Pertemuan 5 Alin 2017 Bilqis
|
|
- Iwan Sugiarto
- 5 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Pertemuan 5 Alin 2017 Bilqis Vektor 2 dan 3 Dimensi Dot Product, Ruang n-euclidean bilqis 1
2 TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : Mengetahui definisi Vektor Dimensi 2 dan Vektor Dimensi 3 Dapat menghitung dot product. Dapat menerapkan dot product pada contoh kasus bilqis 2
3 Vektor di Ruang-2 Vektor di Ruang-3 bilqis 3
4 3.1) Vektor -> Pengantar Vektor : Besaran skalar yang mempunyai arah ex : gaya, ke kanan bernilai (+), ke kiri bernilai (-) Secara geometris, B vektor v = AB A disebut titik awal/inisial A v B disebut titik akhir/terminal Arah panah = arah vektor Panjang panah = besar vektor Simbol vektor : v Skalar vektor : v + Vektor : 2 dimensi - * 3 dimensi + - * bilqis 4
5 B v A vektor v = AB A disebut titik awal/inisial B disebut titik akhir/terminal Vektor-vektor ekivalen Dianggap sama Panjang dan arahnya sama bilqis 5
6 Negasi sebuah vektor v v secara geometrik v v Panjang sama, arah berlawanan Penjumlahan dua vektor: w = u + v secara geometrik w u v Selisih dua vektor: w = u v sama dengan w = u + ( v) u v w w v u bilqis 6
7 Penjumlahan dua vektor: w = u + v w v u Cara analitik: Vektor-vektor u, v, w di Ruang-2 atau Ruang-3 Ruang-2: u = (u 1, u 2 ); v = (v 1, v 2 ); w = (w 1, w 2 ) w = (w 1, w 2 ) = (u 1, u 2 ) + (v 1, v 2 ) = (u 1 + v 1, u 2 + v 2 ) w 1 = u 1 + v 1 w 2 = u 2 + v 2 bilqis 7
8 Perkalian vektor dengan skalar (bilangan nyata/real number) w = k v ; k = skalar secara geometrik: v 3v v 2v bilqis 8
9 Perkalian vektor dengan skalar (bilangan nyata/real number) w = k v ; k = skalar Cara analitik: Di Ruang-2: w = kv = (kv 1, kv 2 ) (w 1, w 2 ) = (kv 1, kv 2 ) w 1 = kv 1 w 2 = kv 2 bilqis 9
10 Koordinat Cartesius: P 1 = (x 1, y 1 ) dan P 2 = (x 2, y 2 ) P 1 dapat dianggap sebagai titik dengan koordinat (x 1, y 1 ) atau sebagai vektor OP 1 di Ruang-2 dengan komponen pertama x 1 dan komponen kedua y 1 P 2 dapat dianggap sebagai titik dengan koordinat (x 2, y 2 ) atau sebagai vektor OP 2 di Ruang-2 dengan komponen pertama x 2 dan komponen kedua y 2 Vektor P 1 P 2 = OP 2 OP 1 = (x 2 x 1, y 2 y 1 ) bilqis 10
11 Using Coordinat y v ( v 1, v 2 ) v 1 & v 2 komponen2 v x Mis: v = ( 1, -2 ) & w = ( 7, 6 ) ( + ) v + w = ( 1, -2 ) + ( 7, 6 ) = ( 1 + 7, ) = ( 8, 4 ) ( - ) v w = ( 1, -2 ) - ( 7, 6 ) = ( 1-7, -2-6 ) = ( -6, -8 ) ( * ) 4 v = 4 ( 1, -2 ) = ( 4, -8 ) V - w v w 4v V + w bilqis 11
12 Vektor 3 dimensi z v = ( v 1, v 2, v 3 ) Misal: v = ( 4, 5, 6 ) 6 v 5 y x 4 Mis : v = ( 1, -3, 2 ) w = ( 4, 2, 1 ) ( + ) v + w = ( 5, -1, 3 ) ( - ) v w = ( -3, -5, 1 ) ( * ) 2 v = ( 2, -6, 4 ) P 2 P 1 v v = P 1 P 2 = P 2 - P 1 = ( x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ) bilqis 12
13 Ex 2 hal 124 Example 2: the component of the vector v = P 1 P 2 with the initial point P 1 ( 2, -1, 4 ) And terminal point P 2 ( 7, 5, -8 ) are v = ( 7 2, 5 ( -1 ), ( -8 ) 4 ) = ( 5, 6, -12 ) in 2-space, the vector with initial point P 1 ( x 1, y 1 ) and terminal point P 2 ( x 2, y 2 ) is P 1 P 2 = (x 2 - x 1, y 2 - y 1 ) bilqis 13
14 Translasi sumbu-y sumbu-y y y P (x, y) (x, y ) l (0, 0) (k, l) x sumbu-x (0, 0) k x sumbu-x X = k + x y = l + y x = x k y = y l bilqis 14
15 Translasi sumbu-y l (0, 0) sumbu-y y (0, 0) (k, l) k x P (x, y) (x, y ) sumbu-x x sumbu-x pers.translasi : x = x - k y = y l x = x + k y = y + p Ex: ( k, l ) = ( 4, 1 ), koordinat ( x, y ) titik P ( 2, 0 ). Berapakah koordinat ( x, y )? Jwb : x = x k y = y l = 2 4 = 0-1 = -2 = -1 bilqis 15
16 bilqis 16
17 Ex 3 hal 125 Suppose that an xy-coordinate system translated to obtain an x y - coordinate system whose origin has xy-coordinates ( k, l ) = ( 4, 1) (a) Find the x y -coordinates of the point with the xy-coordinate P ( 2, 0 ) (b) Find the xy-coordinates of the point with the x y -coordinate Q ( -1, 5 ) Solutions (a): the translations equations are x = x 4 y = y 1 So the x y -coordinates of P ( 2, 0 ) are x = 2 4 = - 2 and y = 0 1 = - 1 Solutions (b): the translations equations in (a) can be rewritten as x = x + 4 y = y + 1 So the xy-coordinates of Q are x = = 3 and y = = 6 bilqis 17
18 Contoh soal Carilah vektor yang mempunyai titik awal P ( 2, 3 ) yang mempunyai arah yang sama dengan v = ( 4, 5 ) dari titik P jwb : y y P ( 2, 3 ) v x x v = ( 4, 5 ) dari titik P so, x = 4 y = 5 Maka P( 2, 3 ) dianggap sebagai titik pusat baru. k = 2 dan l = 3. yang kita cari adalah keberadaan vektor v terhadap sumbu koordinat mula-mula ( 0, 0 ) x = k + x y = l + y = = = 6 = 8 Jadi vektor lain yang mempunyai arah yang sama dengan v adalah Q ( 6, 8 ) bilqis 18
19 Aritmatika vektor Norma sebuah vektor bilqis 19
20 Aritmatika vektor di Ruang-2 dan Ruang-3 Teorema : u, v, w vektor-vektor di Ruang-2/Ruang-3 k, l adalah skalar (bilangan real) u+v = v+u (u+v)+w = u+(v+w) u+0 = 0+u = u u+(-u) = (-u)+u = 0 k(lu) = (kl)u k(u+v) = ku + kv (k+l)u = ku + lu 1u = u bilqis 20
21 Bukti teorema : 1. Secara geometrik (digambarkan) 2. Secara analitik (dijabarkan) Bukti secara analitik untuk teorema di Ruang-3 u = (u 1, u 2, u 3 ); v = (v 1, v 2, v 3 ); w = (w 1, w 2, w 3 ) u + v = (u 1, u 2, u 3 ) + (v 1, v 2, v 3 ) u + 0 = (u 1, u 2, u 3 ) + (0, 0, 0) = (u 1 + v 1, u 2 + v 2, u 3 + v 3 ) = (u 1 + 0, u 2 + 0, u 3 + 0) = (v 1 + u 1, v 2 + u 2, v 3 + u 3 ) = (0 + u 1, 0 + u 2, 0 + u 3 ) = v + u = 0 + u = (u 1, u 2, u 3 ) = u bilqis 21
