INTEGRAL LEBESGUE PADA FUNGSI TERBATAS SKRIPSI

Transkripsi

1 INTGRAL LBSGU PADA FUNGSI TRBATAS SKRIPSI Dajuka Kepada Fakultas Matematka da Ilmu Pegetahua Alam Uverstas Neger Yogyakarta utuk memeuh sebaga persyarata gua memperoleh gelar Sarjaa Sas Dsusu Oleh : Fauzah Dahla Sar PROGRAM STUDI MATMATIKA JURUSAN PNDIDIKAN MATMATIKA FAKULTAS MATMATIKA DAN ILMU PNGTAHUAN ALAM UNIVRSITAS NGRI YOGYAKARTA 20

2

3

4 HALAMAN PRNYATAAN Yag bertadataga dbawah Nama : Fauzah Dahla Sar NIM : Program Stud : Matematka Fakultas Judul : Matematka da Ilmu Pegetahua Alam. : Itegral Lebesgue pada Fugs Terbatas. Dega saya meyataka bahwa skrps adalah hasl karya saya sedr. Sepajag pegetahua saya, tdak terdapat karya atau pedapat yag dtuls atau dterbtka orag la kecual sebaga acua atau kutpa dega megkut tata cara peulsa karya lmah yag lazm. Apabla telah terbukt peryataa tdak bear, sepeuhya mejad taggug jawab saya da saya berseda meerma saks sesua dega peratura yag berlaku. Yogyakarta, 9 Maret 20 Yag meyataka Fauzah Dahla Sar NIM v

5 Motto Sesugguhya sesudah kesulta aka datag kemudaha, maka apabla kamu telah selesa (dar suatu urusa), kerjakalah dega sugguh - sugguh (urusa) yag la. ( Q. S. Al syrah : 6-7). Barag sapa yag meempuh jala d dua utuk mecar lmu ddalamya, maka Allah aka memudahka bagya jala meuju surga ( H. R Muslm). Allah tdak membeba seseorag kecual sesua dega kesaggupaya ( Q.S Al baqarah : 289 ). Persembaha Karya tuls kupersembahka utuk :. Ayah da bu tersayag yag selalu medoaka, medukug serta memberka kash sayagya setulus hat kepadaku. 2. Kakakku tercta yag selalu memberka motvas, medoaka, memberka araha serta selalu membatuku. 3. Terma kash kepada sahabat - sahabatku eka, dew, mbak dah yag selalu medoaka, membatu serta memberka motvas kepadaku. 4. Terma kash kepada keluarga besarku yag selalu membatu da medoaka dem kebahagaaku. 5. Terma kash kepada tema - temaku puguh, ulul, gajar, tambah, e, mta, mbak hasa, mbak ll, putra, fajar, supr, hest, ma, resa yag telah membatuku, memberka motvas da telah sabar dalam medegarka keluh kesahku. v

6 KATA PNGANTAR Puj da syukur peuls pajatka kehadrat Allah SWT atas kmat, karua, hdayah, da petujuk-nya sehgga Tugas Akhr Skrps dega judul Itegral Lebesgue pada Fugs Terbatas dapat dselesaka dega bak. Tugas Akhr Skrps dsusu utuk memeuh salah satu persyarata gua memperoleh gelar Sarjaa Sas Program Stud Matematka, Fakultas matematka da Ilmu Pegetahua Alam, Uverstas Neger Yogyakarta. Peulsa Tugas Akhr Skrps tdak lepas dar batua da bmbga dar berbaga phak, utuk tu pada kesempata peuls ucapka terma kash kepada:. Bapak Dr. Arswa selaku Deka Fakultas MIPA Uverstas Neger Yogyakarta yag telah memberka z dalam peulsa. 2. Bapak Dr. Hartoo selaku Ketua Jurusa peddka matematka Fakultas MIPA Uverstas Neger Yogyakarta. 3. Ibu Atm Dhorur M.S, selaku Ketua Program Stud Jurusa Peddka Matematka Fakultas MIPA Uverstas Neger Yogyakarta da selaku Dose Pembmbg yag telah meluagka waktu utuk membmbg, member ashat da araha dega sabar hgga terselesakaya skrps. 4. Bapak Muhammad Fauza, M.Sc.ST selaku Pembmbg Akademk peuls. v

7 5. Seluruh Dose Jurusa Peddka Matematka Fakultas MIPA Uverstas Neger Yogyakarta yag telah memberka lmuya kepada peuls. 6. Seluruh phak yag telah membatu peyelesaa Tugas Akhr Skrps. Peuls meyadar sepeuhya bahwa dalam peulsa Tugas Akhr Skrps mash jauh dar kesempuraa, amu demka peuls berharap semoga skrps bermafaat bag para pembaca. Yogyakarta, Maret 20 Peuls, Fauzah Dahla Sar NIM v

8 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... HALAMAN PRSTUJUAN HALAMAN PNGSAHAN... HALAMAN PRNYATAAN... v HALAMAN MOTTO DAN PRSMBAHAN... v KATA PNGANTAR... v DAFTAR ISI... v ABSTRAK... x BAB I PNDAHULUAN A. Latar belakag masalah... B. Pembatasa masalah... 3 C. Rumusa Masalah... 4 D. Tujua Peulsa... 4 BAB II KAJIAN TORI A. Hmpua... 5 B. Supremum da Ifmum... 8 C. Hmpua terbuka da hmpua tertutup... 0 D. Barsa d R da kekovergeaya Kekotua fugs... 8 F. Ukura luar G. Hmpua terukur v

9 H. Ukura Lebesgue I. Fugs terukur... 4 J. Fugs sederhaa K. Itegral Rema BAB III PMBAHASAN A. Itegral Lebesgue pada fugs Terbatas B. Keterkata Itegral Lebesgue dega Itegral Rema C. Sfat-sfat Itegral Lebesgue pada fugs terbatas D. Kekovergea Itegral Lebesgue pada Fugs terbatas BAB IV PNUTUP A. Kesmpula B. Sara... 9 DAFTAR PUSTAKA... x x

10 INTGRAL LBSGU PADA FUNGSI TRBATAS Oleh : Fauzah Dahla Sar NIM ABSTRAK Peulsa skrps bertujua utuk mejelaska tegral Lebesgue pada fugs terbatas, sfat-sfat serta kekovergeaya. Msalka f adalah fugs sederhaa da terukur dega represetas kaok f = a χ, ={x : f(x) = a } salg asg da terukur. Blaga a ( =, 2,..., ) berbeda da a 0. Asumska bahwa berukura berhgga, maka tegral Lebesgue dar f ddefska dega dx = am( ). Selajutya tegral Lebesgue dar f dapat dtuls f. = Msalka f da g adalah fugs terukur terbatas terdefs pada, dega berukura berhgga, maka sfat-sfat dar tegral Lebesgue pada fugs terbatas sebaga berkut : a f = a f, utuk a R. 2. ( f + g) = f + g. 3. Jka f = g hampr dmaa-maa, maka f = 4. Jka f g hampr dmaa-maa, maka g 5. Jka α f β maka αm( ) f βm( ). g = f, oleh karea tu f f 6. Jka da 2 adalah subset terukur salg asg dar maka f = f f Msalka {f } adalah barsa fugs terukur, terdefs pada hmpua yag berukura berhgga. Terdapat blaga real M sedemka sehgga f (x) M, utuk semua x da semua. Jka barsa {f } koverge ke fugs f maka (x) lm f f dx koverge ke f (x)dx. Atau, dega kata la jka ( x) = f(x) utuk masg-masg x, maka lm ( x) Kata kuc : Lebesgue tegral of a bouded fucto. f dx = f (x) dx. x

11 BAB PNDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Teor tegral merupaka cabag dar lmu matematka yag medasar da bersfat aalss. Teor tegral mempuya kata yag sagat erat dega cabag aalss laya, sepert kosep lmt, kosep dervatf, kekotua, kosep fugs da la sebagaya. Pada tahu 789 August Chaucy memperkealka kosep tegral yag dsebut tegral Cauchy. Selajutya pada tahu 850 tegral Chaucy dperbak oleh Berhard Rema, yag dkeal dega tegral Rema. Teor pegtegrasa Rema sagat bermafaat dalam meyelesaka beberapa masalah matematka. Tetap teor tersebut mempuya beberapa kelemaha. Kelemaha yag pertama, fugs yag tertegral Rema haya terdefs pada terval tertutup. Sedagka utuk fugs yag terdefs pada terval terbuka, terval setegah terbuka da sebagaya, tdak dapat tertegral Rema. Kelemaha yag kedua, tegral Rema sagat bergatug pada kekotua suatu fugs. Sehgga fugs yag tdak kotu tdak tertegral Rema. Selajutya Hery Lebesgue, seorag matematkawa dar Peracs megealka kosep tegral Lebesgue yag ddasarka pada ukura. Itegral Lebesgue sudah tdak bergatug pada kekotua da fugs yag tertegral Lebesgue tdak haya terdefs pada terval tertutup. Setap fugs yag

