MODUL 2 GARIS LURUS. Mesin Antrian Bank

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "MODUL 2 GARIS LURUS. Mesin Antrian Bank"

Transkripsi

1 1 MODUL 2 GARIS LURUS Gambar 4. 4 Mesin Antrian Bank Persamaan garis lurus sangat berperan penting terhadap kemajuan teknologi sekarang ini. Bagi programmer handal, banyak aplikasi yang membutuhkan persamaan garis lurus ssebagai dasar pembuatan program, contohnya adalah program pascal. Pernahkan anda ke bank? Apa yang pertama kali anda lakukan sewaktu berada di dalam bank? Pasti semua jawaban anda adalah mengambil kertas antrian pada mesin antrian bukan?. Program yang digunakan untuk menjalankan mesin antrian tersebut menggunakan persamaan garis dan bias diprogram menggunakan turbo pascal. Dalam ilmu lain aplikasi persamaan garis lurus juga banyak digunakan di antaranya adalah perhitungan kecepatan jarak dan waktu dalam ilmu fisika, perhitungan harga barang dan titik impas dalam ilmu ekonomi. Pada modul 2 ini terdiri atas 3 kegiatan belajar. Tujuan dari ketiga kegiatan belajar ini adalah anda akan menentukan persamaan gradien garis lurus, menentukan persamaan vektoris dan persamaan parameter garis lurus di bidang dan di ruang, menentukan persamaan umum garis lurus di bidang dan di ruang, menentukan kedudukan dua garis lurus di bidang dan di ruang, menentukan sudut antara dua garis lurus di bidang dan di ruang, menentukan jarak titik ke garis di bidang dan di ruang, menentukan jarak antara dua garis lurus di ruang, menentukan persamaan vektoris bidang rata, dan menentukan persamaan linier bidang rata, menentukan vektor normal dari bidang rata 0.

2 2 KEGIATAN BELAJAR 3 PERSAMAAN GARIS LURUS Setelah mempelajari kegiatan belajar 3 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. menentukan persamaan gradien garis lurus, 2. menentukan persamaan vektoris dan persamaan parameter garis lurus di bidang dan di ruang, 3. menentukan persamaan umum garis lurus di bidang dan di ruang. A. Gradien Perhatikanlah ilustrasi 3.1 agar anda dapat memahami konsep gradien pada persamaan garis lurus. Ilustrasi 3.1 Pernahkan anda melihat suatu bangunan miring? misalnya Menara Miring Pisa (bahasa Italia: Torre pendente di Pisa atau disingkat Torre di Pisa, atau yang terkenal di Italia yang terletak pada posisi miring. Menurut penelitian, kemiringan menara Pisa tersebut adalah 5,5 derajat. Setiap tahunnya kemiringan menara bertambah 1 milimeter dihitung secara vertikal dari puncak menara ke tanah. Bangunan tersebut menjadi bangunan yang unik, bersejarah dan diminati oleh seluruh masyarakat dunia untuk melihatnya. Tahukah anda negara kita sendiri Indonesia juga mempunyai bangunan berupa menara miring? Menara miring yang terletak di Indonesia bernama menara Syahbandar. Perhatikanlah gambar 3 berikut ini.

