KAJIAN SIFAT KEKOMPAKAN PADA RUANG BANACH. Ariyanto* ABSTRACT

Transkripsi

1 Aryato, Kaja Sfat Keompaa pada Ruag Baah KAJIAN SIFAT KEKOMPAKAN PADA RUANG BANACH Aryato* ABSTRACT The propertes of ompatess Baah spaes ths paper s a geeralzato of a ompat uderstadg the system o the real umbers. New oepts formed s relatvely ompat, sequetally ompat, relatvely sequetally ompat, ad totally bouded. These paper study about relatoshp of oepts. Key words: Baah spaes, ompat, ompat sequetal, totally bouded. ABSTRAK Sfat eompaa d ruag Baah pada tulsa merupaa perumuma dar pegerta ompa pada sstem blaga real. Kosep-osep baru yag terbetu adalah ompa relatf, ompa seuesal, ompa seuesal relatf, da terbatas total. Tulsa megaj eterata osep-osep tersebut d atas. Kata u : ruag Baah, ompa, ompa seuesal, terbatas total. Meda Eata Volume No. Jauar

2 Aryato, Kaja Sfat Keompaa pada Ruag Baah Ruag berorma dataa legap apabla setap barsa Cauhy d dalam ruag berorma tersebut overge, da ruag berorma legap deal dega sebuta ruag Baah. Pembera ama ruag berorma legap sebaga ruag Baah dsebaba Baah yag meemua strutur sfat-sfat ruag berorma legap dalam merah dsertas dotorya pada tahu 9. Lput terbua suatu hmpua E d dalam sstem blaga real dmasuda suatu oles hmpua terbua G yag merupaa hmpua baga sehgga E G, da suatu hmpua E d dalam sstem blaga real dataa ompa apabla setap lput terbua utu hmpua E memuat lput-baga yag baya aggotaya hgga. Tulsa aa megtla (memperumum) pegerta da sfat-sfat ompa yag dml sstem blaga real e ruag Baah. Implas lajutaya adalah pegerta, osep da sfat-sfat ompa pada sstem blaga real setelah d bawah e ruag Baah berhasl memuula strutur sfat yag baru sepert : ompa relatf, ompa seuesal, ompa seuesal relatf, da terbatas total. Pembahasa pada tulsa aa dtampla dalam betu teorema atau lemma. MATERI DAN METODE KAJIAN Tulsa pembahasa sfat eompaa pada ruag Baah megguaa pedeata stud lteratur. Lagah permulaa dlaua adalah meghmpu mater yag dbutuha yag dambl dar buu-buu aalss sepert yag teratum dalam daftar pustaa. Kemuda, mempelajar mater peelta da megolahya dega batua teor-teor dasar dalam matemata sepert loga, teor hmpua da aalss dasar. Teor Dasar Pada baga aa dbahas pegerta dasar yag aa dguaa sebaga ladasa utu pembahasa berutya. Beberapa osep, sfat da teorema pada tulsa daggap sudah dpaham. Beberapa but teorema dalam baga tda dbera area bsa lagsug meruju e daftar pustaa. Ruag Metr berut. Pada sub baga aa dbaraa pegerta da sfat-sfat dar ruag metr, sebaga Defs : Dbera sebarag hmpua ta osog X. Fugs d: R yag memeuh sfat-sfat sebaga berut : d y, utu setap, y d, y ja da haya ja y, Meda Eata Volume No. Jauar