22 k(lu) = k (lu 1, lu 2, lu 3 ) k(u + v) = k((u 1, u 2, u 3 ) + (v 1, v 2, v 3 )) = (klu 1, klu 2, klu 3 ) = k(u 1 + v 1, u 2 + v 2, u 3 + v 3 ) = kl(u 1, u 2, u 3 ) = (ku 1 + kv 1, ku 2 + kv 2, ku 3 + kv 3 ) = klu = (ku 1, ku 2, ku 3 ) + (kv 1, kv 2, kv 3 ) = ku + kv (k + l) u = ((k+l) u 1, (k+l) u 2, (k+l) u 3 ) = (ku 1, ku 2, ku 3 ) + (lu 1, lu 2, lu 3 ) = k(u 1, u 2, u 3 ) + l(u 1, u 2, u 3 ) = ku + lu bilqis 22
23 Norma sebuah vektor: (Untuk sementara norma bisa dianggap sebagai panjang vektor) Ruang-2 : norma vektor u = u = u 12 + u 2 2 Ruang-3 : norma vektor u = u = u 12 + u u 3 2 Vektor Satuan (unit Vector) : suatu vektor dengan norma 1 bilqis 23
24 Jarak antara dua titik: Ruang-2: vektor P 1 P 2 = (x 2 x 1, y 2 y 1 ) jarak antara P 1 (x 1, y 1 ) dan P 2 (x 2, y 2 ) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 Ruang-3: vektor P 1 P 2 = (x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ) jarak antara P 1 (x 1, y 1, z 1 ) dan P 2 (x 2, y 2, z 2 ) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2 bilqis 24
25 Jika u adalah vektor dan k adalah skalar, maka norma ku = k u bilqis 25
26 Vektor bisa dinyatakan secara grafik komponennya) analitik (diuraikan mjd Norma v = panjang vektor v = v = v 1 + v 2 v = P 2 P 1 = ( x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ) d = v = ( x 2 x 1 ) 2 + ( y 2 y 1 ) 2 + ( z 2 z 1 ) 2 Ex: Norma v = ( -3, 2, 1 ) adalah v = ( -3) 2 + ( 2 ) 2 + ( 1 ) 2 = 14 Jarak ( d ) antara titik P 1 ( 2, -1, -5 ) dan P 2 ( 4, -3, 1 ) adalah d = ( 4 2 ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 = 44 = 2 11 bilqis 26
27 Contoh (1): Cari norma dari v = (0, 6, 0) Penyelesaian : v = = 36 = 6 Contoh (2): Anggap v = ( 1, 2, 5). Carilah semua skalar k sehingga norma kv = 4 Penyelesaian : kv = k [( 1) ] = k 30 = 4 k = 4 / 30 k = 4 / 30 bilqis 27
28 Contoh (3): Carilah jarak antara a) P1 = (3, 4) dan P2 = (5, 7) b) P1 = (3, 3, 3) dan P2 = (6, 0, 3) Penyelesaian : a) d = (5 3) 2 + (7 4) 2 = = 13 b) d = (6 3) 2 + (0 3) 2 + (3 3) 2 = = 18 bilqis 28
29 Perkalian titik (Dot Product) bilqis 29
30 3.3) Hasil kali titik : proyeksi Hasil kali titik ( dot product ) atau hasil kali Euclidis ( Euclidis inner product ) u. v = Contoh = example 1 hal 131 u. v. Cos θ If u. v 0 0 if u or v = 0 u. v = u1. v1 + u2. v2 + u3. v3 = u. v. Cos θ Contoh = example 2 hal 133 bilqis 30
31 Ex 1 hal 131 Example I As shown in Figure 2, the angle between the vectors u = (0, 0, 1) and v = (0, 2, 2) is 45. Thus, u. v = u v cos = ( )( ) = 2 2 bilqis 31
32 Ex 2 hal 133 Example 2 Consider the vectors u = (2, -1, 1) and v = (1, 1, 2) Find u.v and determine the angle θ between u and v. Solution u.v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 = (2)(1) + (-1)(1) + (1)(2) = 3 for the given vectors we have u = v = u. v 3 cos = = = u v 6 6 6, so that from (5) 1 2 thus, = 60. bilqis 32
33 Kemungkinan sudut apit antara dua vektor bilqis 33
34 Perkalian titik: u. v = skalar Vektor u dan v di Ruang-2 atau di Ruang-3, dengan sudut apit antara u dan v u. v = u v cos jika u 0 dan v 0 0 jika u = 0 atau v = 0 Catatan: u dan v saling tegak lurus ( = 90 o & cos = 0) u. v = 0 Vektor-vektor yang saling tegak lurus disebut vektor-vektor ortogonal bilqis 34
35 Perkalian titik: u. v = skalar Vektor u dan v di Ruang-2 atau di Ruang-3, dengan sudut apit antara u dan v Catatan: u, v Ruang-2 u = (u 1, u 2 ), v = (v 1, v 2 ) u, v Ruang-3 u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ) Formula lain untuk u. v : Ruang-2: u. v = u 1 v 1 + u 2 v 2 Ruang-3: u. v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 bilqis 35
36 Contoh : 1. Misal u = (1, 2, 3) dan v = ( 2, 1, 3) Maka u.v = = 9 2. Dari soal nomor 1, hitunglah sudut antara u dan v u = 14 dan v = 14 u. v = u v cos = 9 di mana adalah sudut antara u dan v cos = 9 / 14 = arccos (9/14) bilqis 36
37 Teorema : Vektor-vektor u, v, w di Ruang-2 atau di Ruang-3 1. v.v = v 2, atau v = (v.v) 1/2 2. Jika u 0, v 0 dan mengapit sudut, maka lancip u.v 0 tumpul u.v 0 = 90 o u.v = 0 3. u. v = v. u 4. u. (v + w) = u.v + u.w 5. Jika k adalah skalar, maka k(u. v) = (ku). v = u. (kv) 6. v.v 0 jika v 0 dan v. v = 0 jika v = 0 bilqis 37
38 Bukti Teorema : Vektor-vektor u, v di Ruang-2 atau di Ruang-3 1. v.v = v 2, atau v = (v.v) 1/2 Bukti: v. v = v v cos 0 o v. v = v 1 v 1 + v 2 v 2 = v v (1) = v 2 = v 12 + v 2 2 = v 2 = v 2 3. u. v = v. u Bukti: u. v = u v cos = v u cos = v. u bilqis 38
39 Bukti Teorema : Vektor-vektor u, v, w di Ruang-2 atau di Ruang-3 4. u. (v + w) = u.v + u.w Bukti: u. (v + w) = (u 1, u 2, u 3 ). (v 1 +w 1, v 2 +w 2, v 3 +w 3 ) = u 1 (v 1 +w 1 ) + u 2 (v 2 +w 2 ) + u 3 (v 3 +w 3 ) = (u 1 v 1 +u 1 w 1 ) + (u 2 v 2 +u 2 w 2 ) + (u 3 v 3 +u 3 w 3 ) = (u 1 v 1 +u 2 v 2 + u 3 v 3 ) + (u 1 w 1 + u 2 w 2 +u 3 w 3 ) = u.v + u.w 5. Jika k adalah skalar maka k(u. v) = (ku). v = u. (kv) Bukti: k(u. v) = k(u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 ). = (ku 1 v 1 + ku 2 v 2 + ku 3 v 3 ) = (u 1 kv 1 + u 2 kv 2 + u 3 kv 3 ) = (ku 1 )v 1 + (ku 2 )v 2 + (ku 3 )v 3 = u 1 (kv 1 ) + u 2 (kv 2 ) + u 3 (kv 3 ) = (ku). v = u. (kv) bilqis 39
40 Bukti Teorema : Vektor v di Ruang-2 atau di Ruang-3 6. v.v 0 jika v 0 dan v. v = 0 (skalar) jika v = 0 (vektor) Bukti: v 0 = (v 1, v 2, v 3 ) v. v = v 1 v 1 + v 2 v 2 + v 3 v 3 = v 12 + v 22 + v 2 3 karena v i2 selalu > 0 maka v. v > 0 v = 0 = (0, 0, 0) maka v. v = 0 bilqis 40
41 Aplikasi Teorema 3.3.1: Vektor-vektor u, v di Ruang-2 atau di Ruang-3 2. jika u 0, v 0 dan mengapit sudut, maka Contoh : lancip u.v 0 tumpul u.v 0 = 90 o u.v = 0 Jika u = (1, 2, 3), v = ( 3, 4, 2), w = (3, 6, 3) maka u.v = = 5 v.w = = 21 u.w = = 0 Oleh karena itu, u dan v membentuk suatu sudut tumpul v dan w membentuk suatu sudut lancip u dan w saling tegak lurus bilqis 41
