VEKTOR. Matematika Industri I

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "VEKTOR. Matematika Industri I"

Hartono Sugiarto Salim
6 tahun lalu
Tontonan:

1 VEKTOR

2 Pokok Bahasan Pendahuluan: Kuantitas skalar dan vektor Representasi vektor Komponen-komponen vektor yang diketahui Vektor dalam ruang Kosinus arah Hasilkali skalar dari dua vektor Hasilkali vektor dari dua vektor Sudut antara dua vektor Rasio Matematika arah Industri I

3 Pendahuluan: Kuantitas skalar dan vektor Kuantitas fisis dapat dibagi menjadi dua: 1. Kuantitas skalar Bilangan tunggal dengan satuan yang sesuai, ditentukan sepenuhnya oleh ukuran Ex. Panjang, luas, volume, waktu 2. Kuantitas vektor Kita mengetahui bukan saja magnitudonya (dengan satuan) tetapi juga arah ke mana vektor itu beroperasi Ex. Gaya, percepatan

4 Representasi Vektor Suatu kuantitas vektor dapat direpresentasikan secara grafis dengan garis, yang ditarik sedemikian rupa sehingga: a. panjang garisnya menandakan magnitudo kuantitas tersebut, sesuai skalanya b. arah garis (ditunjukkan dengan anak panah) menandakan arah bekerjanya kuantitas vektor tersebut Kuantitas vektor AB disebut sebagai atau a. AB

5 Representasi Vektor Dua vektor yang sama Jika dua vektor, a dan b, dikatakan sama, maka keduanya memiliki magnitudo dan arah yang sama Jika dua vektor, a dan b, memiliki magnitudo yang sama dan arah yang berlawanan, maka a=-b

6 Representasi Vektor Jenis-jenis vektor Vektor posisi terjadi apabila titik A tetap Vetor garis ialah sedemikian rupa sehingga vektor itu dapat digeser di sepanjang garis kerjanya Vektor bebas tidak dibatasi oleh apapun. Vektor ini didefinisikan lengkap oleh magnitudo dan arahnya dan dapat digambar sebagai salah satu dari kumpulan garis sejajar yang panjangnya sama AB

7 Representasi Vektor Penambahan vektor Jumlah dari dua vektor, dan, didefinisikan sebagai vektor tunggal atau vektor ekuivalen atau vektor resultan AC AB BC AC atau a + b = c AB BC

8 Representasi Vektor Jumlah dari beberapa vektor a+b+c+d+ Vektor yang tergambar seperti rantai AB BCCD DE AE or abcd AE

9 Representasi Vektor Jumlah dari beberapa vektor (resultan) yang membentuk diagram vektor berupa bangun tertutup sebesar 0 (nol). abcd 0

10 Komponen-komponen Vektor yang Diketahui Persis sebagaimana AB BCCD DE dapat digantikan oleh AE, maka sebarang vektor tunggal juga dapat digantikan oleh PT sejumlah vektor komponen asalkan vektor-vektor ini membentuk suatu rantai dalam diagram vektornya, yang berawal di P dan berakhir di T. PT abcd

11 Komponen-komponen Vektor yang Diketahui Komponen-komponen vektor dalam suku-suku vektor-vektor satuan Vektor posisi OP, dinotasikan sebagai r dapat didefinisikan dengan kedua komponennnya dalam arah Ox dan Oy r = a (di sepanjang Ox)+b (di sepanjang Oy) Jika i adalah vektor satuan dalam arah Ox dan j adalah vektor satuan dalam arah Oy aai and bbj r aibj

12 Komponen-komponen Vektor yang Diketahui Misal z 1 =2i+4j dan z 2 =5i+2j maka z 1 +z 2 =(2i+4j)+(5i+2j)=(2+5)i+(4+2)j=7i+6j z 1 -z 2 =(2i+4j)-(5i+2j)=(2-5)i+(4-2)j=-3i+2j