3 Aryato, Kaja Sfat Keompaa pada Ruag Baah d, y d y, utu setap, y da 3 d, y d, z d z, y utu setap, y, z, Dsebut metr atau jara pada X. Hmpua X dlegap dega suatu metr d, dtulsa dega,d, dsebut ruag metr. Ja metrya telah detahu maa ruag metr uup dtuls X saja. Aggota ruag metr,d dsebut tt da utu setap, tt dega tt y. Defs : Detahu X, d ruag metr, da S X. y blaga oegatf, d y dsebut jara. Apabla sebarag tt d dalam ruag metr X da, maa Hmpua N () y X : d, y damaa persetara dega tt pusat da jar-jar.. Tt X dsebut tt lmt hmpua S, apabla setap persetara dega tt pusat memuat palg sedt satu tt N () S dotasa dega y S dega y, atau utu setap berlau. Koles semua tt lmt hmpua S dsebut derved set da S. Hmpua bua tt lmt dsebut tt terasg. S S S dsebut losure( S ). Tt aggota S yag 3. Tt X dsebut tt-dalam hmpua S, apabla terdapat persetara N () sehgga berlau N () S. 4. Hmpua S X dsebut hmpua terbua apabla setap aggotaya merupaa ttdalam hmpua S. 5. Hmpua S X dataa hmpua tertutup apabla juga sebaga rsa semua hmpua tertutup yag memuat S. S terbua. Closure( S ) ddefsa 6. Hmpua S X dataa terbatas apabla ada tt X da blaga real M sehgga utu setap y S berlau d, y M. 7. Dameter hmpua X ds sup d y S, dotasa sebaga S d da ddefsa sebaga, : utu setap, y S. S juga dataa terbatas apabla dameterya hgga. Teorema 3 : Detahu X, d ruag metr, da S X. Hmpua S tertutup ja da haya ja S memuat semua tt lmtya, atau S S. Meda Eata Volume No. Jauar

4 Aryato, Kaja Sfat Keompaa pada Ruag Baah But : Syarat perlu : S tertutup, jad dega S atau S. Karea Jad, ada blaga sehgga berlau () tersebut berlau () S dega pegambla Syarat uup : Detahu S terbua. Adaa bahwa S S, yatu ada S terbua, maa merupaa tt-dalam hmpua N N S. S S S atau S atau () N S S. S. Abatya utu. Jad bua tt lmt hmpua S, otrads S. Dambl sebarag S S, maa atau bua merupaa tt lmt hmpua S. Jad ada blaga dega sfat N () S. Kemuga terjad, N () S atau () N S. Karea S (atau S ) maa () N S. Jad, apabla dambl S, maa ada blaga sehgga () tt-dalam hmpua Defs 4 : Detahu N S, sehgga terbut d S atau () N X, ruag metr. Barsa S. Dega ata la merupaa S hmpua terbua atau hmpua S tertutup. d dalam suatu ruag metr X dataa overge ja ada X sehgga utu setap blaga terdapat blaga asl, sehgga utu setap blaga asl barsa { } overge e atau barsa berlau d. Dalam hal dataa, mempuya lmt da basa dotasa dega lm d,, atau lm. Barsa yag ta overge dataa dverge. Defs 5 : Detahu barsa blaga asl barsa baga dar. Defs 6 : Detahu d X, ruag metr. Suatu barsa : N sehgga 3... d X, ruag metr. Barsa d dalam X, da dbetu, maa barsa damaa d dalam X dsebut barsa Cauhy apabla utu setap blaga terdapat blaga asl sehgga utu setap berlau d,. m Teorema 7 : Detahu X, d ruag metr, da S X. m, Apabla tt lmt hmpua S, maa ada suatu barsa d dalam S sehgga lm. Meda Eata Volume No. Jauar

5 Aryato, Kaja Sfat Keompaa pada Ruag Baah Teorema 8 : Detahu X, d ruag metr. Apabla setap barsa d dalam X overge, maa barsa tersebut merupaa barsa Cauhy. Ruag Berorma Pada sub baga aa dsaja defs ruag berorma dserta sfat-sfatya. Defs 9 : Detahu X ruag lear atas C atau R. Fugs. : X R dsebut orma apabla : N utu setap X, da. N.. utu setap X da salar. 3 N y y utu setap, y X. Ruag lear X yag dperlegap orma damaa ruag berorma da dtulsa dega X,. atau X saja. Teorema : Setap ruag berorma X merupaa ruag metr, dega d(, y) y utu setap, y X. Berdasara Teorema d atas, setap ruag berorma merupaa ruag metr, maa semua osep, pegerta, sfat-sfat, serta teorema-teorema yag berlau pada ruag metr berlau pula pada ruag berorma. Dema pula area ruag berorma merupaa ruag metr maa vetor dsebut pula sebaga tt. Teorema : Ruag berorma X dataa legap apabla setap barsa Cauhy d dalamya overge, da ruag berorma legap dsebut Ruag Baah. Cotoh : C a, b f : a, b R, f otu oles semua fugs otu dar b. Terhadap orma f sup f a, b terhadap orma f b a a, e : merupaa ruag Baah, aa tetap f d, bua merupaa ruag Baah. Defs : Apabla ruag berorma X memuat suatu barsa e yag memeuh utu setap X ada dega tuggal barsa salar sehgga berlau e e... Dega ata la, utu setap e, e,..., e. e utu, maa e dsebut bass utu X. X dapat dsaja sebaga represetas ombas lear dar Meda Eata Volume No. Jauar

