Sampel dan Distribusi Sampling

Transkripsi

1 P Modul Sampel da Dstrbus Samplg PENDAHULUAN Prof. Dr. Zazaw Soejoet ada modul pertama, aka dpelajar terlebh dahulu megea sampel da sfat-sfatya serta samplg-ya. Mater sebearya telah bayak dsajka pada mata kulah metode statstka, mater sagat petg da perlu dpelajar lebh medalam karea pemahama megea sampel da dstrbus samplg-ya merupaka dasar utuk mempelajar mater lajuta yag berkata dega feres statstk yag aka dpelajar pada modulmodul berkutya. Pada Modul, ada dua subpokok bahasa yag aka dsajka, yatu tetag sampel da sfat-sfatya da beberapa dstrbus samplg khusus. Pada Kegata Belajar aka dbahas terlebh dahulu megea pegerta statstk, dstrbus samplg statstk, sfat dstrbus ormal, serta dstrbus laya yag berkata dega dstrbus ormal, sedagka pada kegata belajar aka dbahas megea dstrbus t, F, da Beta. Setelah mempelajar modul Ada dharapka dapat meerapka dstrbus samplg berbaga statstk da sfat-sfatya dalam aalss statstk.

2 . Pegatar Statstka Matemats P Kegata Belajar Sampel da Sfat-sfatya ertama-tama marlah kta gat kembal defs sampel radom sebaga berkut. Defs.. Hmpua arabel radom X, X,..., X dkataka sebaga sampel radom berukura dar suatu populas dega fugs kepadata f(x) jka fugs kepadata peluag bersamaya berbetuk f X, X,..., X f ( x). f ( x)... f ( x ). Fugs dstrbus emprs dguaka utuk memberka la-la mea da aras sampel sebaga taksra bag mea da aras dstrbus populasya. Dalam modul aka dkealka kosep tetag statstk yag termasuk mea sampel da aras sampel sebaga kasus khususya, da aka dturuka sfat-sfat statstk tertetu yag memaka peraa petg dalam modul-modul medatag. A. STATISTIK Kta padag hmpua arabel radom teramat X, X,..., X ; msalya sampel radom berukura dar suatu populas. Defs.. Suatu fugs arabel radom teramat T( x) t ( x, x,..., x ) yag tdak bergatug pada sesuatu parameter yag tdak dketahu damaka statstk. Huruf t meujukka fugs yag kta terapka pada X,..., X gua medefska la statstk, yag selajutya dtuls dega T. D s arabel-arabel tu harus dapat damat karea aka megguaka statstk tu. Kta g melakuka feres tetag dstrbus hmpua arabel radom; jka arabel-arabel tu tdak dapat damat atau jka fugs t x, x,..., x bergatug pada parameter yag tdak dketahu,

3 SATS440/MODUL.3 maka T tdak aka bermafaat gua melakuka feres sepert tu. Sebaga cotoh kta padag data taha hdup yag damat (dalam bula) suatu sampel radom 40 beda elektrs, yag telah kta urutka dar kecl ke besar. 0,5,37,90 7,39 7,99,05 5,7 7,56,40 34,84 35,39 36,38 39,5 4,07 46,50 50,5 5,54 58,9 58,93 66,7 7,48 7,84 77,66 79,3 80,90 90,87 9, 96,35 08,9,6,7 6,87 7,05 37,96 67,59 83,53 8,49 335,33 34,9 409,97 Aka kta guaka k = sembla teral dega lebar 50, yak I = (0; 50), I = (50; 00), da seterusya. Maka, kta peroleh dstrbus frekues sebaga berkut. Tabel. Dstrbus Frekues Taha Hdup 40 Beda Elektrs. Iteral frekues (f ) Dapat kta aggap bahwa taha hdup tu merupaka la-la yag damat suatu sampel radom berukura 40 dar suatu populas beda-beda elektrs sepert tu. Basaya, populas sepert tu aka mempuya satu parameter atau lebh yag tdak dketahu, msalya mea populas yag tdak dketahu. Gua melakuka feres tetag populasya, adaka kta perlu meghtug suatu fugs data yag juga bergatug pada parameter yag tdak dketahu, msalya t ( x, x,..., x 40) = ( x, x,..., x 40 ) /. Tetu saja htuga semacam tu tdak mugk kta selesaka karea tdak dketahu. Oleh karea tu, fugs semacam tu tdak sesua utuk kta guaka sebaga defs statstk. Perlu juga dcatat bahwa, pada umumya, hmpua arabel radom tdak selalu merupaka sampel radom. Msalya,

4 .4 Pegatar Statstka Matemats hmpua arabel radom berurut X(), X(),..., X (0) buka suatu sampel radom. Tetap, fugs arabel-arabel yag tdak bergatug pada parameter yag tdak dketahu msalya t ( x(), x(),..., x (0) ) = ( x, x,..., x ) 3. x adalah suatu statstk. () () (0) (0) Kebayaka pembcaraa kta dalam modul aka melbatka sampel radom. Cotoh.. Msalka, X, X,..., X adalah sampel radom dar suatu populas dega fugs peluag f(x). Mea sampel merupaka suatu cotoh statstk dega fugs t ( x, x,..., x ) = t ( x x... x )/. Statstk basaya dtuls dega: X X Jka sampel radom tu damat, la X yag dhtug dar data basaya dtuls dega huruf kecl x. Sebagamaa telah kta pelajar x bergua sebaga la taksra mea populasya ( = E(X)). Teorema berkut memberka sfat-sfat petg mea sampel. Teorema.. Jka X, X,..., X merupaka sampel radom dar f (x) dega E(X) =, da Var (X) = maka: EX ( ) (..) Var( X ) (..) Sfat.. meujukka bahwa jka mea suatu sampel dguaka utuk meaksr mea populasya, maka la-la taksra sampel tu rata-rataya aka sama dega mea populas. Tetu saja utuk sesuatu sampel la x mugk berbeda cukup besar dega. Statstk dega sfat, sepert dalam Cotoh.. dkataka tak bas utuk parameter yag dtaksrya. Sfat aka kta pelajar lebh jauh dalam model medatag. Satu kasus khusus yag petg teorema terjad jka populasya berdstrbus Beroull.

