Aturan Cramer dalam Aljabar Maks-Plus Interval

Transkripsi

1 Jural Matematka & Sas Aprl 2015 Vol 20 Nomor 1 Atura Cramer dalam Aljaar Maks-Plus Iterval Sswato Jurusa Matematka Fakultas Matematka da Ilmu Pegetahua Uverstas Seelas Maret Surakarta e-mal: ssmpaus@yahoocod Dterma 3 Feruar 2015 dsetuju utuk dpulkaska 7 Aprl 2015 Astract Let e the set of real umers ad {} wth Max-plus algera s the set that s equpped wth operatos (maxmum ad (plus From the set we ca form the set I( the set of all are closed tervals Olsder-Roos ad Farlow has developed a verso of Cramer s rule max-plus algera he set I( equpped wth operatos (maxmum ad (plus s called terval max-plus algera We are ale to exted Cramer s rule verso for max-plus algera to a verso for terval max-plus algera Keywords : Cramer's rule Iterval max-plus algera Astrak Msalka hmpua semua laga real da {} dega Aljaar maks-plus hmpua dlegkap dega operas (maksmum da (plus Olsder-Roos da Farlow sudah megemagka Atura Cramer utuk aljaar maks-plus Dar hmpua dapat detuk hmpua I( yatu hmpua dar terval-terval tertutup dalam Hmpua I( yag dlegkap dega operas (maksmum da (plus dseut aljaar maks-plus terval Pada makalah derka perluasa Atura Cramer dalam aljaar maks-plus ke dalam aljaar maks-plus terval Kata kuc : Atura Cramer Aljaar maks-plus terval 1 Pedahulua Msalka hmpua semua laga real aljaar maks-plus hmpua {} dega dlegkap dega operas (maksmum da (plus Aljaar maks-plus merupaka dod yatu semrg yag dempote (Aka dkk 1994; Sergeev 2006 Aljaar maksplus telah dguaka utuk memodelka da megaalss secara aljaar masalah perecaaa komukas produks sstem atra dega kapastas erhgga komputas parallel da lalu ltas (Baccell dkk 2001 elah dahas tetag matrks atas aljaar maks-plus da sstem persamaa lear dalam aljaar maks-plus khususya megea atura Cramer utuk meyelesaka sstem persamaa lear Pada pemahasa megea atura Cramer dalam aljaar maks-plus dperluka pegerta doma dar suatu matrks atas aljaar maks-plus (Farlow 2009 Utuk meyelesaka masalah jarga dega waktu aktftas laga kaur sepert pejadwala kaur da sstem atra kaur aljaar maks-plus telah dgeeralsas mejad aljaar maxplus terval Aljaar max-plus terval yatu I( dlegkap dega operas (maksmum da (plus Dahas pula matrks atas aljaar maks-plus terval da sstem persamaa lear dalam aljaar maks-plus terval (Rudhto 2011 Sswato (2012 telah memahas tetag pegerta doma dar suatu matrks atas aljaar maks-plus terval Oleh karea tu dalam paper aka dahas tetag atura Cramer utuk meyelesaka sstem persamaa lear dalam aljaar maks-plus terval 2 Kaja Pustaka D dalam aga dsajka defs tetag aljaar maks-plus da matrks atas aljaar maks-plus eserta operasya doma suatu matrks sstem persamaa lear da atura Cramer dalam aljaar maks-plus (Bacell dkk 2001; Butkovc 2000; Butkovc 2003; Cughame-Gree 2004; Farlow 2009; Kogserg 2009; Olsder-Roos 1998 Defs 1 Msalka hmpua laga real dega ddefska hmpua 5

