Ruang R n Euclides. Pengertian. Sifat-sifat Operasi Penjumlahan dan Perkalian dengan Skalar
|
|
- Yenny Johan
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Ruang R n Euclides Pengertian Sebuah vektor di R n, dinyatakan oleh n bilangan terurut, yaitu u=(u 1, u 2,..., u n ) Vektor nol: yaitu vektor yang semua entri-nya nol, misalkan o=(0, 0,..., 0) Dua vektor disebut sama, atau u = v, jika dan hanya jika u 1 =v 1, u 2 =v 2,..., u n =v n {semua entri yang seletak sama} u + v = (u 1 +v 1, u 2 +v 2,..., u n +v n ) {entri yang seletak dijumlahkan} ku = (ku 1, ku 2,..., ku n ) {setiap entri dikalikan dengan skalar} u - v = u + (-v) = u + (-1)v Sifat-sifat Operasi Penjumlahan dan Perkalian dengan Skalar Misalkan u, v, w R n, k, l skalar, berlaku: 1. u + v = v + u {komutatif} 2. (u + v) + w = u + (v + w) {asosiatif} 3. u + o = o + u = u {anggota identitas} 4. u + (-u) = (-u) + u = o {invers anggota} 5. k(u + v) = ku + kv {distributif terhadap skalar} 6. (k+l)u = ku + lu {distributif terhadap skalar} 7. (kl)u = k(lu) {asosiatif perkalian dengan skalar} 8. 1.u = u {perkalian dengan skalar 1 (satu)} Kedelapan sifat di atas nantinya akan diambil sebagai sebuah kebenaran (aksioma) dan ditambah dengan dua aksioma ketertutupan dipakai untuk mendefinisikan ruang vektor 1
2 Contoh Misalkan u=(2, -1, 9, 3, 4), v=(1, -2, 3, -2, 1, 0), dan w=(5, -8, 2, 3, 4, 5) 1. u + v = tidak terdefinisi {karena u R 5, sedangkan v R 6 } 2. v + w = (1+5,(-2)+(-8),3+2,(-2)+3,1+4, 0+5) =(6, -10, 5, 1, 5, 5) 3. -3u=(-6, 3, -27, -9, -12) 4. 3v - 6w = (3,-6,9,-6,3,0)-(30,-48,12,18,24,30) = (-27,42,-3,-24,21,-30) Hasil Kali Titik Misalkan u, v R n, didefinisikan : u v =u 1 v 1 + u 2 v u n v n {jumlah dari semua hasil kali entri yang seletak} Jika u=(2, -1, 9, 3, 4), v=(1, -2, 3, -2, 1, 0), dan w=(5, -8, 2, 3, 4, 5), maka 1. u v = tidak terdefinisi, {karena u R 5, sedangkan v R 6 } 2. v w = (-2).(-8) (-2) = = 25 Sifat Hasil Kali Titik Misalkan u, v, w R n, k skalar, berlaku: 1. u v = v u {komutatif} 2. u (v + w) = u v + u w {distributif} 3. k(u v) = (ku) v= u (kv) {kehomogenan} 4. u u> 0, jika u o, dan u u = 0, jika u = o {kepositifan} Keempat sifat di atas nantinya akan diambil sebagai kebenaran (aksioma) untuk membentuk definisi hasil kali dalam. Nama lain dari Hasil Kali Titik: Hasil Kali Dalam Euclides 2
3 Panjang, Sudut, dan Jarak Misalkan u, v R n didefinisikan : 1. Norm/ Panjang: u = (u u) 1/2 {akar dari hasil kali titik dengan dirinya sendiri} 2. Jarak dua vektor: d(u, v)= u v = ((u -v) (u -v)) 1/2 {norm dari u dikurang v} 3. Cosinus sudut u dan v: cos θ = u v, jika u o dan v o u v = 0, jika u=o atau v=o Jika u.v=0, maka vektor u dan v salng tegak lurus atau ortogonal Contoh Misalkan u=(2, -1, 9, 3, 4) dan v=(1, -2, 3, -2, 1). Hitung: u ; d(u, v); cos θ, θ= sudut antara u dan v u =(2.2 + (-1).(-1) ) 1/2 = ( ) 1/2 = (111) 1/2 d(u, v)= u v = (1,1,6,5,3) =( ) 1/2 = (72) 1/2 u v cos θ = = u v = = Proyeksi Ortogonal Misalkan u, v R n, Vektor u dan v disebut ortogonal (tegak lurus) memenuhi: u v=0 proyeksi ortogonal u pada v adalah: proy v u= u v v v v komponen u yang ortogonal pada v = u -proy v u 3
4 Contoh Misalkan u=(2, -4, 9, -2, 4) dan v=(1, -2, 0, 2, 3) Proyeksi ortogonal r r v pada u adalah: v u r proy u v = r r u = (2, 4,9, 2,4) u u = (2, 4,9, 2,4) 36 (, 72, =, 36, ) / proy u v = 2 = = Komponen v yang ortogonal pada u = v -proy u v = 36 ( 1, 2,0,2,3) (, 72, , 36, ) = (, 170,0, 278, ) Tantangan 1 1. Misalkan u=(0,-1,2,3,4), v=(1, 2, -3, 2, 1), dan w=(4,2,1,-3,2) u + (v + w) 3u + 2v u + (2v w) (3v + 2u) - 6w proy u v proy w u komponen w yang ortogonal pada u. proy v u komponen u yang ortogonal pada v Tantangan 2 2. Misalkan u=(0,-1,2,3,4), v=(1,2,-3,2,1), dan w=(4,2,1,-3,2) u + v -2u + 3v u+2v + -4w u + 2v w d(v, w) d(u + v, w) cosinus sudut antara u dan w cosinus sudut antara u + v dan w 4
5 Tantangan 3 3. Tentukan a, b, dan c, sehingga u = (a, -1, 0, 1) ortogonal pada v=(3,b, 1, -1), dan w=(1, 1, -1, c), begitupun v ortogonal pada w 4. Tentukan k, sehingga sudut antara u = (1,1,-1,1) dan v = (k,1,2k,0) sebesar π/3 Ruang Vektor Definisi Ruang Vektor (1/ 2) Misalkan V himpunan yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar (dalam hal ini skalar adalah bilangan riil). V disebut ruang vektor, jika memenuhi sepuluh aksioma berikut: 1. Untuk setiap u, v V, berlaku u + v V {tertutup penjumlahan} 2. Untuk setiap u, v V, berlaku u + v = v + u {komutatif} 3. Untuk setiap u, v, w V, berlaku (u + v) +w = u + (v + w) {asosiatif} 4. Ada o V, dan berlaku u + o = o + u = u, untuk setiap u V {anggota identitas penjumlahan} 5. Untuk setiap u V, ada -u V, dan berlaku u +(-u) =(-u)+ u = o {anggota invers penjumlahan} 5
