Yang dibahas : Ortogonal Basis ortogonal Ortonormal Matrik ortogonal Komplemen ortogonal Proyeksi ortogonal Faktorisasi QR
|
|
- Bambang Pranata
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Ortogonal
2 Yang dibahas : Ortogonal Basis ortogonal Ortonormal Matrik ortogonal Komplemen ortogonal Proyeksi ortogonal Faktorisasi QR
3 Ortogonal Himpunan vektor {v, v,.., v k } dalam R n disebut himpunan ortogonal jika semua pasangan dalam himpunan vektor tersebut adalah ortogonal yaitu jika : v i. v j = 0 ketika i j untuk i, j =,,.., k Basis standar {e, e,.., e n } dalam R n adalah himpunan ortogonal.
4 Contoh : Tunjukkan bahwa {v, v, v 3 } adalah himpunan ortogonal dalam R 3 jika : Jawab : 0 v, v, v Harus ditunjukkan bahwa setiap pasang adalah ortogonal v. v = (0) + () + (-)() = 0 v. v 3 = 0() + (-) +()() = 0 v. v = () + (-) +(-)()= 0 Kesimpulan : {v, v, v 3 } adalah himpunan ortogonal
5 Teori. Jika {v, v,.., v k } adalah himpunan vektor bukan nol yang ortogonal, maka vektor-vektor tersebut adalah bebas linier. Bukti : Jika c, c,., c k adalah skalar sehingga : c v + + c k v k =0 kemudian (c v + + c k v k ). v i = 0. v i = 0 Atau hal yang sama : c (v. v i )+.. +c i (v i. v i )+ + c k (v k. v i ) = 0 Karena {v, v,.., v k } adalah himpunan ortogonal, semua perkalian titik pasangan vektor adalah nol kecuali (v i. v i ), sehingga persamaan dapat diringkas menjadi : c i (v i. v i ) = 0
6 Dengan hipotesa : v i 0 sehingga v i. v i 0, oleh karena itu yang harus memiliki nilai = 0 adalah c i. Hal ini juga berlaku untuk semua i =,.. k, sehingga disimpulkan bahwa {v, v,.., v k } adalah bebas linier. Basis Ortogonal Definisi : Basis ortogonal dari subruang W dari R n adalah basis dari W merupakan himpunan ortogonal. Contoh soal : Cari basis ortogonal dari subruang W dari R 3 yaitu : x W y : x y z 0 z
7 Jawab : Subruang W adalah bidang yang berada pada R 3, dari persamaan bidang diperoleh : x = y z. Maka W terdiri dari vektor dengan bentuk : y z - Jadi vektor u = y y z 0 z 0 dan v = 0-0 adalah basis W, namun tidak ortogonal. Untuk memenuhi syarat ortogonal, diperlukan vektor bukan nol lain dalam W yang ortogonal pada salah satu vektor tersebut.
8 x Anggap w y adalah vektor dalam W yang ortogonal z dengan u. Karena w dalam bidang W : x-y+z = 0, maka u.w = 0 diperoleh persamaan : x+y = 0. Dengan menyelesaikan SPL : x-y+z = 0 x+y = 0 Didapatkan : x = -z dan y = z Jadi vektor tidak nol w dapat dituliskan dalam bentuk : w -z z z
9 - Jika diambil w dengan mudah dapat dibuktikan bahwa [u,w] adalah himpunan ortogonal dalam W, sehingga merupakan basis ortogonal W dan dim W=. Teori. Jika {v, v,.., v k } adalah basis ortogonal dari subruang W dari R n dan w merupakan vektor dalam W, maka skalar unik c,., c k dapat ditulis : w = c v + + c k v k Menghasilkan : c i wv. vv. i i i untuk i =,, k
10 Contoh soal : Carilah koordinat w yang menjadi basis ortogonal 3 dari B = {v, v, v 3 } dengan Jawab : c wv. 3 vv v, v, v c c 3 wv v. v 0 wv. 3 3 vv
11 Jadi : w = c v + c v + c 3 v 3 = /6 v + 5/ v + /3 v 3 Sehingga koordinat w yang menjadi basis ortogonal B adalah : 6 w B 5 3
12 Ortonormal Definisi : himpunan vektor dalam R n adalah himpunan ortonormal jika terdapat himpunan ortogonal dari vektor satuan. Basis ortonormal untuk subruang W dari R n adalah basis dari W dan merupakan himpunan ortonormal. Catatan : Jika S= {q,.., q k } adalah himpunan vektor ortonormal, kemudian q. q = 0 untuk i j dan Kenyataannya bahwa setiap q i merupakan vektor satuan dengan kata lain : q i. q i =. Disimpulkan bahwa : S merupakan ortonormal jika : 0 jika i j qq i. j jika i j q i
13 Contoh soal :. Tunjukkan bahwa S = {q,q } adalah himpunan ortonormal dalam R 3 jika : Jawab : qq. 0 q qq q. q dan Jika terdapat himpunan ortogonal, maka dapat dengan mudah ditentukan himpunan ortonormalnya yaitu menormalisasi setiap vektor himpunan ortogonal tersebut. q ortonormal
14 . Bangun basis ortonormal untuk R 3 dari vektor-vektor : 0 v, v, v Jawab : dari penyelesaian soal sebelumnya diketahui bahwa v, v, dan v 3 adalah basis ortogonal, jadi tinggal menormalisasi setiap vektor diperoleh : q q v Jadi {q, q, q 3 } merupakan basis ortonormal untuk R v v v3 3 3, q v 0 0 v
15 Teori 3. Jika {q, q..., q k } basis ortonormal dari subruang W dari R n dan w adalah vektor dalam W, maka : w = (w. q )q + (w. q )q + + (w. q k ) q k Matrik ortogonal Definisi : Suatu matrik Q ukuran n x n yang memiliki kolom berbentuk himpunan ortonormal disebut: matrik ortogonal. Teori 4. Kolom matrik Q ukuran m x n berbentuk himpunan ortonormal jika dan hanya jika Q T Q = I n Teori 5. Matrik bujursangkar Q adalah ortogonal jika dan hanya jika Q - = Q T