2 6 Jural Matematka & Sas Aprl 2015 Vol 20 Nomor 1 Struktur aljaar dar yag dlegkap dega operas (maksmum da (plus merupaka semfeld dempote yag komutatf selajutya dseut aljaar maks-plus da dotaska dega ( ; maks Msalka 1 2 Hmpua semua matrks erukura m yag etr-etrya merupaka eleme dseut matrks atas aljaar m maks-plus dotaska dega yatu m A A m j j j Defs 2 Berkut eerapa operas matrks atas aljaar maks-plus: m a Utuk matrks AB ddefska m dega ( A B j A j B j A B maks ( Aj Bj Utuk m A k B k ddefska A B m dega ( AB j l1( Al B l maksl k( Al B lj c raspose dar matrks A dtuls A ahwa A ( A j d Matrks dettas maks-plus dtuls E dega da ddefska: E 0 jka j ( E j jka j Utuk suatu matrks A da laga ulat postf k pagkat k dar A dtuls A k ddefska oleh k A A A A Utuk def k faktor 0 k = 0 A E e Utuk searag matrks A da A ddefska oleh ( A ( A j j eorema 1 Struktur aljaar dar yag dlegkap dega operas da masg-masg maksmum da plus merupaka dod (semrg yag dempote dega eleme etral da eleme dettas masg-masg da E Selajutya perhatka sstem persamaa lear dalam aljaar maks-plus yag eretuk A x A Kesulta dalam meyelesaka sstem persamaa lear A x dseaka tdak adaya vers terhadap operas (maksmum Sepert dalam aljaar kovesoal dalam aljaar maks-plus peyelesaa sstem persamaa lear A x = tdak selalu ada da jka ada tdak selalu tuggal m Msalka ahwa A Utuk setap matrks A selalu dapat dtetuka supeyelesaa dasar atau supeyelesaa teresar dar A x = Defs 3 Supeyelesaa teresar dar A x = vektor x yag memeuh A x Supeyelesaa dotaska oleh A ( A Supeyelesaa teresar tdak selalu merupaka peyelesaa dar sstem persamaa lear A x = eorema 2 Msalka A suatu matrks tak terreduks da Maka [ x ( A ] j m{ A da A } atau j x A A dega j [ ( ] j maks{ j } j Lemma 1 Jka suatu peyelesaa dar A x = ada maka supeyelesaa teresarya suatu peyelesaa Defs 4 Derka matrks A ( Aj msalka P hmpua semua permutas : da msalka t 1 t 2 t L semua la-la yag mugk sehgga t j 1 A ( utuk suatu P ddefska maks ( t j pada det( e jka det( e 0 dom A jka det( e 0 SA dega e matrks sehgga e ( e j Selajutya dsajka atura Cramer dalam aljaar maks-plus Dalam aljaar kovesoal peyelesaa sstem persamaa lear Ax = A dapat dtuls det ( A1 A2 A 1 A 1 A x ; da det ( A det( A 0 Dega A kolom ke j dar A j da j Sejala dega atura Cramer dalam aljaar kovesoal atura Cramer dalam aljaar maks plus meghaslka x dom A dom ( A1 A2 A 1 A 1 A dom A ahwa A1 A2 A 1 A 1 A A matrks A dmaa kolom ke dgat vektor Dalam aljaar kovesoal det( A 0 cukup utuk meujukka adaya suatu peyelesaa sedagka dalam aljaar maks-plus dom( A tdak cukup utuk meujukka adaya suatu peyelesaa Namu dperluka syarat tamaha yatu sg A A A A A sg A sg ( A utuk semua Nla sg (A

3 Sswato Atura Cramer dalam Aljaar Maks-Plus Iterval 7 1 atau 1 sesua tada dar koefse dalam det( e yag meetuka la dom (A Jka tada dar koefse dalam det( e yag meetuka la dom (A postf maka sg (A = 1 da jka sealkya maka sg (A = 1 Defs 5 Msalka S { P t ( A j j 1 utuk suatu P } hmpua permutas geap da P permutas gajl dar S { S P e } o je j S { S P o } k S da k S jo j je Nla sg (A = 1 jka k je k jo 0 da sg (A = 1 jka ke ko 0 utuk t j dom ( A j L Jka dom (A = maka sg (A = Dega megguaka Defs 5 dapat dtuls SA L ( st det( e ( k 1 e ko e Jka sg ( A maka sg ( A det( e 0 utuk semua s yag cukup esar eorema 3 Jka sg ( A1 A2 A 1 A 1 A sg ( A sg ( A utuk semua 1 da dom ( A maka x dom ( A dom ( A1 A2 A 1 A 1 A meghaslka peyelesaa utuk A x Selajutya dcaraka kosep aljaar maksplus terval