12 tertegral Lebesgue terdefs pada hmpua terukur. Sedagka setap hmpua terukur mempuya ukura luar Lebesgue. Dberka koleks coutable J = {I/ I terval terbuka} da hmpua R. Subkeluarga C dar keluarga F adalah C = { J : J covers } ={ J : I } dega C φ. = Maka ukura luar Lebesgue ddefska dega m*() = f {l(j) : J cover } Selajutya ukura lebesgue haya aka dtuls ukura luar. Sedagka hmpua R dkataka terukur utuk setap hmpua A R, jka berlaku m*(a) = m*(a ) + m*(a c ). Cotoh dar hmpua terukur adalah hmpua terval (0,). Sedagka hmpua dar semua hmpua terukur dalam R dsebut koleks M. Fugs m : M R + = [0, ) dsebut ukura Lebesgue, jka utuk setap M, m() = m*(). Ukura Lebesgue m selajutya, dsebut dega ukura saja. Msalka f adalah fugs sederhaa da terukur dega represetas kaok f = a χ =, ={x : f(x) = a } salg asg da terukur. Blaga a ( =, 2,..., ) berbeda da a 0. Asumska bahwa berukura berhgga, maka tegral Lebesgue dar f ddefska dega dx = am( ). = 2

13 Selajutya tegral Lebesgue dar f dapat dtuls f. Fugs dar tegral Lebesgue ada dua, yatu fugs terbatas da fugs tdak terbatas. Sedagka dalam tugas akhr, Peuls haya aka membahas tegral Lebesgue pada fugs terbatas, sfat-sfat serta kekovergeaya. B. Pembatasa Masalah Sesua dega perkembaga jama, tegral telah berkembag dar tegral yag sederhaa, tegral Rema, tegral Rema-steltjes, tegral Lebesgue, tegral Hestock hgga tegral yag lebh rumt. Karea keterbatasa pegetahua, peuls haya aka membahas Itegral Lebesgue pada fugs terbatas, sfat-sfatya da kekovergea tegral Lebesgue pada fugs terbatas. C. Rumusa Masalah Berdasarka latar belakag yag dkemuka d atas, yag aka mejad pokok permasalaha adalah : a. Bagamaa pegerta tegral Lebesgue pada fugs terbatas? b. Bagamaa sfat-sfat dar tegral Lebesgue pada fugs terbatas? c. Bagamaa kekovergea tegral Lebesgue pada fugs terbatas? 3

14 D. Tujua Peulsa Tujua Peulsa skrps adalah a. Mejelaska tegral Lebesgue pada fugs terbatas. b. Mejelaska sfat-sfat dar tegral Lebesgue pada fugs terbatas. c. Mejelaska kekovergea tegral Lebesgue pada fugs terbatas.. Mafaat Peulsa Mafaat peulsa skrps adalah a. Meambah pegetahua peuls tetag tegral Lebesgue. b. Dapat memberka berbaga referes bag para pembaca yag g megkaj lebh lajut tetag tegral. 4

15 BAB II KAJIAN TORI Pada bab aka dbahas megea dasar-dasar teor utuk pembahasa selajutya, yag melput hmpua, Supremum da Ifmum, Barsa d R da kekovergeaya, kekotua fugs, hmpua terukur, ukura luar, ukura Lebesgue, fugs terukur, fugs sederhaa da tegral Rema. A. Hmpua Dalam pembahasa aka dberka beberapa defs tetag hmpua, gabuga, rsa da fugs, yag ddefska sebaga berkut : Hmpua adalah sekumpula eleme eleme atau usur yag memeuh suatu atura keaggotaa tertetu (Bartle, 2000 : 4). Jka x aggota hmpua K, maka dotaska x K. Cotoh : K adalah hmpua semua huruf vokal, maka K = {a,, u, e, o}. Sedagka kumpula dar hmpua dsebut koleks / keluarga hmpua. Hmpua M dsebut hmpua baga (subset) K, jka setap aggota M mejad aggota K. Hmpua baga M dotaska dega M K. Cotoh : M = {2, 3, 5} da K = {, 2, 3, 4, 5} maka M K. Sedagka relas dar A ke B adalah perkawaa aggota-aggota hmpua A da aggota hmpua B. Cotoh : S ={, 2, 3} da R adalah relas > (lebh dar) atara aggota-aggota S atau relas R dar hmpua S ke hmpua S sedr, maka R ={(x,y) x > y, da x, y S}, sehgga R = {(3,2), (3,), (2,)}. 5

16 Defs 2. (Bartle da Sherbert, 2000 : 4) a). Gabuga (uo) dua hmpua A da B adalah hmpua A B: ={x: x A atau x B}. Cotoh : A = {, 2, 3} da B = {2, 4, 5} maka A B ={, 2, 3, 4, 5}. b) Irsa (tersecto) dua hmpua A da B adalah hmpua A B: = {x: x A da x B}. Cotoh : A ={, 2, 4} da B ={2, 4, 5} maka A B ={2, 4}. c) Kompleme hmpua B pada A adalah A\B atau A - B atau B c A\B = {x : x A da x B}. Cotoh : A = {, 2, 3, 4} da B = {, 2} maka A \B = {3,4}. Defs 2.2 (Bartle da Sherbert, 2000 : 5) Fugs dar A ke B adalah relas yag memeuh syarat setap aggota hmpua A mempuya tepat satu kawa pada hmpua B. Fugs f dar A ke B dotaska dega f : A B. Cotoh: relas dar A ke B, dega A ={, 2} da B = {2, 4, 5}. Karea setap aggota hmpua A mempuya tepat satu kawa pada hmpua B, A 2 f B maka relas A ke B adalah suatu fugs. Sedagka utuk relas dar C ke D, dega C = {, 2, 4}da A f B D = {, 2, 3} buka merupaka fugs. Karea aggota dar C yatu, tdak mempuya kawa d D. Sela tu, aggota dar C, yatu 2 da 4 mempuya kawa lebh dar satu d D. 6

17 Defs 2.3 (Bartle da Sherbert, 2000 : 8) Msalka f : A B adalah fugs dar A ke B. a) Fugs f dkataka jektf ( satu-satu) jka utuk x x 2, maka f (x ) f (x 2 ). Jka f fugs jektf, selajutya dapat dkataka bahwa f jektf. Cotoh: fugs f : A B, dega f(x) = x +5. Utuk 2 maka f () f (2). Utuk 3 maka f () f (3). Utuk 2 3 maka f (2) f (3). A f B Jad fugs f adalah fugs jektf. b) Fugs f dkataka surjektf (pemetaa A oto B) jka f (A) = B da rage f (daerah hasl) sama dega B. Jka f surjektf selajutya dapat dkataka bahwa f surjektf. Cotoh: fugs f : A B, dega f(x) = x 2. Maka f (-) =, f () = da f (2) = 4. B ={,4} da f (A) = B. A f B Jad, f adalah fugs surjektf. c) Jka f surjektf da jektf maka f dkataka bjektf. A f B Cotoh : fugs f : A B, dega f(x) = x 2 Utuk 2 maka f () f (2). Utuk 3 maka

18 f () f (3). Utuk 2 3 maka f (2) f (3). Maka f adalah fugs jetf. f () =, f (2) = 4 da f (3) = 9. Sedagka B = {,4, 9} da f (A) = B Maka f adalah fugs surjektf. Karea f merupaka fugs jektf da surjektf, maka f adalah fugs bjektf. B. Supremum da Ifmum Berkut aka ddefska batas atas, batas bawah, supremum, da fmum suatu hmpua. Defs 2.4 (Bartle da Sherbert, 2000 : 35) Dberka hmpua S R, S φ a) Blaga real u dsebut batas atas hmpua S jka x u utuk setap x S. Jka S mempuya batas atas maka A dkataka terbatas ke atas. b) Blaga real v dsebut batas bawah hmpua S jka x v, utuk x S. Jka S mempuya batas bawah maka A dkataka terbatas ke bawah. c) S dkataka terbatas jka S mempuya batas atas da batas bawah. Jka S tdak mempuya batas atas da batas bawah maka S tdak terbatas. 8

19 Cotoh : Buktka bahwa S : ={x R : x 9} terbatas. Aka dbuktka bahwa S terbatas. Utuk setap x S, terdapat batas atas u sedemka sehgga x u. Karea x 9 utuk setap x R, maka x 9 u, sehgga u 9 adalah batas atas dar S. Karea S mempuya batas atas maka S terbatas atas. Utuk setap x S, terdapat batas bawah v sedemka sehgga x v. Karea x 9 utuk setap x R, maka v x, sehgga v adalah batas bawah dar S. Karea S mempuya batas bawah maka S terbatas bawah. S terbatas atas da terbatas bawah maka S terbatas. Defs 2.5 (Bartle da Sherbert, 2000 : 35) Dberka hmpua S R, S φ. a) Blaga real M dsebut batas atas terkecl (supremum) dar S, dtuls M = sup (S), jka () x M, x S. () M u, u batas atas S. 9

