a11 a12 x1 b1 Definisi Vektor di R 2 dan R 3
|
|
- Budi Sumadi
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 a11 a12 x1 b1 a a x b Definisi Vektor di R 2 dan R 3 a11 a12 x1 b1 a a x b
2 Pendahuluan Notasi dan Pengertian Dasar Skalar, suatu konstanta yang dituliskan dalam huruf kecil Vektor, simbol atau variabelnya juga akan dituliskan menggunakan huruf kecil (akan berbeda dengan skalar sesuai konteksnya): cetak tebal (bold) bila menggunakan topi (tanda caping, ^) di atasnya atau cetak biasa bila menggunakan tanda panah di atasnya. Vektor satuan, adalah suatu vektor yang ternormalisasi, yang berarti panjangnya bernilai 1 (satu satuan). Umumnya dituliskan dengan menggunakan topi (bahasa Inggris: hat), sehingga: û dibaca "u-topi" ('u-hat').
3 Teori Ruang Vektor (#1) Ruang vektor adalah struktur matematika yang dibentuk oleh sekumpulan vektor, yaitu objek yang dapat dijumlahkan dan dikalikan dengan suatu skalar. Ruang vektor merupakan subjek yang harus dipahami dengan baik dalam aljabar linier, terutama karena ruang vektor yang dicirikan oleh dimensinya spesifikasi banyaknya arah independen dalam ruang. Teori ruang vektor juga dikembangkan dengan memperkenalkan struktur tambahan, seperti norma atau hasilkali dalam. Ruang seperti ini muncul dengan alamiah dalam analisis matematika, dalam bentuk ruang fungsi berdimensi takhingga, dengan vektornya adalah fungsi.
4 Teori Ruang Vektor (#2) Skalar umumnya bilangan riil, tapi perumusan ruang vektor dapat juga berupa perkalian skalar dengan bilangan kompleks, bilangan rasional, atau bahkan medan. Operasi penjumlahan dan perkalian vektor harus memenuhi persyaratan tertentu aksioma. Contoh ruang vektor adalah vektor Euklides yang sering digunakan untuk melambangkan besaran fisika seperti gaya. Dua gaya dengan jenis sama dapat dijumlahkan untuk menghasilkan gaya ketiga, dan perkalian vektor gaya dengan bilangan riil menghasilkan vektor gaya lain. Vektor yang melambangkan perpindahan pada bidang atau pada ruang tiga dimensi juga membentuk ruang vektor.
5 Sifat dan Aplikasi Ruang Vektor Ruang vektor sudah banyak diterapkan di seluruh bidang: matematika, sains dan rekayasa. Ruang vektor merupakan konsep aljabar linear yang sesuai untuk penyelesaian sistem persamaan linear (SPL), sebagai kerangka kerja untuk deret Fourier (untuk pemampatan citra), atau untuk dapat digunakan dalam teknik solusi persamaan diferensial parsial (PDP). Lebih jauh lagi, ruang vektor menyajikan cara abstrak dan bebas koordinat untuk penganan objek geometris dan fisis seperti tensor. Dua buah vektor dikatakan sama apabila keduanya memiliki panjang dan arah yang sama Dua buah vektor disebut sejajar (paralel) apabila garis yang merepresentasikan keduanya adalah sejajar.
6 Resultan Penjumlahan dan Dilatasi dalam Ruang Vektor Penjumlahan vektor dan perkalian skalar: Sebuah vektor v (biru) ditambahkan ke vektor lain w (merah). v w Resultan = v+w Berikut ini, w diregangkan (dilatasi) dengan faktor 2, menghasilkan jumlah v + 2 w. Resultan = v+2 w v 2 w
7 Beberapa Notasi dan Pengertian Vektor Secara umum, suatu vektor merupakan vektor kolom, v v v v v namun jika ingin menuliskan vektor baris: k,1 k,2 kn, T v b,1 b,2 b, n v v v maka diberi indeks-atas yang menyatakan simbol transpos (x T ) Jika Jika diperlukan, dimensi vektor dan atau vektor dapat dituliskan dalam indeks-bawah (u mxn, y nx1, dlsb)
8 Notasi Matriks (Ulangan) Matrik, dalam matematika dan fisika, adalah kumpulan bilangan, simbol, atau ekspresi (ungkapan), berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat di dalam suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks. Matriks, simbolnya dituliskan dalam huruf besar (kapital). Contoh matriks dengan 2 baris dan 3 kolom (2 x 3) yaitu: M A a a a a a a 1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 3,3
9 Skalar [#1] Konsep skalar dipakai dalam ilmu matematika dan fisika serta ilmu teknik sebagai terapannya. Konsep yang dipakai dalam ilmu fisika dan teknik adalah versi yang lebih konkret (aplikatif yang nyata) dibandingkan yang ada dalam matematika. Dalam ilmu matematika (mathematics), arti skalar bergantung pada konteksnya; kata ini dapat berkaitan dengan bilangan nyata atau bilangan kompleks atau bilangan rasional. Secara umum, ketika vektor ruang dalam medan F dipelajari, maka F disebut medan skalar. Dalam aljabar matriks, skalar didefinisikan sebagai matriks berordo 1 1 dan memiliki sifat-sifat seperti bilangan belaka. Dalam ilmu fisika (physics), skalar adalah kuantitas yang dapat dijelaskan dengan suatu angka (baik tanpa dimensi, atau dalam suatu kuantitas fisika). Berbeda dengan vektor, kuantitas skalar mempunyai besar (magnitude), tetapi tidak mempunyai arah. Secara lebih formal, suatu skalar adalah besaran yang tidak berubah dalam rotasi koordinat (atau transformasi Lorentz, untuk relativitas).
10 Skalar [#2] Bila kita mengukur suatu besaran fisika, maka kita akan dapatkan suatu angka, nilai atau kumpulan angka-angka dan susunan tertentu. Contoh: jika kita mengukur massa, jarak, waktu, muatan listrik, suhu (temperatur), volume, usaha, kerja, kecepatan, energi, densitas, dsb, maka akan didapatkan besaran sebagai skalar. Beberapa skalar dapat diperbandingkan bila mereka memiliki satuan yang sama. Misalnya, kita dapat membandingkan variabel-variabel kecepatan yang memiliki satuan km/jam (atau bahkan m s -1 ), namun kita tak dapat membandingkan suatu variabel kecepatan dengan densitas, densitas dengan viskositas dan seterusnya.
11 Skalar dan Larik ( Array) (Array Suatu barisan atau runtunan (sequence) skalar dalam order tertentu disebut juga suatu larik (array). Sebagai contoh, bila pengukuran kita lakukan dalam 1 hari penuh dan mencatatnya dalam sekuens (urutan yang teratur) maka akan kita dapatkan suatu larik pengukuran (array of a mesurements) Suatu larik dari larik yang disusun berdasarkan nilai-nila skalar seperti di atas sehingga membentuk tabel berbentuk persegi panjang, maka tabel yang terbentuk dinamakan juga suatu matriks. Sebagai contoh, bila pengukuran seperti di atas kita lanjutakan sampai beberapa hari berbeda dan setiap harinya kita lakukan sejumlah pengukuran yang sama seperti hari-hari sebelumnya, sehingga kita dapat menyusunnya sebagai sebuat tabel persegi-empat, maka tabel tersebut dinamakan matriks. Suatu matriks terdiri atas m baris dan n kolom.
12 Produk Skalar (#1) Konsep produk skalar (scalar dot product) berkaitan dengan operasi 2 buah vektor yang dapat dijelaskan sbb: Bila vektor u u u u dan v maka,,, n 1 2 v1, v2,, v n, produk skalar dari kedua vektor di atas didefinisikan sebagai v1 v T uv uv u, u,, u u v 1 2 n 2 n i i i1 di mana Σ melambangkan notasi penjumlahan (summation notation) dan n adalah dimensi ruang vektor. v n
13 Produk Skalar (#2) Misalnya, dalam ruang tiga dimensi, produk skalar dari vektor-vektor: adalah u 1, 3, 5 dan v 4, 2, 1 uv 4 T uv 1, 3, (14) (32) ( 51) 3 Hal produk skalar seperti di atas akan dibahas lebih jauh dan komprehensif dalam pembahasan vektor selanjutnya.