3 3 Gambar 3.1. Menara Syahbandar Menara Syahbandar tersebut dibangun oleh VOC pada tahun 1839 yang terletak di Muara Ciliwung, Jakarta Utara. Menurut Mohammad Isa, salah satu petugas jaga museum, pada tahun 2001 kemiringan menara ini 2,5 derajat dan sekarang kemiringannya mencapai 4 derajat. Apa sebenarnya yang dimaksud dengan kemiringan? Dalam kegiatan belajar ini anda diharuskan untuk merumuskan persamaan gradien dan persamaan garis lurus di bidang dan di ruang. Anda dapat menentukan gradien suatu garis lurus dengan melakukan kegiatan berikut ini. Kegiatan 3.1. Persamaan Gradien Suatu Garis Lurus Untuk menentukan gradien suatu garis lurus lakukan langkah-langkah berikut. 1. Tentukan 2 titik sebarang pada bidang koordinat, beri nama kedua titik tersebut, misal titik A dan titik B. 2. Hubungkanlah 2 titik tersebut, sehingga diperoleh suatu garis, beri nama garis tersebut dengan nama garis. 3. Hitunglah selisih absis dari dua titik tersebut. 4. Hitunglah selisih ordinat dari dua titik tersebut. 5. Carilah selisih ordinat dibagi selisih absis dua titik tersebut dengan menggunakan hasil pada langkah 3 dan Tentukan 2 titik yang lain pada garis, namakan titik C dan D. ulangi langkah-langkah 3 sampai dengan 5 di atas. 7. Tentukan 2 titik yang lain lagi pada garis, namakan titik E dan F. ulangi langkah-langkah 3 sampai dengan 5 di atas.

4 4 8. Berdasarkan hasil pada langkah 5, 6 dan 7, apa yang dapat anda simpulkan? 9. Jika hasil langkah 5, 6 dan 7 dinamakan gradien, coba jelaskan apa yang dimaksud dengan gradien? 10. Berdasarkan kegiatan di atas, jelaskan bagaimana cara mencari gradien dari garis lurus yang melalui dua titik, dan,. Kegiatan 3.1 di atas, jika anda perhatikan garis-garis tersebut mempunyai kemiringan atau kecondongan. Kemiringan dari suatu garis lurus disebut gradien dari garis lurus tersebut. Jika titik, dan, terletak pada suatu garis, sehingga komponen pada garis adalah dan komponen pada garis adalah. Dengan demikian gradien garis lurus yang melalui titik, dan, adalah: (1) Jika dari kegiatan 1 yang anda lakukan maka diperoleh: (1) suatu garis membentuk sudut lancip dengan sumbu positif, maka koefisien arahnya positif. Sedangkan garis yang membentuk sudut tumpul dengan sumbu positif, maka koefisien arahnya negatif. (2) garis tersebut sejajar dengan sumbu, maka koefisien arahnya adalah nol, sedangkan garis tersebut sejajar dengan sumbu, maka koefisien arahnya adalah tidak terdefinisikan. (3) jika < 0, maka inklinasinya adalah sudut lancip; jika > 0, maka inklinasinya adalah sudut tumpul; jika 0, maka inklinasinya adalah 0 o dan jika tidak terdefinisikan, maka inklinasinya adalah 90 o. Masalah 3.1 Tentukan nilai jika garis yang menghubungkan titik-titik 5, 10 dan 3, 2 mempunyai gradien 2. Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Dari masalah 3.1 di atas dapat dilihat bahwa untuk menentukan gradien yang melalui dua titik kita temukan pada kegiatan 3.1 yaitu:

5 5 Karena nilai gradiennya adalah 2 maka, Sehingga diperoleh nilai 2 B. Persamaan Garis Lurus di Bidang Anda dapat menentukan persamaan vektoris dan persamaan parameter garis lurus di bidang dengan melakukan kegiatan berikut ini. Kegiatan Persamaan Garis Lurus di Bidang Untuk menentukan persamaan parameter dan persamaan vektoris garis lurus di bidang, lakukan langkah-langkah berikut. 1. Buatlah suatu garis yang melalui titik-titik, dan, dengan atau. 2. Ambil sebarang titik, yang terletak pada garis, sehingga dapat kita peroleh panjang, panjang, panjang dan panjang. 3. Dari langkah 2, untuk setiap titik sebarang, pada garis maka berlaku, dimana adalah suatu parameter, yaitu bilangan yang berubah-ubah. Catatan: Perlu kita ketahui apabila 0, maka titik berimpit dengan titik ; jika 1, maka titik berimpit dengan titik ; jika > 0, maka titik terletak pada setengah garis yang menembus titik melalui titik (sinar garis ); dan jika < 0, maka titik terletak pada setengah garis yang menembus titik dalam arah yang berlawanan dengan. 4. Dari langkah 1, jika diperhatikan gambar garis tersebut terlihat bahwa. 5. Kesimpulan apa yang dapat kalian peroleh berdasarkan jawaban yang di temukan pada langkah-langkah di atas? Dari kegiatan 3.2 di atas, kita perhatikan garis yang melalui titik, dan, diperoleh persamaan vektoris garis lurus dibidang adalah,,, (2) sedangkan persamaan parameter suatu garis lurus diperoleh dari penjabaran persamaan vektoris garis lurus yaitu,