16 Contoh soal : Tunjukkan bahwa matrik-matrik berikut ini adalah ortogonal dan carilah matrik inversnya! A Jawab : dan 0 0 cos Kolom matrik A merupakan vektor-vektor basis standar dari R 3 jelas merupakan ortonormal, sehingga A adalah ortogonal dan A B A T sin sin cos
17 Untuk matrik B dilakukan pengecekan sebagai berikut : T BB cos sin cos sin sin cos sin cos cos sin cos sin sin cos sin cos cos sin sin cos 0 0 Oleh karena itu B adalah ortogonal, dan B T cos sin B sin cos
18 Teori 6. Ambil Q matrik nxn, maka pernyataan berikut ini memiliki arti yang sama : a. Q adalah ortogonal. b. c. Qx x untuk setiap x dalam R Qx. Qy x. y untuk setiap x dan y dalam R Teori 7. Jika Q adalah matrik ortogonal, maka elemen baris merupakan himpunan ortonormal. Teori 8. Ambil Q merupakan matrik ortogonal. a. Q - adalah ortogonal b. det Q = c. Jika λ adalah nilai eigen dari Q, maka d. Jika Q dan Q adalah matrik ortogonal nxn, maka demikian juga untuk Q Q n n
19 Komplemen ortogonal Definisi : Ambil W subruang dari R n. Sebuah vektor v dalam R n ortogonal dengan W jika v ortogonal dengan setiap vektor dalam W. Himpunan semua vektor yang ortogonal dengan W disebut komplemen ortogonal dari W ditulis sebagai: W W = {v dalam R n : v.w = 0 untuk semua w dalam W} v w W W dan W = l
20 Teori 9. Ambil W subruang dari R n. a. b. W adalah subruang dari R n. ( W ) W W c. W = {0} d. Jika W = span (w,, w k ), maka v berada dalamw jika dan hanya jika v. w i = 0 untuk semua i=,.,k Teori 0. Ambil A matrik m x n. Komplemen ortogonal dari ruang baris A adalah ruang null A dan komplemen ortogonal dari ruang kolom A adalah ruang null A T T ( baris( A)) null( A) dan ( kolom( A)) null( A )
21 Jadi suatu matrik m x n mempunyai 4 subruang : baris (A) dan null (A) : komplemen ortogonal dari R n kolom (A) dan null (A T ): komplemen ortogonal dari R m Disebut : subruang fundamental dari matrik A mx n null (A) null (A T ) 0 0 T A baris (A) R n kolom (A) R m
22 Contoh soal :. Carilah basis dari 4 subruang fundamental dari : 3 6 A dan buktikan bahwa : Jawab : T ( baris( A)) null( A) dan ( kolom( A)) null( A ) Dengan mereduksi eselon baris dari A diperoleh :
23 R baris (A) = baris (R) Baris (A) = span (r, r, r 3 ) dengan : r = { 0 0 -}, r = {0 0 3}, r 3 = { } Dengan menyelesaikan persamaan homogen Rx = 0 diperoleh : x x s t - -s-3t - -3 x x s s t 0 su tv x x -4t 0-4 t 0
24 Null (A) = span (u, v) dengan : - u = - dan v = Untuk menunjukkan ( baris( A)) null( A) cukup dengan menunjukkan bahwa setiap vektor r ortogonal dengan u dan v. Selanjutnya, dapat dilihat bahwa : r 3 = r + r dan r 5 = -r + 3r + 4r 4
25 Dengan demikian r 3 dan r 5 tidak memberikan kontribusi apapun pada kolom (R), sehingga vektor kolom r, r dan r 4 adalah bebas linier dan merupakan vektor satuan. Jadi basis kolom A = span{a, a, a 3 } dengan : - a, a, a Perhitungan null(a T ) dilakukan dengan reduksi baris : T A
26 Jika y didalam null(a T ) dengan y = - y 4, y = -6 y 4 dan y 3 = -3y 4, maka dapat diperoleh hasil : null(a T ) = - y 4-6y4 6 span -3y 3 y 4 4 Dengan mudah dapat dibuktikan bahwa vektor tersebut ortogonal dengan a, a, a 3 sehingga terbukti bahwa : T ( kolom( A)) null( A )
27 . Ambil W adalah subruang R 5 yang dibangun oleh : w 5, w, w Tentukan basis dari W Jawab : subruang W dibangun oleh w,w dan w 3 sama dengan ruang kolom dari : A
28 Teori 0 menyatakan Sehingga dapat dihitung : T A y didalam y = 3 y 4 4 y 5, y = y 4 3 y 5 dan y 3 = y 5 Sehingga diperoleh : Ada vektor basis untuk T W ( kolom( A)) null( A ) W jika dan hanya jika : -3y - 4y y - 3y W - y span 0 - W y y
29 Proyeksi ortogonal Definisi : Ambil W subruang dari R n dan {u, u..., u k } merupakan basis ortogonal W. Untuk setiap vektor v dalam R n, maka proyeksi ortogonal v pada W didefinisikan sebagai : uv. uk. v proy v u u. u. u w( )... uu Komponen v ortogonal ke W adalah vektor : v perp ( v) v proy ( v) w w k k k u perp u (v) u v p proy u (v) p p W u
30 Contoh soal : Jika W bidang dalam R 3 dengan persamaan x-y+z=0 dan 3 v - Carilah proyeksi ortogonal v pada W dan komponen v yang ortogonal ke W! Jawab : W terdiri dari vektor dengan bentuk : y z - y y z 0 z 0
31 Diperoleh vektor basis W : u = 0 dan u = - Proyeksi ortogonal v pada W adalah : u. v u. v proyw() v u u u u. u. u v proy w (v) perp w (v) W
32 Dan komponen v ortogonal pada W adalah : perp w (v) = v proj w (v)= Dengan mudah dapat di tunjukkan bahwa proj w (v) berada dalam W karena hasilnya memenuhi persamaan bidang. Demikian pula halnya dengan perp w (v) adalah ortogonal ke W karena merupakan perkalian skalar dari vektor normal terhadap W. -