14 Vektor: Definisi dan Konsep Vektor dalam ilmu matematika dan fisika didefinisikan sebagai suatu obyek geometri yang memiliki besar dan arah dalam ruang. Vektor, jika digambarkan dalam ruang, dilambangkan dengan tanda panah ( ). Besar vektor proporsional dengan panjang panah dan arahnya bertepatan dengan arah panah. Vektor dapat melambangkan perpindahan dari titik A ke B. Vektor sering ditandai sebagai AB Vektor memiliki peran yang sangat penting dalam ilmu fisika, yaitu dalam perhitungan dan penentuan: posisi, medan listrik, kecepatan dan percepatan (dari suatu obyek yang bergerak), serta gaya.
15 Vektor secara Geometris (#1) Vektor sebagai panah dapat ditranslasikan sepanjang garis lintasan vektor tersebut (disebut garis aplikasi) dan dapat dipindahkan (digeser) sejajar dengan garis aplikasi tersebut dan vektor dapat juga diaplikasikan ke setiap titik ruang sepanjang besarnya (magnitude) dan arahnya tidak berubah.
16 Vektor secara Geometris (#2) Setiap VEKTOR dinyatakan secara geometris sebagai segmen garis berarah pada bidang (R 2 ) atau ruang (R 3 ), dengan notasi garis berpanah. Ekor panah garis tersebut merupakan titik awal vektor, sedangkan ujung panah sebagai titik akhir (ujung atau pucuk) vektor tersebut (Gambar [a]) Vektor-vektor yang memiliki panjang dan arah yang sama dinamakan ekivalen (Gambar [b]) B B A a AB [a] A [b]
17 Vektor sebagai titik Ketika vektor direpresentasikan sebagai titik di dalam ruang, kita juga dapat memandangnya bahwa vektor tersebut sebagai panah yang dimulai dari awal suatu sistem koordinat yang mengarah (menuju) ke titik tersebut. Karena sistem koordinatnya tidak berubah, maka kita hanya perlu untuk menggambarkan titik-titik jalurnya tanpa panah. Menggunakan vektor sebagai titik, akan mewakilkan nilai multidimensi hanya sebagai satu titik dalam ruang multidimensi. Hal ini sangat menyderhanakan.
18 Vektor secara Aljabar Misalkan u (û atau kadang ditulis u ) merupakan suatu vektor di 2 R uˆ u,u, dimana u,u R Misalkan pula bahwa ˆv (atau v ) merupakan suatu vektor di 3 R v v,v,v 1 2 3, dimana v,v,v R komponen u, Maka: dalam hal seperti di atas: u,u 1 2 disebut sedangkan v,v,v disebut komponen Dua buah vektor dikatakan ekivalen jika dan hanya jika besar dan arahnya sama atau dengan kata lain: komponen yang bersesuaian sama Contoh: Diketahui u u,u dan q q,q u w u w dan u w v
19 Vektor Posisi Vektor posisi adalah vektor yang berpangkal pada titik asal ordinat y A= x y 1, 1 OA = 1 1 vektor posisi titik x, y, A a O x
20 Vektor dan Larik (Array( Array) Tidak seperti larik (array) biasa, vektor adalah sesuatu yang khusus yang dapat kita bisa dilihat dalam sudut pandang yang berbeda, baik dalam pengertian aljabar atau pun geometris. Secara aljabar, sebuah vektor adalah hanyalah sebuah larik yang beranggotakan elemen-elemen skalar. Dari sudut pandang komputasi (aplikasi pemrograman komputer), suatu vektor direpresentasikan sebagai larik 2-dimensi, sementara larik biasa direpresentasikan sebagai larik 1-dimensi, seperti telah dibahas di atas. Secara geometris, vektor direpresentasikan sebagai panah atau titik dalam ruang.
21 Vektor: Contoh dan Perbandingan Contoh dari vektor dalam ilmu fisika, adalah: perpindahan (displacement), kecepatan, percepatan, gaya, momentum, medan listrik, dll. Dua buah vektor (atau lebih) dapat diperbandingkan jika mereka memiliki satuan fisik dan dimensi geometrik yang sama. Sebagai contoh, suatu gaya 2-dimensi dapat bandingkan dengan gaya 2-dimensi yang lain, tetapi suatu gaya 2- dimensi tak dapat dibandingkan dengan gaya lain yang 3- dimensi. Demikian pula, kita tak dapat membandingkan suatu gaya dengan kecepatan karena keduanya tidak memiliki satuan fisik yang sama.
22 Vektor: Ukuran dan Panjang Jumlah total elemen (anggota) himpunan dalam suatu vektor disebut juga sebagai dimensi atau ukuran dari vektor. Karena vektor dapat memiliki sejumlah n elemen, maka ruang di mana vektor tersebut berada disebut sebagai ruang multidimensi dengan dimensi n. Ukuran (magnitude) suatu vektor disebut juga sebagai panjang vektor, atau norma suatu vektor. Arah suatu vektor dalam ruang diukur (secara relatif) dengan vektor sejenis lainnya (yaitu: standard basis vector), direpresentasikan oleh sudut cosinus yang terbentuk di antara kedua vektor tersebut. y v cos 0x 0v 0 φ x
23 Vektor Satuan (Unit( Vector) Vektor satuan (unit vector) adalah suatu vektor dengan panjang "satu satuan" digunakan untuk menunjukkan arah. Seperti sebelumnya, suatu vektor satuan dapat diindikasikan dengan sebuah "topi" di atas huruf "a" kecil sebagaimana â. Vektor satuan dari sebuah vektor dapat juga dihitung dengan cara sbb: a a ˆ ˆ a ˆ a ˆ a a a a a i j k
24 Normalisasi Vektor (Vector( Normalizing ) Vektor satuan (unit vector) adalah suatu vektor dengan panjang "satu satuan" digunakan untuk menunjukkan arah. Normalisasi (normalizing) vektor: suatu vektor dengan panjang sembarang dibagi oleh panjangnya untuk mendapatkan vektor satuan. Untuk normalisasi vektor a = [a 1, a 2, a 3 ], bagilah vektor tersebut dengan panjangnya a, sehingga: a a1 a2 a3 aˆ e e e a a a a Normalisasi suatu vektor a menjadi vektor satuan â:
25 Menentukan Panjang Vektor Menentukan panjang sebuah vektor dalam ruang euklidian 3-dimensi, digunakan cara berikut: a e e e a ai aj ak sebagai konsekuensi logis dari Teorema Pythagoras, karena pada dasarnya e 1, e 2, e 3 merupakan vektorvektor satuan yang saling tegak-lurus (ortogonal). Persamaan di atas, sebenarnya identik dengan akar pangkat dua dari produk titik (dot product) dari vektor itu sendiri: a aˆa ˆ a a
26 Vektor Nol (Null( Vector) Vektor nol (null vector atau zero vector) adalah suatu vektor yang panjangnya nol". Penulisan dalam koordinat vektor ini adalah (0,0,0), dan biasanya diberi lambang 0, atau 0. Vektor nol tidak dapat dinormalisasi (tak ada vektor satuan sebagai kelipatan vektor nol). Jumlah vektor nol dengan vektor sembarang a adalah a (artinya: 0 + a = a).