42 Proyeksi Ortogonal: w 2 u w 2 u w 1 a a w 1 u w 2 w 1 a w 1 = proyeksi ortogonal dari vektor u pada vektor a = komponen vektor u di sepanjang vektor a w 2 = komponen vektor u ortogonal terhadap vektor a bilqis 42
43 Proyeksi Ortogonal: w 2 u w 1 = proyeksi ortogonal dari vektor u pada vektor a w 2 = komponen vektor u ortogonal terhadap vektor a w 1 a w 1 = ( u. a / a 2 ) a Bukti: w 1 = ( k ) a k = ( u. a / a 2 )? w 2 = u ( u. a / a 2 ) a u = w 1 + w 2 = k a + w 2 u. a = (k a + w 2 ). a = ka. a + w 2. a = k a = k a 2 k = ( u. a ) / a 2 Norm vektor w 1 : w 1 = u. a a / a 2 = u. a / a bilqis 43
44 Contoh Anggap u = (2, 1, 3) dan a = (4, 1, 2). Tentukan : Proyeksi ortogonal vektor u pada vektor a Komponen vektor u yang orthogonal terhadap a Penyelesaian: u. a = = 15 a 2 = 21 maka : w 1 = proy a u = ( u. a / a 2 ) a = (15/21) (4, 1,2) = (20/7, 5/7, 10/7) w 2 = u proy a u = ( 6/7, 2/7, 11/7) bilqis 44
45 Jarak titik P o (x o, y o ) ke garis lurus g : ax + by + c = 0 n Vektor n = (a, b) ortogonal garis g Bukti bahwa n = (a, b) ortogonal garis g Q (x 1, y 1 )* Vektor QR = (x 2 x 1, y 2 y 1 ) R(x 2, y 2 ) * Dengan perkalian titik: n. QR = a(x 2 x 1 ) + b (y 2 y 1 ) R terletak pada garis g, maka: ax 2 + by 2 + c = 0 Q terletak pada garis g, maka: ax 1 + by 1 + c = 0 g : ax + by + c = 0 a(x 2 x 1 ) + b (y 2 y 1 ) + 0 = 0 Jadi, n. QR = a(x 2 x 1 ) + b (y 2 y 1 ) = 0 artinya vektor n ortogonal QR, sehingga vektor n ortogonal garis g (terbukti) bilqis 45
46 Jarak titik P o (x o, y o ) ke garis lurus g : ax + by + c = 0 n Vektor QP o = (x o x 1, y o y 1 ) ( vektor QP o seperti vektor u; Q (x 1, y 1 ) d P o (x o, y o ) vektor n seperti vektor a vektor d seperti vektor w 1 ) jarak dari titik P o ke garis g = d g: ax + by + c = 0 w 1 = u. a / a d = QP o. n / n = (x o x 1, y o y 1 ). (a, b) / (a 2 + b 2 ) = (x o x 1 )a +(y o y 1 )b) / (a 2 + b 2 ) = x o a x 1 a + y o b y 1 b / (a 2 + b 2 ) tetapi Q terletak di g, maka ax 1 + by 1 + c = 0 atau c = ax 1 by 1 Maka d = ax o + by o ax 1 by 1 / (a 2 + b 2 ) d = ax o + by o + c / (a 2 + b 2 ) bilqis 46
47 Contoh (1) : Hitunglah jarak antara titik (1, 2) ke garis 3x + 4y 6 = 0 Penyelesaian : D = 3.1+ (4. Contoh (2) : Hitunglah jarak antara titik (1, 2) ke garis 2 = 4y 2x Penyelesaian : garis diubah menjadi 2x + 4y 2 = ) = = 11 5 ( 2)(1) +(4)( 2) d = = = ( 2) 2 + (4) bilqis 47
48 Ruang-n Euclidean (Euclidean n-space) bilqis 48
49 Review: Bab 3 membahas Ruang-2 dan Ruang-3 Ruang-n : himpunan yang beranggotakan vektorvektor dengan n komponen {, v = (v 1, v 2, v 3, v 4,, v n ),.. } Atribut: arah dan panjang / norma v Aritmatika vektor-vektor di Ruang-n: 1. Penambahan vektor 2. Perkalian vektor dengan skalar 3. Perkalian vektor dengan vektor bilqis 49
50 Norma sebuah vektor: Norma Euclidean (Euclidean norm) di Ruang-n : u = (u 1, u 2, u 3,, u n ) u = u 12 + u u u n 2 d(u,v) = u-v = (u 1 -v 1 ) 2 + (u 2 -v 2 ) 2 + (u 3 -v 3 ) (u n -v n ) 2 bilqis 50
51 Ex. 3 hal 171 Example 3. If u = (1, 3, -2, 7) and v = (0, 7, 2, 2) then in the Euclidean space R ( 1) + (3) + ( 2) + (7) u = = = And ( 1 0) + (3 7) + ( 2 2) + (7 d(u,v) = = 2) 2 58 bilqis 51
52 Contoh: Hitunglah Eucledian norm dari vektor-vektor berikut : (a) x = (3, 4, 0, 12) (b) v = ( 2, 1, 1, 3, 4) (a) x = = 169 = 13 (b) v = = 31 bilqis 52
53 Penambahan vektor: di Ruang-n u = (u 1, u 2, u 3,, u n ); v = (v 1, v 2, v 3,, v n ) w = (w 1, w 2, w 3,, w n ) = u + v w = (u 1, u 2, u 3,, u n ) + (v 1, v 2, v 3,, v n ) w = (u 1 + v 1, u 2 + v 2, u 3 + v 3,, u n + v n ) w 1 = u 1 + v 1 w 2 = u 2 + v 2.. w 2 = u n + v n bilqis 53
54 Negasi suatu vektor: u = (u 1, u 2, u 3,, u n ) u = ( u 1, u 2, u 3,, u n ) Selisih dua vektor: w = u v = u + ( v) = (u 1 v 1, u 2 v 2, u 3 v 3,, u n v n ) Vektor nol: 0 = (0 1, 0 2, 0 3,, 0 n ) bilqis 54
55 Perkalian skalar dengan vektor: w = kv = (kv 1, kv 2, kv 3,, kv n ) (w 1, w 2, w 3,, w n ) = (kv 1, kv 2, kv 3,, kv n ) w 1 = kv 1 w 2 = kv 2.. w n = kv n bilqis 55
56 Perkalian titik: (perkalian Euclidean) u. v = skalar u. v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v u n v n u. v = 0 jika u dan v ortogonal Catatan: perkalian silang hanya di Ruang-3 bilqis 56
57 Ex.1 hal 169 Example 1 The Euclidean inner product of the vectors u = (-1, 3, 5, 7) and v = (5, -4, 7, 0) is R 4 is u.v = (-1)(5)+(3)(-4)+(5)(7)+(7)(0) = 18 bilqis 57
58 Contoh: Hitunglah perkalian Eucledian u. v di mana u = (0, 2, 1, 1) dan v = ( 3, 2, 4, 4) u. v = (0)( 3) + ( 2)(2) + (1)(4) + (1)(4) = 4 bilqis 58
59 Aritmatika vektor di Ruang-n: Teorema : u, v, w vektor-vektor di Ruang-n k, l adalah skalar (bilangan real) u + v = v + u (u + v) + w = u + (v + w) u + 0 = 0 + u = u u + (-u) = (-u) + u = 0 k(lu) = (kl)u k(u + v) = ku + kv (k + l) u = ku + lu 1u = u bilqis 59
60 Teorema 4.1.2: Vektor-vektor u, v, w di Ruang-n; k adalah skalar u. v = v. u u. (v + w) = u.v + u.w k(u. v) = (ku). v = u. (kv) v.v 0 jika v 0 v. v = 0 jika dan hanya jika v = 0 bilqis 60
61 Ex. 2 hal 170 Example 2 Theorem aloows us to perform computation with Euclidean inner products in much the same way that we perform them with ordinary arithmetic products. For Exmple, (3u + 2v).(4u + v) = (3u).(4u + v) + (2v).(4u + v) = (3u).(4u) + (3u).v + (2v).(4u) + (2v).(v) = 12(u.u) + 3(u.v) + 8(v.u) + 2(v.v) = 12(u.u) + 11(u.v) + 2(v.v) The reader should determine which parts of Theorm were used in each step bilqis 61
62 Teorema : u. v u v u 0 u 0 jika dan hanya jika u = 0 ku = k u u + v u + v d(u, v) 0 d(u, v) = 0 jika dan hanya jika u = v d(u, v) = d(v, u) d(u, v) d(u, w) + d(w, v) bilqis 62
63 Fig. 2 hal 173 v kv u + v u (a) (b) v Figure 2 kv = k v u+v u + v bilqis 63