matrks da sstem persamaa lear dalam aljaar maks-plus terval (Rudhto 2011 Iterval tertutup x dalam suatu hmpua aga dar yag eretuk x [ x x] { x x x x} Iterval dalam dseut terval maks-plus Suatu laga x dapat dyataka seaga terval [xx] Defs 6 Detuk I( { x [ x x] x x x x} { } dega [ ] Pada hmpua I( ddefska operas da dega x y [ xy x y] da x y [ xy x y] utuk setap xy I( Hmpua I( dlegkap dega operas da merupaka semrg dempote komutatf dega eleme etral [ ] da eleme satua 0 [00] Selajutya dseut aljaar maks-plus terval da dotaska dega I( maks ( I( ; Defs 7 Utuk x [ x x] y [ y y] I( ddefska x y x y y x y da x y je jo jo Defs 8 Hmpua matrks erukura m dega eleme-eleme dalam I( dotaska dega ( m I yatu m I( { A( Aj Aj I( m j} Matrks aggota ( m I dseut matrks terval maks-plus Selajutya matrks terval maks-plus cukup dseut dega matrks terval Defs 9 Struktur aljaar dar ( I yag dlegkap dega operas (maksmum da (plus dotaska dega I( maks ( I( ; merupaka dod (semrg yag dempote sedagka ( I merupaka semmodul atas I( Defs 10 Utuk ( m A I ddefska matrks ( m A Aj da A ( Aj m masgmasg dseut matrks atas awah da matrks atas atas dar matrks terval A Defs 11 Derka matrks terval ( m A I dega A da A masg-masg matrks atas awah da matrks atas atas dar matrks terval A Ddefska terval matrks dar A yatu m [ A A] { C A C A} da m m I( {[ A A] A I( } m Iterval matrks [ AA ] I ( dseut terval matrks yag ersesuaa dega matrks terval ( m A I da dlamagka dega A [ A A] Defs 12 m 1 Utuk I( [ A A][ B B] I( ddefska [ A A] [ A A] [ A A] [ B B] [ A A B B] mk k 2 Utuk [ A A] I( [ B B] I( ddefska [ A A] [ B B] [ A A B B] eorema 4 (Rudhto 2011 Struktur aljaar dar m I ( yag dlegkap dega operas (maksmum da (plus dotaska dega m m I( maks ( I( ; merupaka dod m (semrg yag dempote sedagka I ( merupaka semmodul atas I( Defs 13 Ddefska I( { x [ x1 x2 x] x I( ; } Hmpua I ( dapat dpadag seaga hmpua I ( 1 Usur-usur dalam I ( dseut vektor terval dalam I ( Vektor terval x

4 8 Jural Matematka & Sas Aprl 2015 Vol 20 Nomor 1 ersesuaa dega terval vektor [ x x ] dtuls x [ xx ] Defs 14 Derka ( A I da I( Suatu vektor terval x I( dseut peyelesaa persamaa lear maks-plus terval Ax jka erlaku Ax Defs 15 Derka ( A I da I( Suatu vektor terval x I( dseut supeyelesaa persamaa lear maks-plus terval Ax jka erlaku A x Defs 16 Derka ( A I da I( Suatu vektor terval xˆ I( dseut supeyelesaa teresar persamaa lear maksplus terval Ax jka x xˆ utuk setap supeyelesaa x dar sstem persamaa lear maks-plus terval Ax eorema 5 Jka ( A I dega eleme-eleme setap kolomya tdak semuaya sama dega [ ] da I( dega A [ A A] da [ ] maka vektor terval xˆ [ xx ˆ ˆ] dega xˆ m A ( A ( da ˆ x A ( merupaka supeyelesaa teresar sstem persamaa lear maks-plus terval Ax Berkut pegerta tetag doma dalam aljaar maks-plus terval (Sswato 2012 Defs 17 Doma matrks ( A I dega A [ A A] ddefska dom ( A m dom ( Adom ( A dom ( A 3 Hasl da Pemahasa Berkut aka dahas atura Cramer utuk meyelesaka sstem persamaa lear dalam aljaar maks-plus terval yag eretuk Ax Haslhasl ds merupaka perluasa Atura Cramer utuk aljaar maks-plus (Olsder-Roos (1998 Farlow (2009 pada aljaar maks-plus terval Msalka ahwa ( A I Utuk setap matrks A selalu