33 Dekomposisi ortogonal Teori. Jika W merupakan subruang dari R n dan v adalah vektor dalam R n, maka ada vektor-vektor unik w dalam W dan w dalam W dapat dituliskan : v = w + w Teori. Jika W merupakan subruang dari R n, maka : dim W + dim W = n
34 Faktorisasi QR Teori 3. Jika A merupakan matrik mxn yang memiliki kolom bebas linier, maka A dapat difaktorisasi sebagai QR dengan : Q adalah matrik mxn yang memiliki kolom ortogonal dan R adalah matrik segitiga atas yang invertible. Untuk melihat terjadinya faktorisasi QR, misalkan a,,a n adalah kolom bebas linier dari matrik A dan q,,q n adalah vektor ortonormal yang diperoleh dari normalisasi matrik A dengan menggunakan metode Gramm-Schmidt. Untuk setiap i =,..,n : W i = span (a,,a i ) = span (q,,q i ) Sehingga jika terdapat skalar r i,r i,r ii dapat dituliskan : a i = r i q + r i q +..+r ii q i untuk i=,, n
35 Diperoleh hasil : a = r q a = r q + r q a n = r n q + r n q +..+r nn q n Dituliskan dalam bentuk matrik sebagai berikut : r r... r n 0 r... r n A a a... an q q... qn QR r nn
36 Contoh soal : Cari faktorisasi QR dari : Jawab : Subruang W dibangun oleh x,x dan x 3 sama dengan ruang kolom dari matrik A. {x,x, x 3 } adalah himpuan bebas linier, sehingga merupakan basis dari W. Ambil v = x, selanjutnya dengan metode Gramm-Schmidt dihitung komponen x yang ortogonal pada W = span (v ) v perp ( x ) x v A v. x - vv w 3 3
37 Untuk menghilangkan pecahan pada v dilakukan perkalian skalar tanpa merubah hasil akhirnya. Dengan demikian v dirubah menjadi : 3 Selanjutnya dihitung komponen x 3 ortogonal pada W = span (x,x ) = span (v,v )= span ( v, v ) menggunakan basis ortogonal v ( v, v) v 3 3 v perp ( x ) x v v 3 3 v. x v. x v. v v. v w 3 3 -
38 Kembali dilakukan penskalaan ulang : v v Akhirnya diperoleh basis ortogonal 0 v, v, v3 Untuk mendapatkan basis ortonormal dilakukan normalisasi setiap vektor q v v untuk W
39 q v v q v v
40 Jadi Q q q q A = QR, untuk mencari R suatu matrik segitiga atas, digunakan kenyataan bahwa Q memiliki kolom orto-normal sehingga Q T Q = I. Oleh karena itu : Q T A=Q T QR = IR=R Diperoleh hasil akhir : R T Q A
41 Diagonalisasi ortogonal dari matrik simetri Definisi : Matrik bujursangkar A dapat didiagonalisai ortogonal jika terdapat matrik ortogonal Q dan matrik diagonal D sehingga diperoleh : Q T AQ = D Teori 4. Jika A dapat didiagonalisai ortogonal, maka A adalah matrik simetri Bukti : Karena Q - = Q T diperoleh Q T Q = I = QQ T sehingga : QDQ T = QQ T AQQ T = IAI = A Tetapi juga : A T = (QDQ T ) T = (Q T ) T D T Q T = QDQ T = A Setiap matrik diagonal adalah simetri, maka A simetri.
42 Latihan soal :. V=R 3 dengan perkalian skalar <a,b>= a b + a b + 3a 3 b 3 Tentukan proyeksi ortogonal a= (,,), b= (,,). V=R 3 dengan perkalian skalar <a,b>= a b + a b + a 3 b 3 W subruang linier yang dibangun oleh {(-,,), (,,)} dan v = (,,3) Tentukan proyeksi ortogonal v pada W
7. NILAI-NILAI VEKTOR EIGEN. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diagonalisasi Diagonalisasi Ortogonal
7. NILAI-NILAI VEKTOR EIGEN Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diagonalisasi Diagonalisasi Ortogonal Nilai Eigen, Vektor Eigen Diketahui A matriks nxn dan x adalah suatu vektor pada R n, maka biasanya tdk ada
Lebih terperinciDIKTAT PERKULIAHAN. EDISI 1 Aljabar Linear dan Matriks
DIKTAT PERKULIAHAN EDISI 1 Aljabar Linear dan Matriks Penulis : Ednawati Rainarli, M.Si. Kania Evita Dewi, M.Si. JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS KOMPUTER INDONESIA BANDUNG 011 IF/011 1 DAFTAR ISI
Lebih terperinciEigen value & Eigen vektor
Eigen value & Eigen vektor Hubungan antara vektor x (bukan nol) dengan vektor Ax yang berada di R n pada proses transformasi dapat terjadi dua kemungkinan : 1) 2) Tidak mudah untuk dibayangkan hubungan
Lebih terperinciAljabar Linear Elementer
BAB I RUANG VEKTOR Pada kuliah Aljabar Matriks kita telah mendiskusikan struktur ruang R 2 dan R 3 beserta semua konsep yang terkait. Pada bab ini kita akan membicarakan struktur yang merupakan bentuk
Lebih terperinciAljabar Linier Sistem koordinat, dimensi ruang vektor dan rank
Aljabar Linier Sistem koordinat, dimensi ruang vektor dan rank khozin mu tamar 9 Oktober 2014 PERTEMUAN-4 : SISTEM KOORDINAT, DIMEN- SI RUANG VEKTOR DAN RANK 1. Sistem koordinat (a) Ketunggalan scalar
Lebih terperinciALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I)
ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I) 1 MATERI ALJABAR LINIER VEKTOR DALAM R1, R2 DAN R3 ALJABAR VEKTOR SISTEM PERSAMAAN LINIER MATRIKS, DETERMINAN DAN ALJABAR MATRIKS, INVERS MATRIKS
Lebih terperinciBAB 6 RUANG HASIL KALI DALAM. Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT.