64 Fig. 3 hal 173 w u v d(u,w) d(u,v) + d(v,w) bilqis 64
65 Teorema : u. v = ¼ u + v 2 ¼ u v 2 Teorema Pythagoras jika u ortogonal v u + v 2 = u 2 + v 2 v u + v u bilqis 65
66 Ex. 4 hal 174 Example 4 In the Euclidean space R 2 the vectors u = (-2, 3, 1, 4) and v = (1, 2, 0, -1) are orthogonal, since u.v = (-2)(1) + (3)(2) + (1)(0) + (4)(1) bilqis 66
67 Contoh soal No. 1 bilqis 67
68 bilqis 68
69 Contoh soal No. 2 bilqis 69
70 bilqis 70
71 Contoh soal no. 3 bilqis 71
72 bilqis 72
73 Contoh soal No. 4 bilqis 73
74 bilqis 74
75 Contoh soal No. 5 bilqis 75
76 bilqis 76
77 Tugas Kelompok cari 2 soal dan jawaban di internet yang berhubungan dengan materi ppt ini Tulis alamat internetnya Di kirim ke elearning, terakhir Minggu depan Format subject Alin-B-melati Bentuk ppt informasi nama kelompok + anggota bilqis 77
KS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Vektor di Ruang N TIM KALIN
KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Vektor di Ruang N TIM KALIN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan: Dapat mengetahui definisi dan dapat menghitung perkalian
Lebih terperinciVektor-Vektor. Ruang Berdimensi-2. Ruang Berdimensi-3
Vektor-Vektor dalam Ruang Berdimensi-2 dan Ruang Berdimensi-3 Disusun oleh: Achmad Fachrurozi Albert Martin Sulistio Iffatul Mardhiyah Rifki Kosasih Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciAljabar Linear Elementer Part IV. Oleh : Yeni Susanti
Aljabar Linear Elementer Part IV Vektor di Ruang R 2, R 3 dan R n Oleh : Yeni Susanti Vektor di Ruang R 2, R 3 dan R n Vektor: besaran yang mempunyai besar dan arah. Vektor secara geometris bisa digambarkan
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah ke-9
Aljabar Linier Elementer Kuliah ke-9 Materi kuliah Hasilkali Titik Proyeksi Ortogonal 7/9/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Hasilkali Titik dari Vektor-Vektor Definisi Jika u dan v adalah vektor-vektor
Lebih terperinciMatematika II : Vektor. Dadang Amir Hamzah
Matematika II : Vektor Dadang Amir Hamzah sumber : http://www.whsd.org/uploaded/faculty/tmm/calc front image.jpg 2016 Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 1 / 24 Outline 1 Pendahuluan Dadang
Lebih terperinciAljabar Linier & Matriks
Aljabar Linier & Matriks 1 Vektor Orthogonal Vektor-vektor yang saling tegak lurus juga sering disebut vektor orthogonal. Dua vektor disebut saling tegak lurus jika dan hanya jika hasil perkalian titik-nya
Lebih terperinciAljabar Linier & Matriks
Aljabar Linier & Matriks 1 Pendahuluan Ruang vektor tidak hanya terbatas maksimal 3 dimensi saja 4 dimensi, 5 dimensi, dst ruang n-dimensi Jika n adalah bilangan bulat positif, maka sekuens sebanyak n
Lebih terperincierkalian Silang, Garis & Bidang dalam Dimensi 3
erkalian Silang, Garis & Bidang dalam Dimensi 3 TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : Dapat menghitung perkalian silang dari suatu vektor dan mengetahui
Lebih terperinciOutline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang. Geometri Vektor. Kusbudiono. Jurusan Matematika
Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 1 Vektor dan Garis 2 Koordinat 3 Norma Vektor 4 Hasil Kali Titik dan Proyeksi 5 Hasil Kali Silang Definisi Vektor Definisi Jika AB dan CD ruas garis berarah, keduanya
Lebih terperinciPengantar Vektor. Besaran. Vektor (Mempunyai Arah) Skalar (Tidak mempunyai arah)
Pengantar Vektor Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak
Lebih terperinciALJABAR LINEAR DAN MATRIKS VEKTOR
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS VEKTOR Definisi Vektor Ada dua besaran yaitu: Vektor mempunyai besar dan arah Skalar mempunyai besar A AB B A : titik awal B : titik akhir Notasi vektor biasanya menggunakan
Lebih terperinciALJABAR LINEAR DAN MATRIKS
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS VEKTOR Definisi Vektor Ada dua besaran yaitu: Vektor mempunyai besar dan arah Skalar mempunyai besar A B A : titik awal B : titik akhir Notasi vektor biasanya menggunakan huruf
Lebih terperinciVektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3
Vektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3 Maulana Malik 1 (maulana.malik@sci.ui.ac.id) 1 Departemen Matematika FMIPA UI Kampus Depok UI, Depok 16424 2014/2015 1/21 maulana.malik@sci.ui.ac.id Vektor
Lebih terperinciVektor Ruang 2D dan 3D
Vektor Ruang 2D dan D Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak
Lebih terperinciCHAPTER 6. Ruang Hasil Kali Dalam
CHAPTER 6. Ruang Hasil Kali Dalam Hasil Kali Dalam Sudut dan Ortogonal dalam Ruang Hasil Kali Dalam Orthonormal Bases; Gram-Schmidt Process; QR-Decomposition Best Approximation; Least Squares Orthogonal
Lebih terperinciEuclidean n & Vector Spaces. Matrices & Vector Spaces
Lecture 9 Euclidean n & Vector Spaces Delivered by: Filson Maratur Sidjabat fmsidjabat@president.ac.id Matrices & Vector Spaces #4 th June 05 (90%*score / 0% extra points for HW-Q) Retake Quiz. Compute
Lebih terperinciVektor di Bidang dan di Ruang
Vektor di Bidang dan di Ruang 4.1. Pengertian, notasi,dan operasi pada ektor Vektor merupakan istilah untuk menyatakan besaran yang mempunyai arah. Secara geometris, ektor dinyakan dengan segmen-segmen
Lebih terperinciBAB III RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3. Bab ini membahas pengertian dan operasi vektor-vektor. Selain
BAB III RUANG VEKTOR R DAN R 3 Bab ini membahas pengertian dan operasi ektor-ektor. Selain operasi aljabar dibahas pula operasi hasil kali titik dan hasil kali silang dari ektor-ektor. Tujuan Instruksional
Lebih terperinciDIKTAT ALJABAR LINIER DAN MATRIKS VEKTOR. Penyusun Ir. S. Waniwatining Astuti, M.T.I.