20 b) Blaga real m dsebut batas bawah terbesar (fmum) dar S, dtuls m = f (S), jka () x m, x S. () m v, v batas bawah S. Cotoh : Dketahu A : ={x: 0 x }, tetuka sup(a) da f (A). Peyelesaa: Karea x, x A da u, u batas atas A, maka sup (A) = Karea x 0, x A da 0 v, v batas bawah A, maka f (A) = 0. Jad, Sup (A) = da f (A) = 0. C. Hmpua Tertutup da Hmpua Terbuka Berkut aka ddefska persektara, ttk dalam, ttk lmt, hmpua terbuka, hmpua tertutup. Defs 2.6 ( Bartle da Sherbert: 2000, 33) Msalka c R, da ε >0, persektara ttk c dega jar-jarε ddefska sebaga N ε (c) = {x R : x - c <ε }. 0

21 Cotoh : N ε (2) = {x R : x - 2 <ε }. Jad, persektara ttk 2 dega jarjarε adalah 2 -ε < x < ε + 2. Ttk c R dsebut ttk dalam (Iteror pot) hmpua A R jka terdapat ε >0 sehgga N ε (c) A. Sedagka, ttk d R dsebut ttk lmt hmpua A R jka utuk setap ε >0 terdapat sedktya satu ttk x A, dega x d sedemka sehgga x - d <ε. Cotoh: Msalka A = [-2,3]. Ttk adalah ttk lmt hmpua A R, karea utuk setap ε >0 terdapat beberapa ttk x A, dega x sedemka sehgga x - <ε. Hmpua A R dsebut hmpua terbuka jka semua aggotaya merupaka ttk dalam (teror pot). Sedagka hmpua A R dsebut hmpua tertutup, jka A c = R - A terbuka. Keluarga hmpua C dkataka cover dar hmpua A, jka A termuat dalam gabuga hmpua yag membetuk C. Cotoh: Dberka keluarga hmpua C = {I, I 2, I 3, I 4, I 5, I 6 }. Hmpua A 6 I maka = keluarga hmpua C merupaka cover dar hmpua A.

22 D. Barsa d R da kekovergeaya. Dalam sub bab aka dbcaraka barsa d R serta kekovergeaya. Defs 2.7 (Bartle da Sherbert, 2000 : 53) Barsa blaga real adalah fugs terdefs pada N dega rage (daerah hasl) d R. Barsa dtuls {x } dega x R atau X dega X R, N. Cotoh: X = {x } = ( 2: N ). Defs 2.8( Bartle da Sherbert, 2000 : 54) Barsa X = {x } dkataka koverge ke x (atau x adalah ttk lmt dar x ) jka ε >0 terdapat blaga asl K(ε ) sedemka sehgga utuk K(ε ), berlaku x - x < ε. Jka barsa mempuya lmt, maka barsa dkataka koverge. Jka barsa tdak mempuya lmt, maka barsa dkataka dverge. Barsa {x } koverge ke x, dapat dtuls lm x = x Cotoh : Buktka bahwa lm = 0. + Bukt : Aka dbuktka bahwa lm =

23 Dberka ε >0, maka ε >0, terdapat blaga asl K = K(ε ) sedemka sehgga <ε. Jka K, maka K + < K < ε. Sehgga 0 + = + < ε. Terbukt bahwa lm = 0. + Defs 2.9 ( Herbert S da Narayaaswam, 998 : 62) Msalka{a }adalah barsa, utuk setap N. Hmpua b = sup{a k : k } da hmpua c = f{a k : k }. Maka lmt superor dar {a } dotaska lm a da ddefska sebaga berkut lm a = f {b : N }. Sedagka lmt feror dar {a } dotaska lm a da ddefska sebaga berkut lm a = sup{c : N }. Barsa {x } dkataka koverge ke x, jka da haya jka lm a = a lm = x. Cotoh : Barsa {a }= N :, buktka bahwa {a }koverge ke 0. Bukt : 3

24 Msalka hmpua b = sup{a k : k } = sup,,,,... k k + k + 2 k + 3 = k Karea k maka b =. Sehgga lm a = f {b : N }= f { }= 0. Msalka hmpua c = f{a k : k }= f,,,,... = 0. k k + k + 2 k + 3 Maka lm a = sup{c : N }= sup {0} = 0. Sehgga lm a = a lm = 0. Terbukt bahwa {a } koverge ke 0. Defs 2.0 (Bartle da Sherbert, 2000 : 60) Barsa blaga real X = {x } dkataka terbatas jka terdapat blaga real M>0 sedemka sehgga x M, N. Teorema 2. (Bartle da Sherbert, 2000 : 60) Barsa blaga real yag koverge adalah terbatas. Bukt : Msalka lm = x da ε =, maka terdapat blaga asl K = K() sedemka x sehgga x - x <, utuk semua K. Dega megguaka pertdaksamaa segtga, dperoleh x = x x + x x x + x < + x 4

25 Jka M : = sup { x, x 2,..., x k -, + x }. Maka x M, utuk semua N. Terbukt bahwa barsa blaga real yag koverge adalah terbatas. Defs 2. (Bartle da sherbert, 2000 : 29) Fugs f : A R dkataka terbatas pada A, jka terdapat kostata M>0 sedemka sehgga f(x) M, utuk semua x A. Cotoh : Fugs f : [, 4] R dega f = x 2 adalah fugs terbatas, karea terdapat kostata pada M >0 sedemka sehgga f(x) M, utuk semua x [, 4]. Defs 2.2 (Royde, 963 ) Barsa fugs { f }, terdefs pada A dkataka koverge d setap ttk pada A ke fugs f, jka utuk x A berlaku lm ( x) =. f Cotoh : f : [0,3] R. Buktka bahwa barsa fugs { f }= ttk pada [0,3] ke fugs f(x) = 0. x + koverge d setap Bukt: 5

26 Gambar dar barsa fugs { f }= x + adalah sebaga berkut y 3 2 f f 2 f Aka dbuktka bahwa { f (x)} koverge d setap ttk pada [0,3] ke fugs f(x) = 0. x lm + lm f ( x) = = x. lm + = x.0 = 0. Jad { f (x)} koverge d setap ttk pada [0,3] ke fugs f(x) = 0, x R Defs 2.3 (Royde, 963) Barsa fugs { f }, terdefs pada A dkataka koverge seragam (uformly coverget) pada A ke fugs f, jka utuk ε >0 terdapat blaga bulat N, sedemka sehgga utuk x A da N, berlaku f (x) f(x) <ε. 6

27 Cotoh : Dketahu f : [0,] R f (x) = x 2 dega =, 2,.... Buktka bahwa f (x) koverge seragam ke fugs f(x) = 0 pada [0,]. Bukt : Aka d buktka bahwa f (x) koverge seragam ke fugs f (x) = 0 pada [0,]. lm f x ( x) = lm = 0. 2 Utuk ε >0 maka ε > 0, terdapat blaga bulat sedemka sehgga <ε. Jka maka < ε sehgga berlaku x 2 0 = x 2 < < <ε. Terbukt bahwa f (x) koverge seragam ke fugs f(x) = 0 pada [0,]. 7

28 . Kekotua Fugs Pada baga aka dbcaraka pegerta fugs kotu da sfat-sfat fugs kotu. Defs 2.4 (Purcell da Varberg, 200: 5) Adaka fugs f terdefs pada (a,b) yag megadug c. Fugs f kotu d c jka lm = f ( c). Jka f tdak kotu d c, maka f dkataka tdak kotu. x c Cotoh : Buktka bahwa f(x) = 2 x, x kotu d ttk x = 3 x Aka dbuktka bahwa lm = f (3). x 3 ) lm 3 2 x x x = lm 3 ( x )( x + ) = x ( x ) lm x+ = 3+ = 4. x 3 2) f (3) = = = Karea lm 3 2 x = f (3) maka f kotu d ttk x = 3. x x 8

29 Teorema 2.2 (Purcell da Varberg, 200 : 6) Adaka fugs f da g terdefs pada selag terbuka yag megadug c. Jka fugs-fugs f, g kotu d c, maka fugs fugs f + g, f. g, kf, f /g (dega g(c) 0 ), f dega blaga bulat postf, f (dega f(c) > 0 jka geap) juga kotu d c. Bukt : Fugs f da g terdefs pada selag terbuka yag megadug c. Fugs f da g kotu d c maka lm = f(c) da lm g( x) = g(c), sehgga x c x c a) lm( + g( x)) = lm + lm g( x) = f(c) + g(c). x c x c x c b) lm(. g( x)) = lm.lm g( x) = f(c). g(c). x c x c x c c) lm( k ) c = k lm = k. f(c), dega k adalah kostata. x c d) lm x c lm = = x c g( x) lm g( x) x c f ( c), dega g(c) 0. g( c) e) lm( ) = ( lm ) = [ f (c)], dega blaga bulat postf. x c x c f) lm = lm, dega lm >0 da blaga bulat postf geap. x c x c x c 9

30 F. Ukura Luar Sebelum membahas ukura luar, aka dbahas megea koleks, aljabar hmpua, aljabar _σ, da pajag terval. Koleks A adalah hmpua yag beraggotaka hmpua-hmpua, sehgga A = {A : A X}, utuk X φ. Meurut Royde, Koleks A = {A : A X} dsebut aljabar hmpua atau aljabar Boolea jka. A B A, utuk A, B A 2. A c A, utuk A A. 3. A B A, utuk A, B A. Sedagka, koleks A = {A : A X} dsebut aljabar_σ jka. A A, utuk A A = 2. A c A, utuk A A. D bawah, aka dbahas megea pajag terval da ukura luar. Dberka terval terbatas I R dega ttk-ttk ujugya a da b sehgga a b. Pajag terval l, dtuls l (I). l(i) = b - a. Cotoh : Dketahu terval I = (0,), maka pajag terval l(i) = - 0 =. Defs 2.5 (Gupta, 976 : 55) 20