6 Aryato, Kaja Sfat Keompaa pada Ruag Baah Lemma 3 : Apabla,,..., hmpua vetor-vetor bebas lear d dalam suatu ruag berorma X yag berdmes hgga, maa ada suatu blaga sehgga utu setap salar,,..., berlau, Teorema 4 : Setap ruag baga berdmes hgga Y dar ruag berorma X merupaa hmpua tertutup d dalam X. Lemma 5 :(Lemma Resz s) Dbera X ruag berorma berdmes hgga da Y, Z ruag baga X. Apabla Y tertutup da Y Z, maa utu setap blaga, ada z Z sehgga z da z y, utu setap y Y. But : Dambl sebarag v Z dega v Y, da dbetu a f v y : y Y. Apabla dambl,, maa ada y Y sehgga berlau a v y z v a. Dambl v y y v y z. v d dalam Z, dega y v y maa dperoleh Selajutya, aa dtujua z y sebaga berut. Utu setap y Y dperoleh y y z y v y y v y v y dega y v y, y y. Oleh area tu, meurut defs a d atas dperoleh v y Berdasara hasl d atas pula, dega z y v y Karea. a v a y a a v y. maa dperoleh y Y dambl sebarag, maa lemma Resz s terbut. a. PENGKAJIAN Pembahasa Meda Eata Volume No. Jauar

7 Aryato, Kaja Sfat Keompaa pada Ruag Baah Pada sub baga aa membahas pegerta da sfat-sfat eompaa yag dml oleh ruag Baah. Lagah awal aa medefsa dulu pegerta ompa, da lagah berutya berturut-turut aa meyaja sfat-sfat ompa d dalam ruag Baah. Defs 6 : Koles semua hmpua hmpua d dalam ruag Baah X dataa lput (over) hmpua S X apabla setap aggota hmpua S termuat palg sedt dalam satu aggota oles semua hmpua. Dega ata la, merupaa lput hmpua S X apabla S G. Apabla setap G aggota merupaa hmpua terbua d dalam X, maa dsebut lput terbua (ope over) utu S. Defs 7 : Detahu X ruag Baah. Hmpua S X dataa ompa (ompat) apabla utu setap lput terbua hmpua S ada lput baga berhgga yag juga lput hmpua S. Jelasya, S ompa apabla oles semua hmpua terbua merupaa lput terbua utu S, maa ada hmpua berhgga G G,...,, G sehgga berlau S G Cotoh :. D dalam ruag Baah X, hmpua berhgga merupaa hmpua ompa. Jawab : Msala hmpua berhgga tersebut adalah S,,..., da G merupaa lput terbua utu S, maa ada aggota S merupaa aggota sedt satu. Jad utu setap Jad G, G,..., dplh satu G saja yag memuat. G utu palg, sebut saja G. G merupaa lput baga berhgga utu S. Terbut utu sebarag lput terbua utu S memuat lput baga berhgga utu S. Jad dsmpula S ompa.. Hmpua S : d dalam sstem blaga real tda ompa. Defs 8 : Detahu X ruag Baah. Hmpua S X dataa ompa relatf (relatvely ompat) ja da haya ja S (losure S ) merupaa hmpua ompa. Defs 9 : Detahu X ruag Baah. Hmpua S X dataa ompa seuesal (sequetally ompat) apabla setap barsa d dalam S mempuya barsa baga Defs : Detahu X ruag Baah. yag overge e S. Meda Eata Volume No. Jauar