5 SATS440/MODUL.5 Cotoh.. Kta padag arabel radom X, X,..., X yag merupaka sampel radom berukura dar dstrbus Beroull, X BIN (; p ). Dstrbus Beroull merupaka satu model utuk suatu populas berla dua atau dkotom. Mea da aras populas sepert tu adalah = p da = pq, dega q = p. Dalam hal mea sampel X = Y / dega Y adalah arabel bomal, basaya damaka propors sampel da dtuls ˆp = Y /. Mudah dlhat bahwa ˆp adalah peaksr tak bas utuk p, yak: da E( ˆp ) = p (..3 ) Var ( pˆ ) pq (..4) Sebagamaa telah kta pelajar, dstrbus bomal memberka suatu model utuk keadaa pegambla sampel dega pegembala. Telah perah kta pelajar pula bedaya dega pegambla sampel tapa pegembala yag meghaslka dstrbus hpergeometrk Y~ Hp(, M, N). Msalka, kta g meaksr M/, yak propors beda yag cacat dalam populas, berdasarka propors sampel Y/. Kta tahu bahwa Y M E p (..5) N yag berart bahwa Y/ tak bas utuk p, da Y N Var p ( p ) N (..6) yag medekat ol utuk mejad besar. Sebearya d s dapat kta lhat bahwa Var(Y/) aka sama dega ol jka = N, yak semua eleme populas damat. Cotoh..3 Telah kta pelajar pula bahwa aras sampel dberka dega rumus : S ( X X) (..7)

6 .6 Pegatar Statstka Matemats Betuk rumus berkut dapat kta jabarka dega mudah S X X / X X (..8) (..9) Teorema berkut memberka sfat petg aras sampel. Teorema.. Msalka, X, X,..., X suatu sampel radom berukura dar f(x) dega E(X) = da Var(X) =. Maka, ES ( ) (..0) 3 4 Var ( S ) 4 / ; (..) Bukt : ( ) E S E X X E X E X ( ) ( ) E. Bukt utuk (..) tdak dberka d s. Meurut Sfat (..0), aras sampel memberka cotoh la statstk tak bas, da lah pula alasa utama kta megguaka pembaga ( ), da bukaya.

7 SATS440/MODUL.7 B. DISTRIBUSI SAMPLING STATISTIK Suatu statstk adalah juga arabel radom, yag dstrbusya bergatug pada dstrbus populasya da pada betuk fugs ( x, x,..., x ). Dstrbus suatu statstk serg dkeal sebaga dstrbus t turua atau dstrbus samplg. Bayak statstk yag petg dapat dtuls sebaga kombas lear arabel radom ormal depede. Kombas lear arabel ormal Teorema..3 Jka X ~ N( ; ),,,..., merupaka arabel ormal Bukt : depede, maka Y a X ~ N a ; a (..) M ( t) M ( a t) Y X e a t a t / exp ta t a / yag merupaka fugs pembetuk mome arabel ormal dega mea a da aras a. Korolar.. Jka X, X,..., X merupaka sampel radom dar X ~ N ( ; / ). Bukt guaka Teorema..3 dega ; da N(, ) maka a

8 .8 Pegatar Statstka Matemats Cotoh..4 Kta g meyeldk peryataa bahwa X ~ (60; 36), yak X yag merupaka taha hdup (dalam bula) suatu batera berdstrbus ormal dega mea 60 da aras 36. Utuk 5 batera semacam tu d uj hdupya, da rata-rata taha hdup 5 batera tersebut dhtug. Jka peryataa tu bear, rata-rata taha hdup 5 batera tu harus lebh besar dar la berapa, sebayak 95% kal? Kta puya E( X ) = 60 da Var ( X ) = 36/5 da c60 c60 P( X c ) 0, / 5 6/5 c 60 Jad, Z 0,05,645 da c = 58,06 bula 6 / 5 puya: Pada umumya, utuk suatu tgkat peluag tertetu ( ), aka kta c Z Jad, prosedur yag masuk akal adalah meerma peryataa jka la pegamata x 58,06, tetap meolakya jka x < 58,06 karea hal aka terjad dega peluag yag sagat kecl (kurag dar 0,05) jka peryataa tu bear. Jka kta g lebh yak sebelum meolakya, maka la yag lebh kecl, msalya = 0,0, harus kta guaka utuk meetuka la krts c. Prosedur uj megutugka kosume karea dega prosedur kta tdak meolakya jka dperoleh mea taha hdup yag besar. Tetu saja, dapat juga kta betuk prosedur uj yag sesua utuk arah yag la (atau dua arah). Cotoh..5 Kta padag dua sampel radom depede Y, Y,..., Y dega ukura sampel masg-masg populas-populas berdstrbus ormal X, X,..., X da da, dar X N( ; ) da Y ~ N( ; ). Kta tuls mea sampel masg-masg X da Y. Meurut Teorema..3, selshya juga berdstrbus ormal, yak: X Y ~ N( ; / / ).