dapat dtetuka supeyelesaa teresar utuk Ax Berdasarka Defs 12 msalka A [ AA ] x [ xx ] da [ ] dega [ AA ] I ( [ xx ][ ] I ( msalka 1 2 x ( x x x peyelesaa sstem persamaa A x da x ( x1 x x peyelesaa sstem persamaa Ax dega x x x x x x maka x ([ x x ][ x x ][ x x ] merupaka peyelesaa sstem persamaa Ax Supeyelesaa teresar tdak selalu merupaka peyelesaa suatu sstem persamaa lear Perhatka sstem persamaa lear [3 4] [5 6] [ x1 x ] 1 [811] [23] [45] [ 2 ] 2 [912] x x [57] supeyelesaa teresarya x ˆ [35] uka merupaka peyelesaa [34] [56] [57] [811] [811] sea [2 3] [45] [35] [710] [912] Peyelesaa sstem persamaa lear dalam aljaar maks-plus terval dsajka dalam lemma erkut Lemma 2 Msalka A [ AA ] x [ xx ] da [ ] Jka sstem persamaa lear A x da A x masg-masg mempuya peyelesaa tuggal xˆ ( A ( da xˆ ( A ( dega xˆ x ˆ maka sstem persamaa lear Ax mempuya peyelesaa tuggal xˆ [ xx ˆ ˆ] Bukt : Msalka A [ AA ] x [ xx ] da [ ] Meurut Defs 12 ahwa Ax [ A A] [ x x ] [ Ax Ax ] Berart Ax [ Ax Ax ] [ ] atau A x sstem persamaa da Ax Karea A x da A x masgmasg mempuya peyelesaa tuggal xˆ ( A ( da xˆ ( A ( dega xˆ x ˆ maka sstem persamaa Ax juga mempuya peyelesaa tuggal yatu xˆ [ xx ˆ ˆ] Perhatka sstem persamaa lear dalam aljaar maks-plus terval Ax dega AI( x ( Berdasarka atura Cramer dalam aljaar maks-plus atura Cramer dalam aljaar maks plus terval x dom ( A dom ( A dmaa A matrks A dmaa kolom ke- dgat dega Msalka A ( A A A A A [ ] da A [ A A] A A A maka

5 Sswato Atura Cramer dalam Aljaar Maks-Plus Iterval 9 A ( A A A A A da A ( A1 A2 A 1 A 1 A Selajutya jka dom ( A [dom( A dom ( A ] da dom ( A [dom( A dom ( A ] erart x [ x x] dega kata la x x maka erlaku x dom ( A dom ( A ( x dom ( A dom ( A da x dom ( A dom (A Adapu syarat tamaha yag dperluka agar sstem persamaa Ax mempuya peyelesaa sg ( A A A A A sg ( A sg ( A da sg ( A1 A2 A 1 A 1 A sg ( A sg ( A utuk semua eorema 6 Jka sg ( A1 A2 A 1 A 1 A sg ( A sg ( A da sg ( A1 A2 A 1 A 1 A sg ( A sg ( A utuk semua dom ( A [dom ( Adom ( A ] [ ] dom ( A [dom ( Adom ( A ] maka x [ xx ] merupaka peyelesaa sstem persamaa lear Ax dega x dom ( A dom( A x dom ( A dom ( A x dom ( A dom ( A Bukt : Dketahu ahwa sg ( A1 A2 A 1 A 1 A sg ( A sg ( A da sg ( A A A A A sg ( A sg ( A utuk semua da dom ( A [ ] Selajutya karea dom( A [dom( Adom( A] maka dom( A da dom( A Meurut eorema 2 maka x dom ( A dom ( A A A A A da x dom( A dom ( A A A A A masg-masg meghaslka peyelesaa utuk Ax da Ax Jka dpeuh x x maka x [ xx ] merupaka peyelesaa sstem persamaa lear Ax [1 2] [2 4] [35] [46] [ 10] [45] [3 4] x [56] [68] [13] [36] [69] Dar sstem persamaa lear dalam aljaar maksplus terval terseut dapat dperoleh sstem persamaa lear dalam aljaar maks-plus x 5 da x Dega megguaka Lemma 2 dperoleh ahwa xˆ A ˆ x A Oleh karea tu peyelesaa sstem persamaa lear [1 2] [2 4] [35] [46] [ 10] [45] [3 4] x [56] [68] [13] [36] [69] [01] [11] [11] Dega megguaka eorema 6 (atura Cramer dperoleh hasl yag sama seaga erkut : Utuk sstem persamaa x erart A da s(1 43 s(236 s(3 ( 1 1 det ( e e e e s346 s131 s (2 ( 1 3 e e e 8s 11s 3s 13s 5s 4s e e e e e e maka la dom( A 13 da sg( A 1 Dega cara yag sama dapat dperoleh sg( A da dom( A utuk 1 23 Karea A A da A maka Cotoh : Derka sstem persamaa lear

