; θ ) dengan parameter θ,

Transkripsi

1 Vol. 4. No. 3, 5-59, Desember 00, ISSN : APLIKASI METODE BESARAN PIVOTAL DALAM PENENTUAN SELANG KEYAKINAN TAKSIRAN PARAMETER POPULASI. Agus Rusgyoo Jurusa Matematka FMIPA UNDIP Abstraks Dberka populas dega destas f ; θ ) dega parameter θ, da dar padaya dambl sample acak,,. Selajutya taksra ttk τ θ ) adalah suatu fugs dar θ berla rl. Iterval taksra terhadap τ θ ) berdasarka taraf keyaka 00γ %, dega 0 < γ <, dtetuka berdasarka batua besara pvotal Q = ζ, ; θ ) yag mempuya dstrbus tdak bergatug pada θ. Dketahu T, = t ) da T, = t ) adalah dua statstk yag memeuh T T utuk maa P T < τ θ ) < T ) γ dega γ tdak bergatug θ = T, T pada θ, maka terval acak ) adalah terval keyaka 00γ % utuk τ θ ).. PENDAHULUAN Sebuah masalah medasar yag terkat dalam pegambla sampel suatu populas adalah membuat taksra terhadap parameter bak taksra ttk maupu taksra selag. Baragkal pula serg dpertayaka berapa ukura sampel agar dperoleh taksra yag palg akurat, tetuya dega pajag selag taksra mmal S.Nasuto,00). Lebh lebh dega tdak dketahuya la parameter populas. Dar kods basaya peelt aka berusaha meaksr la parameter berdasarka statstk da berusaha medapatka selag kepercayaa terhadap taksra tersebut dega megguaka suatu sampel mmal yag cukup. Serg dpertayaka oleh para peelt pemula berapa ukura sampel mmal yag cukup utuk dapat membuat selag keyaka taksra berdasarka koefse keyaka γ. Demka pula seberapa besar pegaruh bertambahya 5

2 Aplkas Metode Besara Agus Rusgoo) ukura sampel terhadap berkuragya pajag terval keyaka Schefler, 979). Dalam membuat terval keyaka taksra parameter, salah satu cara yag dapat dtempuh adalah dega batua besara pvotal Q = ζ, ; θ ), d maa besara mempuya dstrbus yag tdak bergatug pada parameter θ Mood,974). Sebaga cotoh, msalka sample acak dar f ; θ ) = Φ ) maka 0, 9 θ adalah besara pvotal karea θ ~ N 0, ), demka juga 9 θ ) 3 adalah besara pvotal karea berdstrbus N0,). D la phak N 0, 9 ) yag mash bergatug pada θ. θ θ buka besara pvotal karea berdstrbus. PEMBAHASAN Jka dketahu sample acak dar, N µ σ ) dega σ tdak dketahu. Selajutya Q = ζ, ; θ ), kuattas pvotal da mempuya fugs kepadata probabltas, maka utuk suatu 0 < γ < yag dtetuka,dapat dtemuka da yag bergatug pada γ sedemka hgga P < Q < ) = γ. Jka dar setap la sampel memugkka utuk medapatka ζ <, bla da haya bla <,, ; θ ) t, ) < τ θ ) < t, ) utuk suatu fugs t da t yag tdak bergatug padaθ ), maka T, ) adalah selag kepercayaa 00γ % T τ θ ). Dmaa T = t, ), =,,3, Mood,974) Berkeaa dega ada tga hal yag perlu d perhatka : utuk Pertama, da adalah tdak bergatug pada θ karea dstrbus dar Q. 5