DIKTAT ALJABAR LINIER DAN MATRIKS VEKTOR Penyusun Ir. S. Waniwatining Astuti, M.T.I. SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER GLOBAL INFORMATIKA MDP 24 KATA PENGANTAR Pertama-tama penulis mengucapkan
Lebih terperinci----- Garis dan Bidang di R 2 dan R
----- Garis dan Bidang di R dan R 3 ----- Sifat Operasi Hasil Kali Titik pada Vektor Teorema: Hasil kali titik (dot product) u dan v dapat dinyatakan pula sebagai: A. Pendekatan Geometri: R u v cos ; u,
Lebih terperinciGeometri pada Bidang, Vektor
Prodi Matematika FMIPA Unsyiah September 9, 2011 Melalui pendekatan aljabar, vektor u dinyatakan oleh pasangan berurutan u 1, u 2. Disini digunakan notasi u 1, u 2 bukan (u 1, u 2 ) karena notasi (u 1,
Lebih terperinciGESERAN atau TRANSLASI
GESERAN atau TRANSLASI Makalah ini disusun untuk memenuhi Tugas Geometri Transformasi Dosen Pembimbing : Havid Risyanto, S.Si., M.Sc. D I S U S U N O L E H 1. AMILIA 1111050031 2. HAIRUDIN 1111050153 3.
Lebih terperinciVEKTOR. 45 O x PENDAHULUAN PETA KONSEP. Vektor di R 2. Vektor di R 3. Perkalian Skalar Dua Vektor. Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain
VEKTOR y PENDAHULUAN PETA KONSEP a Vektor di R 2 Vektor di R 3 Perkalian Skalar Dua Vektor o 45 O x Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain Soal-Soal PENDAHULUAN Dalam ilmu pengetahuan kita sering
Lebih terperinciRuang Vektor Euclid R 2 dan R 3
Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3 Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U September 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015
Lebih terperinci19. VEKTOR. 2. Sudut antara dua vektor adalah θ. = a 1 i + a 2 j + a 3 k; a. a =
19. VEKTOR A. Vektor Secara Geometri 1. Ruas garis berarah AB = b a. Sudut antara dua vektor adalah θ 3. Bila AP : PB = m : n, maka: B. Vektor Secara Aljabar a1 1. Komponen dan panjang vektor: a = a =
Lebih terperinciHand-Out Geometri Transformasi. Bab I. Pendahuluan
Hand-Out Geometri Transformasi Bab I. Pendahuluan 1.1 Vektor dalam R 2 Misalkan u = (x 1,y 1 ), v = (x 2,y 2 ) dan w = (x 3,y 3 ) serta k skalar (bilangan real) Definisi 1. : Penjumlahan vektor u + v =
Lebih terperinciJika titik O bertindak sebagai titik pangkal, maka ruas-ruas garis searah mewakili
4.5. RUMUS PERBANDINGAN VEKTOR DAN KOORDINAT A. Pengertian Vektor Posisi dari Suatu Titik Misalnya titik A, B, C Dan D. adalah titik sebarang di bidang atau di ruang. Jika titik O bertindak sebagai titik
Lebih terperinciMatematika Lanjut 1. Sistem Persamaan Linier Transformasi Linier. Matriks Invers. Ruang Vektor Matriks. Determinan. Vektor
Matematika Lanjut 1 Vektor Ruang Vektor Matriks Determinan Matriks Invers Sistem Persamaan Linier Transformasi Linier 1 Dra. D. L. Crispina Pardede, DE. Referensi [1]. Yusuf Yahya, D. Suryadi. H.S., gus
Lebih terperinciDefinisi Jumlah Vektor Jumlah dua buah vektor u dan v diperoleh dari aturan jajaran genjang atau aturan segitiga;
BAB I VEKTOR A. DEFINISI VEKTOR 1). Pada mulanya vektor adalah objek telaah dalam ilmu fisika. Dalam ilmu fisika vektor didefinisikan sebagai sebuah besaran yang mempunyai besar dan arah seperti gaya,
Lebih terperincia menunjukkan jumlah satuan skala relatif terhadap nol pada sumbu X Gambar 1
1. Koordinat Cartesius Sistem koordinat Cartesius terdiri dari dua garis yang saling tegak lurus yang disebut sumbu Sumbu horizontal disebut sumbu X dan sumbu vertikal disebut sumbu Y Tiap sumbu mempunyai
Lebih terperinciAljabar Linear. & Matriks. Evangs Mailoa. Pert. 7-8
Aljabar Linear & Matriks Pert. 7-8 Evangs Mailoa Yang dipelajari hari ini: Aritmatika Vektor Konsep Geometrik Titik, Garis dan Bidang Perkalian Titik Euclidean Vector Spaces I There are two major topics
Lebih terperinci8.1 Transformasi Linier Umum. Bukan lagi transformasi R n R m, tetapi transformasi linier dari
8.1 Transformasi Linier Umum Bukan lagi transformasi R n R m, tetapi transformasi linier dari ruang vektor V vektor W. Definisi Jika T: V W adalah suatu fungsi dari suatu ruang vektor V ke ruang vektor
Lebih terperincia11 a12 x1 b1 Definisi Vektor di R 2 dan R 3
a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Definisi Vektor di R 2 dan R 3 a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Pendahuluan Notasi dan Pengertian Dasar Skalar, suatu konstanta yang dituliskan dalam huruf kecil Vektor,
Lebih terperinciVEKTOR. Oleh : Musayyanah, S.ST, MT
VEKTOR Oleh : Musayyanah, S.ST, MT 1 2.1 ESRN SKLR DN VEKTOR Sifat besaran fisis : esaran Skalar Skalar Vektor esaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan).