6 10 Jural Matematka & Sas Aprl 2015 Vol 20 Nomor 1 1 s(443 s(236 s(351 det( e e e e e e e e e e e e e 11s 9s 13s 8s 10s 2e e e e e s346 s431 s(253 11s 11s 9s 13s 8s 10s ea2 s(153 s(436 s(3 ( 1 6 det( e e e e s356 s136 s(4 ( 1 3 e e e 9 s 13 s 8 s 14 s 10 s 6 s e e e e e e ea3 s(146 s(256 s(4 ( 1 1 det ( e e e e s446 s151 s(216 e e e 11 s 13 s 4 s 14 s 7 s e e e e 2e Nla dom ( A1 13 dom ( A2 14 da dom ( A3 14 sedagka sg( A1 1 sg sg( A2 1 da sg( A3 1 Vektor yag memeuh persamaa x dom ( A dom ( A1 A2 A 1 A 1 A 0 x 1 1 Selajutya utuk sstem persamaa x 6 erart A da det ( e e e e s(256 s(448 s(503 s558 s243 s (406 e e e 13 s 16 s 8 s 18 s 9 s 10 s e e e e e e maka la dom ( A 18 I meujukka ahwa 18 ekspoe teresar dalam det( e da s(855 18s sg( A 1 Catat juga ahwa e e yatu mempuya koefse egatf dalam det( e Dega cara yag sama dapat dperoleh sg( A da dom( A utuk Karea A A da A maka det ( e e e e 1 s(656 s(449 s(563 s559 s648 s (466 e e e e s e s e s e s e s det ( e e e e 2 s(266 s(648 s(509 s568 s249 s(606 e e e e s e s e s e s e s det ( e e e e 3 s(259 s(468 s(603 s658 s263 s(409 e e e 16 s 18 s 9 s 19 s 11 s 13 s e e e e e e Nla dom ( A1 19 dom ( A2 19 da dom ( A3 19 sg( A1 1 sg sg( A2 1 sg sg( A 1 Vektor yag memeuh persamaa 3 xdom ( A dom ( A1 A2 A 1 A 1 A 1 x 1 1 Oleh karea tu peyelesaa sstem persamaa lear [1 2] [2 4] [35] [46] [ 10] [45] [3 4] x [56] [68] [13] [36] [69] [01] x [11] [11] Kesmpula Dar hasl pemahasa dapat dsmpulka ahwa 1 Sstem persamaa lear Ax mempuya peyelesaa tuggal jka supeyelesaa teresarya yatu xˆ [ xx ˆ ˆ] dega xˆ ( A ( da xˆ ( A ( 2 Jka sstem persamaa lear A x mempuya peyelesaa tuggal maka peyelesaa terseut dapat dtetuka dega megguaka atura Cramer yag dsajka pada eorema 6 Daftar Pustaka Aka M G Cohe S Gauert J P Quadrat ad M Vot 1994 Max- Plus Algera ad Applcatos to System heory ad Optmal Cotrol Proc of the Iteratoal Cogress of Mathematcas Zurch Swtzerlad Bacell F G Cohe G J Olsder ad J P Quadrat 2001 Sychrozato ad Learty : A Algera for Dscrete Evet System We Edto https ://wwwrocqirafr/metalau/cohe/documets/bcoq-ookpdf Butkovc P 2000 Smple Image Set of (max+ lear mappg Dscrete Appled Mathematcs Butkovc P 2003 Max-Algera: he Lear Algera of Comatorcs? Lear Algera ad Applcato Cughame-Gree RA ad P Butkovc 2004 Bass Max-Algera Lear Algera ad Applcato

7 Sswato Atura Cramer dalam Aljaar Maks-Plus Iterval 11 Farlow K G 2009 Max-Plus Algera Master's hess sumtted to the Faculty of the Vrga Polytechc Isttute ad State Uversty partal fulfllmet of the requremets for the degree of Masters Mathematcs Kogserg Z R 2009 A Geeralzed Egemode Algorthm for Reducle Regular Matrces over the Max-Plus Algera Iteratoal Mathematcal Forum Olsder G J ad C Roos 1998 Cramer ad Cayley- Hamlto the max-algera Lear Algera ad ts Applcatos Rudhto A 2011 Aljaar Maks-Plus Blaga Kaur da Peerapaya pada Masalah Pejadwala da Jarga Atra Dsertas : Program Stud S3 Matematka FMIPA UGM Yogyakarta Sergeev S 2006 Max-Plus Defte Matrx Closures ad her Egespaces arxv:mathmg/ v2 Sswato 2012 Permae da Doma suatu Matrks atas Aljaar Max-Plus Iterval Jural Phythagoras