6 Definisi Ruang Vektor (2/ 2) 6. Untuk setiap u V dan setiap k R, berlaku ku V {tertutup perkalian skalar} 7. Untuk setiap u, v V dan setiap k R, berlaku k(u + v) = ku + kv {distributif perkalian dgn skalar} 8. Untuk setiap u V dan setiap k, l R, berlaku (k+l)u = ku + lu {distributif skalar} 9. Untuk setiap u V dan setiap k, l R, berlaku (kl)u = k(lu) {asosiatif perkalian dengan skalar} 10. Untuk setiap u V, berlaku 1.u = u {perkalian dengan skalar 1} Anggota ruang vektor disebut vektor. Contoh Ruang Vektor 1 Tentunya karena kesepuluh aksioma tersebut diambil dari vektor R n dan matrik M nxm yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar yang biasa (seperti yang selama ini dipakai), maka R n dan matrik M nxm yang dilengkapi dengan operasi yang biasa adalah ruang vektor Polinom Bentuk umum polinom adalah: a 0 x + a 2 x a n x n, dimana a 0, a 1, a 2,...,a n konstanta riil (disebut koefisien), dan jika a n 0, disebut polinom berderajat n. Operasi yang biasa pada polinom: Misalkan p= a 0 x + a 2 x a n x n, q= b 0 +b 1 x + b 2 x b n x n. p + q = (a 0 + b 0 )+(a 1 + b 1 )x + (a 2 + b 2 )x (a n +b n )x n {koefisien yang seletak dijumlahkan} kp= ka 0 +ka 1 x + ka 2 x ka n x n {setiap koefisien dikalikan konstanta k} Contoh: p = 1 + 2x 3x 2 x 3 + 2x 4 ; q = 5 + 4x 2 + 2x 3 2x 4 p + q = 6 + 2x + x 2 + x 3-3p = -3 6x + 9x 2 + 3x 3 6x 4 6
7 Bukti Ruang Vektor P n (1/10) Apakah himpunan semua polinom berderajat maksimal n yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar yang biasa, yang dilambangkan dengan P n, merupakan ruang vektor? 1. Ambil p, q P n, berarti dapat diuraikan: p=a 0 x n, q=b 0 +b 1 x+b 2 x b n x n p+q=(a 0 +(b 0 +b 1 x+b 2 x b n p+q=(a 0 + b 0 )+(a 1 +b 1 )x+(a 2 +b 2 )x (a n +b n )x n {a 0 +b 0, a 1 +b 1, a 2 +b 2,..., a n +b n konstanta riil} p+q P n Bukti Ruang Vektor P n (2/10) 2. Ambil p, q P n, berarti dapat diuraikan: p=a 0 x n, q=b 0 +b 1 x+b 2 x b n x n p+q=(a 0 + b 0 )+(a 1 +b 1 )x+(a 2 +b 2 )x (a n +b n )x n {sifat komutatif penjumlahan bilangan riil} p+q=(b 0 +a 0 )+(b 1 )x+(b 2 +a 2 )x (b n +a n )x n {sifat distributif bilangan riil} p+q=b 0 +a 0 +b 1 x x+b 2 x 2 +a 2 x b n x n +a n x n {sifat asosiatif bilangan riil} p+q=(b 0 +b 1 x+b 2 x b n + (a 0 p+q=q+p Bukti Ruang Vektor P n (3/10) 3. Ambil p,q,r P n, berarti dapat diuraikan: p=a 0 x n, q=b 0 +b 1 x+b 2 x b n x n, r= c 0 +c 1 x+c 2 x c n x n (p+q)+r=((a 0 + b 0 )+(a 1 +b 1 )x+(a 2 +b 2 )x (a n +b n ) +(c 0 +c 1 x+c 2 x c n (p+q)+r= a 0 x n + b 0 +b 1 x+b 2 x b n x n + c 0 +c 1 x+c 2 x c n x n {asosiatif bil. riil} (p+q)+r= a 0 x n + (b 0 +b 1 x+b 2 x b n x n + c 0 +c 1 x+c 2 x c n (p+q)+r= a 0 x n +((b 0 +c 0 )+(b 1 +c 1 )x +(b 2 +c 2 )x (b n +c n ) (p+q)+r=p+(q+r) 7
8 Bukti Ruang Vektor P n (4/10) 4. Ada o P n, yaitu o=0, dan ambil p P n, berarti dapat diuraikan sebagai : p=a 0 x n, o+p=0+a 0 x n =a 0 x n =p p+o= a 0 x n +0 = a 0 x n =p p+o= o+p=p Bukti Ruang Vektor P n (5/10) 5. Ambil p P n, berarti dapat diuraikan sebagai : p=a 0 x n, ada -p P n, yaitu -p=(-1)(a 0 = -a 0 -a 1 x-a 2 x a n x n p+(-p)=(a 0 +(-a 0 -a 1 x-a 2 x a n {asosiatif dan distributif bil. riil} p+(-p)=(a 0 -a 0 )+(a 1 -a 1 )x+(a 2 -a 2 )x (a n -a n )x n =0=o -p+p=(-a 0 -a 1 x-a 2 x a n +(a 0 {asosiatif dan distributif bil. riil} -p+p=(-a 0 +a 0 )+(-a 1 )x+(-a 2 +a 2 )x (-a n +a n )x n =0=o p+(-p)=-p+p=o Bukti Ruang Vektor P n (6/10) 6. Ambil p P n, berarti dapat diuraikan sebagai : p=a 0 x n, ambil k R, maka kp=k(a 0 =ka 0 + ka 1 x+ k a 2 x ka n x n karena ka 0,ka 1,k a 2,..., ka n R, maka kp P n 8