8 Aryato, Kaja Sfat Keompaa pada Ruag Baah Hmpua S X dataa ompa seuesal relatf (relatvely sequetally ompat) ja da haya ja S (losure S ) merupaa hmpua ompa. Defs : Detahu X ruag Baah. Hmpua S X dsebut et apabla S hmpua berhgga da N dsebut terbatas total apabla X memuat suatu et, utu setap. Defs : Detahu X ruag Baah, da lput terbua utu X. S ( ) X, da X Blaga dsebut blaga Lebesque utu lput terbua apabla setap hmpua S X dega d (S), ada G sehgga S G. Teorema 3 : : Detahu X ruag Baah. Apabla setap hmpua ta berhgga ompa seuesal. S X mempuya tt lmt d dalam X, maa X But : Dambl sebarag barsa d dalam X. Dbetu rage dar barsa tersebut sebaga berut : S :. Apabla S berhgga, maa ada palg sedt satu aggota bayaya des, sebab S utu ta berhgga merupaa fugs dega doma hmpua ta berhgga. Dega dema terbetu suatu barsa : sehgga..., da.... Jad dperoleh suatu barsa baga yag overge e S X. Apabla S ta berhgga, da S mempuya tt lmt d dalam X maa ada barsa d dalam S yag overge e. Dplh sehgga berlau. Kemuda dplh dega sehgga sehgga. Setelah dplh Dega ata la terbut X ompa seuesal. Lemma 4 : Detahu X ruag Baah.. Jad terbetu barsa..., maa dplh dega yag overge e. Apabla hmpua S X ta berhgga yag terbatas total, maa utu setap ada hmpua ta berhgga M S sehgga dm. Meda Eata Volume No. Jauar

9 Aryato, Kaja Sfat Keompaa pada Ruag Baah But : Detahu S hmpua ta berhgga da dbera sebarag. Msala hmpua H,,..., merupaa suatu et 3 d dalam X sehgga berlau X N ( ), 3 yag berabat S ( S N 3 ( )). Dega dema palg sedt ada satu dar hmpuahmpua S N ( ) yag memuat hmpua ta berhgga, sebut saja M dega d M. 3 Teorema 5 : Detahu X ruag Baah. X terbatas total ja da haya ja setap barsa d dalam X mempuya barsa baga Cauhy. But : syarat perlu : Dambl sebarag barsa Detahu X ruag Baah. Padag hmpua A mempuya barsa baga ;. Apabla A berhgga, maa barsa berhgga yag osta. Oleh area tu, barsa merupaa barsa Cauhy. Searag msala A ta berhgga, maa berdasara Lemma 3 ada hmpua ta berhgga dega d B. Dplh hmpua ta berhgga B B sehgga. Selajutya dega ara yag sama, ada suatu B B dega d B. Dplh sehgga B. Apabla prosedur dlaua terus meerus, maa dperoleh hmpua-hmpua ta berhgga B B... B B dega db (,,..., ) sehgga utu setap blaga asl... berlau B (,,..., ). Berdasara proses dperoleh suatu barsa baga dar. Apabla dbera sebarag, maa dplh sehgga. Dega ara yag sama sepert d atas dperoleh apabla j, m maa berlau j m barsa d dalam X mempuya barsa baga Cauhy. B utu m A m. Jad. Oleh area tu terbut bahwa setap Syarat uup : Adaa hmpua X tda terbatas total, maa ada sehgga tda terdapat et d dalam X. Dbera sebarag X da dplh X sehgga Meda Eata Volume No. Jauar

10 Aryato, Kaja Sfat Keompaa pada Ruag Baah X. Selajutya dplh. Hal mug terjad sebab hmpua bua suatu et d dalam 3 X dega 3 da 3, da mug terjad sebab, bua suatu et d dalam X. Apabla proses dlaua seara terus meerus dega ara yag sama, maa aa dperoleh hmpua,,..., yag bua suatu et d dalam X dega sfat j, utu setap j ( j,,.., ). Jad ada X dega j, utu j,,.., mempuya barsa baga Cauhy, otrads dega yag detahu.. Oleh area tu barsa tda Teorema 6 : Ruag Baah X ompa seuesal ja da haya ja X terbatas total. But : Syarat perlu : Karea X ompa seuesal, maa setap barsa d dalam X mempuya barsa baga yag overge, yag berabat barsa merupaa barsa Cauhy. Jad, setap barsa d dalam X mempuya barsa baga Cauhy, da berdasara Teorema 5 terbut bahwa X terbatas total. Syarat uup : Detahu X terbatas total da dambl sebarag barsa d dalam X. Meurut Teorema 5, maa barsa da area X ruag Baah, maa barsa overge atau terbut X ompa seuesal. mempuya barsa baga Cauhy Lemma 7 : Detahu X ruag Baah. Apabla X ompa seuesal, maa setap lput terbua utu X mempuya blaga Lebesque. But : Detahu X ompa seuesal da lput terbua utu X. Adaa tda ada blaga Lebesque utu lput terbua, maa utu setap A X dega d A A ada hmpua ta osog sehgga A tda termuat dalam. Selajutya, dplh, da area X ompa seuesal maa barsa baga yag overge e. Dplh terbua, maa ada blaga sehgga ) d dalam X mempuya barsa G sehgga G. Karea G hmpua N ( G. Karea overge e, maa termuat d dalam N ) utu ta berhgga baya. Dplh ( yag masmal sehgga N ( ) dega. Apabla dambl y A maa dperoleh Meda Eata Volume No. Jauar