27 Aksioma Operasi Vektor Ruang Suatu ruang vektor adalah kumpulan vektor V, bersama-sama dengan dua operasi, yaitu penjumlahan vektor dan perkalian skalar, yang memenuhi aksiomaaksioma berikut: Aksioma dan Definisi Sifat asosiatif penjumlahan Sifat komutatif penjumlahan Elemen identitas penjumlahan Elemen invers penjumlahan Sifat distributif perkalian skalar terhadap penjumlahan vektor Sifat distributif perkalian skalar terhadap penjumlahan medan Kesesuaian perkalian skalar dengan perkalian medan Elemen identitas pada perkalian skalar u + (v + w) = (u + v) + w v + w = w + v Pernyataan (Ungkapan) Terdapat elemen 0 V, dinamakan sebagai vektor nol, sedemikian sehingga v + 0 = v untuk semua v V Untuk semua v V, terdapat elemen w V, dinamakan sebagai invers penjumlahan v, sedemikan sehingga v + w = 0. Invers penjumlahan ini dilambangkan sebagai v a(v + w) = av + aw (a + b)v = av + bv a(bv) = (ab)v Aksioma ini tidak menyatakan sifat asosiatif operasi, karena ada dua operasi dalam hal ini, perkalian skalar: bv; dan perkalian medan: ab 1v = v, dengan 1 melambangkan entitas perkalian dalam F
28 Operasi-operasi Vektor: [#01]. Penjumlahan Vektor Hanya vektor-vektor yang berukuran (jumlah elemen) dan berbentuk (kolom atau baris) sama dapat dijumlahkan atau dikurangkan a ; b 3 ; c ; d 1 5 ; e Jika: maka a b tidak dapat hasil b c tidak dapat hasil a c tidak dapat hasil b d tidak dapat hasil a d tidak dapat hasil b e tidak dapat hasil a e tidak dapat hasil c d tidak dapat hasil c e diperoleh hasil d e tidak dapat hasil
29 Operasi-operasi Vektor: [#02]. Perkalian Vektor dengan Skalar Semua jenis vektor, yang berukuran (jumlah elemen) atau berbentuk (kolom atau baris) apapun dapat dikalikan dengan suatu vektor (konstanta). 4 2 a ; b 3 ; c 3 1 Jika: maka r 3 a s 1 t 5 b c
30 Operasi-operasi Vektor: [#03a]. Transpos Vektor Operator transpos (transpose) mengindikasikan atau menyatakan pertukaran posisi atau perubahan tempat antara baris dengan kolom dan sebaliknya. Misalnya: jika u adalah T suatu vektor kolom, maka vektor barisnya dinyatakan sebagai u a 3 1 ; b 3 ; c Jika: maka T a 3 1 T b T c
31 Operasi-operasi Vektor: [#03b]. Sifat-sifat Transpos Vektor Operator transpos (transpose) mengindikasikan atau menyatakan pertukaran posisi atau perubahan tempat antara baris dengan kolom dan sebaliknya. Misalnya: jika u adalah suatu vektor kolom, maka vektor barisnya T dinyatakan sebagai u. Jika: Suatu operasi transpos merupakan "involusi" (self-inverse) Operasi transpos mengikuti operasi penjumlahan atau pengurangan
32 SOAL - Latihan Diketahui dua vektor berikut ini: P 2i 4j 3k R 6i 2j k Selesaikanlah hasil-hasil operasi vektor seperti di bawah ini: (a). P R (b). P x R
33
34 a11 a12 x1 b1 a a x b Operasi Vektor dan Hasil Kali Vektor a11 a12 x1 b1 a a x b
35 Aritmetika Vektor (Review #1) u P Q v u v w u v w R w S Perhatikan! Vektor u v w dan u v w adalah sama!
36 Aritmetika Vektor (Review #2) u Q v R w P S Perhatikan! u v w Vektor dan u v w adalah sama
37 Norma suatu Vektor (Review #1) Jika =, v v v adalah vektor di R (ruang dimensi 2), maka "norma" (panjang) vektor v ditulis v didefinisikan sebagai (ingat rumus phytagoras!): 2 2 v = v + v 1 2 Di w = w, w, w 3 R (ruang dimensi 3), jika vektor maka norma dari vektor w tersebut adalah: w = w + w + w 1 2 3
38 Norma suatu Vektor (Review #2) Jika = x, y, z dan =,, P P x y z adalah 2 3 titik di R (ruang dimensi 3), maka jarak d di antara kedua titik tersebut adalah norma vektor P P 1 2, karena: P P = x x, y y, z z Maka, jarak d dapat dihitung sebagi berikut: d P P 1 2 = x x y y z z
39 Norma suatu Vektor (Review #3) Jarak dari titik = x, y, z ke = x, y, z P PP adalah norma vektor 1 2 z P , yang digambarkan: P 2 = x 2, y 2, z 2 P 1 = x 1, y 1, z 1 y x Suatu vektor bernorma 1 (satu), disebut vektor satuan
40 Resultan Penjumlahan Dua Buah Vektor Penjumlahan dua buah vektor: perhatikan di bawah ini, vektor v (biru) ditambahkan ke vektor w (merah), ilustrasinya adalah: Resultan = r v v r r w w Jika r adalah hasil penjumlahan (= resultan) dua buah vektor, maka: r v w w v cos( )
41 Hal PENTING yang perlu diketahui Jika dua buah vektor F 1 dan F 2 dengan besar nilai yang sama dan keduanya membentuk sudut 120º, maka resultan kedua vektor tersebut besarnya sama dengan besar salah satu vektornya. Perhatikan ilustrasi gambar di bawah ini: F 1 F 1 R F F º 60º 60º F 2 F 2
42 (Ulangan #1) Operasi Penjumlahan Vektor di R 2 2 Penjumlahan di R (bidang atau ruang 2 dimensi): 2 Jika ada 2 buah vektor di R, masing-masing adalah p x, y r x, y, maka hasil penjumlahan 1 1 keduanya adalah: dan 2 2 p r x x, y y Secara geometri dapat digambarkan sbb: y p r = x +x, y +y p = x1, y1 r = x2, y2 x
43 (Ulangan #2) Operasi Penjumlahan Vektor di R 3 Penjumlahan di 3 R (ruang 3 dimensi): Jika ada 2 buah vektor di R 3, masing- u x, y, z v x, y, z, masing dan maka hasil penjumlahan keduanya adalah: u v x x, y y, z z
44 (Ulangan #3) Operasi Perkalian Vektor dengan Skalar Perkalian Vektor dengan SKALAR: u x, y Definisi: 1 1 adalah sembarang vektor di 2 R (ruang 2 dimensi) dan k adalah bilangan riil (nyata) tak nol (berupa SKALAR), maka hasil kali k u didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali panjang u dan arahnya sama seperti arah u jika k 0 dan berlawanan arah jika k 0.