9 Bukti Ruang Vektor P n (7/10) 7. Ambil p, q P n, berarti dapat diuraikan: p=a 0 x n, q=b 0 +b 1 x+b 2 x b n x n ambil k R, maka k(p+q)= k((a 0 + b 0 )+(a 1 +b 1 )x+(a 2 +b 2 )x (a n +b n ) k(p+q)=k(a 0 + b 0 )+k(a 1 +b 1 )x+k(a 2 +b 2 )x k(a n +b n )x n k(p+q)= (ka 0 + kb 0 )+(ka 1 +kb 1 )x+(ka 2 +kb 2 )x (ka n +kb n )x n k(p+q)=ka 0 +kb 0 +ka 1 x+kb 1 x+ka 2 x 2 +kb 2 x ka n x n +kb n x n {asosiatif bil. riil} k(p+q)=(ka 0 +ka 1 x+ka 2 x ka n +(kb 0 +kb 1 x+kb 2 x kb n k(p+q)=k(a 0 +k(b 0 +b 1 x+b 2 x b n k(p+q)=kp+kq Bukti Ruang Vektor P n (8/10) 8. Ambil p P n, berarti dapat diuraikan: p=a 0 x n, ambil k, l R, (k+l)p=(k+l)(a 0 (k+l)p=(k+l)a 0 +(k+l)a 1 x+(k+l)a 2 x (k+l)a n x n (k+l)p=ka 0 +la 0 +ka 1 x+la 1 x+ka 2 x 2 +la 2 x ka n x n +la n x n {asosiatif bil. riil} (k+l)p=(ka 0 +ka 1 x+ka 2 x ka n +(la 0 +la 1 x+la 2 x la n (k+l)p=k(a 0 + l(a 0 (k+l)p=kp+ lp Bukti Ruang Vektor P n (9/10) 9. Ambil p P n, berarti dapat diuraikan: p=a 0 x n, ambil k, l R, (kl)p=(kl)(a 0 (kl)p=(kl)a 0 +(kl)a 1 x+(kl)a 2 x (kl)a n x n {asosiatif bil. riil} (kl)p=k(la 0 )+k(la 1 )x+k(la 2 )x k(la n )x n (kl)p=k(lp) 9
10 Bukti Ruang Vektor P n (10/10) 10. Ambil p P n, berarti dapat diuraikan: p=a 0 x n 1.p =1.(a 0 {sifat bilangan riil dikali satu} 1.p= a 0 x n 1.p=p P n ruang vektor Contoh Ruang Vektor 3 O={o} yang dilengkapi dengan penjumlahan dan perkalian skalar yang biasa, termasuk ruang vektor, karena memenuhi sepuluh aksioma ruang vektor. Bukti: o + o = o O. o + o = o + o = o (o + o) + o = o + (o + o) = o ada o O, yang bersifat o + o = o + o = o jika o O, maka selalu ada o=o O, sehingga o + (-o) = -o + o = o ko=o O k(o + o) = ko + ko = o + o = o (k+l)o=ko + lo = o (kl)o = k(lo)= o 1.o = o Contoh Bukan Ruang Vektor Jika V himpunan semua vektor di R 3, dengan operasi penjumlahan u+v=(u 1 +v 2, u 2 +v 1, u 3 +v 3 ), sedangkan perkalian dengan skalar ku=(ku 1, ku 2, ku 3 ). Dari definisi V, terlihat yang tidak biasa adalah operasi penjumlahan pada entri pertama dan kedua, secara intuisi kemungkinan kegagalan aksioma ruang vektor adalah disini, karena itu dicari contoh penyangkal yang mendukung intuisi ini. Contoh penyangkal: a=(2, 3, -1) dan b=(4, 2, 4) a+b=(2+2, 3+4, (-1)+4)=(4, 7, 3) b+a=(4+3, 2+2, (-1)+4)=(7, 4, 3) Karena a+b b+a, berarti tidak memenuhi aksioma ke 2, yaitu aksioma komutatif 10
11 Tantangan 1 Untuk masing-masing soal di bawah ini, tunjukkan ruang vektor atau jika bukan ruang vektor berikan contoh penyangkalnya. 1. Misalkan V himpunan semua vektor di R 3 dengan operasi yang didefinisikan sebagai: untuk u=(u 1, u 2, u 3 ) dan v=(v 1, v 2, v 3 ), maka u+v=(u 1 +v 1, u 2 +2v 2, u 3 +v 3 ), sedangkan ku=(ku 1, ku 2, ku 3 ). 2. Misalkan V himpunan semua vektor di R 3 dengan operasi yang didefinisikan sebagai: untuk u =(u 1, u 2, u 3 ) dan v=(v 1, v 2, v 3 ), maka u+v=(u 1 +v 1, u 2 +v 2, u 3 +v 3 ), sedangkan ku=(u 1, u 2, ku 3 ). 3. Misalkan V himpunan vektor di R 3, yang mempunyai bentuk u=(u 1, u 2, u 3 ), dengan syarat 2 u 1 +u 2 +u 3 = 0, dengan kedua operasi yang biasa di vektor R 3 Tantangan 2 4. Misalkan V himpunan vektor di R 3, yang mempunyai bentuk u=(u 1, u 2, u 3 ), dengan syarat u 1 +u 2 +u 3 = 2, dengan kedua operasi yang biasa di vektor R Misalkan V himpunan semua solusi sistem persamaan linier homogen, AX=O, dengan A berordo nxn, dengan operasi yang biasa pada R n 6. Misalkan V himpunan semua vektor pada ax + by + cz = 0, dengan operasi yang biasa di R Misalkan V himpunan semua vektor pada bidang ax + by + cz = 2, dengan operasi yang biasa di R 3 Sub Ruang 11
12 Definisi Sub Ruang Misalkan V ruang vektor. U V dan U. U disebut sub ruang dari V jika U ruang vektor dibawah operasi yang sama dengan di V. Kenyataan bahwa setiap anggota U juga anggota V menyebabkan aksioma (2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10) yang dipenuhi di V juga dipenuhi di U dan juga dikarenakan U ruang vektor maka dapatlah dipenuhi aksioma ketertutupan terhadap penjumlahan dan perkalian dengan skalar. Dari kenyataan ini didapat kesimpulan: Teorema: Misalkan V ruang vektor. U V, dan U. U sub ruang dari V jika dan hanya jika dipenuhi dua aksioma: 1. u, v U, maka u+v U (tertutup thdp operasi penjumlahan) 2. u U, k R maka ku U (tertutup thdp operasi perkalian dgn skalar) Contoh Sub Ruang 1 1. Apakah ruang nol, O, merupakan sub ruang? Bukti: 1. Ada o O, O 2. Ambil u, v O, berarti u=o dan v=o, akibatnya u+v=o+o=o u+v O 3. Ambil u O, berarti u=o, akibatnya ku=ko=o, ku O Jadi O merupakan sub ruang dari setiap ruang vektor yang melingkupinya Contoh Sub Ruang 2 2. Misalkan U himpunan semua solusi sistem persamaan linier homogen AX=O, dengan A berordo nxn dan tetap. Tunjukkan bahwa U sub ruang R n. Bukti: 1. Ada vektor nol, O, sehingga AO = O. Jadi, U. 2. Ambil X 1, X 2 U, berarti memenuhi AX 1 =O dan AX 2 =O. Akan ditunjukkan bahwa X 1 +X 2 U, berarti A(X 1 +X 2 )=O. A(X 1 +X 2 )=AX 1 +AX 2 {sifat distributif perkalian matrik} A(X 1 +X 2 )=O+O=O {karena AX 1 =O dan AX 2 =O} Jadi, X 1 +X 2 U 3. Ambil X 1 U, berarti memenuhi AX 1 =O. Akan ditunjukkan kx 1 U, berarti A(kX 1 )=O. A(kX 1 )=k(ax 1 ) {sifat asosiatif perkalian matrik} A(kX 1 )=ko=o {karena AX 1 =O} Jadi, kx 1 U U sub ruang dari ruang vektor R n 12