31 Dberka koleks coutable J = {I/ I terval terbuka} da hmpua R. Subkeluarga C dar keluarga F C = { J : J covers } ={ J : I } dega C φ. = Maka ukura luar Lebesgue ddefska dega m*() = f {l(j) : J cover } Selajutya ukura lebesgue haya aka dtuls ukura luar. Cotoh : Hmpua = [,5]. Maka terdapat subkeluarga C = { J : J covers } = { J : = I }. Msalka J = {I, I 2, I 3, I 4,...} dega I = ( -, 5 + ), I = φ, 2 sedemka sehgga I. Maka l(j ) = l ( I ) = = 6. = = J 2 = {I 2, I 22, I 23, I 24,...} dega I 2 = ( - 2, ), I2 = φ, 2 sedemka sehgga. Maka l(j 2 ) = l ( I ) = = 5. = 2 J 3 = {I 3, I 32, I 33, I 34,...}dega I 3 = ( - 3, ), I3 = φ, 2 sedemka sehgga 2 2 I 3. Maka l(j 3 ) = l ( I 3 ) = = 4. = 3 3 Da seterusya mash bayak lag J, sehgga dapat dtulska = 2

32 utuk setap N, J = {I, I 2, I 3, I 4,...} dega I = ( -, 5 + ), utuk setap = da I = φ, 2, sedemka sehgga = I. = 2 2 Maka l(j ) = l ( ) = = 4 utuk setap N. I Sehgga ukura luar dar adalah m*() = f {l(j) : J cover }= f {6, 5, 4 3 2, 4 2, 4 5 2, 4 3, 4 7 2, 4 4,...}. Karea barsa {6, 5, 4 3 2,4 2, 4 5 2, 4 3, 4 7 2, 4 4,...}semak ke kaa semak kecl da semak medekat 4, maka m*() = f {l(j) : J cover }= f {6, 5, 4 3 2, 4 2, 4 5 2, 4 3, 4 7 2, } = 4. Sfat-sfat yag berkata dega ukura luar dyataka sebaga berkut. Teorema 2.3 (Gupta, 976 : 56) Dberka hmpua A, B R. a) m*(a) 0, utuk semua hmpua A. b) m*(φ ) = 0. c) Jka dberka hmpua A da B dega A B, maka m*(a) m*(b). d) m*(a) = 0, utuk setap hmpua A sgleto. e) Fugs m* bersfat traslas vara artya m*(a + x) = m*(a) utuk setap hmpua A da x R. 22

33 Bukt: Dberka hmpua coutable J = {I/ I terval terbuka yag salg asg} da hmpua A R. Subfamly C dar keluarga F adalah C = { J : J covers A } ={ J : A I } dega C φ. = a) Setap l(i ) 0, sehgga l( J ) 0, utuk setap N da =,2,3..., Sehgga m*(a) = If { l( J ) : J cover A }= f{ l ( ) } 0. b). Kareaφ adalah terval yag tdak mempuya aggota, maka utuk setap l(i ) = 0, maka l( J ) = 0, utuk setap N. = I Sehgga m*(φ ) = f { l( J ) : J cover A }=f { l ( ) }= 0. Terbukt bahwa m*(φ ) = 0 c). Karea A B maka m*(a) = f { l( J ) : J cover A B }. = m*(b) = f { l( J ) : J cover B }. Karea l( J ) 0, maka f {l( J) : J cover A B } f f {l( J ) : J cover B}. Terbukt A B, maka m*(a) m*(b). I m*(a) m*(b) d). Msalka A = {x} hmpua sgleto. utuk setap N, J = = I dega I = ( x -, x + ), utuk = da I = φ, 2. Sehgga l( J ) = 2, utuk setap N. 23

34 Maka m*(a) = f {l( J ) : J cover A }= f {2,, 3 2,...} = 0. Terbukt bahwa m*(a) = 0, utuk setap hmpua A sgleto. e) Dberka setap terval I dega ttk ujugya a da b. Maka hmpua I + x mempuya ttk ujug a + x da b + x. l(i + x) = b + x ( a + x) = b - a = l(i). Aka dtujukka bahwa m*(a + x ) m*(a). Dberka ε >0, terdapat koleks terhtug{i }dar terval terbuka sedemka sehgga A = l ( J ) < m*(a) + ε. I A I maka A + x ( I + x), sehgga = =, utuk setap N da berlaku = m*(a + x ) l( I x) = l ( ) < m*(a) + ε, utuk setap N. + = I Karea ε >0 sebarag, dperoleh m*(a + x ) m*(a). () Aka dtujukka bahwa m*(a+x) m*(a). Sedagka, A= (A+x) x, maka A (A + x). {I }adalah koleks terhtug dar terval terbuka yag salg asg sedemka sehgga A + x = I maka A = I. A (A+x) maka m*(a) m*(a+x). (2) Dar () da (2) ddapatka m*(a) = m*(a+x). Terbukt bahwa m*(a + x) = m*(a), utuk setap hmpua A da x R. 24

35 Teorema 2.4 ( Gupta, 976 : 57) Ukura luar dar suatu terval adalah pajag dar terval tersebut. Bukt : Kasus : msalka I adalah terval tertutup berhgga dega I = [a,b]. Utuk ε >0 terdapat terval terbuka J = ( a- 2 ε, b + 2 ε ) yag memuat [a,b], maka m*(i) l ((a- 2 ε, b + 2 ε )) = b - a + ε. utukε >0 terdapat m*(i) b - a = l (I). () Aka dtujukka m*(i) b-a. dberka ε > 0 terdapat koleks terhtug dar terval terbuka {I }dega I = I sedemka sehgga = m*(i) > l( ) -ε. I Sedagka I = I maka l(i) < l ( ), utuk setap N = I = b - a < l ( ). I = Sehgga m*(i) l( )-ε > b - a-ε I m*(i) > b a -ε. Ambl sebarag ε >0, maka m*(i) b - a. (2) Dar () da (2) ddapatka m*(i) = b - a. 25

36 Kasus 2 : I adalah setap terval berhgga. dberka ε >0, terdapat terval tertutup berhgga J I sedemka sehgga l(j) > I(I) - ε. Sehgga l(i) - ε < l(j) = m*(j) m*(i) l(i). l(i) - ε < m*(i) l(i). Utuk setap ε >0 maka m*(i) = l(i). Kasus 3 : I adalah terval tak berhgga. Dberka blaga real K > 0, maka terdapat terval tertutup berhgga J I sedemka sehgga l (J) = K. m*(i) m*(j) = l(j) = K, maka m*(i) K, utuk setap sebarag blaga real K >0. Oleh karea tu m*(i) = = l(i). Jad terbukt bahwa ukura luar dar suatu terval adalah pajag dar terval terval tersebut. Cotoh : Dberka hmpua A = (,3), maka m*(a) = 3- = 2. Teorema 2.5 (Gupta, 976 : 58) Dberka koleks terhtug hmpua-hmpua { }, maka Bukt : m* m * ( ). = = Jka m*( ) = utuk beberapa N maka pertdaksamaa trval. 26

37 Asumska bahwa m*( ) <, utuk masg-masg N. Dberka ε >0, terdapat koleks terhtug {I, } dar terval terbuka sedemka sehgga I =, berlaku l( I, ) < m *( ) + 2 ε. () = Karea I, maka I, sehgga = = = = m*( = ) < l ( ). (2) = = I, Dar persamaa () da (2) maka dperoleh m*( = ) < ( *( ) + 2 ) = m ε. m*( = ) < = m * ( ) + 2 ε. = m*( = ) < m * ( ) + ε. = Ambl sebarag ε >0, maka m* = m * ( ). = Corollary 2. (Gupta, 976 : 65) Jka hmpua terhtug maka m*() = 0. Bukt : Karea hmpua terhtug, berart = {a, a 2,, a, }. Dberka ε >0, maka terdapat = I dega l(i ) = 2 - ε 27

38 ( =, 2, ), sehgga dperoleh m*() = l ( I ) = 2 ε = ε 2 = =. Karea = 2 merupaka deret tdak berhgga yag koverge, dega raso r = 2 da blaga pertama, a = 2, maka S = a r = 2 2 = 2 2 =. Sehgga m*() ε = 2 = ε. = ε. Karea m*() ε, ε >0, sedagka m*() 0, maka m*() = 0. G. Hmpua Terukur. Defs 2.6 (Gupta, 976 : 64) Hmpua R dkataka terukur Lebesgue jka utuk setap hmpua A R, berlaku m*(a) = m*(a ) + m*(a c ). Karea A = (A ) ( A c ) da m* bersfat coutable subaddtvty maka berlaku m*(a) m*(a ) + m*(a c ). Oleh karea tu, utuk membuktka bahwa hmpua terukur haya perlu dega membuktka bahwa m*(a) m*(a ) + m*(a c ). Utuk selajutya hmpua terukur Lebesgue haya dtuls dega terukur. 28