45 Operasi Hasil Kali Titik pada Vektor Perkalian dot Vektor: Hasil kali titik (dot product) merupakan operasi perkalian antara dua buah vektor yang akan menghasilkan skalar. Misal a dan b adalah vektor-vektor pada ruang yang sama, maka hasil kali titik dari dua vektor tersebut didefinisikan: ab= ab<0 ab>0 ab=0 a b cos ; a, b0 0; a= 0 atau b 0 sudut tumpul sudut lancip ortogonal
46 Operasi Hasil Kali Silang pada Vektor Perkalian cross Vektor: Hasil kali silang (cross product) merupakan perkalian antara dua vektor yang akan menghasilkan suatu vektor baru Definisi: Jika u u, u, u R 3 dan v v, v, v adalah vektor-vektor dalam (ruang dimensi 3), maka perkalian silang u v akan menghasilkan vektor yang didefinisikan sebagai: uv uv uv, uvuv, uv u v u u u u u u,, v v v v v v
47 Sifat-sifat Operasi Hasil Kali Silang pada Vektor Sifat hasil kali silang yang penting, antara lain: 1. uuv 0 2. vuv uv u v uv 2 2 u v u v cos u v u v cos u v 1 cos u v sin
48 CONTOH #1: Perkalian dot dan cross Diketahui dua vektor berikut ini (Howard Anton, 188 & 201): u 0i 0 j k 0,0,1 v 0i 2 j 2k 0,2,2 Sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 2, sudut antara vektor u dan v adalah 45º (= 4 ), selesaikanlah hasil-hasil operasi vektor seperti di bawah ini: (a). (b). uv u v
49 Pembahasan: CONTOH #1 (Perkalian dot dan cross ) Lihat juga di Howard Anton, halaman 188 dan 201!!! (a). uv 0i 0j 1k0i 2j 2k 0i 0i 0i 2j 0i 2k 0j 0i 0j 2j 0j 2k 1k0i 1k2j 1k2k 0ii 0i j 0ik 0 ji 0 j j 0 jk 0ki 2k j 2kk (b). uv 0i 0j 1k0i 2j 2k 0i0i 0i2j 0i2k 0j0i 0j2j 0j2k 1k0i 1k2j 1k2k 0ii 0i j 0ik 0ji 0j j 0jk 0ki 2k j 2kk i 0 6i 0j 0k 6,0,0
50 CONTOH #2: Perkalian dot dan cross Diketahui dua vektor berikut ini: p 2i 4j 3k r 6i 2j k Selesaikanlah hasil-hasil operasi vektor seperti di bawah ini: (a). (b). pr pr
51 Pembahasan: CONTOH #2 (Perkalian dot dan cross ) Pelajari!!! (a). pr 2i 4j 3k6i 2j k 2i6i 2i2j 2 i( k) 4j i 4j 2j 4 j ( k) 3k6i 3k2j 3 k( k) 12ii 4i j 2ik 24 ji 8 j j 4 jk 18ki 6k j 3kk (b). pr 2i 4j 3k6i 2j k 2i6i 2i2j 2 i( k) 4ji 4j2j 4 j( k) 3k6i 3k2j 3 k( k) 12ii 4i j 2ik 24ji 8j j 4jk 18ki 6k j 3kk 0 4k 2j 24k 0 4i 18j 6i 0 2i 20j 28k
52 Metode Penjumlahan Dua Buah Vektor (#1) Aturan Jajaran Genjang: Metode jajaran-genjang adalah metode penentuan vektor resultan dengan memodifikasi titik himpit dan arah vektor, seperti di bawah ini: Jika dua buah vektor dengan pangkal berimpit digambarkan sebagai dua sisi yang berdekatan dari sebuah bangun jajaran-genjang, maka jumlah kedua vektor tersebut adalah sama dengan vektor diagonal yang pangkalnya sama dengan pangkal kedua vektor yang berhimpit tadi. Dua vektor (vektor a dan Vektor b ) sebelumnya terpisah, kemudian kita himpitkan pangkalnya sedemikian rupa sehingga keduanya membentuk sudut dan masingmasing vektor menjadi sisi-sisi yang berdekatan dari sebuah jajaran genjang.
53 Metode Penjumlahan Dua Buah Vektor (#2) Aturan Jajaran Genjang: Melalui aturan jajaran-genjang seperti di atas, resultan dua buah vektor dapat dicari dengan rumus seperti di bawah ini: r 2 2 a b a b 2 cos( ) a OA ; b OA ; r OR Berlaku juga "aturan sinus" pada segitiga untuk menentukan sudut-sudut resultan, sebagai berikut: a b r sin sin sin 1 2
54 Metode Penjumlahan Dua Buah Vektor (#3) Aturan Sinus: Dari "aturan sinus" seperti dijelaskan sebelumnya, a b r sin sin sin 1 2 asalnya adalah dapat diilustrasikan sebagai berikut:
55 Metode Penjumlahan Dua Buah Vektor (#4) Aturan Segitiga: Aturan segi-tiga ini mirip dengan aturan jajaran genjang. Penjumlahan atau selisih dua buah vektor dapat dicari menggunakan metode segitiga dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Pangkal dari vektor Kedua diletakkan pada ujung vektor pertama 2. Resultan hasil penjumlahan digambarkan mulai dari pangkal vektor pertama ke ujung vektor kedua.
56 Metode Penjumlahan Dua Buah Vektor (#5) Rumus Aturan Segitiga: Melalui aturan segi-tiga seperti di atas, resultan dua buah vektor dapat dicari dengan rumus seperti di bawah ini: 2 2 r A B 2AB cos( ) Di sini, berlaku juga "aturan sinus" pada segitiga untuk penentuan sudut-sudut resultan: A B R sin sin sin
57 Metode Penjumlahan Dua Buah Vektor (#6) Metode Vektor Komponen (Penguraian Vektor): Alternatif lain menentukan resultan vektor dapat dilakukan dengan menguraikan setiap vektor ke dalam komponen-komponen x dan y -nya.
58 Metode Penjumlahan Dua Buah Vektor (#6) Contoh Metode Vektor Komponen Sebuah vektor dengan panjang 20 satuan dan membentuk sudut 60º dengan sumbu x, maka cara menguraikannya adalah sbb: F y Fx Fcos( ) 20 0,5 10 F F y sin( 3 ) F Fy Fsin( ) 20 0, Resultan vektor: F F F 2 2 x y F F x cos( ) F x Sudut apit: Fy arctan Fx
59 Perluasan Vektor: Operasi Perluasan Vektor Jika diketahui u u, u, u u dan v 3 R, maka: uv u v u v u v dan v v, v, v dengan Atau, jika u u u u dan v v v v dengan u dan v,,, n n R, maka: 1 2 uv u v u v u v n n,,, n 1 2 dan uu u u u u u u u n n 2
60 Proyeksi Ortogonal (Pemisahan Komponen Vektor) Secara geometri, proyeksi ortogonal suatu vektor terhadap vektor lain (di ruang yang sama) dapat diilustrasikan sebagai berikut: w 2 a w Proy a 1 b a w 1 w 2 w 1 = proyeksi ortogonal a pada b w = komponen a yang tegak-lurus pada b 2 b
61 Proyeksi Ortogonal (Pemisahan Komponen Vektor) Jika diketahui terdapat w1 k b, k suatu konstanta, maka: a w1 w2 k b w2 a b kb w 2 b kbb w2 b ingat: w 2 b 2 a b ab k b k 2 b Sehingga diperoleh a b a b w1 2 b dan w 2 a 2 b b b Panjang proyeksinya a b w1 b
62 SOAL - Latihan Soal No. 1 Diberikan dua buah vektor gaya yang sama, masing-masing sebesar 10 N (Newton) dan keduanya saling membentuk sudut 60º seperti pada gambar berikut ini: F 1 60º F 2 Tentukanlah nilai resultan dari kedua vektor tersebut! Pembahasan Resultan untuk dua buah vektor yang diketahui sudutnya adalah: R F F 2F F cos cos(60 ) Newton 2
63 Soal No. 2 SOAL - Latihan Dua buah vektor kecepatan u dan v, masing-masing besarnya 20 m s -1 dan 40 m s -1 membentuk sudut 60º seperti gambar berikut: u v 60º Tentukanlah selisih dari kedua vektor di atas! Pembahasan Selisih dari dua buah vektor dengan sudut 60º seperti di atas adalah: v v 2 v cos(60) 2 2 u u u (0,5) 1200 m s 20 3 m s 1 1
64 SOAL - Latihan Soal No. 3 Dua buah vektor gaya, masing-masing besarnya 8 N dan 4 N, saling mengapit dengan sudut 2 3 (120º). Tentukanlah besar resultan kedua vektor tersebut! Pembahasan F F N 4 N 2 membentuk sudut (120 ) 3 Resultan dari dua buah vektor tersebut dengan sudut 2 3, adalah: F F1 2cos( ) 3 F F F F ( 0,5) m s 4 3 ms 1 1 Catatan: cos cos
65 SOAL - Latihan Soal No. 4 Perhatikan gambar di bawah ini: F 1 F 2 Jika satu kotak mewakili 10 Newton, tentukanlah resultan dari kedua vektor F 1 dan F 2 tersebut!