9 SATS440/MODUL.9 Jelas bahwa suku yag pertama selsh tu mempuya koefse a /, da suku terakhrya mempuya koefse a /. Sehgga mea selsh tu sama dega: (/ ) ( / ), da arasya (/ ) ( / ) Sfat-sfat selajutya yag aka kta pelajar melbatka kasus khusus dalam dstrbus gamma, yak dstrbus Kh-kuadrat. Dstrbus Kh-kuadrat Pertama-tama marlah kta tuls kembal fugs peluag dstrbus gamma (X ~ GAM(; )): x / f ( x) x e ; x 0, 0, 0. (..3) ( ) Jka = da = /, maka dstrbus gamma tu aka mejad dstrbus kh-kuadrat dega derajat bebas, yag dstrbus peluagya adalah: f / ( x x ) ; 0 / x e x (..4) Notas yag serg kta paka utuk adalah X ~ GAM( ; / ) atau X ~ (). Teorema..4 Jka X ~ (), maka fugs pembetuk momeya adalah: M ( t) ( t) X / k k ( / k) EX ( ) ( / ) sehgga E(X) = Var(X) =. Bukt: (sebaga latha).

10 .0 Pegatar Statstka Matemats Dstrbus kh-kuadrat kumulatf telah dtabelka secara luas dalam lteratur. Kebayaka memberka la persetl () utuk yag kta gka da la-la yag berbeda-beda. Khususya, jka X ~ maka () adalah la yag memeuh persamaa: P X () (..5) Nla-la (), () dberka dalam Tabel.4 (lampra) utuk berbaga la da. Nla-la dapat juga dguaka utuk medapatka lala persetl bag dstrbus gamma. Teorema..5 Jka X ~ GAM ( ; ), maka Y = X / ~ ( ). Bukt: M ( t) M ( t) Y X / M X ( t/ ) ( t) / yag tak la adalah fugs pembetuk mome dstrbus kh-kuadrat dega derajat bebas. Fugs dstrbus gamma dapat juga dyataka dalam betuk otas khkuadrat. Jka X ~ GAM ( ; ) da jka H(y ; ) meujukka fugs dstrbus kh-kuadrat dega derajat bebas, maka F ( x) H( x / ; ) (..6) X Peluag kh-kuadrat kumulatf H(c ; ) dberka dalam Tabel.5 (lampra) utuk berbaga la c da. Cotoh..6 Taha hdup (dalam tahu) suatu jes kompoe tertetu berdstrbus gamma dega = 3 da =. Dgka utuk meetuka perode garas yag 90% kompoe aka tetap hdup, yak kta gka persetl ke 0, kta tuls x 0,0, sedemka hgga P(X x 0,0 ) = 0,0. Kta peroleh:

11 SATS440/MODUL. P[X < x 0,0 ] = H ( x 0,0 / ; ) = 0,0. Dega meulska persamaa x0,0 0,0 ; ( ) kta dapatka. 0,0 ;( ) x0,0 Utuk = 3 da =, 3 0,0 (4) (3., 06) x0,0,59 tahu Jelas bahwa pada umumya persetl ke p dstrbus gamma dapat dyataka sebaga. p;( ) x p (..7) Teorema berkut meyajka sfat bahwa jumlah arabel kh-kuadrat yag depede adalah juga arabel yag berdstrbus kh-kuadrat. Teorema..6 Jka Y ~ ( ); =,,...,, adalah arabel kh-kuadrat yag depede maka: V Y ~. Bukt: M ( t) ( t).( t) ( t) V ( t) / / / / yag tdak la adalah fugs pembetuk mome.

12 . Pegatar Statstka Matemats Teorema berkut meegaska hubuga atara arabel ormal stadar da arabel kh-kuadrat. Teorema..7 Jka Z ~ N(0 ; ), maka Z ~ () Bukt: Z tz M ( t) E( e ) e tz z / e dz t e t ( ) t z ( t) / dz yag adalah fugs pembetuk mome dstrbus kh-kuadrat dega derajat bebas satu. Korolar.. Jka X, X,..., X merupaka suatu sampel radom dar maka: X ~ ( ) (..8) N( ; ) X ~ () (..9) Varas sampel telah kta bcaraka d atas, da utuk sampel radom dar suatu populas ormal dstrbusya dapat dkatka dega dstrbus kh-kuadrat. Dstrbus samplg S tdak megkut secara lagsug Korolar.. d atas, sebab suku-suku ( X X ) tdak depede. Kta tahu suku-suku tu depede karea ( X X ) 0.