Lebih terperinciChapter 5 GENERAL VECTOR SPACE 5.1. REAL VECTOR SPACES 5.2. SUB SPACES
Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE 5.1. REAL VECTOR SPACES 5.2. SUB SPACES Definisi : VECTOR SPACE Jika V adalah ruang vektor dimana u,v,w merupakan objek dalam V sebagai vektor, dan terdapat skalar k dan
Lebih terperinciBESARAN VEKTOR. Gb. 1.1 Vektor dan vektor
BAB 1 BESARAN VEKTOR Tujuan Pembelajaran 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahkan vektor secara grafis dan dengan vektor komponen 3. Melakukan
Lebih terperinciRuang R n Euclides. Pengertian. Sifat-sifat Operasi Penjumlahan dan Perkalian dengan Skalar
Ruang R n Euclides Pengertian Sebuah vektor di R n, dinyatakan oleh n bilangan terurut, yaitu u=(u 1, u 2,..., u n ) Vektor nol: yaitu vektor yang semua entri-nya nol, misalkan o=(0, 0,..., 0) Dua vektor
Lebih terperinci18. VEKTOR. 2. Sudut antara dua vektor adalah. a = a 1 i + a 2 j + a 3 k; a = 2. Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor dengan bilangan real:
8. VEKTOR A. Vektor Secara Geometri. Ruas garis berarah AB = b a. Sudut antara dua vektor adalah. Bila AP : PB = m : n, maka: B. Vektor Secara Aljabar a. Komponen dan panjang vektor: a = a a a = a = a
Lebih terperinciMATRIKS & TRANSFORMASI LINIER
MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI 082334051324 Daftar Referensi : 1. Kreyzig Erwin, Advance Engineering Mathematic, Edisi ke-7, John wiley,1993 2. Spiegel, Murray R, Advanced
Lebih terperinciBAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG
BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG 1. KOORDINAT CARTESIUS DALAM RUANG DIMENSI TIGA SISTEM TANGAN KANAN SISTEM TANGAN KIRI RUMUS JARAK,,,, 16 Contoh : Carilah jarak antara titik,, dan,,. Solusi :, Persamaan
Lebih terperinciVektor. Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan.
Vektor Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan. Skalar hanya memiliki besaran saja, contoh : temperatur,
Lebih terperinciVEKTOR. maka a c a c b d b d. , maka panjang (besar/nilai) vector u ditentukan dengan rumus. maka panjang vector
VEKTOR Bab a. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor. OA a ; OB b maka OA AB OB AB OB OA AB b a a u b dan c v d maka a c a c u v b d b d Contoh : Tentukan nilai x dan y dari x y + y = 8 Jawab : x + 8 + y =
Lebih terperinciDIKTAT MATA KULIAH ALJABAR LINEAR ELEMENTER (BAGIAN II) DISUSUN OLEH ABDUL JABAR, M.Pd
DIKTAT MATA KULIAH ALJABAR LINEAR ELEMENTER (BAGIAN II) DISUSUN OLEH ABDUL JABAR, M.Pd JURUSAN/PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA STKIP PGRI BANJARMASIN MARET MUQADIMAH Alhamdulillah penyusun ucapkan
Lebih terperinciBAB 1 BESARAN VEKTOR. A. Representasi Besaran Vektor
BAB 1 BESARAN VEKTOR TUJUAN PEMBELAJARAN 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahan vektor secara grafis dan matematis 3. Melakukan perkalian vektor
Lebih terperinci01-Pengenalan Vektor. Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal Anny2011 1
01-Pengenalan Vektor Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal 2011-2012 Anny2011 1 Agenda Bagian 1: Vektor dan Kombinasi Linier Bagian 2: Panjang Vektor dan Perkalian Titik (Dot Products) Bagian 3: Matriks
Lebih terperinciVEKTOR. Besaran skalar (scalar quantities) : besaran yang hanya mempunyai nilai saja. Contoh: jarak, luas, isi dan waktu.
VEKTOR Kata vektor berasal dari bahasa Latin yang berarti "pembawa" (carrier), yang ada hubungannya dengan "pergeseran" (diplacement). Vektor biasanya digunakan untuk menggambarkan perpindahan suatu partikel
Lebih terperinciCHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE
CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE Inner Prodcts Angle and Orthogonality in Inner Prodct Spaces Orthonormal Bases; Gram-Schmidt Process; QR-Decomposition Best Approximation; Least Sqares Orthogonal Matrices;
Lebih terperinciAljabar Linear dan Matriks (Persamaan Linear dan Vektor) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.
Aljabar Linear dan Matriks (Persamaan Linear dan Vektor) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs. . Matriks dan Sistem Persamaan Linear Definisi Persamaan dalam variabel dan y dapat ditulis dalam
Lebih terperinciLatihan 5: Inner Product Space
Latihan 5: Inner Product Space Diketahui vektor u v w ϵ R di mana u = v = Hitunglah : a b c d e f Diketahui vektor u v ϵ R di mana u = dan v = Carilah
Lebih terperinciKONSTRUKSI PERSAMAAN GARIS LURUS MELALUI ANALISIS VEKTORIS DALAM RUANG BERDIMENSI DUA
Prosiding Seminar Nasional Volume 02, Nomor 1 ISSN 2443-1109 KONSTRUKSI PERSAMAAN GARIS LURUS MELALUI ANALISIS VEKTORIS DALAM RUANG BERDIMENSI DUA Rio Fabrika Pasandaran 1, Patmaniar 2 Universitas Cokroaminoto
Lebih terperinciMATEMATIKA. Sesi VEKTOR 2 CONTOH SOAL A. DEFINISI PERKALIAN TITIK
MATEMATIKA KELAS XII IPA - KURIKULUM GABUNGAN Sesi NGAN VEKTOR A. DEFINISI PERKALIAN TITIK Misal a a a a dan b b b b dua vektor di R. Perkalian titik dari a dan b, dinotasikan a badalah a b ab + ab + ab
Lebih terperinciAnalisis Vektor. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY
Analisis Vektor Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY Analisis Vektor Analisis vektor meliputi bidang matematika dan fisika sekaligus dalam pembahasannya Skalar dan Vektor Skalar Skalar ialah
Lebih terperinciBESARAN SKALAR DAN VEKTOR. Besaran Skalar. Besaran Vektor. Sifat besaran fisis : Skalar Vektor
PERTEMUAN II VEKTOR BESARAN SKALAR DAN VEKTOR Sifat besaran fisis : Skalar Vektor Besaran Skalar Besaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan). Contoh : waktu,
Lebih terperinciDiferensial Vektor. (Pertemuan III) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan III) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Perkalian Titik Perkalian titik dari dua buah vektor A dan B pada bidang dinyatakan
Lebih terperinciBab 1 : Skalar dan Vektor
Bab 1 : Skalar dan Vektor 1.1 Skalar dan Vektor Istilah skalar mengacu pada kuantitas yang nilainya dapat diwakili oleh bilangan real tunggal (positif atau negatif). x, y dan z kita gunakan dalam aljabar
Lebih terperinciVEKTOR. Notasi Vektor. Panjang Vektor. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor (,, ) (,, ) di atas dapat dinyatakan dengan: Matriks = Maka = =
VEKTOR Notasi Vektor (,, ) (,, ) Vektor atau Matriks Maka di atas dapat dinyatakan dengan: Kombinasi linear vektor basis maka; ( ) + ( ) + ( ) + + (,, ) Panjang Vektor Misalkan + + (,, ), maka panjang
Lebih terperinciBAB 6 RUANG HASIL KALI DALAM. Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT.