13 Contoh Sub Ruang 3 3. Apakah U={(x, y, z) R 3 xy=0} dengan operasi yang biasa di R 3 merupakan sub ruang R 3? Jawab: u=(-1, 0, 3) U, karena (-1).0 = 0 v=(0, 2,-4) U, karena 0.2=0 Tetapi u+v=(-1, 2,1) dan (-1).2 =-2 0, berarti u+v U Jadi, U bukan sub ruang R 3 Tantangan 3 Untuk masing-masing soal di bawah ini, tunjukkan sub ruang dari ruang vektor yang sesuai atau berikan contoh penyangkal yang menyatakan bukan sub ruang. 1. Misalkan U himpunan semua vektor di R 3, yang mempunyai bentuk u=(u 1, u 2, u 3 ), dengan syarat u 2 +u 3 =0. 2. Misalkan U himpunan semua vektor di R n yang memenuhi sistem persamaan linier AX=B, dengan A berordo nxn dan merupakan matrik konstan, B berordo nx1 dan merupakan matrik konstan. 3. Misalkan U himpunan semua vektor yang terletak pada bidang 2x 3y + 4z = 0. Tantangan 4 4. Misalkan U himpunan semua vektor yang terletak pada garis x=2t, y=-t, z=t. 5. Misalkan U himpunan semua polinom di P 2, yang mempunyai bentuk u=a 0 x 2, dengan syarat a 0 =0 dan a 1 -a 2 =0 6. Misalkan U himpunan semua vektor di R 3 yang memenuhi syarat x+2y=1. 7. Misalkan U himpunan semua vektor di M 22 dengan syarat ab=0. 13
Aljabar Linier Elementer. Kuliah ke-9
Aljabar Linier Elementer Kuliah ke-9 Materi kuliah Hasilkali Titik Proyeksi Ortogonal 7/9/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Hasilkali Titik dari Vektor-Vektor Definisi Jika u dan v adalah vektor-vektor
Lebih terperinciPengantar Vektor. Besaran. Vektor (Mempunyai Arah) Skalar (Tidak mempunyai arah)
Pengantar Vektor Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak
Lebih terperinciDefinisi Jumlah Vektor Jumlah dua buah vektor u dan v diperoleh dari aturan jajaran genjang atau aturan segitiga;
BAB I VEKTOR A. DEFINISI VEKTOR 1). Pada mulanya vektor adalah objek telaah dalam ilmu fisika. Dalam ilmu fisika vektor didefinisikan sebagai sebuah besaran yang mempunyai besar dan arah seperti gaya,
Lebih terperinciPERTEMUAN 11 RUANG VEKTOR 1
PERTEMUAN 11 RUANG VEKTOR 1 TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : Dapat mengetahui definisi dan sifat-sifat dari ruang vektor Dapat mengetahui definisi
Lebih terperinciR maupun. Berikut diberikan definisi ruang vektor umum, yang secara eksplisit
BAB I RUANG EKTOR UMUM Dalam bab ini akan dipelajari tentang konsep ruang vektor umum, sub ruang vektor dan sifat-sifatnya. Pada pembicaraan ini, para mahasiswa dianggap sudah mengenal konsep dan sifat
Lebih terperinciRUANG VEKTOR. Nurdinintya Athari (NDT)
1 RUANG VEKTOR Nurdinintya Athari (NDT) RUANG VEKTOR Sub Pokok Bahasan Ruang Vektor Umum Subruang Basis dan Dimensi Basis Subruang Beberapa Aplikasi Ruang Vektor Beberapa metode optimasi Sistem kontrol
Lebih terperinciMatematika II : Vektor. Dadang Amir Hamzah
Matematika II : Vektor Dadang Amir Hamzah sumber : http://www.whsd.org/uploaded/faculty/tmm/calc front image.jpg 2016 Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 1 / 24 Outline 1 Pendahuluan Dadang
Lebih terperinciMATRIKS A = ; B = ; C = ; D = ( 5 )
MATRIKS A. DEFINISI MATRIKS Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segi empat dari suatu unsur-unsur pada beberapa sistem aljabar. Unsur-unsur tersebut bisa berupa bilangan dan juga suatu peubah.
Lebih terperinciDIKTAT MATA KULIAH ALJABAR LINEAR ELEMENTER (BAGIAN II) DISUSUN OLEH ABDUL JABAR, M.Pd
DIKTAT MATA KULIAH ALJABAR LINEAR ELEMENTER (BAGIAN II) DISUSUN OLEH ABDUL JABAR, M.Pd JURUSAN/PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA STKIP PGRI BANJARMASIN MARET MUQADIMAH Alhamdulillah penyusun ucapkan
Lebih terperinciVEKTOR. 45 O x PENDAHULUAN PETA KONSEP. Vektor di R 2. Vektor di R 3. Perkalian Skalar Dua Vektor. Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain
VEKTOR y PENDAHULUAN PETA KONSEP a Vektor di R 2 Vektor di R 3 Perkalian Skalar Dua Vektor o 45 O x Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain Soal-Soal PENDAHULUAN Dalam ilmu pengetahuan kita sering
Lebih terperinciMATRIKS. Definisi: Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang berbentuk segiempat siku-siku yang terdiri dari baris dan kolom.