13 SATS440/MODUL.3 Teorema..8 Jka X, X,..., X merupaka sampel radom dar N( ; ), maka. X da suku-suku ( X X ), =,,,, depede. X da 3. ( ) S S depede ( ). Bukt : Gua membuktka baga, pertama-tama kta perhatka bahwa dega meambahka da meguragka x da mejabarkaya dapat kta peroleh hubuga: ( x ) ( x x) x ( ) (..0) berkut. Maka, fugs peluag bersama X, X,..., X dapat dtuls sebaga (,..., x ) ( ) exp f x x ( ) exp ( ) ( ) x x x Sekarag kta padag trasformas bersama: y = x, y = x x, =, 3,,. Kta tahu bahwa: sehgga da ( x x ) 0 x x ( x x) y ( ) x x y y

14 .4 Pegatar Statstka Matemats Maka, J g( y,..., y ) exp ( y y y ). ( ) Dega mudah dapat kta lhat bahwa Jacoba J adalah suatu kosta, da d s dapat kta tujukka bahwa J =. Maka, fugs peluag bersama tu dapat kta uraka mejad fugs peluag margal y kal suatu fugs y, y3,..., y saja. Keyataa meujukka bahwa Y X da suku-suku Y X X, =, 3,, adalah depede. Oleh karea X X ( X X ) maka X da X X juga depede. Baga megkut baga karea S adalah fugs ( X ) X saja. Utuk membuktka baga 3. kta padag lag persamaa (..0) yag dterapka bag sampel radom tu ( ) ( ) ( ) X S X V V V. Dar Korolar..; V 3 da V3 (). Juga, dkareaka V ( ) da V 3 depede maka: M ( t) M ( t). M ( t ) da 3 M () t ( t) ( ) / ( ) ( ) M () t 3 M t t ( t) Jad, V ( ) S / ~ ( ) Sehgga jka c adalah persetl ke dstrbus ( ) c S maka: (..)

15 SATS440/MODUL.5 Kta padag kembal Cotoh..6, d maa kta megaggap bahwa X ~ N(60; 36). Adaka kta gka utuk megambl sampel 5 batera, da meolak peryataa bahwa = 36 jka s 54,63, da kta tdak meolak peryataa tu jka s < 54,63. Dega prosedur, berapakah peluag aka meolak peryataa tu jka keyataaya = 36? Kta lhat bahwa: P( S 54,63) = P (4 S /36 36,4) = H (36,4; 4) = 0,05 Jka sebalkya, kta haya g salah % kal jka meolak peryataa tu maka prosedur yag kta tempuh adalah aka meolakya jka s c 0,99, dega: 0,99( ) 36(4, 98) c0,99 64, LATIHAN Utuk memperdalam pemahama Ada megea mater d atas, kerjakalah latha berkut! ) Msalka, X meujukka berat dalam poud satu kotak beda, dega X ~ N(0; 4). Berapakah peluag bahwa 0 kotak beda tu aka mempuya palg sedkt 00 po? ) Msalka, X, X,..., X adalah sampel radom berukura dar suatu dstrbus ormal. X ~ W X. N( ; ). Kta defska U X da a. Carlah suatu statstk yag merupaka fugs U da W serta tak bas utuk parameter 5. b. Carlah suatu statstk yag tak bas utuk.

16 .6 Pegatar Statstka Matemats c. Msalka, c suatu kosta, kta defska Y = jka X c da ol utuk la-la X yag la. Carlah suatu statstk yag merupaka fugs Y, Y,..., Y da juga tak bas utuk c FX ( c). 3) Kta aggap bahwa X da X adalah arabel radom ormal depede, X ~ N( ; ) Msalka, pula Y X X da Y X X. Tujukka bahwa Y da Y depede da berdstrbus ormal. 4) Msalka, X ( m), Y ( ), S = (X + Y) ~ ( m ), da X da Y depede. Guaka fugs pembetuk mome utuk meujukka bahwa (S X) ~ ( ) RANGKUMAN Kta pelajar sfat-sfat dstrbus ormal da kta jabarka dstrbusdstrbus la yag berkata dega dstrbus ormal yag tmbul dalam aalss statstk utuk data yag dambl dar populas yag berdstrbus ormal. Satu sfat petg dstrbus ormal bahwa kombas lear arabel-arabel radom ormal depede juga berdstrbus ormal. Sebaga cotoh, mea sampel adalah berdstrbus ormal karea mea sampel merupaka kombas lear arabel-arabel radom ormal depede. Suatu fugs tertetu aras sampel berdstrbus kh-kuadrat; serta telah kta tujukka pula bahwa mea sampel da aras sampel adalah arabel-arabel radom yag depede. TES FORMATIF Plhlah satu jawaba yag palg tepat! ) Msalka, S meujukka dameter suatu corog (shaft) da B dameter suatu peluru (bearg), dega S da B depede, serta S ~ N(; 0,0004) da B ~ N (,0; 0,0009)

17 SATS440/MODUL.7 a. Jka satu corog da satu peluru dplh secara radom, maka peluag bahwa dameter corog aka lebh besar dar dameter peluru adalah. A. 0,3 B. 0,39 C. 0,4 D. 0,47 b. Kta aggap arasya sama maka la yag aka meghaslka peluag adaya gaggua (terferece) sebesar 0,95 adalah. A. 0,0043 B. 0,043 C. 0,43 D. 4,3. ) Satu kompoe baru dpasag utuk beroperas da mash terseda sembla cadagaya. Taha hdup-taha hdup (dalam har) adalah arabel depede berdstrbus ekspoesal, T ~ Exp(00) a. Maka, 0 T berdstrbus. A. Gamma(00; 0) B. Gamma(90; 0) B. Gamma (80; 30) D. Gamma (70; 40) b. Peluag bahwa operas yag berhasl dapat dpelhara utuk palg sedkt,5 tahu adalah. A. 0,80 B. 0,85 C. 0,90 D. 0,95 c. Berapa bayak suku cadag dperluka supaya 95% yak bahwa operas yag berhasl utuk palg sedkt tahu? A. 0. B.. C. 4. D. 6.