39 Atau, hmpua R dkataka terukur Lebesgue ddefska jka utuk setapε > 0 terdapat hmpua terbuka O dega O da m*(o-) 0. Cotoh : Buktka hmpua = [,2] adalah hmpua terukur Bukt : Hmpua [,2] terukur jka utuk setap hmpua A R, berlaku m*(a) = m*(a [,2]) + m*(a [,2] c ). Karea A = ( A [,2] ) ( A [,2] c ) da m* bersfat coutable subaddtvty maka berlaku m*(a) m*(a [,2] ) + m*(a [,2] c )...() Aka dbuktka bahwa m*(a) m*(a [,2]) + m*(a [,2] c ). Ambl sebarag A sedemka sehgga A [,2] A maka m*(a [,2]) m*(a) A [,2] c φ maka m*(a [,2] c ) m*(φ ) Sehgga m*(a) + m*(φ ) m*(a [,2]) + m*(a [,2] c ). m*(a) + 0 m*(a [,2] ) + m*(a [,2] c ). m*(a) m*(a [,2] ) + m*(a [,2] c )...(2) Ambl sebarag A sedemka sehgga A [,2] φ maka m*(a [,2]) m*(φ ) A [,2] c A maka m*(a [,2] c ) m*(a) Sehgga m*(φ ) + m*(φ ) m*(a [,2]) + m*(a [,2] c ). 0 + m*(a) m*(a [,2] ) + m*(a [,2] c ). m*(a) m*(a [,2] ) + m*(a [,2] c )...(3) Dar (), (2) da (3) dapat dsmpulka bahwa terukur. 29

40 D bawah aka dberka beberapa sfat hmpua terukur Teorema 2.6 (Gupta, 976 : 65) a) Jka terukur maka c juga terukur. b) φ da R merupaka hmpua terukur. Bukt a) terukur, maka A R berlaku m*(a) = m*(a ) + m*(a c ) = m*(a ( c ) c ) + m*(a c ) = m*(a c ) + m*(a ( c ) c ) Terbukt bahwa c terukur. b) Aka dbuktka φ terukur Ambl sebarag A R. Karea (A φ ) φ maka m* (A φ ) m*(φ ) = 0. Karea (A φ c ) A maka m* (A φ c ) m*(a). Sehgga dperoleh m*(φ ) m* (A φ ) + m*( A φ c ). Jad φ terukur. Aka dbuktka R terukur. φ terukur, maka utuk φ R berlaku m*(a) = m*(a φ ) + m*(a φ c ). = m*(a (φ c ) c ) + m*(a φ c ). = m*(a φ c ) + m*(a (φ c ) c ). = m*(a R ) + m*(a R c ). Terbukt bahwa R terukur. 30

41 Teorema 2.7 (Gupta, 976 : 65) Jka m*() = 0, maka terukur. Akbatya setap subset terukur. Bukt : Ambl sebarag hmpua A R. Karea A maka m*( A ) m*( ) = 0 da (A c ) A maka m*( A c ) m*( A). Sehgga berlaku m*(a) m*(a ) + m*(a c ) = m*() + m*(a) = 0 + m*(a) = m*(a) Terbukt bahwa terukur. Aka dbuktka subset terukur. Ambl sebarag K Maka m*(k) m*(). Akbatya m*(k) 0, jad m*(k) = 0 Meurut bukt sebelumya, K terukur. Teorema 2.8 ( Gupta 976 : 66) Jka da 2 hmpua terukur maka 2 terukur. Bukt : Ambl sebarag hmpua A R Dketahu hmpua terukur, maka utuk setap A R berlaku m*(a) = m*(a ) + m*(a c ) 2 hmpua terukur, maka utuk setap A R berlaku m*(a) = m*(a 2 ) + m*(a c 2 ). 3

42 Karea A = (A 2 ) ( A c 2 ) maka A c = (A 2 c ) ( A c 2 c ) A c c = ( [A ] 2 ) ( [ A c ] c 2 ) 2 hmpua terukur maka utuk setap (A c ) R berlaku c c m*(a ) = m*( [A ] 2 ) + m*( [ A c c ] 2 ). Aka dbuktka bahwa 2 terukur 2 terukur, jka utuk setap A R berlaku m*(a) = m*(a [ 2 ] ) + m*(a [ 2 ] c ) Karea A= (A [ 2 ] ) (A [ 2 ] c ) bersfat coutable subbaddtvty maka berlaku m*(a) m*(a [ 2 ] ) + m*(a [ 2 ] c ) () Sehgga tggal membuktka m*(a) m*(a [ 2 ] ) + m*(a [ 2 ] c ). Sedagka A [ 2 ] = (A ) ( A 2 ) = (A ) ( A 2 ) ( c ) = (A ) ( (A 2 c ) Sesua dega teorema 2.5 maka m*(a [ 2 ] ) m*(a ) + m*( A 2 c ). Jka kedua ruas dtambahka dega m*(a [ 2 ] c ), maka m*(a [ 2 ] ) + m*(a [ 2 ] c ) m*(a ) + m*( A 2 c ) + m*(a [ 2 ] c ). c = m*(a ) + m*(( A ) 2 )+ m*(a [ c c 2 ] ). 32

43 = m*(a ) + m*( A c ) 2 )+ m*(a c c ) 2 ). = m*(a ) + m*( A c ) = m*(a) Sehgga m*(a [ 2 ] ) + m*(a [ 2 ] c ) m*(a) (2) Dar () da (2) maka dperoleh m*(a) = m*(a [ 2 ] ) + m*(a [ 2 ] c ). Jad 2 terukur. Teorema 2.9 (Gupta : 67) Jka, 2,., R adalah hmpua-hmpua terukur Lebesgue yag salg asg, maka utuk setap A R berlaku m* A = = m *( A = ) Bukt : Pembukta dlakuka dega duks matematka sebaga berkut Utuk =, maka m*(a ) = m*( A ) Adaka bear utuk - maka berlaku m* A = = = m * ( A Selajutya aka dbuktka bear utuk. Karea, 2,..., salg asg maka m* A + m*(a ) = ( m * ( A ) ) + m*(a ) = = ) 33

44 m* A = + m* A = m* A c = = m * ( A = = = m * ( A ) ) Terbukt bahwa m* A = = = m * ( A ). Defs 2.7 (Gupta : 976, 60) Hmpua dar gabuga hmpua tertutup terhtug (berhgga atau tdak berhgga) dsebut dega hmpua I σ Defs 2.8 (Gupta : 976, 6) Hmpua dar rsa hmpua terbuka terhtug adalah hmpua Kompleme dar hmpua G δ adalah hmpua G δ. I σ da berlaku sebalkya. Teorema 2.0(Gupta : 976, 6) Dberka hmpua terukur, maka a). ε >0, hmpua terbuka O, dega O sedemka sehgga m*(o) < m*() + ε. Oleh karea tu m*() = f m*(o). b). hmpua G, dega G sedemka sehgga m*() = m*(g) δ Bukt : a) Terdapat koleks terhtug dar terval terbuka {I } sedemka sehgga = I da = l( I ) < m *( ) + ε. 34

45 Hmpua O = = m*(o) = m* = I. Maka O adalah hmpua terbuka da I m * ( ) = l( I ) < m *( ) + ε = I = Ambl sebarag ε >0, maka m*() = f m*(o).. b) Ambl ε =, N. Dar (a) maka utuk setap N, hmpua terbuka O, dega O sedemka sehgga m*(o ) < m*() +. Ddefska G = = O. Maka G adalah hmpua G δ da G. Selajutya m*() m*(g) m*(o ) < m() +, dega N. Utuk, maka m*(g) = m*(). Corollary 2.2 ( Gupta : 976, 74). Masg-masg dar hmpua d R, yatu hmpua terbuka, hmpua tertutup, hmpua Bukt : I σ da hmpua G δ adalah terukur.. Aka dbuktka setap hmpua terbuka adalah hmpua terukur. Msalka hmpua adalah hmpua terbuka maka utuk setap ε > 0 terdapat hmpua terbuka O dega O da m*(o-) 0. Terbukt bahwa setap hmpua terbuka adalah hmpua terukur. 2. Aka dbuktka bahwa setap hmpua terbuka adalah hmpua terukur. 35

46 Msalka F adalah hmpua tertutup, maka utuk setap ε > 0 terdapat hmpua terbuka O dega F O da m*(o-f) 0. Karea O - F adalah hmpua terbuka da setap hmpua terbuka adalah terukur maka F terukur. 3. Hmpua I σ adalah gabuga hmpua tertutup terhtug (berhgga atau tdak berhgga). Aka dbuktka Hmpua Iσ adalah hmpua terukur. Msalka F j adalah hmpua tertutup maka F = j= F. Karea F j hmpua tertutup maka F j terukur. Sesua dega teorema 2.8 maka gabuga dar hmpua terukur adalah hmpua terukur, sehgga F terukur. 4. hmpua G δ adalah rsa dar hmpua terbuka. Msalka adalah j hmpua terbuka maka = = terukur. Sehgga hmpua G terukur. δ. Sesua dega teorema 2.0 maka H. Ukura Lebesgue Sebelum membahas tetag ukura Lebesgue, aka dbahas megea hmpua blaga real yag dperluas da ukura terlebh dahulu. Hmpua blaga real yag dperluas adalah gabuga hmpua semua blaga real dega hmpua {-, }. Hmpua blaga real yag dperluas dotaska dega R *. Jad, R * = R {-, }. (Gupta, 976 : 6). Sedagka fugs yag laya pada hmpua blaga real yag dperluas dsebut fugs berla real yag dperluas. (Gupta, 976 : 89) 36

