vol. 6 No. E. Jul-Desember 8 (, ),( 3,3)} aka meuju ke ttk ( 565, ) yag berart populas bersfat eemk maa selalu aa vu yag terjagkt peyakt HIV/AIDS utuk kuru waktu tahu. 5. KESIMPULAN Berasarka aalss ata eskrptf jumlah peuuk Kota Makassar a jumlah vu yag terfeks peyakt HIV/AIDS mula tahu 4 s. 6 peroleh bahwa. Asums asums alam peelta aalah (a) alam populas terja kelahra a mgras maa ata jumlah peuuk awal Kota Makassar reta terfeks peyakt HIV/AIDS (b) Peyakt yag bcaraka alam peelta peyakt meular (c) Ivu yag terfeks peyakt HIV/AIDS tak megalam kesembuha a () Setap vu yag bcaraka megalam kemata secara alam.. Berasarka asums asums tersebut peroleh betuk moel epem peyakt HIV/AIDS, yak S t = 494 6, 4 SI,S I t = 6, 4 SI, I, ega ttk ekulbrum SI, = 565, Kemua berasarka la ege matrks Jacob SI, = 565, peroleh ttk bersfat stabl asmtotk ega la la ege λ =, a λ = 9,4. 3. Dalam peelta peroleh blaga reprouks asar, yak R = 9,47, yag meujukka bahwa satu vu yag terfeks, rata-rata apat meularka kepaa 9 hgga 9 jwa vu reta terhaap peyakt HIV/AIDS. Dalam hal, peyakt HIV/AIDS Kota Makassar aka bersfat eemk alam kuru waktu tahu ke epa. 6. DAFTAR PUSTAKA [] C. L, Y. Ma. 3. Fractoal yamcal system a ts learzato theorem. Nolear Dyamcs. 7(4), [] Elaw, A. M.. Global propertes of a class of HIV/AIDS moels. Nolear Aalyss., [3] Khall, H.K.. Nolear Systems, 3 r eto. New Jersey, USA: Pretce Hall [4] Kocak, H. a Hale, J.K. 99. Dyamcs a Bfurcato. New York: Sprger Verlag. [5] Olser, G.J Mathematcal Systems Theory. Netherlas: Delftse Utghehers Maatschappj, CW Delft. [6] Perko, L. 99. Dfferetal Equatos a Dyamcal Systems. New York: Sprger Verlag. [7] Tag, Y., Huag, D., Rua, S. a Zhag, W. 8. Coexstece of lmt cycles a homoclc loops a SIRS moel wth a olear fecto forces. SIAM J. Appl. Math., 69, [8] Tjolleg, A., Komalg, H.A.H, a Prag, J.D. 6. Damka Perkembaga HIV/AIDS Sulawes Utara Megguaka Moel Persamaa Dferesal Nolear SIR (Susceptble, Ifectous, a Recovere). Jural Ilmah Sas, Vol. 3 N, 9-4. [9] Va e Dressche, P. 7. Reproucto umbers of fectous sease moels. Ifectous Dsease Moellg,, [] Xao, D., a Rua, S. 7. Global aalyss of a epemc moel wth omootoe cece rate. Math. Bosc, 8, [] Zhxg, H., Pg, B., Wabo, M., a Rua, S.. Bfurcatos of a SIRS epemc moel wth olear cece rate. Dscrete Cot. Dy. Syst. Ser. B,, 93-7