18 .8 Pegatar Statstka Matemats 3) Kta ulag soal d atas, dega megaggap bahwa T ~ Gamma (00; ) maka. a. A. Gamma (70; 4) B. Gamma (80; 3) C. Gamma (90; ) D. Gamma (00; ) b. A. 0,99 B. 0,95 C. 0,90 D. 0,87 c. A. 8 B. 0 C. D. 4. 4) Msalka, Z ~ N(0; ). a. Maka, dega megguaka la-la tabel dstrbus ormal, P( Z < 3,84) sama dega. A. 0,90 B. 0,93 C. 0,95 D. 0,99 b. Maka, dega megguaka la-la tabel dstrbus kh-kuadrat, P( Z < 3,84) sama dega. A. 0,90 B. 0,93 C. 0,95 D. 0,99 Cocokkalah jawaba Ada dega Kuc Jawaba Tes Formatf yag terdapat d baga akhr modul. Htuglah jawaba yag bear. Kemuda, guaka rumus berkut utuk megetahu tgkat peguasaa Ada terhadap mater Kegata Belajar. Tgkat peguasaa = Jumlah Jawaba yag Bear 00% Jumlah Soal

19 SATS440/MODUL.9 Art tgkat peguasaa: 90-00% = bak sekal 80-89% = bak 70-79% = cukup < 70% = kurag Apabla mecapa tgkat peguasaa 80% atau lebh, Ada dapat meeruska dega Kegata Belajar. Bagus! Jka mash d bawah 80%, Ada harus megulag mater Kegata Belajar, terutama baga yag belum dkuasa.

20 .0 Pegatar Statstka Matemats A Kegata Belajar Beberapa Dstrbus Samplg Khusus ka kta bcaraka beberapa dstrbus samplg yag dturuka dar dstrbus ormal. Dstrbus-dstrbus sagat petg dalam aalss statstk. A. DISTRIBUSI t, F DAN BETA Dstrbus t Kta tahu bahwa S dapat dguaka utuk melakuka feres tetag parameter dalam suatu dstrbus ormal. Demka juga X bermafaat bag feres parameter ; tetap dstrbus X juga bergatug pada parameter meyebabka tdak dmugkkaya kta megguaka X utuk melakuka feres bag, jka tdak dketahu dega megguaka prosedur berdasarka dstrbus tu. Oleh karea tu kta harus mecar prosedur la, yak dega meggat dega S dalam kuattas X ( ) /, mejad ( X ) / S. Kuattas terakhr tdak lag berdstrbus ormal stadar tetap tdak lag bergatug. Dstrbusya dapat djabarka megguaka metode trasformas. Utuk pelajar dahulu beberapa teorema sebaga berkut. Teorema.. Jka Z berdstrbus ormal stadar, Z ~ N(0; ), da W berdstrbus khkuadrat dega derajat bebas, W ~ (), serta Z da W depede maka dstrbus arabel radom: T Z W dkeal sebaga dstrbus t dega derajat bebas, T ~ t(). Fugs peluagya adalah:

21 SATS440/MODUL. ( ) / ( ) t f t ; t (..) Bukt: Oleh karea Z da W depede, maka fugs peluag bersama Z da W adalah f (z, w) = g(z).h(w). / z w/ e. w e, 0 w ; z. / Padag trasformas: T Z W da Y = W y maka w = y da z = t, da Jacoba trasformasya adalah: w w 0 y t y J t y z z y y t Maka, fugs peluag bersama T da Y adalah: / t y y / f ( t, y) e. y e. / t y e ; y 0 ; t. Maka, fugs peluag kta peroleh sebaga fugs peluag margal f (t, y), yak: y

22 . Pegatar Statstka Matemats f ( t) f ( t, y) dy. 0 Setelah dlakuka htuga-htuga da peyederhaaa seperluya, maka kta peroleh f(t) sepert tertuag dalam (..). Catata: Serg dguaka otas Z ~ N(0, ) yag dbaca: Z berdstrbus N(0, ) Teorema.. Jka T ~ t(), maka utuk > r berlaku: (r ) / ( ) /. ( ) r r ET (/ ) ( / ) Bukt: E T r ( ) 0, r,,... Var ( T) ; Z W T Z W. r Oleh karea Z da W depede maka: W E( T) E( Z). E. Mome ke-r utuk T adalah: r r r W ( ) ( ).. E T E Z E maka: Oleh karea Z ~ N (0;), maka r ( r)! EZ ( ) ; da karea W ~ r () r!

23 SATS440/MODUL.3 r r w/ E( W ) W. w e dw 0 / 0 / r w/ w e dw r r r. r Maka, r r r W r r E ( ) E W r Jad, r ( )! r r r ET ( ). r r! r ( r)! ( r) /. r. r! r (..) Selajutya dapat dtujukka bahwa: ( r)! (r ) / r r! Jad, (r ) / ( r) / r ET ( ) r

24 .4 Pegatar Statstka Matemats Selajutya, r ET ( ) 0 karea Akhrya kta htug Var(T). Var T E T E T ( ) ( ) ( ). r EZ ( ) selalu sama dega 0. Oleh karea E(T) = 0, maka Var(T) = ET ( ).!!.. = ET ( ), da dar (..): Teorema..3 Jka X, X,..., X sampel radom dar X ~ t S/ Bukt: Kta tuls: ( ) ( X ) / ( ) S dega Z. ( ) ( ) S W Da = ( ) Z W ( X ) ~ ( ) ~ N(0; ) N( ; ) maka:

25 SATS440/MODUL.5 Maka, meurut Teorema.. X ~ t( ) S atau berdstrbus t dega derajat bebas karea X da S depede. Dstrbus F Dstrbus la, yag dturuka dar dstrbus ormal yag sagat petg dalam statstka adalah dstrbus F. Kta pelajar hal-hal sebaga berkut. Teorema..4 Jka W ~ da W ~ depede maka arabel radom / W / ( ) ( ) X mempuya fugs peluag, utuk x > 0. W / ( ) / g( x) x x Dstrbus dkeal sebaga dstrbus F dega derajat bebas pemblag da derajat peyebut, da dtuls dega X ~ F ( ; ). Bukt: Fugs peluag bersama W da W adalah: f / / ( w, w w w ). / w e / w e / X W, da msalka Y = W dar trasformas tu kta puya W / w xy da w y

26 .6 Pegatar Statstka Matemats Jacoba trasformas tu adalah: y x J y. 0 Maka, fugs peluag bersama X da Y adalah: xy / h( x, y) x y e ( ) /. y x x y e y / y e. y ; x > 0 ; y > 0 Maka, fugs peluag X adalah fugs peluag margal dar h(x, y). Maka, karea x y/ 0 y e dy kta peroleh fugs peluag X sebaga: ( ) g x x x. Teorema..5 Jka X ~ F maka ( ; ) r r r r ( ) E X ; r x.

27 SATS440/MODUL.7 EX ( ) ; > ( ) Var( X ) ( ) ( 4) ; > 4. Bukt: Dar / W / r W W X maka X. W r r r r r sehgga E( X ) E( W ). E( W ), karea W r da W depede r r r EW ( ), da r r EW ( ) r Jad, EX r r ( ). r r Utuk r = maka: EX ( ).. r

28 .8 Pegatar Statstka Matemats Kta htug : EX ( ) =. Var X E X E X ( ) ( ) ( ).... Maka, Var( X ) ( )( 4) ( )( ) ( 4) ( 4)( ) 4 ( ). ( ) ( 4) ( ) ( 4) 3 Nla-la persetl f (, ) utuk arabel radom X ~ F(, ) sehgga P X f (, ) Telah dtabelka utuk la-la, da yag dplh. Persetl utuk la-la yag kecl dapat dperoleh dega meggat X ~ F(, ) maka

29 SATS440/MODUL.9 Y ~ F (, ) X Sehgga P X f (, PY f (, ) PY. f (, ) Maka, f (, ) f (, ) atau f (, ). f (, ) Cotoh.. Msalka, X, X,..., X da Y, Y,..., Y adalah dua sampel radom depede masg-masg dar dstrbus X ~ N( ; ) da Y ~ N( ; ) j Jka da maka S ~ ( ) da sehgga S ~ F(, ). S S Jad, S P f 0,95(, ) 0,95 S da S P 0,95. S f 0,95(, ) ~ ( )

30 .30 Pegatar Statstka Matemats Jka 6 da 0 maka meurut tabel dstrbus F yag ada f 0,95 (5,0) =,0 da utuk keadaa tu kta megataka bahwa kta yak 95% bahwa perbadga / lebh besar dar S / S f 0,95(5,0). Pegerta-pegerta serupa aka kta kembagka lebh lajut dalam modul- modul medatag. Dstrbus Beta Suatu arabel radom berdstrbus F dapat dtrasformas utuk medapatka dstrbus beta. Jka X ~ F(, ) maka Y ( / ) / X ( / ) X berdstrbus beta dega fugs peluag ( ab) a b f ( y) y ( y) ; 0 y ( a) ( b) dega a /, da b /. Dstrbus beta mempuya parameter a > 0 da b > 0, da dtuls sebaga Y ~ Beta(a ; b). Mea da aras Y dega mudah dapat dhtug da kta peroleh a EY ( ) a b da ab Var( Y) ( a b )( a b ). Persetl ke suatu dstrbus beta dapat dyataka dalam betuk persetl dstrbus F sebaga berkut. ( ; ) (, ) af a b y a b. b af ( a; b) Jka a da b blaga bulat postf, maka pegtegrala baga dem baga berturut-turut meghaslka hubuga atara fugs dstrbus beta dega dstrbus bomal. Jka X berdstrbus bomal dtuls X ~ b (; p) da Y ~ beta ( + ; ) maka F x ( ) = F y ( p). Dstrbus beta tmbul dalam kataya dega dstrbus statstk berurut. Utuk suatu arabel

31 SATS440/MODUL.3 radom kotu X ~ f (x), fugs peluag statstk berurut ke k dar suatu sampel radom berukura, dtuls X (k), dberka oleh:! k k g ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) k X k ( ( ) ) ( )!( )! F X k F X k f x k. k k Dega membuat perubaha arabel U (k) = F (X (k) ) kta peroleh: U (k) ~ Beta (k; k + ). Oleh karea U = F (X) berdstrbus uform (0, ) maka U (k) adalah statstk berurut ke k arabel radom uform. Fugs dstrbus X (k) dapat dyataka dalam betuk fugs dstrbus beta. Karea: G ( ( ) ) k X k P X ( k ) x( k ) P F( X ( ) ) ( ( ) ) k F x k H F( x( ));, k k k dega H(y ; a,b) meujukka fugs dstrbus Y ~ Beta(a, b). Cotoh.. Msalka, X berdstrbus ekspoesal dega mea. meghtug peluag tetag X (k). Kta puya: x / F( x) e da U ~ F( X ) ~ Beta( k, k ) ( k) ( k) P( X ( ) ) ( ( ) ( ) k c P F X k F c P U ( k ) F() c ku( ) () k kf c P ( k )( U ( k )) ( k )( F ( c )) Kta g dega peluag terakhr memuat arabel yag berdstrbus F [k, ( k + )]. Jad utuk la-la, c, k, da tertetu, peluag dapat dperoleh dar suatu tabel beta kumulatf atau dar suatu tabel F kumulatf jka terseda tgkat tertetu. Sebaga cotoh, kta g meghtug c sehgga P X ( k) c.