BAB 6 RUANG HASIL KALI DALAM Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT. KERANGKA PEMBAHASAN 1. Hasil Kali Dalam 2. Sudut dan Keortogonalan pada Ruang Hasil Kali Dalam 3.Basis Ortogonal, Proses Gram-Schmidt 4.Perubahan
Lebih terperinciBAB 1 Vektor. Fisika. Tim Dosen Fisika 1, Ganjil 2016/2017 Program Studi S1 - Teknik Telekomunikasi Fakultas Teknik Elektro - Universitas Telkom
A 1 Vektor Fisika Tim Dosen Fisika 1, Ganjil 2016/2017 Program Studi S1 - Teknik Telekomunikasi Fakultas Teknik Elektro - Universitas Telkom Sub Pokok ahasan Definisi Vektor Penjumlahan Vektor Vektor Satuan
Lebih terperinciMAKALAH RUANG VEKTOR UMUM
MAKALAH RUANG VEKTOR UMUM Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Aljabar Linier Dosen Pengampu : Darmadi, S.Si, M.Pd Disusun oleh Kelompok II: Mujiati 08411.192 Puji Astuti 08411.226 Siti Nur Aminah
Lebih terperinciDIKTAT MATEMATIKA II
DIKTT MTEMTIK II (VEKTOR) Drs.. NN PURNWN, M.T JURUSN PENDIDIKN TEKNIK MESIN FKULTS PENDIDIKN TEKNOLOGI DN KEJURUN UNIVERSITS PENDIDIKN INDONESI 004 VEKTOR I. PENDHULUN 1.1. PENGERTIN Sepotong garis berarah
Lebih terperinciRudi Susanto, M.Si VEKTOR
Rudi Susanto, M.Si VEKTOR ESRN SKLR DN VEKTOR esaran Skalar esaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan). Contoh Catatan : waktu, suhu, volume, laju, energi
Lebih terperinciRuang Vektor Euclid R n
Ruang Vektor Euclid R n Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Oktober 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 1 / 38 Acknowledgements
Lebih terperinciVEKTOR II. Tujuan Pembelajaran
Kurikulum 03 Kelas X matematika PEMINATAN VEKTOR II Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami tentang pembagian vektor.. Memahami tentang
Lebih terperinciVEKTOR. Gambar 1.1 Gambar 1.2 Gambar 1.3. Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si.
VEKTOR 1 A. Definisi vektor Beberapa besaran Fisika dapat dinyatakan dengan sebuah bilangan dan sebuah satuan untuk menyatakan nilai besaran tersebut. Misal, massa, waktu, suhu, dan lain lain. Namun, ada
Lebih terperinciRANGKUMAN MATERI VEKTOR Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Matematika Sekolah Dosen Pembina: Dr. Tatag Yuli Eko Siswono, M.Pd.
RANGKUMAN MATERI VEKTOR Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Matematika Sekolah Dosen Pembina: Dr. Tatag Yuli Eko Siswono, M.Pd. Universitas Negeri Surabaya Oleh Abdul Hayyih (147785010) Kelas D PROGRAM
Lebih terperinciIKIP BUDI UTOMO MALANG. Analytic Geometry TEXT BOOK. Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
IKIP BUDI UTOMO MALANG Analytic Geometry TEXT BOOK Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd 2012 DAFTAR ISI 1 VEKTOR 1.1 Vektor Pada Bidang... 4 1.2 Vektor Pada Ruang... 6 1.3 Operasi Vektor.. 8 1.4 Perkalian
Lebih terperinciALJABAR LINEAR (Vektor diruang 2 dan 3) Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.
ALJABAR LINEAR (Vektor dirang 2 dan 3) Dissn Untk Memenhi Tgas Mata Kliah Aljabar Linear Dosen Pembimbing: Abdl Aziz Saefdin, M.Pd Dissn Oleh : Kelompok 3/3A4 1. Nrl Istiqomah 14144100130 2. Ambar Retno
Lebih terperinciGeometri dalam Ruang, Vektor
Prodi Matematika FMIPA Unsyiah July 11, 2011 Koordinat Cartesius: Tiga garis koordinat yang saling tegak lurus (sumbu x, sumbu y dan sumbvu z); Titik nol ketiga garis berada pada titik O yang sama yang
Lebih terperinciPENGAJARAN HASIL KALI TITIK DAN HASIL KALI SILANG PADA VEKTOR SERTA BEBERAPA PENGEMBANGANNYA. Suwandi 1.
PENGAJARAN HASIL KALI TITIK DAN HASIL KALI SILANG PADA VEKTOR Suwandi 1 1 Mahasiswa Pasca Sarjana Matematika FMIPA Universitas Riau e-mail: suwandiwandi2323@gmail.com ABSTRACT Dot product and cross product
Lebih terperincifi5080-by-khbasar BAB 1 Analisa Vektor 1.1 Notasi dan Deskripsi
BB 1 nalisa Vektor Vektor, dibedakan dari skalar, adalah suatu besaran yang memiliki besar dan arah. rtinya untuk mendeskripsikan suatu besaran vektor secara lengkap perlu disampaikan informasi tentang
Lebih terperinci9.1. Skalar dan Vektor
ANALISIS VEKTOR 9.1. Skalar dan Vektor Skalar Satuan yang ditentukan oleh besaran Contoh: panjang, voltase, temperatur Vektor Satuan yang ditentukan oleh besaran dan arah Contoh: gaya, velocity Vektor
Lebih terperinciVEKTOR 2 SMA SANTA ANGELA. A. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Dilambangkan dengan :
1 SMA SANTA ANGELA VEKTOR A. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Dilambangkan dengan : A B Keterangan : Titik A disebut titik Pangkal Titik B disebut titik Ujung Dinotasikan
Lebih terperinciKEDUDUKAN DUA GARIS LURUS, SUDUT DAN JARAK
1 KEGIATAN BELAJAR 4 KEDUDUKAN DUA GARIS LURUS, SUDUT DAN JARAK Setelah mempelajari kegiatan belajar 4 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan kedudukan dua garis lurus di bidang dan di ruang 2.
Lebih terperinciArahnya diwakili oleh sudut yang dibentuk oleh A dengan ketigas umbu koordinat,
VEKTOR Dalam mempelajari fisika kita selalu berhubungan dengan besaran, yaitu sesuatu yang dapat diukur dan dioperasikan. da besaran yang cukup dinyatakan dengan nilai (harga magnitude) dan satuannya saja,
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
5 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks Matriks (matrix) adalah jajaran empat persegi panjang dan bilanganbilangan. Bilangan-bilangan dalam jajaran tersebut disebut entri dari matriks. Berikut ini beberapa
Lebih terperinciYang dibahas : Ortogonal Basis ortogonal Ortonormal Matrik ortogonal Komplemen ortogonal Proyeksi ortogonal Faktorisasi QR
Ortogonal Yang dibahas : Ortogonal Basis ortogonal Ortonormal Matrik ortogonal Komplemen ortogonal Proyeksi ortogonal Faktorisasi QR Ortogonal Himpunan vektor {v, v,.., v k } dalam R n disebut himpunan
Lebih terperinciMODUL 2 GARIS LURUS. Mesin Antrian Bank
1 MODUL 2 GARIS LURUS Gambar 4. 4 Mesin Antrian Bank Persamaan garis lurus sangat berperan penting terhadap kemajuan teknologi sekarang ini. Bagi programmer handal, banyak aplikasi yang membutuhkan persamaan
Lebih terperinciL mba b ng n g d a d n n n o n t o asi Ve V ktor
ANALISIS VEKTOR Vektor dan Skalar Macam-macam macam kuantitas dalam fisika seperti: temperatur, volume, dan kelajuan dapat ditentukan dengan angka riil (nyata). Kuantitas seperti disebut dengan skalar.