BAB 6 RUANG HASIL KALI DALAM Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT. KERANGKA PEMBAHASAN 1. Hasil Kali Dalam 2. Sudut dan Keortogonalan pada Ruang Hasil Kali Dalam 3.Basis Ortogonal, Proses Gram-Schmidt 4.Perubahan
Lebih terperinciSUMMARY ALJABAR LINEAR
SUMMARY ALJABAR LINEAR SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta
Lebih terperinciSOLUSI PENDEKATAN TERBAIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR TAK KONSISTEN MENGGUNAKAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR
Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 03, No. 1 (2014), hal 91 98. SOLUSI PENDEKATAN TERBAIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR TAK KONSISTEN MENGGUNAKAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR Febrianti,
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Pembahasan mendasar mengenai matriks terutama yang berkaitan dengan matriks yang dapat didiagonalisasi telah jelas disajikan dalam referensi yang biasanya digunakan
Lebih terperinciCHAPTER 6. Ruang Hasil Kali Dalam
CHAPTER 6. Ruang Hasil Kali Dalam Hasil Kali Dalam Sudut dan Ortogonal dalam Ruang Hasil Kali Dalam Orthonormal Bases; Gram-Schmidt Process; QR-Decomposition Best Approximation; Least Squares Orthogonal
Lebih terperinciMATRIKS. Notasi yang digunakan NOTASI MATRIKS
MATRIKS Beberapa pengertian tentang matriks : 1. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom.
Lebih terperinciPERTEMUAN 11 RUANG VEKTOR 1
PERTEMUAN 11 RUANG VEKTOR 1 TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : Dapat mengetahui definisi dan sifat-sifat dari ruang vektor Dapat mengetahui definisi
Lebih terperinciPengantar Vektor. Besaran. Vektor (Mempunyai Arah) Skalar (Tidak mempunyai arah)
Pengantar Vektor Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak
Lebih terperinciCHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE
CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE Inner Prodcts Angle and Orthogonality in Inner Prodct Spaces Orthonormal Bases; Gram-Schmidt Process; QR-Decomposition Best Approximation; Least Sqares Orthogonal Matrices;
Lebih terperinciMATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI
MATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI SAP (1) Buku : Suryadi H.S. 1991, Pengantar Aljabar dan Geometri analitik Vektor Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor Susunan
Lebih terperinciMATRIKS A = ; B = ; C = ; D = ( 5 )
MATRIKS A. DEFINISI MATRIKS Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segi empat dari suatu unsur-unsur pada beberapa sistem aljabar. Unsur-unsur tersebut bisa berupa bilangan dan juga suatu peubah.
Lebih terperinciKS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Ruang Vektor TIM KALIN
KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Ruang Vektor TIM KALIN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan: Dapat mengetahui definisi dan sifat-sifat dari ruang vektor
Lebih terperinciPertemuan 1 Sistem Persamaan Linier dan Matriks
Matriks & Ruang Vektor Pertemuan Sistem Persamaan Linier dan Matriks Start Matriks & Ruang Vektor Outline Materi Pengenalan Sistem Persamaan Linier (SPL) SPL & Matriks Matriks & Ruang Vektor Persamaan
Lebih terperinciPROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO
PERANGKAT PEMBELAJARAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER 2 KODE : MKK414515 DOSEN PENGAMPU : Annisa Prima Exacta, M.Pd. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS
Lebih terperinciBab 7 Sistem Pesamaan Linier. Oleh : Devie Rosa Anamisa
Bab 7 Sistem Pesamaan Linier Oleh : Devie Rosa Anamisa Pendahuluan Bentuk umum dari aljabar linier sebagai berikut: a11x1 + a12a 12X2 +... + a1na 1nXn = b1b a21x1 + a22a 22X2 +... + a2na 2nXn = b2b...............
Lebih terperinci8.1 Transformasi Linier Umum. Bukan lagi transformasi R n R m, tetapi transformasi linier dari
8.1 Transformasi Linier Umum Bukan lagi transformasi R n R m, tetapi transformasi linier dari ruang vektor V vektor W. Definisi Jika T: V W adalah suatu fungsi dari suatu ruang vektor V ke ruang vektor
Lebih terperinciRuang Vektor. Kartika Firdausy UAD blog.uad.ac.id/kartikaf. Ruang Vektor. Syarat agar V disebut sebagai ruang vektor. Aljabar Linear dan Matriks 1
Ruang Vektor Kartika Firdausy UAD blog.uad.ac.id/kartikaf Syarat agar V disebut sebagai ruang vektor 1. Jika vektor vektor u, v V, maka vektor u + v V 2. u + v = v + u 3. u + ( v + w ) = ( u + v ) + w
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah ke-9
Aljabar Linier Elementer Kuliah ke-9 Materi kuliah Hasilkali Titik Proyeksi Ortogonal 7/9/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Hasilkali Titik dari Vektor-Vektor Definisi Jika u dan v adalah vektor-vektor
Lebih terperinciHand-Out Geometri Transformasi. Bab I. Pendahuluan
Hand-Out Geometri Transformasi Bab I. Pendahuluan 1.1 Vektor dalam R 2 Misalkan u = (x 1,y 1 ), v = (x 2,y 2 ) dan w = (x 3,y 3 ) serta k skalar (bilangan real) Definisi 1. : Penjumlahan vektor u + v =
Lebih terperinciSuatu himpunan tak kosong F dengan operasi penjumlahan dan perkalian, dikatakan sebagai field jika untuk setiap,, memenuhi sifat-sifat berikut:
Bagian 5. RUANG VEKTOR 5.1 Lapangan (Field) Suatu himpunan tak kosong F dengan operasi penjumlahan dan perkalian, dikatakan sebagai field jika untuk setiap,, memenuhi sifat-sifat berikut: 1. dan 2., 3.,
Lebih terperinciBAB V DIAGONALISASI DAN DEKOMPOSISI MATRIKS. Sub bab ini membahas tentang faktorisasi matriks A berorde nxn ke dalam hasil
BAB V DIAGONALISASI DAN DEKOMPOSISI MATRIKS. Diagonalisasi Sub bab ini membahas tentang faktorisasi matriks A berorde nn ke dalam hasil kali berbentuk PDP, di mana D adalah matriks diagonal. Jika diperoleh
Lebih terperinciBAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS
BAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS A. OPERASI ELEMENTER TERHADAP BARIS DAN KOLOM SUATU MATRIKS Matriks A = berdimensi mxn dapat dibentuk matriks baru dengan menggandakan perubahan bentuk baris dan/atau
Lebih terperinciBAB I MATRIKS DEFINISI : NOTASI MATRIKS :
BAB I MATRIKS DEFINISI : Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun/dijajarkan berbentuk persegi panjang (menurut baris dan kolom). Skalar-skalar itu disebut elemen matriks.