32 .3 Pegatar Statstka Matemats Maka, f k,( k ) kf( c ) ( k ) F( c ) k exp( c / ( k )exp( c / ) da ( ),( ) l k f k k c k Jka =, k = 6, da = 0,95 maka 6(, 69) c l,3 6 da (6),3 0,95 P X atau X (6) P 0,95,3 D s X (6) adalah meda (dar sampel berukura ) da adalah mea populasya. Kta telah mempelajar dstrbus beta da kta telah melhat hubugaya dega dstrbus F da dstrbus kumulatf bomal. Kta juga telah mempelajar aplkasya utuk dstrbus arabel radom uform berurut. Dstrbus beta merupaka model geeralsas dstrbus uform da merupaka model dua parameter yag agak luwes utuk berbaga jes arabel yag harus terletak atara 0 da. B. PENDEKATAN SAMPEL BESAR Dstrbus samplg yag telah kta bcaraka d atas mempuya betuk pedekata yag berlaku bag ukura-ukura sampel besar. Teorema..6 Jka Y ~ () maka Y Z d Z ~ N(0;) utuk.

33 SATS440/MODUL.33 Bukt: Kta tahu bahwa E(Y ) = da Var (Y ) =. I berart dapat kta padag Y berdstrbus sepert jumlah depede da X ~ X dega X, X,..., X () sehgga E(X ) = da ar (X ) =. Maka, meurut teorema lmt pusat, Z berdstrbus asmtotk ormal stadar. Kta juga megharap fugs peluag Z aka sagat dekat dega fugs peluag Z utuk la-la yag besar. Hal dlukska dalam Gambar.. yag meujukka fugs peluag utuk = 0; 80; da 00. Gambar... Pembadga fugs peluag dstrbus kh-kuadrat stadar da ormal stadar I berart bahwa la-la persetl kh-kuadrat dapat ddekat oleh la-la persetl ormal stadar utuk besar. Khususya: P Y () () Sehgga () Z ( ) z.

34 .34 Pegatar Statstka Matemats Msalya, utuk = 30 da = 0,95 (30) 30, , 74 dbadgka dega la yag 0,95 eksak (30) 43,77. Pedekata yag lebh akurat, yag dkeal sebaga 0,95 pedekata Wlso Hlferty, dberka oleh: ( ) Z 9 9 I aka memberka la 3 ( ) / dalam jarak 0,0 dar la yag sebearya utuk 3, da 0,0 0,99. Msalya, jka = 30 da = 0,95 la pedekata Wlso-Hlferty memberka (30) 43,77 yag sama dega la yag sebearya sampa dua agka d belakag koma. Dmugkka juga utuk mejabarka dstrbus ormal asmtotk. secara lagsug bag S da S Cotoh..3 Msalka berukura dar yatu: V S merupaka aras sampel suatu sampel radom N(, ). Kta tahu bahwa da meurut Teorema..6, ( ) d Z ~ N(0;) ( ) yak S d Z Atau kra-kra S 4 ~ ;. N 0,95 Jka Y S da g( y) secara pedekata S ~ N ;. ( ) y maka g y y da ( ), g ( )

35 SATS440/MODUL.35 Dapat juga dtujukka bahwa arabel radom berdstrbus t mempuya dstrbus lmt ormal stadar jka derajat bebas bertambah besar. Utuk melhat keyataa, kta padag arabel T ~ t() dega: Z T. / Kta tahu bahwa E /, a r ( / ) da / dega, pertdaksamaa Chebyshe: P / p, jka. Jad, dstrbus studet's t mempuya dstrbus lmt ormal stadar Z (Teorema Slutsky), yatu T d Z ~ N(0,), / Gambar... Pembadga fugs peluag dstrbus t da ormal stadar Hal dlukska dalam Gambar.. yag meujukka fugs peluag N (0,) da t () utuk =, 3, da 0. I megakbatka bahwa persetl t, (t ()) medekat Z utuk besar, sehgga kta lhat bahwa pada Tabel dstrbus t, la-la pada bars terakhr (bersesuaa dega ) sama dega persetl dstrbus ormal stadar.