Page- MATRIKS Definisi: Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang berbentuk segiempat siku-siku yang terdiri dari baris dan kolom. Notasi: Matriks dinyatakan dengan huruf besar, dan elemen elemennya
Lebih terperinciSuatu himpunan tak kosong F dengan operasi penjumlahan dan perkalian, dikatakan sebagai field jika untuk setiap,, memenuhi sifat-sifat berikut:
Bagian 5. RUANG VEKTOR 5.1 Lapangan (Field) Suatu himpunan tak kosong F dengan operasi penjumlahan dan perkalian, dikatakan sebagai field jika untuk setiap,, memenuhi sifat-sifat berikut: 1. dan 2., 3.,
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
Lebih terperinciMatematika Lanjut 1. Sistem Persamaan Linier Transformasi Linier. Matriks Invers. Ruang Vektor Matriks. Determinan. Vektor
Matematika Lanjut 1 Vektor Ruang Vektor Matriks Determinan Matriks Invers Sistem Persamaan Linier Transformasi Linier 1 Dra. D. L. Crispina Pardede, DE. Referensi [1]. Yusuf Yahya, D. Suryadi. H.S., gus
Lebih terperinciALJABAR LINEAR DAN MATRIKS
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS VEKTOR Definisi Vektor Ada dua besaran yaitu: Vektor mempunyai besar dan arah Skalar mempunyai besar A B A : titik awal B : titik akhir Notasi vektor biasanya menggunakan huruf
Lebih terperinciII. M A T R I K S ... A... Contoh II.1 : Macam-macam ukuran matriks 2 A. 1 3 Matrik A berukuran 3 x 1. Matriks B berukuran 1 x 3
11 II. M A T R I K S Untuk mencari pemecahan sistem persamaan linier dapat digunakan beberapa cara. Salah satu yang paling mudah adalah dengan menggunakan matriks. Dalam matematika istilah matriks digunakan
Lebih terperinciALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I)
ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I) 1 MATERI ALJABAR LINIER VEKTOR DALAM R1, R2 DAN R3 ALJABAR VEKTOR SISTEM PERSAMAAN LINIER MATRIKS, DETERMINAN DAN ALJABAR MATRIKS, INVERS MATRIKS
Lebih terperinciCHAPTER 6. Ruang Hasil Kali Dalam
CHAPTER 6. Ruang Hasil Kali Dalam Hasil Kali Dalam Sudut dan Ortogonal dalam Ruang Hasil Kali Dalam Orthonormal Bases; Gram-Schmidt Process; QR-Decomposition Best Approximation; Least Squares Orthogonal
Lebih terperinciVEKTOR II. Tujuan Pembelajaran
Kurikulum 03 Kelas X matematika PEMINATAN VEKTOR II Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami tentang pembagian vektor.. Memahami tentang
Lebih terperinciSoal No. 1 Perhatikan gambar berikut, PQ adalah sebuah vektor dengan titik pangkal P dan titik ujung Q
Soal No. 1 Perhatikan gambar berikut, PQ adalah sebuah vektor dengan titik pangkal P dan titik ujung Q a) Nyatakan PQ dalam bentuk vektor kolom b) Nyatakan PQ dalam bentuk i, j (vektor satuan) c) Tentukan
Lebih terperinciAljabar Linier & Matriks
Aljabar Linier & Matriks 1 Vektor Orthogonal Vektor-vektor yang saling tegak lurus juga sering disebut vektor orthogonal. Dua vektor disebut saling tegak lurus jika dan hanya jika hasil perkalian titik-nya
Lebih terperinciMATEMATIKA. Sesi VEKTOR 2 CONTOH SOAL A. DEFINISI PERKALIAN TITIK
MATEMATIKA KELAS XII IPA - KURIKULUM GABUNGAN Sesi NGAN VEKTOR A. DEFINISI PERKALIAN TITIK Misal a a a a dan b b b b dua vektor di R. Perkalian titik dari a dan b, dinotasikan a badalah a b ab + ab + ab
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
Lebih terperinci9.1. Skalar dan Vektor
ANALISIS VEKTOR 9.1. Skalar dan Vektor Skalar Satuan yang ditentukan oleh besaran Contoh: panjang, voltase, temperatur Vektor Satuan yang ditentukan oleh besaran dan arah Contoh: gaya, velocity Vektor
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Sebagai acuan penulisan penelitian ini diperlukan beberapa pengertian dan teori yang berkaitan dengan pembahasan. Dalam sub bab ini akan diberikan beberapa landasan teori berupa pengertian,
Lebih terperinciuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
Lebih terperinciSoal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Tanggal Ujian: 13 Juni 2012
Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 01 Tanggal Ujian: 13 Juni 01 1. Lingkaran (x + 6) + (y + 1) 5 menyinggung garis y 4 di titik... A. ( -6, 4 ). ( -1, 4 ) E. ( 5, 4 ) B. ( 6, 4) D. ( 1, 4 )
Lebih terperinciHasil Kali Titik, Hasil Kali Silang, dan Hasil Kali Tripel
BAB II HASIL KALI TITIK DAN SILANG A. HASIL KALI TITIK ATAU SKALAR Hasil kali titik atau skalar dari dua buah vektor A dan B yang dinyatakan oleh A B (dibaca A titik B ) didefinisikan sebagai hasil kali
Lebih terperinciPart II SPL Homogen Matriks
Part II SPL Homogen Matriks SPL Homogen Bentuk Umum SPL homogen dalam m persamaan dan n variabel x 1, x 2,, x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a
Lebih terperinciuntuk setiap x sehingga f g
Jadi ( f ( f ) bernilai nol untuk setiap x, sehingga ( f ( f ) fungsi nol atau ( f ( f ) Aksioma 5 Ambil f, g F, R, ( f g )( f g ( g( g( ( f g)( Karena ( f g )( ( f g)( untuk setiap x sehingga f g Aksioma
Lebih terperinciMATRIKS. 2. Matriks Kolom Matriks kolom adalah matriks yang hanya mempunyai satu kolom. 2 3 Contoh: A 4 x 1 =
NAMA : KELAS : 1 2 MATRIKS Matriks adalah susunan berbeda dalam bentuk persegi panjang yang diatur pada baris dan kolom. NOTASI MATRIKS DAN ORDO MATRIKS Notasi matriks biasanya dituliskan dalam huruf kapital
Lebih terperinciALJABAR LINEAR DAN MATRIKS VEKTOR
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS VEKTOR Definisi Vektor Ada dua besaran yaitu: Vektor mempunyai besar dan arah Skalar mempunyai besar A AB B A : titik awal B : titik akhir Notasi vektor biasanya menggunakan
Lebih terperinciVektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3
Vektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3 Maulana Malik 1 (maulana.malik@sci.ui.ac.id) 1 Departemen Matematika FMIPA UI Kampus Depok UI, Depok 16424 2014/2015 1/21 maulana.malik@sci.ui.ac.id Vektor
Lebih terperinciHand-Out Geometri Transformasi. Bab I. Pendahuluan
Hand-Out Geometri Transformasi Bab I. Pendahuluan 1.1 Vektor dalam R 2 Misalkan u = (x 1,y 1 ), v = (x 2,y 2 ) dan w = (x 3,y 3 ) serta k skalar (bilangan real) Definisi 1. : Penjumlahan vektor u + v =
Lebih terperinciOutline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang. Geometri Vektor. Kusbudiono. Jurusan Matematika
Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 1 Vektor dan Garis 2 Koordinat 3 Norma Vektor 4 Hasil Kali Titik dan Proyeksi 5 Hasil Kali Silang Definisi Vektor Definisi Jika AB dan CD ruas garis berarah, keduanya
Lebih terperinciAljabar Linier Ruang vektor dan subruang vektor. 2 Oktober 2014
Aljabar Linier Ruang vektor dan subruang vektor 2 Oktober 2014 Pertemuan-2 Pertemuan ke-2 memuat 1. Ruang vektor operasi linier field definisi Contoh Kombinasi linier 1 2. Subruang definisi penentuan subruang
Lebih terperinciRuang Vektor Euclid R 2 dan R 3
Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3 Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U September 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015
Lebih terperinciMATRIKS. 3. Matriks Persegi Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai baris dan kolom yang sama.