47 Sedagka fugs m yag memetaka setap hmpua pada blaga real yag dperluas o egatf dsebut ukura. Ukura kemuda dtuls dega m() yag memeuh sfat-sfat d bawah :. m() ddefska utuk semua hmpua P (R ). P ( R ) adalah koleks dar semua subset R. 2. m(i) = l(i), utuk suatu terval 3. Jka { } adalah barsa dar hmpua yag salg asg maka m = m( ). = = Sfat tersebut dkeal dega coutable addtvty. 4. m(+y) = m(), dega y adalah blaga tetap. blaga tetap adalah blaga yag meyebabka m(+y) = m(). Sfat dkeal dega traslas varace. Koleks semua hmpua terukur dalam R damaka M, maka M merupaka aljabar_σ. Dketahu fugs m : M R + = [0, ), Jka utuk setap M, m() = m*() maka m dsebut ukura Lebesgue. (Gupta,976: 65). Teorema 2. (Gupta, 976 : 70) Jka { } merupaka barsa hmpua terukur tdak berhgga, maka m ( = ) m ( ). = Lebh lajut, jka { } salg asg, maka m ( = ) = m ( ) = 37

48 Bukt: Ambl sebarag A = R maka dperoleh m ( = ) m ( ) () = Jka { } barsa tdak berhgga dar hmpua terukur salg asg maka = =. Akbatya m ( = ) m ( = ) = m ( ). = Jad m ( = ) m ( ). = Karea ruas kr tdak bergatug pada, msalka maka m ( = ) m ( ). () = Dar () da () terbukt bahwa m ( = ) = m ( ). = Teorema 2.2 ( Gupta, 976 : 75) Jka { }barsa hmpua terukur mooto turu yatu +, =, 2,... da terdapat dega m( ) < maka m = lm m( ). = Bukt : 38

49 Msalka p adalah blaga bulat terkecl sedemka sehgga m( p ) <. Maka m( )<, utuk semua p. Hmpua = = da F = +, maka hmpua F salg asg da p = = maka m( p -) = m ( F ) = m( + ). () Sedagka = p = p F. m( p ) = m() + m( p - ) da m( ) = m( + ) + m( + ), utuk semua p. Sehgga p da +. Karea m( ) <, p maka m( p ) - m() = m( p - ) da m( )- m( + ) = m( + ), p (2) Dar () da (2) dperoleh m( p -) = m ). = p ( + ( + = p m( p ) - m() = m ( ) m( )) = lm ( m ( ) m( + )) = p = lm( m( ) m( )) = m( p )- lm( m( ) p Karea m( p ) < maka m() = lm( m( ). 39

50 Teorema 2.3 (Gupta, 976 : 75) Dberka hmpua terukur, maka utuk suatu traslas + y juga terukur da m( + y) = m() Bukt Ambl sebarag hmpua A, karea terukur maka m*(a) = m*(a ) + m*(a c ). m* bersfat traslas vara maka dperoleh m*(a + y) = m*([ A ] +y) + m*([ A c ] +y) karea [A ] + y = (A + y) ( + y) da [A c ] + y = (A +y) ( c + y). Maka m*(a + y) = m*([a + y] [ + y]) + m*([a +y] [ c + y]). A adalah hmpua sebarag maka A dapat dgat dega A - y sehgga dperoleh m*(a) = m* (A + y) + m*( A c + y). Karea c + y = ( +y) c, maka + y terukur. Karea m* bersfat traslas vara maka m( +Y) = m(). Defs 2.9 (Gupta, 976 : 05) Hmpua terukur dkataka berukura ol jka m() = 0. Suatu sfat dkataka berlaku hampr dmaa-maa jka sfat tersebut berlaku pada kecual pada hmpua baga yag berukura ol. Cotoh : Fugs f yag ddefska pada [,3] dega f (x) = 0 3 jka jka x x rasoal. rasoal Buktka bahwa f(x) = 0 berlaku hampr dmaa-maa pada R 40

51 Bukt : Fugs f(x) = 3 utuk x Q [,3] Hmpua Q [,3] Q, sedagka hmpua semua blaga rasoal Q adalah hmpua terhtug sehgga Q berukura ol. Oleh karea tu {x Q [,3] : f (x)=3} adalah hmpua terukur da terhtug maka {x Q: f (x)=3} berukura ol. Sedagka f(x) =0 utuk x Q c [,3], Hmpua Q c [,3] [,3], maka Hmpua Q c [,3] berukura 2. Jad f(x) = 0 berlaku hampr dmaa-maa kecual pada hmpua baga [,3] yag berukura ol, yatu hmpua {x Q [,3] : f (x)=3}. I. Fugs terukur Defs 2.20 (Gupta, 976 : 89). Msalka f adalah fugs berla real yag dperluas. Fugs f dkataka terukur Lebesgue pada, jka hmpua ( f > a) = {x : f (x) > a} terukur utuk setap a R. Utuk selajutya fugs f terukur Lebesgue haya dtuls f terukur. Beberapa operas da sfat-sfat yag berlaku pada fugs terukur aka dberka sebaga berkut. Teorema 2.4 ( Gupta, 976 : 89) Dberka fugs berla real yag dperluas f ddefska pada, maka peryataa peryataa dbawah ekuvale : 4

52 a) utuk setap a, maka ( f >a) terukur. b) utuk setap a, maka ( f a) terukur. c) utuk setap a, maka ( f <a) terukur. d) utuk setap a, maka ( f a) terukur. Cotoh : Tujukka bahwa fugs f ddefska pada [-3,3] dega 2 f (x) = x 2 jka jka x [ 3, ) x [,3] adalah fugs terukur. Peyelesaa : Utuk x [-3,-) maka f(x) = 2 da utuk x [-,3] maka f(x) = x+2. Sehgga gambar dar f(x) d atas adalah y x Gambar Fugs f dkataka terukur Lebesgue pada, jka hmpua ( f > a) = {x : f (x) > a} terukur utuk setap a. Msalka adalah setap blaga real. Maka ( f > ) adalah 42

53 ( f >α ) = [ 3,3] [ 3, ) (,3] [ 3, ) ( α 2,3] (0,3] ( α 2,3] jka jka jka jka jka α < α = < α < 2 α = 2 α > 2 Utuk setap α < maka hmpua ( f >α ) = [-3,3] terukur. Utuk setap α = maka hmpua ( f >α ) = [-3,-) (-,3] terukur. Utuk setap <α <2 maka hmpua ( f >α ) = [-3,-) (α -2,3] terukur. Utuk setap α = 2 maka hmpua ( f >α ) = (0,3] terukur. Utuk setap α > 2 maka hmpua ( f >α ) = (α -2,3] terukur. Karea hmpua ( f > a) = {x : f (x) > a} terukur utuk setap a R, maka f adalah fugs terukur. Teorema 2.5 (Gupta, 976 : 9) a) Jka f fugs terukur pada hmpua terukur da maka f adalah fugs terukur pada. b) Jka fugs terukur f pada masg-masg hmpua koleks terhtug { }dalam hmpua terukur yag salg asg maka f terukur pada = c) Jka f da g fugs terukur pada doma, maka hmpua A( f, g) ={x : f(x) < g(x) } adalah terukur. 43

54 f(x) y g(x) Hmpua A 0 x Gambar 2. hmpua A( f, g) ={x : f(x) < g(x)} adalah terukur. Teorema 2.6 ( Gupta, 976 : 95) Dberka f da g fugs-fugs terukur pada da kostata c maka setap fugs d bawah terukur. ) f ± c ) cf ) f + g v) f g v) f v) f 2 v) f.g v) f / g dega g(x) 0, utuk setap x. Bukt Msalka α sebarag blaga real. ) Karea f terukur da ( f ± c >α ) = ( f >α ± c). 44

55 Maka fugs f ± c terukur. ) Utuk c = 0 maka (cf >α ) = (0.f >α ) = ( 0 >α ). Utuk c 0 maka (cf >α ) = ( f ( f > α / c) < α / c) jka jka c > 0 c < 0 Jad cf terukur. ) Hmpua ( f +g >α ) ={x : f(x) >α - g(x) }. Karea g fugs terukur, maka α - g terukur sepert pada () da (). Oleh karea tu f + g terukur. v) f - g = f + (-g), maka ( f + (-g ) >α ) ={x : f(x) >α + g(x) }. Karea g fugs terukur, maka α + g terukur, sehgga f - g terukur. v) ( f >α ) = ( f > α) ( f < α ) jka jka α < 0 α 0 Karea hmpua da ( f >α ) ( f < -α ) terukur maka f terukur. v) ( f 2 >α )= ( f > a ) jka jka α < 0 α 0 Karea da ( f >α ) terukur maka f 2 fugs terukur. v) ( f + g ) 2 = f f g + g 2 ( f g ) 2 = f 2-2 f g + g 2 ( f + g ) 2 ( f + g ) 2 = 4 f g [( f +g) 2 - ( f - g) 2 ] = f g 4 Fugs f da g terukur maka (f ± g) terukur. Sehgga (f ± g) 2 da [( f + g) 2 - (f - g) 2 ] terukur. Jad f.g = 4 [(f + g) 2 - (f - g) 2 ] terukur. 45