Lebih terperincierkalian Silang, Garis & Bidang dalam Dimensi 3
erkalian Silang, Garis & Bidang dalam Dimensi 3 TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : Dapat menghitung perkalian silang dari suatu vektor dan mengetahui
Lebih terperinciBAB 4 : SISTEM PERSAMAAN LINIER
BAB 4 : SISTEM PERSAMAAN LINIER 4.1 PERSAMAAN LINIER Misalnya x 2 Matematika analitik membicarakan ilmu ukur secara aljabar. Garis lurus pada bidang x 1 dan x 2 dapat dinyatakan sebagai persamaan a 1 x
Lebih terperinciPart II SPL Homogen Matriks
Part II SPL Homogen Matriks SPL Homogen Bentuk Umum SPL homogen dalam m persamaan dan n variabel x 1, x 2,, x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 3) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan invers matriks. 4) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan determinan matriks
1.1 LATAR BELAKANG BAB I PENDAHULUAN Teori matriks merupakan salah satu cabang ilmu aljabar linier yang menjadi pembahasan penting dalam ilmu matematika. Sejalan dengan perkembangan ilmu pengetahuan, aplikasi
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Linier Sistem Persamaan dengan m persamaan dan n bilangan tak diketahui ditulis dengan : Dimana x 1, x 2, x n : bilangan tak diketahui a,b : konstanta Jika SPL
Lebih terperinciDIKTAT MATA KULIAH ALJABAR LINEAR ELEMENTER (BAGIAN II) DISUSUN OLEH ABDUL JABAR, M.Pd
DIKTAT MATA KULIAH ALJABAR LINEAR ELEMENTER (BAGIAN II) DISUSUN OLEH ABDUL JABAR, M.Pd JURUSAN/PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA STKIP PGRI BANJARMASIN MARET MUQADIMAH Alhamdulillah penyusun ucapkan
Lebih terperinciKonsep Dasar. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Konsep Dasar M PENDAHULUAN Drs. Suryo Guritno, M.Stats., Ph.D. ateri yang akan dibahas dalam modul ini adalah konsep-konsep dasar aljabar matriks yang meliputi pengertian matriks, vektor dan skalar;
Lebih terperinciAljabar Linier & Matriks
Aljabar Linier & Matriks 1 Vektor Orthogonal Vektor-vektor yang saling tegak lurus juga sering disebut vektor orthogonal. Dua vektor disebut saling tegak lurus jika dan hanya jika hasil perkalian titik-nya
Lebih terperinciTrihastuti Agustinah
TE 9467 Teknik Numerik Sistem Linear Trihastuti Agustinah Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember O U T L I N E OBJEKTIF TEORI CONTOH 4 SIMPULAN
Lebih terperinciRuang Vektor Real. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul Ruang Vektor Real Drs. R.J. Pamuntjak, M.Sc. P PENDAHULUAN ada bagian pertama Modul 5 Aljabar Linear Elementer I sudah kita bahas sepuluh sifat untuk R dan R 3 mengenai penjumlahan dan perkalian
Lebih terperinciChapter 5 GENERAL VECTOR SPACE Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity
Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace Vektor-Vektor Baris & Kolom Vektor baris A (dalam R n ) Vektor kolom A
Lebih terperinciALJABAR LINIER DAN MATRIKS
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) Macam Matriks Matriks Nol (0) Matriks yang semua entrinya nol. Ex: Matriks Identitas (I) Matriks persegi dengan entri pada diagonal utamanya
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI A. Matriks 1. Pengertian Matriks Definisi II.A.1 Matriks didefinisikan sebagai susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Contoh II.A.1: 9 5
Lebih terperinciPart III DETERMINAN. Oleh: Yeni Susanti
Part III DETERMINAN Oleh: Yeni Susanti Perhatikan determinan matriks ukuran 2x2 berikut: Pada masing-masing jumlahan dan Terdapat wakil dari setiap baris dan setiap kolom. Bagaimana dengan tanda + (PLUS)
Lebih terperinciYang dipelajari. 1. Masalah Nilai Eigen dan Penyelesaiannya 2. Masalah Pendiagonalan. Referensi : Kolman & Howard Anton. Ilustrasi
7// NILAI EIGEN dan VEKTOR EIGEN Yang dipelajari.. Masalah Nilai Eigen dan Penyelesaiannya. Masalah Pendiagonalan Referensi : Kolman & Howard Anton. Ilustrasi Misalkan t : R n R n dengan definisi t(x)
Lebih terperinciRUANG VEKTOR UMUM AKSIOMA RUANG VEKTOR