3 Vol. 4. No. 3, 5-59, Desember 00, ISSN : Kedua, utuk sembarag 0 < γ < yag dtetapka, terdapat bayak kemugka pasaga blaga da yag dapat dplh sehgga P < Q < ) = γ. Gambar. Pasaga yag berbeda dar da meghaslka t da t yag berbeda pula. Sehgga sebakya dplh pasaga da yag membuat pasaga t da t tertutup satu sama la secara bersama. Utuk lebh jelasya jka t, ) t, ) meyataka pajag terval kepercayaa yag tdak acak, maka dplh pasaga da yag membuat pajag terval mejad mmal. Atau jka pajag terval kepercayaa bersfat acak maka dplh pasaga da yag membuat rataa htug dar pajag terval mejad terkecl. Ketga, secara esesal betuk metode kuattas pvotal adalah bahwa ketdaksamaa < ζ, ; θ ) < dapat dtuls kembal atau dapat dverska atau d pvot sebaga t, ) < τ θ ) < t, ) utuk sembarag la sample yag dperoleh. Peryataa terakhr megdkaska bahwa kuattas pvotal dapat saja tdak bermafaat secara lagsug, karea meurut defs Q = ζ, ; θ ) dapat saja berupa besara pvotal yag tdak mugk dpvot terhadapya. 53

4 Aplkas Metode Besara Agus Rusgoo) Sebaga gambara : Msalka sample acak dar f ; θ ) = Φ ), utuk megestmas 0, θ τ θ ) = θ, Q = ζ, ; θ ) = ~ 0,) sehgga merupaka besara pvotal ) = Φ ). f Q N Utuk γ yag dtetapka ada da sedemka sehgga P < Q < ) = γ. selajutya : Gambar. θ { < < } { < θ < } sehgga : ) ; adalah suatu terval keyaka 00γ % utuk θ. Pajag terval adalah ) ) ) = ) Sehgga pajag dapat dbuat mejad mmal dega memlh da sehgga - mejad mmal dbawah batasa syarat : γ = P < Q < ) = Φ ) - Φ) Selajutya dyataka bahwa - mejad mmum jka = -. Sumargo, 984). 54

5 Vol. 4. No. 3, 5-59, Desember 00, ISSN : EISTENSI BESARAN PIVOTAL Apakah besara pvotal seatasa ada utuk setap kasus? Jka sample acak dar f ; θ ), yag berkorespodes dega fugs dstrbus kumulatf F ; θ ) yag kotu pada maka dega trasformas tegral probabltas, F ; θ ) mempuya dstrbus uform pada terval 0,). Jad log F ; θ ) mempuya e µ I u) P [ log F ; θ ) µ ] = P[ log F ; θ ) < µ ] 0,) karea µ µ = P[ F ; θ ) e ] = e, u > 0 Akhrya parameter dmaa : log F ; θ ) mempuya sebuah dstrbus gamma dega P log < logf ; θ ) < log = = log log Z Γ a) e z dz = P < F ; θ ) < utuk 0< < <..) = Sehgga ; = F ; θ ) atau logf ; θ ) adalah besara pvotal. = Hasl meujukka bahwa pada sembarag waktu dmaa sample dar suatu populas mempuya fugs dstrbus kumulatf kotu maka besara pvotal seatasa ada. Tetap tdak member jama apakah besara pvotal bergua bag peyusua terval. 55

6 Aplkas Metode Besara Agus Rusgoo). JAMINAN DAPAT DIGUNAKANNYA BESARAN PIVOTAL Selajutya jka F ; θ ) mooto dalam θ utuk setap maka = F ; θ ) juga mooto dalam θ utuk setap da dega sfat kemootoa memugkka utuk medapatka terval keyaka bag θ. = F ; θ ). t,, t ) Gambar : 3 θ = Dapat dlhat bahwa < F ; ) < t,, ),, dmaa t da t fugs yag tdak bergatug pada θ. t )< θ <,, ).3 INTERVAL KEYAKINAN UNTUK RATA-RATA PADA DISTRIBUSI NORMAL Jka dketahu sample acak dar, N µ σ ) dega σ tdak dketahu. Dalam kasus θ = µ, σ ) Da τ θ ) = µ. Sedagka kuattas pvotal yag kta perluka adalah µ Q = ζ, ; θ ) = ~ N0,) σ 56