MATRIKS Matriks adalah susunan berbeda dalam bentuk persegi panjang yang diatur pada baris dan kolom. NOTASI MATRIKS DAN ORDO MATRIKS Notasi matriks biasanya dituliskan dalam huruf kapital (huruf besar)
Lebih terperinciOperasi perkalian skalar merupakan suatu aturan yang mengasosiasikan setiap skalar k dan setiap objek u pada v dengan suatu objek ku, yang disebut
RUANG VEKTOR REAL Aksioma ruang vektor, dinyatakan dlam definisi beikut, dimana aksiona merupakan aturan permainan dalam ruang vektor. Definisi : Jika V merupakan suatu himpunan tidak kosong dari objek
Lebih terperinciMATRIKS. LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XII. Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.
LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) MATRIKS Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XII Created By Ita Yuliana 15 Matriks Kompetensi Dasar 1. Menggunakan
Lebih terperinci02-Pemecahan Persamaan Linier (1)
-Pemecahan Persamaan Linier () Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal - Anny Agenda Bagian : Vektor dan Persamaan Linier Bagian : Teori Dasar Eliminasi Bagian 3: Eliminasi Menggunakan Matriks Bagian 4:
Lebih terperinciMUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 5 Ruang Vektor Ruang Vektor Sub Pokok Bahasan Ruang Vektor Umum Subruang Basis dan Dimensi Beberapa Aplikasi Ruang Vektor Beberapa metode optimasi Sistem Kontrol
Lebih terperinciCatatan Kuliah Aljabar Linier
Catatan Kuliah Suryadi Siregar Sekolah Tinggi Manajemen Informatika dan Komputer Bandung BANDUNG 018 Kata Pengantar Bagian pertama, buku ini membahas tentang, operasi vektor dan aplikasi perkalian vektor.
Lebih terperinciBAB I MATRIKS DEFINISI : NOTASI MATRIKS :
BAB I MATRIKS DEFINISI : Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun/dijajarkan berbentuk persegi panjang (menurut baris dan kolom). Skalar-skalar itu disebut elemen matriks.
Lebih terperinciAljabar Linear Elementer Part IV. Oleh : Yeni Susanti
Aljabar Linear Elementer Part IV Vektor di Ruang R 2, R 3 dan R n Oleh : Yeni Susanti Vektor di Ruang R 2, R 3 dan R n Vektor: besaran yang mempunyai besar dan arah. Vektor secara geometris bisa digambarkan
Lebih terperinciChapter 5 GENERAL VECTOR SPACE 5.1. REAL VECTOR SPACES 5.2. SUB SPACES
Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE 5.1. REAL VECTOR SPACES 5.2. SUB SPACES Definisi : VECTOR SPACE Jika V adalah ruang vektor dimana u,v,w merupakan objek dalam V sebagai vektor, dan terdapat skalar k dan
Lebih terperinciBAB III RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3. Bab ini membahas pengertian dan operasi vektor-vektor. Selain
BAB III RUANG VEKTOR R DAN R 3 Bab ini membahas pengertian dan operasi ektor-ektor. Selain operasi aljabar dibahas pula operasi hasil kali titik dan hasil kali silang dari ektor-ektor. Tujuan Instruksional
Lebih terperinciVektor-Vektor. Ruang Berdimensi-2. Ruang Berdimensi-3
Vektor-Vektor dalam Ruang Berdimensi-2 dan Ruang Berdimensi-3 Disusun oleh: Achmad Fachrurozi Albert Martin Sulistio Iffatul Mardhiyah Rifki Kosasih Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciVektor di Bidang dan di Ruang
Vektor di Bidang dan di Ruang 4.1. Pengertian, notasi,dan operasi pada ektor Vektor merupakan istilah untuk menyatakan besaran yang mempunyai arah. Secara geometris, ektor dinyakan dengan segmen-segmen
Lebih terperinciMATRIKS. kolom, sehingga dapat dikatakan matriks berordo 3 1 Penamaan suatu matriks biasa menggunakan huruf kapital
MATRIKS A. Pengertian, Notasi dan Ordo Suatu Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur berdasarkan baris dan kolom sehingga membentuk persegi panjang. Ukuran panjang dan lebar matriks ditentukan
Lebih terperinciPelabelan matriks menggunakan huruf kapital. kolom ke-n. kolom ke-3
MATRIKS a. Konsep Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegipanjang dan diletakkan di dalam kurung biasa ( ) atau
Lebih terperincierkalian Silang, Garis & Bidang dalam Dimensi 3
erkalian Silang, Garis & Bidang dalam Dimensi 3 TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : Dapat menghitung perkalian silang dari suatu vektor dan mengetahui
Lebih terperinciVEKTOR 2 SMA SANTA ANGELA. A. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Dilambangkan dengan :
1 SMA SANTA ANGELA VEKTOR A. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Dilambangkan dengan : A B Keterangan : Titik A disebut titik Pangkal Titik B disebut titik Ujung Dinotasikan
Lebih terperinci2. MATRIKS. 1. Pengertian Matriks. 2. Operasi-operasi pada Matriks
2. MATRIKS 1. Pengertian Matriks Matriks adalah himpunan skalar yang disusun secara empat persegi panjang menurut baris dan kolom. Matriks diberi nama huruf besar, sedangkan elemen-elemennya dengan huruf
Lebih terperinciAljabar Linear dan Matriks (Persamaan Linear dan Vektor) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.