7//5 RUANG VEKTOR UMUM Yang dibahas.. Ruang vektor umum. Subruang. Hubungan dependensi linier 4. Basis dan dimensi 5. Ruang baris, ruang kolom, ruang nul, rank dan nulitas AKSIOMA RUANG VEKTOR V disebut
Lebih terperinciTransformasi Linier. Transformasi linier memiliki beberapa fungsi yang perlu dipelajari. Fungsi-fungsi tersebut antara lain :
Transformasi Linier Objektif:. definisi transformasi linier umum.. definisi transformasi linier dari R n ke R m. 3. invers transformasi linier. 4. matrix transformasi 5. kernel dan jangkauan 6. keserupaan.definisi
Lebih terperinciKode, GSR, dan Operasi Pada
BAB 2 Kode, GSR, dan Operasi Pada Graf 2.1 Ruang Vektor Atas F 2 Ruang vektor V atas lapangan hingga F 2 = {0, 1} adalah suatu himpunan V yang berisi vektor-vektor, termasuk vektor nol, bersama dengan
Lebih terperincia11 a12 x1 b1 Definisi Vektor di R 2 dan R 3
a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Definisi Vektor di R 2 dan R 3 a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Pendahuluan Notasi dan Pengertian Dasar Skalar, suatu konstanta yang dituliskan dalam huruf kecil Vektor,
Lebih terperinciRUANG VEKTOR. Nurdinintya Athari (NDT)
1 RUANG VEKTOR Nurdinintya Athari (NDT) RUANG VEKTOR Sub Pokok Bahasan Ruang Vektor Umum Subruang Basis dan Dimensi Basis Subruang Beberapa Aplikasi Ruang Vektor Beberapa metode optimasi Sistem kontrol
Lebih terperinciBAB IV TRANSFORMASI LINEAR. sebuah vektor yang unik di dalam W dengan sebuah vektor di dalam V, maka kita mengatakan F
BAB IV TRANSFORMASI LINEAR 4.. Transformasi Linear Jika V dan W adalah ruang vektor dan F adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan sebuah vektor yang unik di dalam W dengan sebuah vektor di dalam V, maka
Lebih terperincidimana a 1, a 2,, a n dan b adalah konstantakonstanta
Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti sin, cos, dll.), perkalian, pembagian dengan peubah lain atau dirinya sendiri. Secara umum persamaan
Lebih terperinci5. PERSAMAAN LINIER. 1. Berikut adalah contoh SPL yang terdiri dari 4 persamaan linier dan 3 variabel.
1. Persamaan Linier 5. PERSAMAAN LINIER Persamaan linier adalah suatu persamaan yang variabel-variabelnya berpangkat satu. Disamping persamaan linier ada juga persamaan non linier. Contoh : a) 2x + 3y
Lebih terperinciSebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk :
Persamaan Linear Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk : a x + a y = b Persamaan jenis ini disebut sebuah persamaan linear dalam peubah x dan y. Definisi
Lebih terperinciPertemuan 2 & 3 DEKOMPOSISI SPEKTRAL DAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR
Pertemuan 2 & 3 DEKOMPOSISI SPEKTRAL DAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR Ingat : Vektor dan Matriks Ortogonal vektor dan a dan b saling ortogonal jika a dan b saling ortonormal jika a dan b di normalisasi (normalized)
Lebih terperinciBab 4 RUANG VEKTOR. 4.1 Ruang Vektor
Bab RUANG VEKTOR. Ruang Vektor DEFINISI.. Suatu ruang vektor (V, +,, F) atas field (F, +), ditulis singkat V(F), adalah suatu himpunan tak kosong V dengan elemenelemennya disebut vektor, yang dilengkapi
Lebih terperinciMATRIKS. a A mxn = 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn a ij disebut elemen dari A yang terletak pada baris i dan kolom j.
MATRIKS A. Definisi Matriks 1. Definisi Matriks dan Ordo Matriks Matriks adalah susunan bilangan (elemen) yang disusun menurut baris dan kolom dan dibatasi dengan tanda kurung. Jika suatu matriks tersusun
Lebih terperinciInterpretasi Geometri Dari Sebuah Determinan
Jurnal Sains Matematika dan Statistika Vol No Juli 5 ISSN 46-454 Interpretasi Geometri Dari Sebuah Determinan Riska Yeni Syamsudhuha M D H Gamal 3 Jurusan Matematika Fakultas Mipa Universitas Riau Jl HR
Lebih terperinciVektor di Bidang dan di Ruang
Vektor di Bidang dan di Ruang 4.1. Pengertian, notasi,dan operasi pada ektor Vektor merupakan istilah untuk menyatakan besaran yang mempunyai arah. Secara geometris, ektor dinyakan dengan segmen-segmen
Lebih terperinciBAB 4 RUANG VEKTOR EUCLID. Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT.