66 SOAL - Latihan Pembahasan Dari gambar seperti di atas, untuk mencari resultan gaya-gaya yang bekerja pada sumbu-x dan sumbu-y, langkah-langkahnya adalah sebagai berikut: yang pertama, perhatikanlah kotak dari masing-masing vektor F 1 (sumbux: 30 N ke kanan dan sumbu-y: 40 N ke atas) dan F 2 (sumbu-x: 50 N ke kanan dan sumbu-y: 20 N ke atas), kemudian, hitunglah jumlah gaya-gaya yang bekerja pada arah sumbu-x dan sumbu-y, sebagai berikut: F F x y Newton Newton terakhir, hitung resultan keduanya dengan menggunakan rumus di bawah ini, dengan memperhatikan sudut 90 : R F F 2 2 x y Newton
67
BESARAN VEKTOR. Gb. 1.1 Vektor dan vektor
BAB 1 BESARAN VEKTOR Tujuan Pembelajaran 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahkan vektor secara grafis dan dengan vektor komponen 3. Melakukan
Lebih terperinciBAB 1 BESARAN VEKTOR. A. Representasi Besaran Vektor
BAB 1 BESARAN VEKTOR TUJUAN PEMBELAJARAN 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahan vektor secara grafis dan matematis 3. Melakukan perkalian vektor
Lebih terperinciVEKTOR. Gambar 1.1 Gambar 1.2 Gambar 1.3. Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si.
VEKTOR 1 A. Definisi vektor Beberapa besaran Fisika dapat dinyatakan dengan sebuah bilangan dan sebuah satuan untuk menyatakan nilai besaran tersebut. Misal, massa, waktu, suhu, dan lain lain. Namun, ada
Lebih terperinciBESARAN SKALAR DAN VEKTOR. Besaran Skalar. Besaran Vektor. Sifat besaran fisis : Skalar Vektor
PERTEMUAN II VEKTOR BESARAN SKALAR DAN VEKTOR Sifat besaran fisis : Skalar Vektor Besaran Skalar Besaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan). Contoh : waktu,
Lebih terperinciMatematika II : Vektor. Dadang Amir Hamzah
Matematika II : Vektor Dadang Amir Hamzah sumber : http://www.whsd.org/uploaded/faculty/tmm/calc front image.jpg 2016 Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 1 / 24 Outline 1 Pendahuluan Dadang
Lebih terperinciRuang Vektor Euclid R 2 dan R 3
Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3 Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U September 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015
Lebih terperinciMATRIKS & TRANSFORMASI LINIER
MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI 082334051324 Daftar Referensi : 1. Kreyzig Erwin, Advance Engineering Mathematic, Edisi ke-7, John wiley,1993 2. Spiegel, Murray R, Advanced
Lebih terperinciPengantar Vektor. Besaran. Vektor (Mempunyai Arah) Skalar (Tidak mempunyai arah)
Pengantar Vektor Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak
Lebih terperinci----- Garis dan Bidang di R 2 dan R
----- Garis dan Bidang di R dan R 3 ----- Sifat Operasi Hasil Kali Titik pada Vektor Teorema: Hasil kali titik (dot product) u dan v dapat dinyatakan pula sebagai: A. Pendekatan Geometri: R u v cos ; u,
Lebih terperinciArahnya diwakili oleh sudut yang dibentuk oleh A dengan ketigas umbu koordinat,
VEKTOR Dalam mempelajari fisika kita selalu berhubungan dengan besaran, yaitu sesuatu yang dapat diukur dan dioperasikan. da besaran yang cukup dinyatakan dengan nilai (harga magnitude) dan satuannya saja,
Lebih terperinciL mba b ng n g d a d n n n o n t o asi Ve V ktor
ANALISIS VEKTOR Vektor dan Skalar Macam-macam macam kuantitas dalam fisika seperti: temperatur, volume, dan kelajuan dapat ditentukan dengan angka riil (nyata). Kuantitas seperti disebut dengan skalar.
Lebih terperinciBAB II BESARAN VEKTOR
BAB II BESARAN VEKTOR.1. Besaran Skalar Dan Vektor Dalam fisika, besaran dapat dibedakan menjadi dua kelompok yaitu besaran skalar dan besaran vektor. Besaran skalar adalah besaran yang dinyatakan dengan
Lebih terperinciSelain besaran pokok dan turunan, besaran fisika masih dapat dibagi atas dua kelompok lain yaitu besaran skalar dan besaran vektor
Selain besaran pokok dan turunan, besaran fisika masih dapat dibagi atas dua kelompok lain yaitu besaran skalar dan besaran vektor Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai saja. Contoh :
Lebih terperinciL mba b ng n g d a d n n n o n t o asi Ve V ktor
ANALISIS VEKTOR Vektor dan Skalar Macam-macammacam kuantitas dalam fisika seperti: temperatur, volume, dan kelajuan dapat ditentukan dengan angka riil (nyata). Kuantitas seperti itu disebut dengan skalar.
Lebih terperinciBAB II V E K T O R. Untuk menyatakan arah vektor diperlukan sistem koordinat.
.. esaran Vektor Dan Skalar II V E K T O R da beberapa besaran fisis yang cukup hanya dinyatakan dengan suatu angka dan satuan yang menyatakan besarnya saja. da juga besaran fisis yang tidak cukup hanya
Lebih terperincifi5080-by-khbasar BAB 1 Analisa Vektor 1.1 Notasi dan Deskripsi
BB 1 nalisa Vektor Vektor, dibedakan dari skalar, adalah suatu besaran yang memiliki besar dan arah. rtinya untuk mendeskripsikan suatu besaran vektor secara lengkap perlu disampaikan informasi tentang
Lebih terperinciGeometri pada Bidang, Vektor
Jurusan Matematika FMIPA Unsyiah September 9, 2011 Secara geometrik, vektor pada bidang dapat digambarkan sebagai ruas garis berarah (anak panah). Panjang dari anak panah merepresentasikan besaran (magnitude)
Lebih terperinciVektor. Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan.
Vektor Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan. Skalar hanya memiliki besaran saja, contoh : temperatur,
Lebih terperinciVEKTOR. 45 O x PENDAHULUAN PETA KONSEP. Vektor di R 2. Vektor di R 3. Perkalian Skalar Dua Vektor. Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain
VEKTOR y PENDAHULUAN PETA KONSEP a Vektor di R 2 Vektor di R 3 Perkalian Skalar Dua Vektor o 45 O x Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain Soal-Soal PENDAHULUAN Dalam ilmu pengetahuan kita sering
Lebih terperinciVektor di Bidang dan di Ruang
Vektor di Bidang dan di Ruang 4.1. Pengertian, notasi,dan operasi pada ektor Vektor merupakan istilah untuk menyatakan besaran yang mempunyai arah. Secara geometris, ektor dinyakan dengan segmen-segmen
Lebih terperincia11 a12 x1 b1 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Tahun Ajaran 2016/2016: Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA.
a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Tahun Ajaran 2016/2016: Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA. a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Setijo Bismo
Lebih terperinciBAB 1 Vektor. Fisika. Tim Dosen Fisika 1, Ganjil 2016/2017 Program Studi S1 - Teknik Telekomunikasi Fakultas Teknik Elektro - Universitas Telkom
A 1 Vektor Fisika Tim Dosen Fisika 1, Ganjil 2016/2017 Program Studi S1 - Teknik Telekomunikasi Fakultas Teknik Elektro - Universitas Telkom Sub Pokok ahasan Definisi Vektor Penjumlahan Vektor Vektor Satuan
Lebih terperinciVEKTOR A. Vektor Vektor B. Penjumlahan Vektor R = A + B
Amran Shidik MATERI FISIKA KELAS X 11/13/2016 VEKTOR A. Vektor Vektor adalah jenis besaran yang mempunyai nilai dan arah. Besaran yang termasuk besaran vektor antara lain perpindahan, gaya, kecepatan,
Lebih terperinciBab 1 : Skalar dan Vektor
Bab 1 : Skalar dan Vektor 1.1 Skalar dan Vektor Istilah skalar mengacu pada kuantitas yang nilainya dapat diwakili oleh bilangan real tunggal (positif atau negatif). x, y dan z kita gunakan dalam aljabar
Lebih terperinciVEKTOR. Oleh : Musayyanah, S.ST, MT
VEKTOR Oleh : Musayyanah, S.ST, MT 1 2.1 ESRN SKLR DN VEKTOR Sifat besaran fisis : esaran Skalar Skalar Vektor esaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan).