13 Vektor dalam Ruang Dalam tiga dimensi, sebuah vektor dapat didefinisikan dengan komponenkomponennya dalam tiga arah spasial Ox, Oy, dan Oz Jika k adalah vektor satuan dalam arah Oz Magnitudo r dapat dicari dengan rumus Pythagoras r aibjck r a b c

14 Kosinus Arah Arah suatu vektor dalam tiga dimensi ditentukan oleh sudut-sudut yang dibuat vektor ketiga sumbu acuannya r=ai+bj+ck a r b r c r cos cos cos a b c r r r cos cos cos

15 Kosinus Arah Diketahui a2 b2 c2= r2 then r cos r cos r cos r then cos2 cos2 cos2 1

16 Kosinus Arah Jika l cos m cos n cos Maka l2 m2 n2 1 Perhatikan: [l, m, n] yang ditulis dalam tanda kurung siku disebut kosinus arah vector OP dan merupakan nilai-nilai kosinus sudut-sudut yang dibuat vektor yang bersangkutan dengan ketiga sumbu acuannya

17 Hasil kali Skalar dari Dua Vektor Jika a dan b merupakan dua vektor, hasilkali skalar a dan b didefinisikan sebagai skalar (bilangan) abcos dimana a dan b merupakan magnitudo vektor a dan b serta merupakan sudut diantara kedua vektor ini. Hasilkali skalar dinotasikan a.b abcos

18 Hasil kali Skalar dari Dua Vektor Jika a dan b adalah dua vektor paralel, hasilkali skalar antara a dan b adalah Sehingga memberikan maka a.b abcos0 ab a a ia ja k and b bib jb k a.b a b a b a b

19 Hasil kali Vektor dari Dua Vektor Hasilkali vektor a dan b ditulis axb dan didefinisikan sebagai vektor yang memiliki magnitudo absin Vektor hasilkali mempunyai arah yang tegak lurus baik terhadap a maupun b dengan arah sedemikian rupa sehingga a,b dan axb membentuk set tangan-kanan dengan urutan tersebut Perhatikan: ba ab

20 Hasil kali Vektor dari Dua Vektor Karena maka ijk jk i k i j ii jjkk 0 a a ia ja k and b bib jb k ab ( a b a b ) i( a b a b ) j( a b a b ) k ab i j k a a a b b b 1 2 3

21 Sudut Antara Dua Vektor Misal a satu vektor dengan kosinus arah [l, m, n] dan b vektor lain dengan kosinus arah [l, m, n ] Misal OPdanOP adalah vektor satuan yang masing-masing sejajar dengan a dan b. ( PP) 2 ( l l) 2 ( mm) 2 ( nn) 2 22( llmm nn) 22cos by the cosine rule maka cos =llmm nn

22 Rasio Arah Karena r aibjck and a b c l, m, n r r r Diketahui bahwa komponen a, b, dan c masingmasing sebanding dengan kosinus arah l, m, n; dan komponen-komponen ini kadang disebut sebagai rasio arah

23 Hasil Pembelajaran Mendefinisikan suatu vektor Merepresentasikan vektor dengan dua garis lurus berarah Menambahakan vektor Menulis vektor dalam suku-suku vektor komponen Menulis vektor dalam suku-suku vektor satuan komponen Menetapkan sistem koordinat untuk merepresentasikan vektor Mencari kosinus arah suatu vektor Menghitung hasilkali skalar dari dua vektor Menghitung hasilkali vektor dari dua vektor Menentukan sudut antara dua vektor Menentukan nilai rasio arah suatu vektor

24 Referensi Stroud, KA & DJ Booth Matematika Teknik. Erlangga. Jakarta

dokumen-dokumen yang mirip

VEKTOR Matematika Industri I

VEKTOR Matematika Industri I VEKTOR TIP FTP UB Pokok Bahasan Pendahuluan: Kuantitas skalar dan vektor Representasi vektor Komponen-komponen vektor yang diketahui Vektor dalam ruang Kosinus arah Hasilkali skalar dari dua vektor Hasilkali