Penyelesaian Persamaan Differensial dengan Menggunakan Polinomial Lagrange Seri I (1 Dimensi) Syawaluddin H 1)

Transkripsi

1 Hutahaea Vol. No. Aprl 006 ural TEKNIK SIPIL Peyelesaa Persamaa Dfferesal ega Megguaka Polomal Lagrage Ser I ( Dmes Syawalu H Abstrak Paa paper sajka pegguaa polomal Lagrage utuk meyelesaka suatu persamaa fferesal secara umers. Paa metoa suatu fugs paa persamaa fferesal ekat ega polomal Lagrage, selajutya fferesal ar fugs ekat ega fferesal ar polomal Lagrage. Dega metoa haslka koefse turua yag sama ega metoa selsh hgga. Metoa juga mrp ega metoa eleme hgga alam hal ukura gr, yatu apat guaka ukura gr yag tak seragam. Kemrpa la ega metoa eleme hgga aalah bahwa shape fucto ar metoa eleme hgga utuk eleme gars a segempat aalah berasal ar polomal Lagrage. Metoa yag kembagka guaka utuk meyelesaka persamaa gelombag Ary a memberka hasl yag bak. Kata-kata kuc : Polomal Lagrage. Abstract Ths paper presets a umercal methoor solvg a fferetal equato by usg Lagraga Polyomal. I ths methoucto a fferetal equato s approxmate wth Lagrage Polyomal a the the fferetal of the fucto s approxate wth fferetal of Lagrage Polyomal. Ths metho results the same coeffcet ervatves wth the fte fferece metho. The results show that the fferetal coeffcets s the same wth fte fferece metho. Compare wth fte elemet metho, the metho s alke t uses the same shape fucto a because t ca be use wth varably gr sze. The metho was use to solve Ary wave s equato a gve a goo result. Keywors : Lagrage Polyomal.. Latar Belakag Harga suatu fugs apat ekat ega polomal Lagrage, sehgga fferesal ar fugs apat yataka ega fferesal ar polomal Lagrage tersebut. Sesua ega amaya, polomal Lagrage aalah berbetuk polomal, maa turuaya apat htug ega muah. Dega emka, bla fugs paa persamaa fferesal ekat ega polomal Lagrage, maka fferesal fugs apat gatka ega fferesal ar polomal Lagrage. Selajutya ega memasuka harga syarat batas, peroleh harga fugs paa ttk-ttk polomal. Dega polomal Lagrage haslka suatu metoa yag serupa ega metoa selsh hgga, ega kelebha perhtuga ega ukura gr yag tak seragam apat lakuka tapa memerluka formulas khusus. Dega metoa perhtuga paa oma yag memerluka ukura gr yag tak seragam apat lakuka ega muah. Sehgga metoa juga mrp ega metoa eleme hgga. Metoa eleme hgga utuk eleme gars a eleme segempat megguaka shape fucto yag apat turuka ega megguaka polomal Lagrage [Stasa L. Frak, 986], [Zekewcz, O.C., Morga, K]. Perbeaaya aalah bahwa paa metoa eleme hgga terapat proses mmalsas kesalaha bak ega megguaka weghte resual metho maupu varatoal prcple. Kemuaha la yag berka paa metoa polomal Lagrage aalah bahwa, sebagamaa halya paa metoa selsh hgga, paa pegerjaa ega skema explst tak memerluka operas matrx.. Staf Pegajar PST Kelauta-ITB Catata : Usula makalah krmka paa 9 Nopember 005 a la oleh peer revewer paa taggal 0 Desember Aprl 006. Revs peulsa lakuka atara taggal 7 Aprl 006 hgga 8 Me 006. Vol. No. Aprl