6 6 (3) CATATAN (1) 1) Koordinat dan dinyatakan linier kepada. 2) Bilangan-bilangan arah dan adalah sepasang bilangan arah yang terletak pada garis itu. 3) Koordinat dan adalah koordinat suatu titik yang terletak pada garis tersebut. Dari persamaan (3), kita bisa mendapatkan persamaan garis lurus dengan menentukan nilai terlebih dahulu, dan Sehingga diperoleh persamaan umum garis lurus di bidang yang melalui titik, dan, adalah: (4) Jika kita teruskan persamaan di atas, kita peroleh suatu persamaan baru yaitu: Sehingga di peroleh suatu persamaan garis lurus yang melalui titik, dan bergradien adalah (5) Kerjakan kegiatan dibawah ini dengan berkelompok. 1. Dari persamaan 5, jika titik, di ganti dengan titik 0, 0, apa yang dapat anda peroleh? 2. Jika titik, diganti dengan titik 0,, apa yang dapat anda peroleh? 3. Dari kegiatan 1 dan 2 tersebut apa yang dapat anda simpulkan berdasarkan jawaban di atas? Berdasarkan kegiatan tersebut dapat disimpulkan bahwa persamaan garis lurus yang melalui titik 0, 0 dan mempunyai gradien adalah (6) Sedangkan persamaan garis lurus melalui titik 0, dan mempunyai gradien adalah (7)

7 7 Masalah 3.2 Diketahui garis h melalui titik 3,2 dan titik, 5. Tentukan nilai jika gradien garis h adalah, selanjutnya tentukan persamaan garis h tersebut. Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, perhatikan langkah-langkah di bawah ini. 1. Misalkan gradien garis h adalah, selanjutnya gunakan persamaan gradien yang melalui dua titik yang telah kita peroleh pada kegiatan sebelumnya, yaitu: Karena gradien garis h di ketahui yaitu, sehingga diperoleh Jadi, nilai 4, maka titik 4, Selanjutnya ditentukan persamaan garis h, karena garis h melalui titik 3, 2dan 4, 5, maka kita menggunakan persamaan garis lurus yang melalui dua titik yaitu: Jadi, persamaan garis h adalah

8 8 Kegiatan 3.3. Persamaan Garis Hesse (Persamaan Garis Normal) Untuk menentukan persamaan garis normal, lakukan langkah-langkah berikut. Gambar 3.2. Persamaan Garis Hesse 1. Perhatikan Gambar 3.2, garis yang melalui titik, 0dan 0,, kemudian tarik garis tersebut melalui titik yang tegak lurus dengan garis maka kita namakan dengan garis. 2. Karena garis, maka persamaan tersebut dinamakan dengan persamaan garis normal. 3. Perhatikan garis, kita misalkan garis, disebut panjang garis normal dan sudut yang dibentuk dengan sumbu positif adalah. 4. Perhatikan segitiga, siku-siku di, sehingga diperoleh nilai sin. 5. Perhatikan segitiga, siku-siku di, sehingga diperoleh nilai cos. 6. Karena garis memotong sumbu dan sumbu di titik, 0dan 0,, maka diperoleh persamaan garis. 7. Selanjutnya substitusikan langkah 4 dan 5 ke langkah 6, sehingga diperoleh suatu persamaan garis normal. Berdasarkan kegiatan 3.3 di atas, diperoleh suatu persamaan garis normal yaitu cos sin. Dengan Catatan (3): 1. Karena positif (jarak titik 0, 0 ke garis ) maka suku ke-3 selalu negatif. 2. Koefisien cos dan koefisien sin maka 1. Untuk mempermudah kita mengingat kedua persyaratan di atas, setiap persamaan 0 dapat diubah ke Persamaan Normal Hesse dengan cara:

9 9 Apabila kedua ruas persamaan ini dikalikan dengan 0, maka diperoleh: 0 Jika dibandingkan dengan persamaan normal, maka diperoleh hubungan, ± Sehingga persamaan normal dari 0 adalah ± 0 Dari normal ini dapat disimpulkan bahwa jarak titik asal ke garis lurus dengan persamaan 0 adalah ± dipilih harga positifnya. Masalah 3.3 Ubahlah persamaan garis ke dalam persamaan normal Hesse. Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Langkah penyelesaian ( kalikan dengan (-1)) Cari nilai dengan cara: 1 ± ± 9 16 ± 1 25 ± 1 5 Karena 10 adalah bilangan bulat negatif, maka nilai yang dipilih adalah yang bertanda positif, yaitu. Jadi dapat disimpulkan bahwa bentuk normalnya adalah:

10 10 C. Persamaan Garis Lurus Di Ruang Anda dapat menentukan persamaan vektoris dan persamaan parameter garis lurus di ruang dengan melakukan kegiatan berikut ini. Kegiatan Persamaan Garis Lurus di Ruang Untuk menentukan persamaan vektoris dan persamaan parameter garis lurus di ruang, lakukan langkah-langkah berikut. 1. Buatlah suatu garis yang melalui titik-titik,, dan,, dengan, atau. 2. Ambil sebarang titik,, yang terletak pada garis, sehingga dapat kita peroleh panjang, panjang, panjang dan panjang. 3. Dari langkah 2, untuk setiap titik sebarang,, pada garis maka berlaku, dimana adalah suatu parameter, yaitu bilangan yang berubah-ubah. Perlu diingat, apabila 0 maka titik berimpit dengan titik ; jika 1, maka titik berimpit dengan ; jika positif maka titik terletak di sebelah kanan ; dan jika negatif maka titik terletak di sebelah kiri. Berarti dapat disimpulkan bahwa nilai bergantung kepada letak titik pada garis yang memuat. 4. Dari langkah 1, jika diperhatikan gambar garis tersebut terlihat bahwa. 5. Kesimpulan apa yang dapat anda peroleh berdasarkan jawaban yang di temukan pada langkah-langkah di atas? Dari kegiatan 3.4 di atas, perhatikan gambar garis yang melalui titik,, dan,, diperoleh persamaan vektoris garis lurus diruang adalah,,,,,, (8) Sedangkan persamaan parameter suatu garis lurus diperoleh dari penjabaran persamaan vektoris garis lurus yaitu, (9) Dari persamaan parameter di atas kita bisa mendapatkan persamaan garis lurus dengan menentukan nilai terlebih dahulu,, dan