Lebih terperinciHasil Kali Titik, Hasil Kali Silang, dan Hasil Kali Tripel
BAB II HASIL KALI TITIK DAN SILANG A. HASIL KALI TITIK ATAU SKALAR Hasil kali titik atau skalar dari dua buah vektor A dan B yang dinyatakan oleh A B (dibaca A titik B ) didefinisikan sebagai hasil kali
Lebih terperinciVektor Ruang 2D dan 3D
Vektor Ruang 2D dan D Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak
Lebih terperinciMatematika Lanjut 1. Sistem Persamaan Linier Transformasi Linier. Matriks Invers. Ruang Vektor Matriks. Determinan. Vektor
Matematika Lanjut 1 Vektor Ruang Vektor Matriks Determinan Matriks Invers Sistem Persamaan Linier Transformasi Linier 1 Dra. D. L. Crispina Pardede, DE. Referensi [1]. Yusuf Yahya, D. Suryadi. H.S., gus
Lebih terperinciBAB III RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3. Bab ini membahas pengertian dan operasi vektor-vektor. Selain
BAB III RUANG VEKTOR R DAN R 3 Bab ini membahas pengertian dan operasi ektor-ektor. Selain operasi aljabar dibahas pula operasi hasil kali titik dan hasil kali silang dari ektor-ektor. Tujuan Instruksional
Lebih terperinciDefinisi Jumlah Vektor Jumlah dua buah vektor u dan v diperoleh dari aturan jajaran genjang atau aturan segitiga;
BAB I VEKTOR A. DEFINISI VEKTOR 1). Pada mulanya vektor adalah objek telaah dalam ilmu fisika. Dalam ilmu fisika vektor didefinisikan sebagai sebuah besaran yang mempunyai besar dan arah seperti gaya,
Lebih terperinciBAB 2 ANALISIS VEKTOR
BAB ANALISIS VEKTOR A. Tujuan Umum Mahasiswa memahami pengertian vektor, operasi vektor, penjumlahan, pengurangan, perkalian dan kaedah aljabar vektor. B. Tujuan Khusus Mahasiswa dapat memahami konsep
Lebih terperincidengan vektor tersebut, namun nilai skalarnya satu. Artinya
1. Pendahuluan Penggunaan besaran vektor dalam kehidupan sehari-hari sangat penting mengingat aplikasi besaran vektor yang luas. Mulai dari prinsip gaya, hingga bidang teknik dalam memahami konsep medan
Lebih terperinciFISIKA UNTUK UNIVERSITAS OLEH
FISIKA UNTUK UNIVERSITAS OLEH BAB I VEKTOR Pendahuluan B esaran adalah segala sesuatu yang dapat diukur dan dinyatakan dalam bentuk angkaangka. Besaran fisika dapat dibagi menjadi besaran pokok dan besaran
Lebih terperinciVektor-Vektor. Ruang Berdimensi-2. Ruang Berdimensi-3
Vektor-Vektor dalam Ruang Berdimensi-2 dan Ruang Berdimensi-3 Disusun oleh: Achmad Fachrurozi Albert Martin Sulistio Iffatul Mardhiyah Rifki Kosasih Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciMATRIKS A = ; B = ; C = ; D = ( 5 )
MATRIKS A. DEFINISI MATRIKS Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segi empat dari suatu unsur-unsur pada beberapa sistem aljabar. Unsur-unsur tersebut bisa berupa bilangan dan juga suatu peubah.
Lebih terperinciA x pada sumbu x dan. Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com. 2. Vektor. 2.1 Representasi grafis sebuah vektor
. Vektor.1 Representasi grafis sebuah vektor erdasarkan nilai dan arah, besaran dibagi menjadi dua bagian aitu besaran skalar dan besaran vektor. esaran skalar adalah besaran ang memiliki nilai dan tidak
Lebih terperinciMATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI
MATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI SAP (1) Buku : Suryadi H.S. 1991, Pengantar Aljabar dan Geometri analitik Vektor Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor Susunan
Lebih terperinciBESARAN, SATUAN & DIMENSI
BESARAN, SATUAN & DIMENSI Defenisi Apakah yang dimaksud dengan besaran? Besaran : segala sesuatu yang dapat diukur dan dinyatakan dengan angka (kuantitatif). Apakah yang dimaksud dengan satuan? Satuan
Lebih terperinciVEKTOR. Makalah ini ditujukkan untuk Memenuhi Tugas. Disusun Oleh : PRODI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN
VEKTOR Makalah ini ditujukkan untuk Memenuhi Tugas Disusun Oleh : 1. Chrisnaldo noel (12110024) 2. Maria Luciana (12110014) 3. Rahmat Fatoni (121100) PRODI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. A. Tinjauan Pustaka. 1. Vektor
BAB II LANDASAN TEORI A. Tinjauan Pustaka 1. Vektor Ada beberapa besaran fisis yang cukup hanya dinyatakan dengan suatu angka dan satuan yang menyatakan besarnya saja. Ada juga besaran fisis yang tidak
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah ke-9
Aljabar Linier Elementer Kuliah ke-9 Materi kuliah Hasilkali Titik Proyeksi Ortogonal 7/9/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Hasilkali Titik dari Vektor-Vektor Definisi Jika u dan v adalah vektor-vektor
Lebih terperinciBAB I MATRIKS DEFINISI : NOTASI MATRIKS :
BAB I MATRIKS DEFINISI : Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun/dijajarkan berbentuk persegi panjang (menurut baris dan kolom). Skalar-skalar itu disebut elemen matriks.
Lebih terperinciPelabelan matriks menggunakan huruf kapital. kolom ke-n. kolom ke-3
MATRIKS a. Konsep Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegipanjang dan diletakkan di dalam kurung biasa ( ) atau
Lebih terperinciMatematika Teknik Dasar-2 5 Perkalian Antar Vektor. Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya
Matematika Teknik Dasar-2 5 Perkalian Antar Vektor Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya Komponen-Komponen Vektor dalam Suku-Suku Vektor Satuan Artinya, OP = a (di sepanjang
Lebih terperinciPerkalian Titik dan Silang
PERKALIAN TITIK DAN SILANG Materi pokok pertemuan ke 3: 1. Perkalian titik URAIAN MATERI Perkalian Titik Perkalian titik dari dua buah vektor dan dinyatakan oleh (baca: titik ). Untuk lebih jelas, berikut
Lebih terperinciRANGKUMAN MATERI VEKTOR Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Matematika Sekolah Dosen Pembina: Dr. Tatag Yuli Eko Siswono, M.Pd.
RANGKUMAN MATERI VEKTOR Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Matematika Sekolah Dosen Pembina: Dr. Tatag Yuli Eko Siswono, M.Pd. Universitas Negeri Surabaya Oleh Abdul Hayyih (147785010) Kelas D PROGRAM
Lebih terperinciRudi Susanto, M.Si VEKTOR
Rudi Susanto, M.Si VEKTOR ESRN SKLR DN VEKTOR esaran Skalar esaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan). Contoh Catatan : waktu, suhu, volume, laju, energi
Lebih terperinciAnalisis Vektor. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY
Analisis Vektor Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY Analisis Vektor Analisis vektor meliputi bidang matematika dan fisika sekaligus dalam pembahasannya Skalar dan Vektor Skalar Skalar ialah
Lebih terperinciVEKTOR II. Tujuan Pembelajaran
Kurikulum 03 Kelas X matematika PEMINATAN VEKTOR II Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami tentang pembagian vektor.. Memahami tentang
Lebih terperinciGeometri pada Bidang, Vektor
Prodi Matematika FMIPA Unsyiah September 9, 2011 Melalui pendekatan aljabar, vektor u dinyatakan oleh pasangan berurutan u 1, u 2. Disini digunakan notasi u 1, u 2 bukan (u 1, u 2 ) karena notasi (u 1,
Lebih terperinciBESARAN VEKTOR B A B B A B
Besaran Vektor 8 B A B B A B BESARAN VEKTOR Sumber : penerbit cv adi perkasa Perhatikan dua anak yang mendorong meja pada gambar di atas. Apakah dua anak tersebut dapat mempermudah dalam mendorong meja?