56 v) f = f g g Aka dbuktka bahwa /g terukur pada, dega g 0 ( g > 0) ( > α ) = ( g < ) ( g < 0) g α ( g > 0) ( g < 0) ( g < ) α jka jka jka α = 0 α > 0 α < 0 Karea /g fugs terukur, meurut (v) maka f = f terukur. g g Defs 2.2 ( Gupta, 976 : 98) Dberka f berla real, f + baga postf dar f da f - baga egatf dar f. Keduaya ddefska sebaga fugs o egatf dega f + = max ( f, 0 ) da f - = max ( - f, 0 ). Sehgga f = f + - f da f = f + + f Cotoh : Fugs f = s x, maka f + = max ( f, 0 ) = s x 0 utuk utuk 0 x < π π x < 2π f - 0 = max( - f, 0 ) = s x f = f + + f - s x = s x utuk utuk utuk utuk 0 x < π π x < 2π 0 x < π π x < 2π 46

57 Teorema 2.7 ( Gupta : 976, 99) Dberka { f } adalah barsa fugs terukur dega doma, maka fugs fugs max{f, f 2, f }, m{ f, f 2, f }, sup f, f f, Lm sup f, da lm f f adalah terukur. Corollary 2.3 (Gupta : 976, 00) Jka {f } barsa fugs terukur yag koverge ke f pada, maka f adalah fugs terukur. Bukt : Karea {f } koverge ke f maka lm f = f. Sehgga lm f = lm f f. = lm f f = Lm f sup = f. Karea lm f f da lm f sup terukur maka f terukur. Teorema 2.8 (Gupta, 976 : 03) Fugs kotu yag ddefska pada hmpua terukur adalah fugs terukur. Bukt : A adalah fugs yag ddefska pada (terukur) da kotu pada. Msalka α adalah sebarag blaga real da hmpua A = {x : f(x) α }. Msalka x 0 adalah ttk lmt dar A, maka utuk setap ε >0 terdapat sedktya satu ttk x dalam barsa {x } d A dega x x 0 sedemka sehgga x -x 0 < ε. 47

58 Maka terdapat ttk x 0 dar barsa {x } d A sedemka sehgga lm x = x0. Karea f (x ) α, Ν. Maka lm f ( x ) = f ( x0 ) α, Karea hmpua A memuat semua ttk lmt dar A maka A tertutup. Karea A tertutup, maka A terukur sehgga fugs f juga terukur. Teorema 2.9 (Gupta : 976, 04) Jka f adalah fugs terukur, maka f, f p (p > 0), e cf, f +, f - adalah fugs terukur. Bukt :. Utuk f telah terbukt pada teorema Hmpua ( f p >α ) = ( f > p α ) jka jka α < 0 α 0 Karea f terukur maka f p terukur. c. Utuk c = 0 maka hmpua terukur. Hmpua (e cf >α ) = ( f < l ( f > l c c α α ) jka jka c < 0 c > 0 Jad e cf terukur. d. Karea f = f + + f da f = f + - f maka f f 2 = f da f + f = f + 2 Karea f da f terukur maka f f 2 terukur. Jad f terukur. f + f Karea f da f terukur maka terukur. Jad f + terukur. 2 48

59 Teorema 2.20 ( Gupta, 976 :06) Dketahu f da g adalah fugs-fugs yag ddefska pada hmpua terukur sehgga f = g hampr dmaa-maa pada. Jka g terukur maka f terukur. Bukt : Msalka = {x : f(x) = g(x)} da c = {x : f(x) g(x)} maka = c da m( c ) = 0. Msalka α adalah sebarag blaga real da A = {x : f(x) >α } Karea A c c, maka m*(a c ) = 0 da A = {x : f (x) >α } {x : f(x) = g(x)} = {x : f (x) = g(x) >α }. Karea g(x) terukur maka A terukur, sehgga m*( A) = m*(a ) + m*(a c ). Jad f terukur. Teorema 2.2 (Gupta, 976 :07) Jka fugs f ddefska pada hmpua terukur da kotu hampr dmaamaa pada, maka f terukur pada. Defs 2.22 (Gupta, 976 : 07) Barsa fugs {f } terdefs pada dkataka koverge hampr dmaa-maa ke fugs f jka lm f ( x) =, utuk setap x - dega da m( = 0). 49

60 Teorema 2.22 (Gupta, 976: 07) Jka barsa fugs terukur {f } koverge hampr dmaa-maa ke fugs f, maka f terukur. Bukt : Barsa {f } koverge hampr dmaa-maa ke fugs f pada, maka lm f ( x) =, Utuk setap x - dega da m( = 0). Sehgga lm = lm, x - dega da m( = 0). = lm = Lm sup ( x) = f(x). f f Karea lm f f da Lm f sup terukur maka f terukur. Defs 2.23 (Gupta, 976 : 8) Barsa fugs terukur {f } dkataka koverge pada ukura ke fugs f pada, dtuls f m f, jka utuk setap δ >0 daε > 0 terdapat blaga bulat postf N sedemka sehgga m({ x : f ( x) ε }) < δ, utuk setap > N. Defs 2.24 (Gupta, 976: 8) Barsa fugs terukur {f } dkataka koverge pada ukura ke fugs terukur f pada, jka lm m({ x : ε}) = 0, utuk setap ε > 0. 50

61 Teorema 2.23 (Gupta, 976 : 9) Msalka { f } adalah barsa fugs terukur yag koverge ke fugs f hampr dmaa-maa pada. Maka {f } koverge pada ukura ke fugs terukur f. Bukt : Utuk setap blaga asl da ε > 0, hmpua S (ε ) = { : ε} x Msalka δ >0 adalah blaga sebarag, maka terdapat blaga terukur A dega m(a) < δ da blaga bulat postf N sedemka sehgga f (x) f(x) < ε. Utuk semua x -A da N, maka S (ε ) A, utuk setap > N. m(s (ε )) m(a) < δ, utuk setap > N. Jad {f } koverge pada ukura ke f. Defs 2.25 (Gupta, 976 : 94) Fugs f : [a,b] R dsebut fugs tagga jka terdapat parts {a = x 0 < x < < x = b} [a, b] sehgga utuk setap subterval (x -, x ), fugs f berla kosta f (x) = c, x (x -, x ), dega =, 2,,. Cotoh : Fugs f : [2,6] R dega f (x) = 5 3 jka jka 2 x < 4 4 x 6 adalah fugs tagga. 5

62 Defs 2.26 (Gupta, 976 : 00) Msalka adalah hmpua terukur. Ddefska fugs karakterstk X pada dega rumus X (x) = 0 x. x Itegral fugs karakterstk X pada ddefska sebaga X dx = m(). Cotoh : Tetuka Peyelesaa: X dx, jka hmpua = {x : x Q (,2) }. Hmpua = {x : x Q (,2) } Q (,2) Q, sedagka Q adalah hmpua terhtug, sehgga m(q) =0. Oleh karea tu m() =0. Sehgga X dx = m() = 0 Teorema 2.24 (Gupta, 976 :00) Dberka A,B, berlaku a) χ = 0 da χ =. φ b) Jka A B maka χ A χ B. c) χ A B = χ A + χ B χ A B. d) χ A B = χ A. χ B. e) Jka { } merupaka koleks hmpua baga yag salg asg, maka χ = = χ = 52

63 J. Fugs Sederhaa Defs 2.27 (Gupta, 976 : 0) Fugs ρ : R dsebut dega fugs sederhaa, jka terdapat hmpua terukur {, 2,., } yag salg asg, dega = = da hmpua blaga real berhgga {a, a 2,,a } sedemka sehgga ρ (x) = a, x, Msalka f adalah fugs sederhaa maka dperoleh ρ (x) = aχ ( x) = Dega χ adalah fugs karakterstk dar hmpua terukur, da hmpua ={ x : ρ (x) = a }, =,2., merupaka parts dar. Fugs sederhaa selalu terukur. Cotoh: setap fugs karakterstk dar hmpua terukur adalah fugs sederhaa. K. Itegral Rema Defs 2.28 (Varberg da Purcell : 340) Adaka f suatu fugs yag ddefska pada selag tertutup [a,b]. Jka lm f ( x ) Δ p 0 = x ada, maka f tertegral pada [a,b]. Lebh lajut b a dx dsebut tegral tetu ( tegral Rema) f dar a ke b. Sehgga b a dx = lm f ( x ) Δx p 0 = 53