Aljabar Linear dan Matriks (Persamaan Linear dan Vektor) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs. . Matriks dan Sistem Persamaan Linear Definisi Persamaan dalam variabel dan y dapat ditulis dalam
Lebih terperinciJika titik O bertindak sebagai titik pangkal, maka ruas-ruas garis searah mewakili
4.5. RUMUS PERBANDINGAN VEKTOR DAN KOORDINAT A. Pengertian Vektor Posisi dari Suatu Titik Misalnya titik A, B, C Dan D. adalah titik sebarang di bidang atau di ruang. Jika titik O bertindak sebagai titik
Lebih terperinciIKIP BUDI UTOMO MALANG. Analytic Geometry TEXT BOOK. Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
IKIP BUDI UTOMO MALANG Analytic Geometry TEXT BOOK Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd 2012 DAFTAR ISI 1 VEKTOR 1.1 Vektor Pada Bidang... 4 1.2 Vektor Pada Ruang... 6 1.3 Operasi Vektor.. 8 1.4 Perkalian
Lebih terperincia11 a12 x1 b1 Definisi Vektor di R 2 dan R 3
a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Definisi Vektor di R 2 dan R 3 a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Pendahuluan Notasi dan Pengertian Dasar Skalar, suatu konstanta yang dituliskan dalam huruf kecil Vektor,
Lebih terperinciYang dibahas : Ortogonal Basis ortogonal Ortonormal Matrik ortogonal Komplemen ortogonal Proyeksi ortogonal Faktorisasi QR
Ortogonal Yang dibahas : Ortogonal Basis ortogonal Ortonormal Matrik ortogonal Komplemen ortogonal Proyeksi ortogonal Faktorisasi QR Ortogonal Himpunan vektor {v, v,.., v k } dalam R n disebut himpunan
Lebih terperinciKS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Vektor di Ruang N TIM KALIN
KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Vektor di Ruang N TIM KALIN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan: Dapat mengetahui definisi dan dapat menghitung perkalian
Lebih terperinciBab1. Sistem Bilangan
Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Sistim Bilangan Bab. Sistem Bilangan. Sistim Bilangan Jenis bilangan berkembang sejalan dengan perkembangan peradaban dan ilmu pengetahuan. Jenis bilangan yang pertama kali
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. nyata (fenomena-fenomena alam) ke dalam bagian-bagian matematika yang. disebut dunia matematika (mathematical world).
5 II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Pemodelan Matematika Definisi pemodelan matematika : Pemodelan matematika adalah suatu deskripsi dari beberapa perilaku dunia nyata (fenomena-fenomena alam) ke dalam bagian-bagian
Lebih terperinciMODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI
214 MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI Astri Fitria Nur ani Aljabar Linear 1 1/1/214 1 DAFTAR ISI DAFTAR ISI... i BAB I MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN A. Pendahuluan... 1 B. Aljabar
Lebih terperinciVEKTOR. Gambar 1.1 Gambar 1.2 Gambar 1.3. Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si.
VEKTOR 1 A. Definisi vektor Beberapa besaran Fisika dapat dinyatakan dengan sebuah bilangan dan sebuah satuan untuk menyatakan nilai besaran tersebut. Misal, massa, waktu, suhu, dan lain lain. Namun, ada
Lebih terperinciMATRIKS. a A mxn = 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn a ij disebut elemen dari A yang terletak pada baris i dan kolom j.
MATRIKS A. Definisi Matriks 1. Definisi Matriks dan Ordo Matriks Matriks adalah susunan bilangan (elemen) yang disusun menurut baris dan kolom dan dibatasi dengan tanda kurung. Jika suatu matriks tersusun
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Untuk mencapai tujuan penulisan penelitian diperlukan beberapa pengertian dan teori yang berkaitan dengan pembahasan. Dalam subbab ini akan diberikan beberapa teori berupa definisi,
Lebih terperinciVEKTOR. maka a c a c b d b d. , maka panjang (besar/nilai) vector u ditentukan dengan rumus. maka panjang vector
VEKTOR Bab a. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor. OA a ; OB b maka OA AB OB AB OB OA AB b a a u b dan c v d maka a c a c u v b d b d Contoh : Tentukan nilai x dan y dari x y + y = 8 Jawab : x + 8 + y =
Lebih terperinciBab 1 : Skalar dan Vektor
Bab 1 : Skalar dan Vektor 1.1 Skalar dan Vektor Istilah skalar mengacu pada kuantitas yang nilainya dapat diwakili oleh bilangan real tunggal (positif atau negatif). x, y dan z kita gunakan dalam aljabar
Lebih terperinciBAB II DASAR DASAR TEORI
BAB II DASA DASA TEOI.. uang ruang Vektor.. uang Vektor Umum Defenisi dan sifat sifat sederhana Defenisi : Misalkan V adalah sebarang himpunan benda yang didefenisikan dua operasi, yakni penambahan perkalian
Lebih terperinciP2.1 Teori. Secara umum, matriks Amxn = Pada matriks A di atas a23 menyatakan elemen matriks A pada baris ke-2 dan kolom ke Jenis-Jenis Matriks
Pertemuan 2 Matriks Objektif: 1. Praktikan memahami konsep matriks. 2. Praktikan dapat mencari penjumlahan matriks, perkalian matriks dari 2 buah matriks. 3. Praktikan dapat membuat program tentang penjumlahan
Lebih terperinciL mba b ng n g d a d n n n o n t o asi Ve V ktor
ANALISIS VEKTOR Vektor dan Skalar Macam-macam macam kuantitas dalam fisika seperti: temperatur, volume, dan kelajuan dapat ditentukan dengan angka riil (nyata). Kuantitas seperti disebut dengan skalar.