BAB 4 RUANG VEKTOR EUCLID Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT. KERANGKA PEMBAHASAN 1. Ruang n Euclid 2. Transformasi Linier dari R n dan R m 3. Sifat-sifat Transformasi Linier 4.1 RUANG N EUCLID Jika di bab
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah 1 dan 2
Aljabar Linier Elementer Kuliah 1 dan 2 1.3 Matriks dan Operasi-operasi pada Matriks Definisi: Matriks adalah susunan bilangan dalam empat persegi panjang. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut disebut
Lebih terperinciMATRIKS. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil/kompleks) yang disusun secara empat persegi panjang (menurut baris dan kolom)
MTRIKS DEFINISI Bentuk umum =(aij),i=,,...m J=,,...m a a a n baris a a..a n baris MTRIKS Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil/kompleks) yang disusun secara empat persegi panjang (menurut baris
Lebih terperinciMODUL E LEARNING SEKSI -1 MATA KULIAH : ALJABAR LINIER KODE MATA KULIAH : ESA 151 : 5099 : DRA ENDANG SUMARTINAH,MA
MODUL E LEARNING SEKSI - MATA KULIAH : ALJABAR LINIER KODE MATA KULIAH : ESA DOSEN : : DRA ENDANG SUMARTINAH,MA TUJUAN MATA KULIAH : A.URAIAN DAN TUJUAN MATA KULIAH : Mahasiswa mempelajari Matriks, Determinan,
Lebih terperinciAnalisis Matriks. Ahmad Muchlis
Analisis Matriks Ahmad Muchlis January 22, 2014 2 Notasi Pada umumnya matriks yang kita bicarakan dalam naskah ini adalah matriks kompleks. Himpunan semua matriks kompleks [real] berukuran m n dinyatakan
Lebih terperinciMODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI
214 MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI Astri Fitria Nur ani Aljabar Linear 1 1/1/214 1 DAFTAR ISI DAFTAR ISI... i BAB I MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN A. Pendahuluan... 1 B. Aljabar
Lebih terperinciPenyelesaian Sistem Persamaan Linear (SPL) Dengan Dekomposisi QR
Penyelesaian Sistem Persamaan Linear (SPL) Dengan Dekomposisi QR Shelvia Mandasari #1 M Subhan *2 Meira Parma Dewi *3 # Student of Mathematics Department State University of Padang Indonesia * Lecturers
Lebih terperinciBAB 5 RUANG VEKTOR A. PENDAHULUAN
BAB 5 RUANG VEKTOR A. PENDAHULUAN 1. Definisi-1. Suatu ruang vektor adalah suatu himpunan objek yang dapat dijumlahkan satu sama lain dan dikalikan dengan suatu bilangan, yang masing-masing menghasilkan
Lebih terperinciMAKALAH ALJABAR LINEAR TRANSFORMASI LINEAR ATAU PEMETAAN LINEAR
MAKALAH ALJABAR LINEAR TRANSFORMASI LINEAR ATAU PEMETAAN LINEAR Disusun oleh : 1. Supriyani (0903040095) 2. Sri Hartati (0903040113) 3. Anisatul M. (0903040065) TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS
Lebih terperinciKata Pengantar. Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan.
i Kata Pengantar Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan. Modul ajar ini dimaksudkan untuk membantu penyelenggaraan kuliah jarak
Lebih terperinciPertemuan 13 persamaan linier NON HOMOGEN
Pertemuan 13 persamaan linier NON HOMOGEN 10 Metode CRAMER Aljabar Linier Hastha 2016 10. PERSAMAAN LINIER NONHOMOGEN 10.1 PERSAMAAN LINIER Misalnya x 2 Matematika analitik membicarakan ilmu ukur secara
Lebih terperinciChapter 5 GENERAL VECTOR SPACE 5.1. REAL VECTOR SPACES 5.2. SUB SPACES
Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE 5.1. REAL VECTOR SPACES 5.2. SUB SPACES Definisi : VECTOR SPACE Jika V adalah ruang vektor dimana u,v,w merupakan objek dalam V sebagai vektor, dan terdapat skalar k dan
Lebih terperinciMATRIKS Nuryanto, ST., MT.
MateMatika ekonomi MATRIKS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah mempelajari bab ini, anda diharapkan dapat : 1. Pengertian matriks 2. Operasi matriks 3. Jenis matriks 4. Determinan 5. Matriks invers 6.
Lebih terperinciDIKTAT ALJABAR LINIER DAN MATRIKS VEKTOR. Penyusun Ir. S. Waniwatining Astuti, M.T.I.
DIKTAT ALJABAR LINIER DAN MATRIKS VEKTOR Penyusun Ir. S. Waniwatining Astuti, M.T.I. SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER GLOBAL INFORMATIKA MDP 24 KATA PENGANTAR Pertama-tama penulis mengucapkan
Lebih terperinciGARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN PROGRAM STUDI: S1 SISTEM INFORMASI Semester : 1
GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN PROGRAM STUDI: S1 SISTEM INFORMASI Semester : 1 Berlaku mulai: Gasal/2010 MATA KULIAH : MATRIK DAN TRANSFORMASI LINEAR KODE MATA KULIAH / SKS : 410102042 / 3 SKS MATA
Lebih terperinciVektor. Vektor. 1. Pengertian Vektor
Universitas Muhammadiyah Sukabumi Artikel Aljabar Vektor dan Matriks Oleh : Zie_Zie Vektor Vektor 1. Pengertian Vektor a. Definisi Vektor adalah suatu besaran yang mempunyai nilai (besar) dan arah. Contohnya
Lebih terperinciPertemuan 6 Transformasi Linier
Pertemuan 6 Transformasi Linier Objektif: 1. Praktikan memahami definisi transformasi linier umum. 2. Praktikan memahami definisi dari transformasi linier dari R n ke R m. 3. Praktikan memahami invers
Lebih terperinciPengolahan Dasar Matriks Bagus Sartono
Pengolahan Dasar Matriks Bagus Sartono bagusco@gmail.com Departemen Statistika FMIPA IPB Notasi Dasar Matriks A mxn, m A n, [a ij ] mxn : matriks berukuran m x n (m baris, n kolom) a ij adalah elemen matriks
Lebih terperinciPertemuan 2 Matriks, part 2
Pertemuan 2 Matriks, part 2 Beberapa Jenis Matriks Khusus 1. Matriks Bujur Sangkar Suatu matriks dengan banyak baris = banyak kolom = n disebut matriks bujur sangkar berukuran n (berordo n). Barisan elemen
Lebih terperinciSoal No. 1 Perhatikan gambar berikut, PQ adalah sebuah vektor dengan titik pangkal P dan titik ujung Q
Soal No. 1 Perhatikan gambar berikut, PQ adalah sebuah vektor dengan titik pangkal P dan titik ujung Q a) Nyatakan PQ dalam bentuk vektor kolom b) Nyatakan PQ dalam bentuk i, j (vektor satuan) c) Tentukan
Lebih terperinciTujuan. Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse
Matriks Tujuan Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse Pengertian Matriks Adalah kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam
Lebih terperinciOperasi Eliminasi Gauss. Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam
Operasi Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss). Caranya adalah
Lebih terperinciLampiran 1 Pembuktian Teorema 2.3
LAMPIRAN 16 Lampiran 1 Pembuktian Teorema 2.3 Sebelum membuktikan Teorema 2.3, terlebih dahulu diberikan beberapa definisi yang berhubungan dengan pembuktian Teorema 2.3. Definisi 1 (Matriks Eselon Baris)
Lebih terperinciAljabar Linier & Matriks
Aljabar Linier & Matriks 1 Pendahuluan Ruang vektor tidak hanya terbatas maksimal 3 dimensi saja 4 dimensi, 5 dimensi, dst ruang n-dimensi Jika n adalah bilangan bulat positif, maka sekuens sebanyak n
Lebih terperinciMatriks - Definisi. Sebuah matriks yang memiliki m baris dan n kolom disebut matriks m n. Sebagai contoh: Adalah sebuah matriks 2 3.