64 Dega x adalah sebarag ttk sampel utuk selag baga ke. Sedagka Δx = x x da P (dsebut orma P) meyataka pajag selag baga yag terpajag dar parts P pada [a,b]. Karea parts dbuat sebayak-bayakya maka pajag selag baga yag terpajag medekat ol atau dtuls P 0 Cotoh : 5 Htug ( x ) dx Peyelesaa : Selag [-,5] dbuat parts mejad selag baga yag sama, masg-masg dega pajag Δ x 5 ( ) 6 = =. Dalam tap selag [x -, x ] megguaka x = x sebaga ttk sampel. Maka x 0 = - x = Δ x = - + : x = Δ x = - +. x = Δ x = = 4 Jad f (x ) = x - = = Sehgga 54

65 = f ( x ) Δx = = f ( x ) Δx = = = 2 = = = 2 = ( + ) 2 = = = 6 + Karea P adalah suatu parts tetap, P 0 setara dega, maka 5 Jad, ( x ) dx = lm f ( x ) Δx p 0 = 8 = lm 6 + = 6. Msalka ψ adalah fugs tagga, terdefs pada terval tertutup [a,b] maka ψ (x) = c, x < x < x - ( =, 2, ), dega {a = x 0 < x < x 2 < x = b}adalah parts dar [a,b]. Ddefska tegral lemeter dar ψ pada [a,b] sebaga berkut : b ψ ( x) dx = c ( x x ) a = Sehgga R b a b dx = f ψ ( x) dx, utuk semua fugs tagga ψ f. a 55

66 R b a b dx = sup ψ ( x) dx, utuk semua fugs tagga ψ f. a Jka R b a f x) dx ( = R b a dx, maka f tertegral Rema pada [a,b], da b dotaska dega R a Cotoh: dx. (Gupta, 976: 29). 3 Msalka fugs f (x) = 4 terdefs pada [0,3]. Tetuka R 0 Peyelesaa: Utuk semua fugs tagga ψ f, maka dx. R dx = f ψ ( x) dx = f c x x ) 0 = ( = 4.(3-0) = 4. = 2 Utuk semua fugs tagga ψ f, maka R dx = sup ψ ( x) dx = sup c x x ) 0 = ( = 4. (3-0) = 4.3 = 2 56

67 Karea R 3 0 dx = R 3 0 dx maka f tertegral Rema, sehgga 3 R 0 dx = 2. 57

68 BAB III PMBAHASAN Pada bab aka dbahas tetag tegral Lebesgue pada fugs terbatas, keterkata tegral Lebesgue dega tegral Rema, sfat-sfat tegral Lebesgue pada fugs terbatas, da kekovergea pada fugs terbatas. A Itegral Lebesgue pada fugs terbatas Msalka f adalah fugs sederhaa da terukur dega represetas kaok f = a χ =, ={x : f(x) = a } salg asg da terukur. Blaga a ( =, 2,..., ) berbeda da a 0. Asumska bahwa berukura berhgga, maka tegral Lebesgue dar f ddefska dega dx = am( ). = Selajutya tegral Lebesgue dar f dapat dtuls f. Jka hmpua terukur, maka f = f χ. (Gupta :976, 30). 58

69 59 Cotoh : Fugs f : [0,] yag ddefska dega f (x) =, , , x jka x jka x jka Htuglah [0,] ) ( dx x f Peyelesaa : Iterval [0,] dbag mejad 3, 0 3 2, 3, 3 2. m , 0 m , 3 m 3 3 2, 3 2 [0,] ) ( dx x f = ( x 3 ) + ( 2 x 3 ) + ( 3 x 3 ) = 2. Lemma 3. ( Gupta : 976, 30) Msalka f a x dega setap adalah hmpua terukur berukura berhgga da salg asg, maka ) ( m a f /3 2/3

70 Bukt : Fugs sederhaa f terdefs pada =. Msalka c j aggota dar rage f. Maka betuk kaok dar f adalah m f = c x j j= A C j dega c c 2... c da hmpua A C j dberka sebaga berkut :A C j a = c j = (x: f(x)= c j ) = Sehgga f = m j= c m( A j C j ) m = c m( ) j = j a = c j m = c m( ) j j= a = c j m = c m( ) a = c j j = j = am( ). = Terbukt bahwa f = a m( ). = Teorema 3. (Gupta : 976, 3) Msalka f da g adalah fugs sederhaa pada hmpua terukur berukura berhgga, maka : a. bg = a f + b af + g, utuk semua blaga real a da b. 60

71 b. Jka f g maka f g Bukt : a. Msalka {A } da {B j } adalah hmpua dalam betuk kaok dar f da g. Karea χ A = χ A B da j B = j j = χ χ maka j = A B j af + bg = a m α xa + b β x j B j = j = m m = a αχ A B + b j β jχ A B j = j = = j = m m = aαχ A B + j bβ jχ A B j = j = = j = m = ( aα + bβ j ) χ A B j = j = Karea koleks dar hmpua A j ( =, 2,..., m; j =, 2,.., ) membetuk koleks salg asg berhgga dar hmpua terukur, maka dega lemma 3., ddapatka : m ( af + bg) = ( aα + bβ ) m( A B ) = j = m = ( aα + bβ ) m( A B ) = j = m j j = aα. m( A B ) + bβ. m( A B ) = j= m j j m j = j= = aα m( A [ B ]) + bβ m([ A ] B ), = j= j j= j j m = j j 6

72 Karea A [ B j ] = A j= m [ A ] B j = B j =, =,2,..., m, j =,..., m α j j = a ρ b = j = Maka ( af + bg) = a m( A ) + b β m( B ) Jad, terbukt af + bg = a f + bg + ψ b). Fugs f g, ambl a = da b = - pada (a) maka ddapatka f g = f ( g) Karea f g maka f - g 0 adalah fugs sederhaa, maka sesua dega defs tegal elemeter dperoleh ( f g) 0. Sehgga f g = ( f g) f 0 g 0 f g. Terbukt, jka f g maka f g.. D bawah aka dbahas tegral Lebesgue atas da tegral Lebesgue bawah dar fugs terbatas yag terdefs pada hmpua terukur berukura berhgga. Msalka f : R adalah fugs terbatas da hmpua terukur yag berukura berhgga. Msalka ψ adalah fugs sederhaa terdefs pada dega ψ f. Da ρ adalah fugs sederhaa terdefs pada dega ρ f. Jka dua blaga f ψ da φ > f sup ρ ada, maka f ψ dsebut tegral ρ< f φ > f 62

73 Lebesgue atas da sup ρ< f ρ dsebut tegral Lebesgue bawah. Selajutya tegral Lebesgue atas dtuls dega L dx da tegral Lebesgue bawah dtuls dega L dx. Bukt : Karea f fugs terbatas, maka terdapat blaga real α da β sedemka sehgga α = f{ : x } β = sup{ : x } Kostata α da β dpadag sebaga fugs kosta. Fugs kosta tersebut adalah fugs sederhaa terdefs pada, sehgga berlaku α f β. Hmpua L( f )={ ρ: ρ adalah fugs sederhaa terdefs pada da ρ f }. Utuk setap ρ L( f) terdapat ρ f β, sehgga β = ρ βm ( ). Hmpua ρ : ρ L ( f ) R da buka hmpua kosog. Karea sedktya terdapat α sebaga aggota dar hmpua ρ : ρ L ( f ) da terdapat batas atas βm() R. Sehgga hmpua ρ : ρ L ( f ) mempuya supremum yatu L sup ρ. Selajutya ρ< f dx. sup ρ dtuls dega tegral Lebesgue bawah ρ< f 63

74 Hmpua U(f) = {ψ :ψ adalah fugs sederhaa terdefs pada, dega ψ f }. Utuk setap ψ U ( f ), terdapat α f β, α m() = f α ψ. Maka hmpua ψ :ψ U ( f ) R da buka hmpua kosog. Karea sedktya terdapat β sebaga aggota dar ψ :ψ U ( f ) da terdapat batas bawah αm() R, sehgga ψ :ψ U ( f ) mempuya fmum f ψ. Selajutya φ > f L dx. f ψ dtuls dega tegral Lebesgue atas dtuls dega φ > f Jad, Setap fugs terbatas f terdefs pada hmpua terukur berukura berhgga mempuya tegral Lebessgue atas da tegral Lebesgue bawah. Teorema 3.2 ( Gupta : 976, 33) Msalka f : R adalah fugs sederhaa. Maka L dx = f = L dx 64

75 Bukt : Fugs f adalah fugs sederhaa. Fugs f L(f)) ={ρ: ρ adalah fugs sederhaa terdefs pada da ρ f}. ρ L( f ) maka ρ f β sehggaρ f β = βm( ). Oleh karea tu hmpua ρ : ρ L ( f ) mempuya sup ρ sedemka sehgga ρ< f sup ρ< f ρ = L dx f. () f U(f) ={ψ :ψ adalah fugs sederhaa terdefs pada, dega ψ f }. ψ U ( f ) maka α f ψ sehgga α () m = f α ψ. Maka ψ :ψ U ( f ) mempuya f ψ sedemka sehgga ψ > f f ψ = L ψ > f dx f. (2) Dar () da (2) dperoleh f L dx L dx f. Terbukt bahwa L dx = f = L dx. Jad, setap fugs sederhaa mempuya tegral Lebesgue atas da Itegral Lebesgue bawah yag sama. Akbat dar teorema d atas adalah sebaga berkut. 65