Lebih terperinciProgram Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
VEKTOR DAN SKALAR Materi pokok pertemuan ke I: 1. Vektor dan skalar 2. Komponen vektor 3. Operasi dasar aljabar vektor URAIAN MATERI Masih ingatkah Anda tentang vektor? Apa beda vektor dengan skalar? Ya,
Lebih terperinci(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
MATRIKS Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 1 / 66 Topik Bahasan 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Determinan matriks 4 Matriks Invers 5 Operasi
Lebih terperinciPengantar KULIAH MEDAN ELEKTROMAGNETIK MATERI I ANALISIS VEKTOR DAN SISTEM KOORDINAT
KULIAH MEDAN ELEKTROMAGNETIK Pengantar Definisi Arsitektur MATERI I ANALISIS VEKTOR DAN SISTEM KOORDINAT Operasional Sinkronisasi Kesimpulan & Saran Muhamad Ali, MT Http://www.elektro-uny.net/ali Pengantar
Lebih terperinciMAKALAH VEKTOR. Di Susun Oleh : Kelas : X MIPA III Kelompok : V Adisti Amelia J.M.L
MAKALAH VEKTOR Di Susun Oleh : Kelas : X MIPA III Kelompok : V Adisti Amelia J.M.L PEMERINTAHAN KABUPATEN BOGOR SMAN 1 PAMIJAHAN 017 KATA PENGANTAR Dengan menyebut nama Allah Yang Maha Pengasih lagi Maha
Lebih terperinciVektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3
Vektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3 Maulana Malik 1 (maulana.malik@sci.ui.ac.id) 1 Departemen Matematika FMIPA UI Kampus Depok UI, Depok 16424 2014/2015 1/21 maulana.malik@sci.ui.ac.id Vektor
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. nyata (fenomena-fenomena alam) ke dalam bagian-bagian matematika yang. disebut dunia matematika (mathematical world).
5 II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Pemodelan Matematika Definisi pemodelan matematika : Pemodelan matematika adalah suatu deskripsi dari beberapa perilaku dunia nyata (fenomena-fenomena alam) ke dalam bagian-bagian
Lebih terperinciMATRIKS. Notasi yang digunakan NOTASI MATRIKS
MATRIKS Beberapa pengertian tentang matriks : 1. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom.
Lebih terperinciBab 1 Vektor. A. Pendahuluan
Bab 1 Vektor A. Pendahuluan Dalam mata kuliah Listrik Magnet A, maupun mata kuliah Listrik Magnet B sebagaii lanjutannya, penyajian konsep dan pemecahan masalah akan banyak memerlukan pengetahuan tentang
Lebih terperinciVEKTOR YUSRON SUGIARTO
VEKTOR YUSRON SUGIARTO Jurusan Keteknikan Pertanian FTP UB 2013 2 3 B E S A R A N Skalar besaran yang hanya memiliki besar (panjang/nilai) Vektor memiliki besar dan arah Massa Waktu Kecepatan Percepatan
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: =
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks Definisi 2.1 (Lipschutz, 2006): Matriks adalah susunan segiempat dari skalarskalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: Setiap skalar yang terdapat dalam
Lebih terperinciGESERAN atau TRANSLASI
GESERAN atau TRANSLASI Makalah ini disusun untuk memenuhi Tugas Geometri Transformasi Dosen Pembimbing : Havid Risyanto, S.Si., M.Sc. D I S U S U N O L E H 1. AMILIA 1111050031 2. HAIRUDIN 1111050153 3.
Lebih terperinciVEKTOR 2 SMA SANTA ANGELA. A. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Dilambangkan dengan :
1 SMA SANTA ANGELA VEKTOR A. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Dilambangkan dengan : A B Keterangan : Titik A disebut titik Pangkal Titik B disebut titik Ujung Dinotasikan
Lebih terperinciVEKTOR. Notasi Vektor. Panjang Vektor. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor (,, ) (,, ) di atas dapat dinyatakan dengan: Matriks = Maka = =
VEKTOR Notasi Vektor (,, ) (,, ) Vektor atau Matriks Maka di atas dapat dinyatakan dengan: Kombinasi linear vektor basis maka; ( ) + ( ) + ( ) + + (,, ) Panjang Vektor Misalkan + + (,, ), maka panjang
Lebih terperinciDIKTAT MATEMATIKA II
DIKTT MTEMTIK II (VEKTOR) Drs.. NN PURNWN, M.T JURUSN PENDIDIKN TEKNIK MESIN FKULTS PENDIDIKN TEKNOLOGI DN KEJURUN UNIVERSITS PENDIDIKN INDONESI 004 VEKTOR I. PENDHULUN 1.1. PENGERTIN Sepotong garis berarah
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Sebelum pembahasan mengenai irisan bidang datar dengan tabung lingkaran tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut. A. Matriks Matriks adalah himpunan skalar (bilangan
Lebih terperinciMODUL PERTEMUAN KE 2. MATA KULIAH : FISIKA TERAPAN (2 sks) Definisi Vektor, Komponen Vektor, Penjumlahan Vektor, Perkalian Vektor.
Jurusan Teknik Sipil 15 MODUL PERTEMUN KE MT KULIH : FISIK TERPN ( sks) MTERI KULIH: Definisi Vektor, Komponen Vektor, Penjumlahan Vektor, Perkalian Vektor. POKOK BHSN: VEKTOR -1 DEFINISI VEKTOR Skalar
Lebih terperinciMatematika Teknik INVERS MATRIKS
INVERS MATRIKS Dalam menentukan solusi suatu SPL selama ini kita dihadapkan kepada bentuk matriks diperbesar dari SPL. Cara lain yang akan dikenalkan disini adalah dengan melakukan OBE pada matriks koefisien
Lebih terperinciDiferensial Vektor. (Pertemuan II) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan II) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Definisi Secara Grafis : Dari gambar di samping, ada sebuah anak panah yang berawal
Lebih terperinciPENGUKURAN BESARAN. x = ½ skala terkecil. Jadi ketelitian atau ketidakpastian pada mistar adalah: x = ½ x 1 mm = 0,5 mm =0,05 cm
PENGUKURAN BESARAN A. Pengertian Mengukur Mengukur adalahmembandingkan suatu besaran dengan besaran lain yang dijadikan standar satuan. Misalnya kita mengukur panjang benda, dan ternyata panjang benda
Lebih terperinciVEKTOR YUSRON SUGIARTO
VEKTOR YUSRON SUGIARTO Jurusan Keteknikan Pertanian FTP UB 2012 2 3 B E S A R A N Skalar besaran yang hanya memiliki besar (panjang/nilai) massa, waktu, suhu, panjang, luas, volum Vektor memiliki besar
Lebih terperinciBAB I BESARAN DAN SATUAN
BAB I BESARAN DAN SATUAN A. STANDAR KOMPETENSI :. Menerapkan konsep besaran fisika, menuliskan dan menyatakannya dalam satuan dengan baik dan benar (meliputi lambang, nilai dan satuan). B. Kompetensi Dasar
Lebih terperinciALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I)
ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I) 1 MATERI ALJABAR LINIER VEKTOR DALAM R1, R2 DAN R3 ALJABAR VEKTOR SISTEM PERSAMAAN LINIER MATRIKS, DETERMINAN DAN ALJABAR MATRIKS, INVERS MATRIKS
Lebih terperinciPertemuan 3 & 4 INTERPRETASI GEOMETRI DAN GENERALISASI VARIANS. Interpretasi Geometri pada Sampel. Generalisasi varians
Pertemuan 3 & 4 INTERPRETASI GEOMETRI DAN GENERALISASI VARIANS Interpretasi Geometri pada Sampel Generalisasi varians , Interpretasi Geometri pada Sampel Sample Geometry and Random Sampling Data sampel
Lebih terperinciDIKTAT ALJABAR LINIER DAN MATRIKS VEKTOR. Penyusun Ir. S. Waniwatining Astuti, M.T.I.