11 11 Dengan demikian diperoleh persamaan umum garis lurus di ruang yang melalui titik,, dan,, sebagai berikut: bila, dan (10) Karena garis lurus memiliki vektor arah yaitu,, maka kita dapat mengubah persamaan (10) menjadi: (11) Jadi, dapat disimpulkan bahwa persamaan garis lurus yang melalui,, dengan vektor arah,, adalah:, dengan a 0, b 0 dan c 0 (12) CATATAN (2) Persamaan garis lurus tidak selalu dapat digunakan, jika beberapa bilangan arahnya sama dengan nol. Jika salah satu bilangan arahnya sama dengan nol, yaitu: 1) Jika 0, maka persamaan garis lurusnya menjadi: dan Berarti garis lurus tersebut sejajar dengan bidang. 2) Jika 0, maka persamaan garis lurusnya menjadi: dan Berarti garis lurus tersebut sejajar dengan bidang. 3) Jika 0, maka persamaan garis lurusnya menjadi: dan Berarti garis lurus tersebut sejajar dengan bidang. 4) Jika 0 dan 0, maka persamaan garis lurusnya menjadi: dan Berarti garis lurus tersebut sejajar dengan sumbu. 5) Jika 0 dan 0, maka persamaan garis lurusnya menjadi: dan Berarti garis lurus tersebut sejajar dengan sumbu. 6) Jika 0 dan 0, maka persamaan garis lurusnya menjadi: dan

12 Modul Geometri Analitik Berbasis Kontruktivisme dengan 12 Berarti garis lurus tersebut sejajar dengan sumbu. Masalah 3.4 Tentukan persamaan vektoris, persamaan parameter dan persamaan garis lurus yang melalui titik 3, 2, 2 dan 4, 2, 1. Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Persamaan vektoris garis lurus melalui titik-titik 3, 2, 2 dan 4, 2, 1 adalah:,,,,,,,, 3, 2, 2 4 3, 2 2, 1 2,, 3, 2, 2 1, 4, 1 Jadi, persamaan vektoris garis lurus adalah,, 3, 2, 2 1, 4, 1. Dari persamaan vektoris garis lurus di atas, dapat kita peroleh suatu persamaan parameter garis lurus adalah Berdasarkan persamaan parameter tersebut bisa kita peroleh persamaan garis lurus yang melalui dua titik sebagai berikut Coba anda perhatikan dan pahami serta bandingkan dengan temuan yang anda peroleh. Kegiatan 3.5. Cosinus Arah dan Bilangan Arah Untuk menentukan cosinus arah dan Bilangan Arah garis lurus di ruang, pahami langkah-langkah berikut ini. 1. Buatlah sudut,, dan di ruang. Arah dari sebuah garis dalam ruang ditunjukkan dengan tiga sudut yaitu,, dan, ketiga sudut ini disebut sudut arah dari garis tersebut. 2. Sudut atau garis itu melalui titik asal yang sejajar dengan garis tersebut dibuat dengan menggunakan sumbu koordinat. Seperti Gambar 3.3(a) di bawah ini, di mana ketiga sudut tersebut sudah menunjukkan arah garis pada ruang dengan menggunakan sudut,, dan.

13 13 Gambar 3.3(a) Sudut-sudut arah,, dan di mana 0,, masing-masing sudut antara arah positif di sumbu,, dan garis berarah (positif berarah ke atas). 3. sudut arah dari garis ini ketika diarahkan berlawanan arah seperti yang terlihat pada Gambar 3.3(b) adalah, dan. Gambar 3.3(b) Dengan demikian, sebuah garis yang tidak berarah mempunyai dua himpunan sudut-sudut arah,, dan,,, dan dua himpunan cosinus arah cos, cos, cos dan cos, cos, cos karena cos cos. 4. Supaya tidak ada kebingungan antara membedakan koordinat titik dengan cosinus arah garis maka cosinus arah garis diberi tanda kurung siku-siku seperti ini [ ], sehingga arah garis tersebut dapat ditulis menjadi :,, untuk menunjukkan garis yang cosinus arahnya adalah a, b, c.