7 Vol. 4. No. 3, 5-59, Desember 00, ISSN : µ Tetap < < } σ { tdak dapat dverska utuk medapatka t,, t )< µ < mucul karea besara,, ) utuk suatu statstk t da t. Masalah µ mash bergatug pada σ.jad dperluka σ besara pvotal yag haya bergatug µ saja. Sepert dketahu bersama bahwa µ berdstrbus studet dega derajad kebebasa - s Sehgga µ mempuya destas yag depede terhadap µ da σ, s maka juga merupaka besara pvotal. Sehgga sekarag dperoleh µ s < µ < s { < < } Dmaa da s µ P < akbatya s memeuh persamaa { < } = γ s s ; adalah terval kepercayaa 00γ % utuk µ. Pajag terval kepercayaa adalah ) s da bersfat acak. Utuk sembarag sampel yag dperoleh pajagya dapat dmmalka jka da dplh sehgga - mmal, dalam betuk la masalah dapat dapat dyataka dalam : Pemmala fugs ft t) dt = γ.3.) s L ) = d bawah syarat 57

8 Aplkas Metode Besara Agus Rusgoo) dmaa f T t) adalah destas dstrbus t dega derajad kebebasa -. Persamaa.3.) memberka sebaga suatu fugs dar da d pedeferesalaya terhadap meghaslka ft ) ft ) = 0. Utuk d dl memmalka L dperluka syarat = 0 d sehgga dperoleh dl d = s d d s d s ft ) ) = 0. Tetap ) = ) = 0 d f ) T maka ft ) = ft ) = atau =. Jka = maka f t) dt γ. Jad = dpadag sebaga suatu solus T dega da dapat dperoleh dar tabel dstrbus studet. Kalau dperhatka rumusa terval kepercayaa d atas bertala dega akar dar berart ada keutuga yag meuru dalam usaha terus memperbesar ukura sampel Schefler, 979). Utuk mejelaska adaka g dtaksr rataa suatu populas dega kepercayaa 95 %. Utuk dambl tga sampel, berturut-turut sebesar = 00, 000 da Msalka setap sampel meghaslka rataa sebesar 50 dega smpaga baku 0. Jka dhtug selag kepercayaa 95 % utuk masg-masg sampel tu dperoleh : 48,04 < µ < 5,96 = 00) 49,37 < µ < 50,63 = 000) 49,80 < µ < 50,0 = 0.000) Jka dperhatka ketga taksra memag memberka taksra yag lebh seksama.msal pegkata sampel dar 00 mejad 000 meghaslka taksra yag lebh pedek,66 selajutya pegkata sampel mejad dar 000 mejad memperpedek taksra 0,86 saja. D s perlu dpertayaka apakah pegkata keseksamaa ada keutugaya dbadg pegelolaa sampel sebesar tu yag memerluka tambaha beaya, waktu da teaga. 58

9 Vol. 4. No. 3, 5-59, Desember 00, ISSN : KESIMPULAN Pada berbaga peelta ukura sampel yag mak besar justru membulka bayak beba bak dar seg baya, pegelolaa sampel yag membutuhka bayak teaga da ketdak- telta dalam pegamata yag mejad sumber bas yag justru aka meyesatka kesmpula. Sebalkya pada setap ukura sampel yag dambl, terval taksra parameter dega koefse kepercayaa yag dtetapka dapat dbuat mmal. Iterval kepercayaa sedr dapat dbuat dega batua besara pvotal yag djam ada pada berbaga kasus asalka sample acak dar f ; θ ), yag berkorespodes dega fugs dstrbus kumulatf F ; θ ) yag kotu pada da besara pvotal dapat dguaka utuk meyusu terval kepercayaa taksra jka F ; θ ) mooto dalam θ utuk setap. Jad dalam megkatka kualtas peelta dsaraka utuk berkosetras pada setap sampel yag dperoleh da usaha meambah ukura sampel perlu dpertmbagka dega efses waktu, beaya, teaga da tujua peelta. DAFTAR PUSTAKA. Mood, Aleader M, Itroducto to The Theory of Statstcs, Thrd Edto, Mc-Graw Hll, Nasuto S, Metode Research, PT. Bum Aksara, Schefler, Wllam C, Statstcs for the Bologcal Sceces, Secod edto, Addso - Wesley Publshg Compay, Sumargo Chr H, Pedahulua Teor Kemugka da Statstka, ITB,