DIKTAT ALJABAR LINIER DAN MATRIKS VEKTOR Penyusun Ir. S. Waniwatining Astuti, M.T.I. SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER GLOBAL INFORMATIKA MDP 24 KATA PENGANTAR Pertama-tama penulis mengucapkan
Lebih terperincia menunjukkan jumlah satuan skala relatif terhadap nol pada sumbu X Gambar 1
1. Koordinat Cartesius Sistem koordinat Cartesius terdiri dari dua garis yang saling tegak lurus yang disebut sumbu Sumbu horizontal disebut sumbu X dan sumbu vertikal disebut sumbu Y Tiap sumbu mempunyai
Lebih terperinciOutline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang. Geometri Vektor. Kusbudiono. Jurusan Matematika
Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 1 Vektor dan Garis 2 Koordinat 3 Norma Vektor 4 Hasil Kali Titik dan Proyeksi 5 Hasil Kali Silang Definisi Vektor Definisi Jika AB dan CD ruas garis berarah, keduanya
Lebih terperinciAljabar Linear dan Matriks (Persamaan Linear dan Vektor) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.
Aljabar Linear dan Matriks (Persamaan Linear dan Vektor) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs. . Matriks dan Sistem Persamaan Linear Definisi Persamaan dalam variabel dan y dapat ditulis dalam
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang
Lebih terperinciPertemuan 4 Aljabar Linear & Matriks
Pertemuan 4 Aljabar Linear & Matriks 1 Notasi : huruf besar tebal misalnya A, B, C Merupakan array dari bilangan, setiap bilangan disebut elemen matriks (entri matriks) Bentuk umum : m : jumlah baris (mendatar)
Lebih terperinci9.1. Skalar dan Vektor
ANALISIS VEKTOR 9.1. Skalar dan Vektor Skalar Satuan yang ditentukan oleh besaran Contoh: panjang, voltase, temperatur Vektor Satuan yang ditentukan oleh besaran dan arah Contoh: gaya, velocity Vektor
Lebih terperinciBagian 2 Matriks dan Determinan
Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika
Lebih terperinciPengantar Teknologi dan Aplikasi Elektromagnetik. Dr. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY
Pengantar Teknologi dan Aplikasi Elektromagnetik Dr. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY Kelistrikan dan Kemagnetan Tanpa listrik dan magnet, maka dalam kehidupan jaman sekarang: tanpa motor
Lebih terperinciALJABAR LINEAR DAN MATRIKS. MODUL 9 Vektor dalam Ruang Euklidian
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS MODUL 9 Vektor dalam Ruang Euklidian Zuhair Jurusan Teknik Informatika Universitas Mercu Buana Jakarta 2007 年 12 月 16 日 ( 日 ) Vektor dalam Ruang Euklidian Sebelum kita menginjak
Lebih terperinciAljabar Linier & Matriks
Aljabar Linier & Matriks 1 Vektor Orthogonal Vektor-vektor yang saling tegak lurus juga sering disebut vektor orthogonal. Dua vektor disebut saling tegak lurus jika dan hanya jika hasil perkalian titik-nya
Lebih terperinciMATRIKS. Definisi: Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang berbentuk segiempat siku-siku yang terdiri dari baris dan kolom.
Page- MATRIKS Definisi: Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang berbentuk segiempat siku-siku yang terdiri dari baris dan kolom. Notasi: Matriks dinyatakan dengan huruf besar, dan elemen elemennya
Lebih terperinciVEKTOR GAYA. Gambar 1. Perkalian dan pembagian vektor
VEKTOR GAYA Perkalian dan Pembagian vektor dengan scalar Jika vektor dikalikan dengan nilai positif maka besarnya meningkat sesuai jumlah pengalinya. Perkalian dengan bilangan negatif akan mengubah besar
Lebih terperinciSILABUS PENGALAMAN BELAJAR ALOKASI WAKTU
SILABUS Mata Pelajaran : Matematika Satuan Pendidikan : SMA Ungguan BPPT Darus Sholah Jember kelas : XII IPA Semester : Ganjil Jumlah Pertemuan : 44 x 35 menit (22 pertemuan) STANDAR 1. Menggunakan konsep
Lebih terperinciMatriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut
Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen
Lebih terperinciPenyelesaian SPL dalam Rangkaian Listrik
Penyelesaian SPL dalam Rangkaian Listrik Harry Octavianus Purba (13514050) Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132,
Lebih terperinciInterpretasi Geometri Dari Sebuah Determinan
Jurnal Sains Matematika dan Statistika Vol No Juli 5 ISSN 46-454 Interpretasi Geometri Dari Sebuah Determinan Riska Yeni Syamsudhuha M D H Gamal 3 Jurusan Matematika Fakultas Mipa Universitas Riau Jl HR
Lebih terperinciVEKTOR. Besaran skalar (scalar quantities) : besaran yang hanya mempunyai nilai saja. Contoh: jarak, luas, isi dan waktu.
VEKTOR Kata vektor berasal dari bahasa Latin yang berarti "pembawa" (carrier), yang ada hubungannya dengan "pergeseran" (diplacement). Vektor biasanya digunakan untuk menggambarkan perpindahan suatu partikel
Lebih terperinciIKIP BUDI UTOMO MALANG. Analytic Geometry TEXT BOOK. Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
IKIP BUDI UTOMO MALANG Analytic Geometry TEXT BOOK Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd 2012 DAFTAR ISI 1 VEKTOR 1.1 Vektor Pada Bidang... 4 1.2 Vektor Pada Ruang... 6 1.3 Operasi Vektor.. 8 1.4 Perkalian
Lebih terperinciBAB MATRIKS. Tujuan Pembelajaran. Pengantar
BAB II MATRIKS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan dapat: 1. menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers
Lebih terperinciRuang Vektor Euclid R n
Ruang Vektor Euclid R n Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Oktober 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 1 / 38 Acknowledgements
Lebih terperinciRENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) A. Kompetensi Inti (KI) KI-1: Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Sekolah : SMA Negeri 1 Kayen Mata pelajaran : Fisika Kelas/Semester : X/1 Materi Pokok : Vektor Alokasi Waktu : 12 x 45 menit A. Kompetensi Inti (KI) KI-1: Menghayati
Lebih terperinciVEKTOR. Matematika Industri I
VEKTOR Pokok Bahasan Pendahuluan: Kuantitas skalar dan vektor Representasi vektor Komponen-komponen vektor yang diketahui Vektor dalam ruang Kosinus arah Hasilkali skalar dari dua vektor Hasilkali vektor
Lebih terperinci2. MATRIKS. 1. Pengertian Matriks. 2. Operasi-operasi pada Matriks
2. MATRIKS 1. Pengertian Matriks Matriks adalah himpunan skalar yang disusun secara empat persegi panjang menurut baris dan kolom. Matriks diberi nama huruf besar, sedangkan elemen-elemennya dengan huruf
Lebih terperinciGLOSSARIUM. A Akar kuadrat
A Akar kuadrat GLOSSARIUM Akar kuadrat adalah salah satu dari dua faktor yang sama dari suatu bilangan. Contoh: 9 = 3 karena 3 2 = 9 Anggota Himpunan Suatu objek dalam suatu himpunan B Belahketupat Bentuk
Lebih terperinciMODUL PEMBELAJARAN KALKULUS II. ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd
MODUL PEMBELAJARAN KALKULUS II ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd IDENTITAS MAHASISWA NAMA : KLS/NIM :. KELOMPOK:. Daftar Isi Kata Pengantar Peta Konsep Materi. BAB I Analisis Vektor a. Vektor Pada Bidang.6
Lebih terperinci