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN BULAT
SISTEM BILANGAN BULAT A. Bilangan bulat Pengertian Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0. Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil
Lebih terperinciTRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor)
Outline TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc PS. Pendidikan Matematika PS. Sistem Informasi University of Jember Indonesia Jember, 2009 Outline
Lebih terperinciBAB MATRIKS. Tujuan Pembelajaran. Pengantar
BAB II MATRIKS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan dapat: 1. menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah 1 dan 2
Aljabar Linier Elementer Kuliah 1 dan 2 1.3 Matriks dan Operasi-operasi pada Matriks Definisi: Matriks adalah susunan bilangan dalam empat persegi panjang. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut disebut
Lebih terperinciCourse of Calculus MATRIKS. Oleh : Hanung N. Prasetyo. Information system Departement Telkom Politechnic Bandung
Course of Calculus MATRIKS Oleh : Hanung N. Prasetyo Information system Departement Telkom Politechnic Bandung Matriks dan vektor merupakan pengembangan dari sistem persamaan Linier. Matriks dapat digunakan
Lebih terperinciAljabar Linier & Matriks
Aljabar Linier & Matriks 1 Pendahuluan Ruang vektor tidak hanya terbatas maksimal 3 dimensi saja 4 dimensi, 5 dimensi, dst ruang n-dimensi Jika n adalah bilangan bulat positif, maka sekuens sebanyak n
Lebih terperinciL mba b ng n g d a d n n n o n t o asi Ve V ktor
ANALISIS VEKTOR Vektor dan Skalar Macam-macammacam kuantitas dalam fisika seperti: temperatur, volume, dan kelajuan dapat ditentukan dengan angka riil (nyata). Kuantitas seperti itu disebut dengan skalar.
Lebih terperinciFUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya
FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah
Lebih terperinci19. VEKTOR. 2. Sudut antara dua vektor adalah θ. = a 1 i + a 2 j + a 3 k; a. a =
19. VEKTOR A. Vektor Secara Geometri 1. Ruas garis berarah AB = b a. Sudut antara dua vektor adalah θ 3. Bila AP : PB = m : n, maka: B. Vektor Secara Aljabar a1 1. Komponen dan panjang vektor: a = a =
Lebih terperinciVektor di R 2 dan R 3
Vektor di R dn R Pengertin Vektor dlh besrn yng mempunyi besr dn rh Vektor digmbrkn oleh rus gris yng dilengkpi dengn nk pnh vektor dimuli dri titik wl (initil point) dn dikhiri oleh titik khir (terminl
Lebih terperinciVektor Ruang 2D dan 3D
Vektor Ruang 2D dan D Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak
Lebih terperinciG a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
Lebih terperinci(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
MATRIKS Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 1 / 66 Topik Bahasan 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Determinan matriks 4 Matriks Invers 5 Operasi
Lebih terperinciStruktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian. grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
GRUP Bab ini merupakan awal dari bagian pertama materi utama perkuliahan Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Dalam bab ini akan diberikan beberapa materi yang akan diperlukan di dalam pembahasan, seperti: matriks secara umum; matriks yang dipartisi; matriks tereduksi dan taktereduksi; matriks
Lebih terperinciDiferensial Vektor. (Pertemuan III) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan III) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Perkalian Titik Perkalian titik dari dua buah vektor A dan B pada bidang dinyatakan
Lebih terperinciBAB 5 RUANG VEKTOR A. PENDAHULUAN
BAB 5 RUANG VEKTOR A. PENDAHULUAN 1. Definisi-1. Suatu ruang vektor adalah suatu himpunan objek yang dapat dijumlahkan satu sama lain dan dikalikan dengan suatu bilangan, yang masing-masing menghasilkan
Lebih terperinciPertemuan 1 Sistem Persamaan Linier dan Matriks
Matriks & Ruang Vektor Pertemuan Sistem Persamaan Linier dan Matriks Start Matriks & Ruang Vektor Outline Materi Pengenalan Sistem Persamaan Linier (SPL) SPL & Matriks Matriks & Ruang Vektor Persamaan
Lebih terperinciBab 2. Teori Dasar. 2.1 Erlanger Program Kongruen
Bab 2 Teori Dasar 2.1 Erlanger Program Erlanger program digunakan untuk menjelaskan geometri. Erlanger program memungkinkan pengembangan yang seragam dan perbandingan geometri yang berbeda. Membandingkan
Lebih terperinciMatematika Teknik INVERS MATRIKS
INVERS MATRIKS Dalam menentukan solusi suatu SPL selama ini kita dihadapkan kepada bentuk matriks diperbesar dari SPL. Cara lain yang akan dikenalkan disini adalah dengan melakukan OBE pada matriks koefisien
Lebih terperincia11 a12 x1 b1 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Tahun Ajaran 2016/2016: Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA.
a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Tahun Ajaran 2016/2016: Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA. a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Setijo Bismo
Lebih terperinciDIKTAT ALJABAR LINIER DAN MATRIKS VEKTOR. Penyusun Ir. S. Waniwatining Astuti, M.T.I.
DIKTAT ALJABAR LINIER DAN MATRIKS VEKTOR Penyusun Ir. S. Waniwatining Astuti, M.T.I. SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER GLOBAL INFORMATIKA MDP 24 KATA PENGANTAR Pertama-tama penulis mengucapkan
Lebih terperinciALJABAR LINEAR ELEMENTER
BAHAN AJAR ALJABAR LINEAR ELEMENTER Disusun oleh : Indah Emilia Wijayanti Al. Sutjijana Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Gadjah Mada Desember, 22 ii Daftar Isi Sistem Persamaan Linear dan Matriks.
Lebih terperinciKonsep Dasar. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Konsep Dasar M PENDAHULUAN Drs. Suryo Guritno, M.Stats., Ph.D. ateri yang akan dibahas dalam modul ini adalah konsep-konsep dasar aljabar matriks yang meliputi pengertian matriks, vektor dan skalar;
Lebih terperinciRuang Vektor. Kartika Firdausy UAD blog.uad.ac.id/kartikaf. Ruang Vektor. Syarat agar V disebut sebagai ruang vektor. Aljabar Linear dan Matriks 1
Ruang Vektor Kartika Firdausy UAD blog.uad.ac.id/kartikaf Syarat agar V disebut sebagai ruang vektor 1. Jika vektor vektor u, v V, maka vektor u + v V 2. u + v = v + u 3. u + ( v + w ) = ( u + v ) + w
Lebih terperinciModul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 4) A. Pendahuluan Matriks dan Sistem Persamaan Linear
Modul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 4) A. Pendahuluan Salah satu kajian matematika sekolah menengah yang memiliki banyak aplikasinya dalam menyelesaikan permasalahan yang ada dalam kehidupan
Lebih terperinciKS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Ruang Vektor TIM KALIN
KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Ruang Vektor TIM KALIN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan: Dapat mengetahui definisi dan sifat-sifat dari ruang vektor
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. bilangan riil. Bilangan riil biasanya dilambangkan dengan huruf R (Negoro dan
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Sistem Bilangan Riil Definisi Bilangan Riil Gabungan himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irrasional disebut bilangan riil. Bilangan riil biasanya dilambangkan dengan
Lebih terperinci