14 Modul Geometri Analitik Berbasis Kontruktivisme dengan Cosinus arah dari dapat ditentukan dengan mengambil dua buah titik sebarang yang berada pada garis tersebut yaitu titik,, dan,,. Garis tersebut diarahkan dari ke yang dapat dilihat pada Gambar 4.3. Berdasarkan gambar di atas, dapat ditentukan nilai cos, cos,dan cos. cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos Karena nilai sama maka di peroleh persamaan garis lurus adalah: Dan persamaan parameter garis lurus adalah: Dimana adalah jarak antara titik x, y, z ke titik x, y, z. Jumlah dari kuadrat cosinus arah dari sebarang garis sama dengan 1, yaitu (13) (14) (15)

15 15 Akibat langsungnya adalah bahwa paling sedikit satu dari cosinus arah dari sebarang garis bukanlah 0. Masalah 3.5 Tentukan cosinus arah garis yang melalui titik titik 3, 2, 2dan 4, 2, 1? Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Berdasarkan permasalahan di atas, kita dapat menentukan persamaan vektoris garis lurus yang melalui titik-titik 3, 2, 2 dan 4, 2, 1 yaitu,, 3, 2, 2 1, 4, 1 dan persamaan parameternya adalah 3, 2 4 dan 2. Jika di eliminasi maka di peroleh persamaan garis lurus yaitu, ,, cos, cos, cos Vektor cosinus dari garis di atas adalah 1 1 1, 4, 1 atau 18 18, 4 18, 1 18, Berarti persamaan garis dapat di tulis: 4 3, , 2 18 selanjutnya kerjakanlah latihan berikut ini. Rangkuman 1. Gradien garis lurus yang melalui titik, dan, adalah 2. Persamaan vektoris garis lurus di bidang yang melalui dua buah titik adalah,,, Dengan persamaan parameter garis lurusnya adalah:

16 16 Sedangkan persamaan vektoris garis lurus di ruang yang melalui dua buah titik adalah:,,,,,, Dengan persamaan parameter garis lurusnya adalah: 3. Persamaan linier garis lurus yang melalui titik,, dengan vektor arah,, adalah: bila a 0, a b 0 dan c 0 c 4. Persamaan linier garis lurus yang melalui titik, dan, adalah: 5. Persamaan garis lurus yang melalui titik, dan bergradien adalah: 6. Persamaan garis lurus yang melalui titik 0, 0 dan mempunyai gradien adalah Sedangkan persamaan garis lurus melalui titik 0, dan mempunyai gradien adalah

17 17 KEGIATAN BELAJAR 4 KEDUDUKAN DUA GARIS LURUS, SUDUT DAN JARAK Setelah mempelajari kegiatan belajar 4 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan kedudukan dua garis lurus di bidang dan di ruang 2. Sudut antara dua garis lurus di bidang dan di ruang 3. Menentukan jarak titik ke garis di bidang dan di ruang 4. Menentukan jarak antara dua garis lurus di ruang. A. Kedudukan Dua Garis Lurus di Bidang dan di Ruang Hubungan dua garis lurus dapat kita kaitkan dengan situasi sehari-hari. Jika terdapat dua garis lurus, maka ada beberapa hubungan atau situasi yang bisa terjadi. Kedua garis tersebut dapat sejajar, saling tegak lurus, berimpit, atau berpotongan. Kegiatan 4.1. Kedudukan Dua Garis Lurus di Bidang Untuk menentukan kedudukan dua garis lurus di bidang, lakukan langkahlangkah berikut. 1. Pilih dua titik pada bidang koordinat, missal titik A dan B, kemudian hubungkan kedua titik tersebut, sehingga diperoleh suatu garis lurus AB, namakan garis h. 2. Hitunglah gradien garis h. 3. Gambarlah garis yang sejajar dengan garis h, pilihlah dua titik pada garis, kemudian hitunglah gradien garis. 4. Gambarlah garis yang sejajar dengan garis, pilihlah dua titik pada garis, kemudian hitunglah gradien garis.