36 .36 Pegatar Statstka Matemats Dega jala pkra yag sama dapat kta peroleh la pedekata persetl utuk dstrbus F. Msalya X ( W / ) /( W / ). Telah kta, pelajar d atas bahwa W / jka. Jad, jka kta ambl tetap X W /, jka. Hasl pedekataya utuk persetl F adalah, d f (, ) ( ) / utuk besar. Argume yag serupa dapat kta guaka utuk memperoleh persetl pedekata bag besar, yak f (, ) / ( ). LATIHAN ) Msalka, T ~ t(). Htuglah dstrbus T. ) Msalka, X ~ N ( ; ), =,,,, da Z ~ N (0 ; ), =,,, k, da semua arabel adalah depede. Sebutka dstrbus dar taptap arabel berkut jka dstrbus tu puya ama, jka demka kataka saja "tak dketahu" X X A. B. Z S C. Utuk memperdalam pemahama Ada megea mater d atas, kerjakalah latha berkut! z k ( x ) k Z D. X k Z. 3) Guaka la-la dalam tabel dstrbus yag sesua utuk memperoleh la A. P (7,6 < Y <,3) jka Y ~ Y B. P jka Y ~ (6) Y 6 C. la b sehgga P(T < b) = 0,6 jka T ~ t(6) D. P (,9 < X < 5,5) jka X ~ F (7 ; ). 4) Msalka, Y ~. Htuglah dstrbus lmt dar ( Y ) / jka ( ) dega megguaka fugs pembetuk mome. (5) k

37 SATS440/MODUL.37 5) Msalka, X, X,..., X suatu sampel radom dar dstrbus yag empat momeya yag pertama ada. Msalka, pula S ( X X ) /( ). Tujukka bahwa S jka P RANGKUMAN Kta kembagka metode statstk gua megaalss mea populas jka aras populas ormal tdak dketahu. I berkata dega dstrbus (studet's) t yag kta peroleh sebaga dstrbus arabel radom ormal stadar dbag dega akar dar arabel kh-kuadrat yag depede dbag dega derajat bebasya. Atau dapat dtulska sebaga: Msalka, Z ~ N (0 ; ) da W ~ dega la maka: T Z W ~ t( ). ( ) yag depede satu Kta jabarka juga dstrbus F dega yag kta peroleh sebaga dstrbus dar perbadga dua arabel kh-kuadrat yag depede masg-masg dbag dega derajat bebasya. Msalka, X ~ ( ) da Y ~ ( ) depede maka: / F X ~ F(, ). Y / Dstrbus arabel petg dalam aalss statstk gua membadgka aras dua populas ormal yag depede. Kta pelajar juga arabel radom yag merupaka trasformas arabel radom F. Msalka, X ~ F(, ), maka: Y ( / ) / X ( / ) X ~ Beta( a, b) dega a / da b /

38 .38 Pegatar Statstka Matemats ) Msalka TES FORMATIF Plhlah satu jawaba yag palg tepat!, da Z N(0;);,,..., k, X N( ; );,,..., da semua arabel adalah depede, maka a. Z Z berdstrbus. b. c. d. A. t () B. t () C. Z () D. Z () Z berdstrbus. Z A. F ( 0; ) B. F (; ) C. F (; 0) D. F (; ). X berdstrbus. Z A. t () B. F ( ; ) C. Z () D. tdak dketahu. ( k ) ( X X ) k ( ) ( Z Z ) A. Z (k ) B. t ( ) C. F ( ; k ) D. tdak tahu. berdstrbus. ) Guaka tabel dstrbus yag sesua. a. Maka, la b sehgga P(Y b) = 0,75 jka Y ~ (3) adalah. A. 5,48 B. 6,6

39 SATS440/MODUL.39 C. 7,4 D. 8,7 b. Jka T ~ t(3), maka P[0,87 < T <,65] sama dega. A. 0,6 B. 0,7 C. 0,8 D. 0,9. c. Jka T ~ t (3), maka la k sehgga P( T k) = 0,0 adalah. A. 0,00 B. 0,0 C. 0,05 D. 0, d. Jka X ~ F (0; 8), maka P 0, 5 X sama dega. A. 0,975 B. 0,950 C. 0,95 D. 0,900 3) Padag kembal soal omor Tes Formatf. Maka, dega megguaka dstrbus ormal. a. Soal (b) member jawaba. A. 0,6666 B. 0,77 C. 0,836 D. 0,936. b. Soal omor (c) member jawaba. A. 0 B. C. 4 D. 6. Cocokkalah jawaba Ada dega Kuc Jawaba Tes Formatf yag terdapat d baga akhr modul. Htuglah jawaba yag bear. Kemuda, guaka rumus berkut utuk megetahu tgkat peguasaa Ada terhadap mater Kegata Belajar.

40 .40 Pegatar Statstka Matemats Tgkat peguasaa = Jumlah Jawaba yag Bear 00% Jumlah Soal Art tgkat peguasaa: 90-00% = bak sekal 80-89% = bak 70-79% = cukup < 70% = kurag Apabla mecapa tgkat peguasaa 80% atau lebh, Ada dapat meeruska dega modul selajutya. Bagus! Jka mash d bawah 80%, Ada harus megulag mater Kegata Belajar, terutama baga yag belum dkuasa.

41 SATS440/MODUL.4 Kuc Jawaba Tes Formatf Tes Formatf ) a. B b. A ) b. A b. D c. B 3) c. D b. C c. C 40 a. C b. C Tes Formatf ) a. A b. B c. D d. C ) a. C b. D c. B d. A 30 a. D b. B

42 .4 Pegatar Statstka Matemats Daftar Pustaka Ba, L.J. & Egelhardt, M. (99). Itroducto to Probablty ad Mathematcal Statstcs d. Calfora: Duxbury Press. Hogg, R.V. & Crag, A.T. (995). Itroducto to Mathematcal Statstcs 5 th. Eglewood Clffs, New Jersey: Pretce Hall.