2 Peyelesaa Persamaa Dfferesal ega Megguaka Polomal Lagrage Ser I ( Dmes. Polomal Lagrage Berasarka [Aerso Joh D. JR], suatu fugs f (x apat ekat ega polomal Lagrage, yatu : f (x L (x f Dmaa: L (x polomal Lagrage utuk ttk ke L (x maa,,, J,,.. j (. ( x - x ( x - x ( x - x ( x - x j...( x - x ( x - x ( x - x ( x - x ( x - x...( x - x (. Utuk suatu oma yag bag atas ttk, sepert paa Gambar.., maka: Gambar.. Ilustras polomal lagrage ( ( x - x x - x L (.a ( x - x ( x - x ( x - x ( x - x L (.b ( x - x ( x - x ( x - x ( x - x L (.c ( x - x ( x - x Selajutya f (x paa oma tersebut apat ekat ega polomal Lagrage, yatu : f (x L (x f f (x L (x f + L (x f + L (x f (. Harga-harga fugs paa x < x < x, apat htug ega Persamaa (. ega ketahuya f, f a f. Demka juga ega harga-harga turua f / paa x < x < x termasuk paa x x, x a x apat htug ega megguaka Persamaa (., yatu : L L f + L f + f (.5 x x x x Pemakaa polomal Lagrage utuk meyelesaka persamaa fferesal tak berart bahwa Persamaa (. kerjaka paa seluruh oma sekalgus, walaupu hal memugkka, tetap kerjaka persegme gars atau sub oma. Utuk oma sepert paa Gambar (., maka pegerjaa polomal Lagrage msal ega ttk polomal j 5 Segme oma utuk ttk Segme oma utuk ttk Segme oma utuk ttk Segme oma utuk ttk 5 Segme oma utuk ttk - - Gambar.. Segmetas paa pegerjaa polomal Lagrage aalah sebaga berkut Terlhat paa Gambar (. bahwa turua ttk aka yataka oleh harga fugs paa ttk, a, hal serupa ega metoa selsh hgga paa skema forwar-fferece, seagka paa ttk-ttk,. - aka serupa ega cetral-fferece, seagka paa ttk ke aka serupa ega backwar-fferece. Keutuga la ar pegguaa polomal Lagrage aalah bahwa segme oma apat ega muah perluas, msal segme oma ega, 5, 6 a 7 ttk polomal. Pegguaa segme ega ttk aalah meja peekata ler, ega ttk aalah peekata kuarats a seterusya.. Koefse Dfferesal Yag maksu ega koefse fferesal aalah harga L / paa Persamaa (.5. Koefse apat lagsug htug ega megguaka efs ar polomal Lagrage sepert paa Persamaa (.. Tetap hal tetuya kurag prakts bla setap saat harus meghtug koefse turua. Utuk megatas hal tersebut, maka lakuka trasformas koorat, ar sstm koorat x, ke sstm koorat kurvler ξ, ega oma -< ξ <. Trasformas koorat paa suatu segme oma lakuka ega x L x megguaka Persamaa (. (5. jumlah ttk paa segme oma L (ξ polomal Lagrage alam sstm koorat ξ, mempuya betuk yag sama sepert paa Persamaa (. maa x f (ξ L f gat ega ξ. Seagka f paa suatu (. segme oma juga lakuka peekata yag sama yatu : 00 Jural Tekk Spl

3 Hutahaea ξ x x ξ x Korelas atara turua paa oma x ega paa oma ξ aalah sebaga (. / ξ berkut : L L L f + f + f ξ ξ ξ ξ - (ξ f + ( f + (ξ + f ξ / keal ega matrx Jacoba, alam hal ukura matrxya x L aalah ( x. Matrx x (. ξ Jacoba apat ξ htug ega megguaka Persamaa (., yatu : Trasformas koorat paa Persamaa (., memugkka bahwa, walaupu paa oma x guaka ukura gr yag tak seragam, apat trasformaska ke oma ξ ega ukura gr yag seragam, sepert terlhat paa Gambar (. Paa gr ega ukura seragam (paa sstm koorat ξ, apat htug koefse turua yag berharga tetap yag haya tergatug paa jumlah ttk polomal paa segme oma. L (ξ a. Koefse turua utuk L segme oma (ξ ega ttk polomal Dega ttk L (ξ ( polomal, polomal ξ Lagrage paa sstm koorat ξ aalah δx δx x x x ξ L (x ξ x L x ξ ξ ξ - 0 Gambar.. Trasformas ar ξ ke x Paa ttk, ξ - L L L - (ξ,, ξ - ξ Paa ttk, ξ 0 maa ξ -, ξ 0 a ξ f (ξ L (ξ f L L L -, 0, + L (ξ ξ ξ ξ f + L (ξ f Paa ttk, ξ L L L -, -, ξ ξ ξ [ C] ( Paa ttk (C f + C f + C f (.6a x J Ja koefse J C x + C x + C x turua aalah (.6b Paa ttk : C / ; C ; C - Paa ttk / Paa (C f + C f + C f ttk (.6c x J : C - J C x + C x + C x / ; C (.6 0 ; C / Paa ttk Paa ttk : C - / ; C - ; (C f + C f + C f C (.6e x J J C x + C x + C x / (.6f Vol. No. Aprl 006 0