MATRIKS Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu matriks bujursangkar
Lebih terperinciMatematika Teknik INVERS MATRIKS
INVERS MATRIKS Dalam menentukan solusi suatu SPL selama ini kita dihadapkan kepada bentuk matriks diperbesar dari SPL. Cara lain yang akan dikenalkan disini adalah dengan melakukan OBE pada matriks koefisien
Lebih terperinci03-Pemecahan Persamaan Linier (2)
-Pemecahan Persamaan Linier () Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal - Anny Agenda Bagian : Matriks Invers Bagian : Eliminasi = Faktorisasi: A = LU Bagian : Transpos dan Permutasi Anny Bagian MATRIKS INVERS
Lebih terperinciBanyaknya baris dan kolom suatu matriks menentukan ukuran dari matriks tersebut, disebut ordo matriks
MATRIKS DEFINISI Matriks adalah susunan bilangan real atau bilangan kompleks (atau elemen-elemen) yang disusun dalam baris dan kolom sehinggga membentuk jajaran persegi panjang. Matriks memiliki m baris
Lebih terperinciBab 2 LANDASAN TEORI
17 Bab 2 LANDASAN TEORI 2.1 Aljabar Matriks 2.1.1 Definisi Matriks Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka yang juga sering disebut elemen-elemen yang disusun secara teratur menurut baris dan kolom sehingga
Lebih terperinciDIKTAT MATEMATIKA II
DIKTAT MATEMATIKA II (MATRIK) Drs. A. NABABAN PURNAWAN, S.Pd.,M.T JURUSAN PENDIDIKAN TEKNIK MESIN FAKULTAS PENDIDIKAN TEKNOLOGI DAN KEJURUAN UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 2004 MATRIKS I. PENGERTIAN
Lebih terperinciDeterminan. Untuk menghitung determinan ordo n terlebih dahulu diberikan cara menghitung determinan ordo 2
Determinan Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan dengan suatu skalar yang disebut determinan matriks tersebut dan ditulis dengan det(a) atau A. Untuk menghitung
Lebih terperinci2. MATRIKS. 1. Pengertian Matriks. 2. Operasi-operasi pada Matriks
2. MATRIKS 1. Pengertian Matriks Matriks adalah himpunan skalar yang disusun secara empat persegi panjang menurut baris dan kolom. Matriks diberi nama huruf besar, sedangkan elemen-elemennya dengan huruf
Lebih terperinciMatriks biasanya dituliskan menggunakan kurung dan terdiri dari baris dan kolom: A =
Bab 2 cakul fi080 by khbasar; sem1 2010-2011 Matriks Dalam BAB ini akan dibahas mengenai matriks, sifat-sifatnya serta penggunaannya dalam penyelesaian persamaan linier. Matriks merupakan representasi
Lebih terperinciTRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor)
Outline TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc PS. Pendidikan Matematika PS. Sistem Informasi University of Jember Indonesia Jember, 2009 Outline
Lebih terperinciBAB 2. DETERMINAN MATRIKS
BAB. DETERMINAN MATRIKS DETERMINAN MATRIKS . Definisi DETERMINAN Determinan : produk (hasil kali) bertanda dari unsur-unsur matriks sedemikian hingga berasal dari baris dan kolom yang berbeda, kemudian
Lebih terperinciDefinisi Jumlah Vektor Jumlah dua buah vektor u dan v diperoleh dari aturan jajaran genjang atau aturan segitiga;
BAB I VEKTOR A. DEFINISI VEKTOR 1). Pada mulanya vektor adalah objek telaah dalam ilmu fisika. Dalam ilmu fisika vektor didefinisikan sebagai sebuah besaran yang mempunyai besar dan arah seperti gaya,
Lebih terperinciMUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 5 Ruang Vektor Ruang Vektor Sub Pokok Bahasan Ruang Vektor Umum Subruang Basis dan Dimensi Beberapa Aplikasi Ruang Vektor Beberapa metode optimasi Sistem Kontrol
Lebih terperinciPertemuan 4 Aljabar Linear & Matriks
Pertemuan 4 Aljabar Linear & Matriks 1 Notasi : huruf besar tebal misalnya A, B, C Merupakan array dari bilangan, setiap bilangan disebut elemen matriks (entri matriks) Bentuk umum : m : jumlah baris (mendatar)
Lebih terperinciMatriks. Baris ke 2 Baris ke 3
Matriks A. Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegi panjang. Susunan bilangan itu diletakkan di dalam kurung
Lebih terperinciMatriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut
Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen
Lebih terperinciBAB III PEREDUKSIAN RUANG INDIVIDU DENGAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA. Analisis komponen utama adalah metode statistika multivariat yang
BAB III PEREDUKSIAN RUANG INDIVIDU DENGAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA Analisis komponen utama adalah metode statistika multivariat yang bertujuan untuk mereduksi dimensi data dengan membentuk kombinasi linear
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang
Lebih terperinci