11 Aryato, Kaja Sfat Keompaa pada Ruag Baah y, da meggat d A maa berabat y. Oleh area tu y N ), dega dema dperoleh A ) G. Kotrads dega fata bahwa ( utu setap blaga Lebesque. N (, A tda termuat d dalam aggota. Dega ata la mempuya Teorema 8 : Detahu X ruag Baah da S X. S ompa ja da haya ja S ompa seuesal. But : Syarat perlu : Adaa S tda ompa seuesal, maa meurut Lemma 6 ada suatu hmpua ta berhgga A S dega A tda mempuya tt lmt d dalam S. Dega dema setap aggota S bua tt lmt hmpua A, da setap tt aggota A merupaa tt terasg. Jad, utu setap A ada blaga sehgga N ( ) A, da utu setap y S dega y A dapat dbuat persetara (y) N sehgga N ( ) A. Karea A ta berhgga, maa oles semua hmpua N ( ) : A N ( y) : S & y A merupaa lput terbua utu S, aa tetap lput terbua tda memuat lput baga berhgga. Sebab, apabla meghlaga satu persetara N () saja dar tt A maa S tda terlput lag, da otrads dega fata bahwa S ompa. Syarat uup : Dbera sebarag lput terbua utu S, maa meurut Lemma 6 lput terbua mempuya blaga Lebesque, da berdasara Teorema 5 maa S terbatas total. Oleh area tu, ada suatu utu setap,,..., berlau et 3 d N ( ). Selajutya, ada G dega N ( ) Karea N ( 3 utu S, atau terbut S ompa. dar hmpua berhgga,,..., sehgga G. ) S, maa dperoleh G, G,..., G merupaa lput baga berhgga Teorema 9 : Detahu X ruag Baah da Ja S ompa, maa S tertutup da terbatas. S X. Meda Eata Volume No. Jauar

12 Aryato, Kaja Sfat Keompaa pada Ruag Baah But : (a) Dambl sebarag persetara pusat da jar-jar X dega S, da utu setap aggota N () y : y, da persetara ( ) N y y S dbuat : dega. Jelas bahwa, () N ( ) utu setap S. Oleh area tu, oles semua hmpua persetara-persetara N N ( ): S merupaa lput terbua utu S. Karea detahu S ompa, maa ada,,..., S sehgga berlau S N ( ). Dbetu hmpua W N ( ) dega, utu setap,,...,. Jad W merupaa suatu persetara dar tt da hmpua baga semua ( ), utu setap,,...,. Jad, N W N ), utu setap,,..., sehgga W ( N (). Abatya, W S atau W S tertutup. (b) Utu setap S. Jad merupaa tt-dalam hmpua S dbetu persetara ( ) dega pusat da jar-jar. Koles semua hmpua S, jad N y : y S terbua atau, yatu persetara N ( ): S merupaa lput terbua utu S. Karea detahu S ompa, maa ada,,..., m S N ( ). Namaa, M mas,..., 3 m S sehgga,. Utu sebarag y S ada j dega j m, sehgga berlau y N ( j ). Jad dperoleh y j j y M M. Jad utu setap y S berlau y M atau dega ata la S terbatas. Teorema 3 : Detahu X ruag Baah, da S X. Apabla S tertutup da terbatas, da X berdmes hgga maa S ompa. But : Msala Dm( X ), da e, e,..., e merupaa bass utu X. Dambl m sebarag barsa d dalam S, maa utu setap m aggota S dapat dsaja sebaga represetas ombas lear sebaga berut, m ( m) ( m) e e... ( m) e Meda Eata Volume No. Jauar