4 Peyelesaa Persamaa Dfferesal ega Megguaka Polomal Lagrage Ser I ( Dmes Atau tuls alam betuk matrx 5 6 [C] selajutya sebut ega matrx koefse turua. Dega megguaka [C] apat htug harga turua, yatu : L L L L ξ ξ ξ ξ - Pegerjaa metoa paa oma yag terr atas ttk, aalah paa ttk, guaka [ C ] Persamaa ( (.6a a (.6b paa ttk s/ (-, guaka Persamaa (.6c a (.6 paa ttk, guaka Persamaa (.6e a (.6f b. Koefse turua utuk segme oma ega, 5 a 7 ttk polomal Ttk-ttk koorat paa segme oma aalah Polomal Lagrageya aalah [ C ] ( [ C] ( f f f f f ξ + ξ f + f ξ ξ D a r polomal tersebut a koorat ξ, ξ, ξ a ξ, yatu : apat htug matrx koefse turua, Dega cara yag sama apat htug matrx koefse turua utuk 5, 6, 7 L. ttk polomal, maa perhtugaya apat f ega muah buat program komputerya. Koefse turua utuk segme oma ega 5 a 7 ttk polomal aalah sebaga berkut. Koefse turua paa segme oma ega 5 ttk polomal Koefse turua paa segme oma ega 7 ttk polomal t u t x f + x f - ( + + u (uh u + g x x (.0 Perhtuga turua 0 ke ua, apat (. lakuka ega cara sebaga berkut 0 (. 0 Jural Tekk Spl

5 Hutahaea z x η Muka ar am u h Gambar.. Sket varabel paa persamaa gelombag Ary. Cotoh Pemakaa - Sebaga cotoh aka selesaka persamaa gelombag Ary satu mes, maa persamaa terr atas ua persamaa fferesal, yatu : a. Persamaa Kotutas Gambar.. Pembaga oma alam sejumlah gr-pot Perhtuga ƒ / lakuka ega megguaka Persamaa.0. Koefse feresal utuk ƒ / apat ega muah betuk yatu ega megguaka persamaa maa sebaga koefse turua aalah L /. Ja alam perhtuga turua ore perlu betuk koefse feresal, yatu utuk L / a L / ξ. a. Batmetr perara b. Gr pot Gambar.. Gr-pot paa perara ega kealama berubah secara kosta b. Persamaa mometum maa : Paa ttk η fluktuas muka ar u u (C u + C u + C u J J C x + C x + C x kecepata rata-rata kealama h kealama perara paa muka ar am H h + η kealama total (uh J Paa ttk (uh (C (uh - + C (uh + C (uh + Paa ttk s/ ( a. Peyelesaa fferesal ruag / u (C u - + C u + C u + x Sebagamaa halya ega metoa selsh hgga, maka aerah perhtu- J (C (uh - + C (uh - + C (uh ga bag-bag alam sejumlah gr-pot, sepert terlhat paa Gambar. berkut. Ukura gr tak harus seragam, tetap apat berbea-bea. Msal suatu batmetr ega kealama berubah, maka sebakya guaka ukura gr yag berbea-bea, maa paa kealama yag lebh kecl guaka ukura gr yag lebh kecl. Bla guaka ukura gr yag seragam, msal megacu paa ukura gr paa perara alam, maka perhtuga paa perara Vol. No. Aprl 006 0