Lebih terperinciInterpretasi Geometri Dari Sebuah Determinan
Jurnal Sains Matematika dan Statistika Vol No Juli 5 ISSN 46-454 Interpretasi Geometri Dari Sebuah Determinan Riska Yeni Syamsudhuha M D H Gamal 3 Jurusan Matematika Fakultas Mipa Universitas Riau Jl HR
Lebih terperinciPENGANTAR KALKULUS PEUBAH BANYAK. 1. Pengertian Vektor pada Bidang Datar
PENGANTAR KALKULUS PEUBAH BANYAK ERIDANI 1. Pengertian Vektor pada Bidang Datar Misalkan R menyatakan sistem bilangan real, yaitu himpunan bilangan real yang dilengkapi dengan empat operasi baku (tambah,
Lebih terperinciBab 1 Vektor. A. Pendahuluan
Bab 1 Vektor A. Pendahuluan Dalam mata kuliah Listrik Magnet A, maupun mata kuliah Listrik Magnet B sebagaii lanjutannya, penyajian konsep dan pemecahan masalah akan banyak memerlukan pengetahuan tentang
Lebih terperinciVEKTOR. Matematika Industri I
VEKTOR Pokok Bahasan Pendahuluan: Kuantitas skalar dan vektor Representasi vektor Komponen-komponen vektor yang diketahui Vektor dalam ruang Kosinus arah Hasilkali skalar dari dua vektor Hasilkali vektor
Lebih terperinciRUANG VEKTOR. Nurdinintya Athari (NDT)
1 RUANG VEKTOR Nurdinintya Athari (NDT) RUANG VEKTOR Sub Pokok Bahasan Ruang Vektor Umum Subruang Basis dan Dimensi Basis Subruang Beberapa Aplikasi Ruang Vektor Beberapa metode optimasi Sistem kontrol
Lebih terperinciVEKTOR Matematika Industri I
VEKTOR TIP FTP UB Pokok Bahasan Pendahuluan: Kuantitas skalar dan vektor Representasi vektor Komponen-komponen vektor yang diketahui Vektor dalam ruang Kosinus arah Hasilkali skalar dari dua vektor Hasilkali
Lebih terperinciInternational Program on Science Education. Faculty of Mathematics and Sciences Education Indonesia University of Education
VECTOR ANALYSIS International Program on Science Education Faculty of Mathematics and Sciences Education Indonesia University of Education Vectors and Scalars A vector is a quantity having both magnitude
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Sebelum pembahasan mengenai irisan bidang datar dengan tabung lingkaran tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut. A. Matriks Matriks adalah himpunan skalar (bilangan
Lebih terperincidengan vektor tersebut, namun nilai skalarnya satu. Artinya
1. Pendahuluan Penggunaan besaran vektor dalam kehidupan sehari-hari sangat penting mengingat aplikasi besaran vektor yang luas. Mulai dari prinsip gaya, hingga bidang teknik dalam memahami konsep medan
Lebih terperinciSoal No. 1 Perhatikan gambar berikut, PQ adalah sebuah vektor dengan titik pangkal P dan titik ujung Q
Soal No. 1 Perhatikan gambar berikut, PQ adalah sebuah vektor dengan titik pangkal P dan titik ujung Q a) Nyatakan PQ dalam bentuk vektor kolom b) Nyatakan PQ dalam bentuk i, j (vektor satuan) c) Tentukan
Lebih terperinciBAB 4 RUANG VEKTOR EUCLID. Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT.
BAB 4 RUANG VEKTOR EUCLID Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT. KERANGKA PEMBAHASAN 1. Ruang n Euclid 2. Transformasi Linier dari R n dan R m 3. Sifat-sifat Transformasi Linier 4.1 RUANG N EUCLID Jika di bab
Lebih terperinciPerkalian Titik dan Silang
PERKALIAN TITIK DAN SILANG Materi pokok pertemuan ke 3: 1. Perkalian titik URAIAN MATERI Perkalian Titik Perkalian titik dari dua buah vektor dan dinyatakan oleh (baca: titik ). Untuk lebih jelas, berikut
Lebih terperinciProgram Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
VEKTOR DAN SKALAR Materi pokok pertemuan ke I: 1. Vektor dan skalar 2. Komponen vektor 3. Operasi dasar aljabar vektor URAIAN MATERI Masih ingatkah Anda tentang vektor? Apa beda vektor dengan skalar? Ya,
Lebih terperinciVII III II VIII HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK
HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK A. Sistem Koordinat Tegak Lurus Suatu sistem koordinat tegak lurus disebut juga dengan sistem koordinat cartesian. Di dalam ruang, terdapat tiga buah garis lurus
Lebih terperinciBAB II BESARAN VEKTOR
BAB II BESARAN VEKTOR.1. Besaran Skalar Dan Vektor Dalam fisika, besaran dapat dibedakan menjadi dua kelompok yaitu besaran skalar dan besaran vektor. Besaran skalar adalah besaran yang dinyatakan dengan
Lebih terperinciPROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO
PERANGKAT PEMBELAJARAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER 2 KODE : MKK414515 DOSEN PENGAMPU : Annisa Prima Exacta, M.Pd. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS
Lebih terperinciPengantar Teknologi dan Aplikasi Elektromagnetik. Dr. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY
Pengantar Teknologi dan Aplikasi Elektromagnetik Dr. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY Kelistrikan dan Kemagnetan Tanpa listrik dan magnet, maka dalam kehidupan jaman sekarang: tanpa motor
Lebih terperinciALJABAR LINEAR DAN MATRIKS. MODUL 9 Vektor dalam Ruang Euklidian
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS MODUL 9 Vektor dalam Ruang Euklidian Zuhair Jurusan Teknik Informatika Universitas Mercu Buana Jakarta 2007 年 12 月 16 日 ( 日 ) Vektor dalam Ruang Euklidian Sebelum kita menginjak
Lebih terperinciSelain besaran pokok dan turunan, besaran fisika masih dapat dibagi atas dua kelompok lain yaitu besaran skalar dan besaran vektor
Selain besaran pokok dan turunan, besaran fisika masih dapat dibagi atas dua kelompok lain yaitu besaran skalar dan besaran vektor Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai saja. Contoh :
Lebih terperinciKAJIAN TEORI PENYELESAIAN MASALAH JARAK DAN SUDUT PADA BANGUN RUANG DIMENSI TIGA MENGGUNAKAN PENDEKATAN VEKTOR
KAJIAN TEORI PENYELESAIAN MASALAH JARAK DAN SUDUT PADA BANGUN RUANG DIMENSI TIGA MENGGUNAKAN PENDEKATAN VEKTOR Andi Pujo Rahadi FKIP Universitas Advent Indonesia Abstrak Materi utama dalam bab Geometri
Lebih terperinciFISIKA UNTUK UNIVERSITAS OLEH
FISIKA UNTUK UNIVERSITAS OLEH BAB I VEKTOR Pendahuluan B esaran adalah segala sesuatu yang dapat diukur dan dinyatakan dalam bentuk angkaangka. Besaran fisika dapat dibagi menjadi besaran pokok dan besaran
Lebih terperinciTransformasi Datum dan Koordinat
Transformasi Datum dan Koordinat Sistem Transformasi Koordinat RG091521 Lecture 6 Semester 1, 2013 Jurusan Pendahuluan Hubungan antara satu sistem koordinat dengan sistem lainnya diformulasikan dalam bentuk
Lebih terperinci