13 Aryato, Kaja Sfat Keompaa pada Ruag Baah Karea detahu S terbatas, maa ada blaga sehgga m, utu setap m. Meurut Lemma 3, maa dperoleh m ( m) ( m) ( m) e e... e j ( m) j, dega. Oleh area tu barsa blaga terbatas. Jad a mempuya tt lmt, ataa tt lmtya tersebut adalah m j, utu baga z yag overge e z (m) j j. Abatya, barsa mempuya barsa j j e j m. Karea hmpua S tertutup, maa z S meujua bahwa sebarag barsa d dalam S mempuya barsa baga yag overge dalam S. Dega ata la S ompa seuesal atau S ompa. Teorema 3 : Detahu X ruag Baah, da S X. S ompa relatf ja da haya ja S terbatas total. But : Syarat perlu : Detahu S ompa relatf atau S Meda Eata Volume No. Jauar m. I S S ompa. Apabla S ompa berabat S ompa seuesal, maa meurut Teorema 6 S terbatas total. Apabla S tda ompa, da area S merupaa oles semua hmpua tt lmt d dalam S, maa berdasara Teorema 3 S ompa seuesal, da seal lag meurut Teorema 6 terbut S terbatas total. Syarat uup : Detahu S ompa relatf, yatu S ompa. Apabla S ompa berabat S ompa seuesal atau terbut S terbatas total. Searag apabla S tda ompa da area S merupaa oles semua tt lmt d dalam S, maa dperoleh S ompa seuesal atau terbut S terbatas total. Syarat perlu : Dambl sebarag barsa d dalam S. Karea detahu S terbatas total, maa ada hmpua-hmpua berhgga suatu N ( y), N ( y ),..., N ( y ) yag merupaa et. Palg sedt dar persetara-persetara memuat suatu barsa ta hgga, ataalah, dega,. Selajutya. Dambl lag suatu et, maa palg sedt satu dar persetara-persetara d dalam hmpua berhgga dar suatu memuat barsa ta berhgga, dega,, et. Apabla proses dlaua terus

14 Aryato, Kaja Sfat Keompaa pada Ruag Baah, m meerus maa aa dperoleh suatu barsa ta hgga, sehgga m, m, termuat d dalam persetara berdameter m, utu suatu m dega. Msala m, merupaa barsa dagoal, maa j, j merupaa barsa baga dar j j, j yag termuat d dalam persetara berdameter. Jad dperoleh sehgga m, m,, merupaa barsa Cauhy. Karea X legap maa barsa, m (, m), adalah overge. Dega ata la barsa, mempuya barsa baga yag overge atau S ompa seuesal. Berabat S ompa relatf. SIMPULAN Berdasara eseluruha uraa d atas dperoleh beberapa esmpula sebaga berut :. Apabla suatu hmpua ta berhgga mempuya tt lmt d dalam ruag Baah, maa ruag Baah tersebut ompa seuesal.. Suatu ruag Baah yag ompa seuesal ja da haya ja ruag Baah tersebut terbatas total. 3. Suatu hmpua d dalam ruag Baah yag ompa ja da haya ja hmpua tersebut ompa seuesal. 4. Apabla suatu hmpua yag ompa d dalam ruag Baah, maa hmpua tersebut tertutup da terbatas. 5. Apabla suatu hmpua yag tertutup da terbatas d dalam ruag Baah, da hmpua tu juga berdmes hgga maa hmpua tersebut ompa. 6. Suatu hmpua yag ompa relatf d dalam ruag Baah ja da haya ja hmpua tersebut terbatas total. DAFTAR RUJUKAN Meda Eata Volume No. Jauar

15 Aryato, Kaja Sfat Keompaa pada Ruag Baah Hutso, V, ad PYM, J.S, 98. Aplatos of Futoal Aalyss ad Operator Theory, Aadem Press, Lodo, New Yor, Toroto, Sydey, Sa Fraso. Kreyszg, E, 978. Itrodutory Futoal Aalyss wth Aplatos, Joh Wlley&Sos, Caada. Parzys, W.R, ad Zpse, P.W, 98. Itroduto to Mathematal Aalyss, M-Hll Boo Compay. Royde, H.L, 989. Real Aalyss. Mamlla Pub.Co., ew Yor, Coller Mamlla Pub., Lodo. Rud, H.L, 989. Prples of Mathematal Aalyss, M Graw-Hll Iteratoal Compay, Sgapore. Smmos, G.F, 963. Topology ad Moder Aalyss, M Graw-Hll Boo Compay, I, New Yor. Meda Eata Volume No. Jauar