6 Peyelesaa Persamaa Dfferesal ega Megguaka Polomal Lagrage Ser I ( Dmes Paa ttk yag lebh agkal (C η + C η + C η + C η + J C 5 η 5 + C 6 η 6 + C 7 η 7 J (C x + C x + C x + C x + C 5 x 5 + C 6 x 6 + C 7 x 7 Paa ttk J meja kurag telt, seagka bla ukura gr seragam megacu paa ukura gr paa perara yag lebh agkal, maka (C η + C η + C η + C η + C 5 η 5 + C 6 η 6 + C 7 η 7 J (C x + C x + C x + C x + C 5 x 5 + C 6 x 6 + C 7 x 7 Paa ttk J jumlah gr aka terlalu bayak. Utuk meetuka ukura gr apat guaka krtera Courat, yatu δt < δx / C, maa C kecepata (C η + C η + C η + C η + C 5 η 5 + C 6 η 6 + C 7 η 7 J (C x + C x + C x + C x + C 5 x 5 + C 6 x 6 + C 7 x 7 Paa ttk s/ (- gelombag, maa mak agkal perara mak kecl C, sehgga mak kecl ukura gr. x J Paa ttk J 7 (C 7 η -6 + C 7 η -5 + C 7 η - + C 7 η - + C 75 η - + C 76 η - + C 77 η J 7 (C 7 x -6 + C 7 x -5 + C 7 x - + C 7 x - + C 75 x - + C 76 x - + C 77 x.6c- Paa ttk kerjaka persamaa.6e-f Ja paa cotoh guaka segme oma ega ttk polomal utuk meghtug (uh/ x a u/ x. Seagka utuk perhtuga / x guaka segme oma ega 7 ttk polomal, yatu sebaga berkut. Meggat paa ttk guaka fluktuas muka ar sebaga syarat batas, maka paa ttk tersebut tak kerjaka persamaa kotutas, atau tak lakuka perhtuga (uh/ x. (C η - + C η - + C η - + C η + C 5 η + + C 6 η + + C 7 η + J (C x - + C x - + C x - + C x + C 5 x + + C 6 x + + C 7 x + Msal utuk batmetr ega Paa ttk - kemrga kosta, maka ukura η gr yag guaka berubah juga secara kosta sepert terlhat paa Gambar.. berkut. J 5 (C 5 η -6 + C 5 η -5 + C 5 η - + C 5 η - + C 55 η - + C 56 η - + C 57 η Paa ttk persamaa mometum tak kerjaka, karea guaka syarat batas bea paat, yatu u 0. Paa perhtuga harga C j guaka harga [C] paa persamaa (.5. Perhtuga / x, guaka segme oma ega 00 m J 5 (C 5 x -6 + C 5 x -5 + C 5 x - + C 5 x - + C 55 x - + C 56 x - + C 57 x Perhtuga fferesal ruag / x guaka Paa ttk - Persamaa.5a-f, yatu : Paa ttk kerjaka persamaa.6a-b Paa ttk kerjaka persamaa J 6 5 m a. Kaal utuk eksekus moel m (C 6 η -6 + C 6 η -5 + C 6 η - + C 6 η - + C 65 η - + C 66 η - + C 67 η b. Batmetr kaal Gambar.. Kaal ega batmetr berubah kosta J 6 (C 6 x -6 + C 6 x -5 + C 6 x - + C 6 x - + C 65 x - + C 66 x - + C 67 x 0 Jural Tekk Spl

7 Hutahaea mukaar(m,00 0,75 0,50 0,5 0,00-0,5-0,50-0,75 -,00 Gelombag ler x (m Gambar.5. Hasl eksekus moel paa kaal ega kealama berubah 7 ttk polomal. Latar belakag perbeaa atara perhtuga (uh/ x, u/ x a / x apat lhat paa [Syawalu, H., 005]. Paa perhtuga / x guaka harga C j paa Persamaa (.9. Hasl smulas aalah sepert terlhat paa Gambar.5. Terlhat paa gambar tersebut terja pembesara tgg gelombag ega berkuragya kealama, maa hal meujukka bahwa persamaa gelombag Ary juga apat meghaslka feomea shoalg paa gelombag. Perbaga terhaap solus aalss (teor gelombag ler, meujukka bahwa moel memberka hasl yag cukup ekat ega teor gelombag ler. Paa paper tak bermaksu meelt persamaa gelombag Ary ataupu perstwa shoalg paa persamaa gelombag Ary, megea berbaga keterbatasa ataupu kemampua persamaa gelombag Ary apat baca paa berbaga buku ataupu paper, atara la [Dea, Robert G., a Dalrymple] a [Syawalu, H., 005]. 5. Dskus a Kesmpula Sepert telah sebutka bahwa metoa umers yag kembagka aalah etk ega metoa selsh b. Peyelesaa fferesal waktu Peyelesaa fferesal waktu guaka metoa tegras ega koefse tegras peroleh ar polomal Lagrage juga. Metoa tegras apat lhat paa [Syawalu, H., 005]. Sebaga cotoh eksekus moel, guaka suatu kaal ega kemrga berubah (Gambar.. Paa mulut kaal terapat gelombag ega peroa 6 etk, ega ampltuo 0.05 m. Paa smulas guaka gr ega ukura tak seragam sebayak 00 buah. Bla guaka ukura gr yag seragam aka perluka gr sebayak 500 buah agar peroleh hasl yag bak. Vol. No. Aprl

8 Peyelesaa Persamaa Dfferesal ega Megguaka Polomal Lagrage Ser I ( Dmes 06 Jural Tekk Spl