18 18 5. Gambarlah garis yang sejajar dengan garis, pilih dua titik pada garis, kemudian hitunglah gradien garis. 6. Apa yang dapat kalian simpulkan mengenai garis-garis h,, dan? 7. Apa yang dapat kalian simpulkan mengenai gradien dari garis-garis h,, dan. Dari kegiatan 4.1 di atas, jika kita perhatikan garis-garis h,, dan adalah garisgaris yang saling sejajar, dan jika hitung gradiennya maka mempunyai nilai gradien yang sama sehingga dapat di simpulkan bahwa garis-garis yang sejajar mempunyai gradien yang sama yaitu : (16) Masalah 4.1 Diketahui persamaan garis 3 5, tentukan gradien garis tersebut, kemudian tentukan gradien garis h yang sejajar dengan garis 3 5 Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Dari masalah di atas, gradien garis 3 5 adalah 3. Maka gradien garis h yang sejajar dengan garis 3 5 adalah 3. Kegiatan 4.2. Persamaan Gradien Garis Lurus Jika Garisnya Tegak Lurus Untuk menentukan gradien garis-garis yang saling tegak lurus maka lakukan langkah-langkah berikut. 1. Gambarlah grafik garis dengan persamaan Hitunglah gradien garis. 3. Gambarlah grafik garis h dengan persamaan Hitunglah gradien garis h. 5. Selidiki apakah garis tegak lurus pada garis h? 6. Tentukan hasil kali antara gradien garis dengan gradien garis h 7. Apa yang dapat kalian simpulkan dari hasil langkah ke-6 berdasarkan kedudukan garis dan h? Dari kegiatan 4.2 di atas, jika kita perhatikan garis dan h diperoleh hasil kali gradien-gradien yang saling tegak lurus adalah -1. Dengan demikian dapat (17)

19 19 diambil kesimpulan bahwa hasil kali gradien garis-garis yang saling tegak lurus adalah -1. Persamaan garis-garis yang saling tegak lurus adalah: Masalah 4.2 Diketahui titik 4, 5 dan titik 6, 3. Jika garis tegak lurus dengan garis, tentukan gradien garis. Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Berdasarkan permasalahan di atas, pertama sekali kita menghitung nilai gradien yang melalui titik 4, 5 dan titik 6, 3 dengan menggunakan persamaan gradien pada kegiatan 3.1 yaitu: Maka di dapat nilai gradiennya adalah 4 5 Setelah memperoleh nilai gradien, karena garis tegak lurus dengan maka kita menggunakan persamaan pada kegiatan 3 yaitu: maka, 1 Sehingga diperoleh, Apabila dan adalah dua buah garis lurus pada bidang XOY, maka hubungan yang mungkin terjadi antara kedua garis tersebut adalah 1. berimpit dengan Misalkan 0 dan 0 maka g 1 dan g 2 dikatakan berimpit jika dan hanya jika: 2. sejajar dengan (tidak berimpit) Misalkan 0 dan 0 maka g 1 dan g 2 dikatakan sejajar jika dan hanya jika: 3. berpotongan dengan

20 20 Misalkan 0 dan 0 maka dan dikatakan berpotongan jika dan hanya jika: Masalah 4.3 Diketahui garis , h dan Tentukan kedudukan antara garis dengan dan garis dengan h, apakah sejajar, berimpit atau berpotongan. Penyelesaian: Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Garis , dan Kerena nilainya sama maka garis berimpit dengan garis. Garis , h Karena nilainya tidak sama maka garis berpotongan dengan garis h. 4.1 Kedudukan Dua Garis Lurus di Ruang Misalkan,,,,,, dan,,,,,, Ada beberapa kemungkinan kedudukan antara garis dan. 1. Garis sejajar jika dan hanya jika :,,,, atau 2. Garis berimpit dengan jika dan hanya jika:,,,,,,,,

21 21 Masalah 4.4 Tunjukkan bahwa garis sejajar dengan garis dan Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Vektor arah garis adalah 6, 2, 1 dan vektor arah adalah 6, 2, 1. Karena vektor arah sama dengan vektor arah berarti kedua garis tersebut sejajar tetapi tidak berimpit, karena hasil penggurangan 2 7, 1 0, , 2, 1 9, 1, 11 6, 2, Jika,,,,, maka garis dan mungkin saja berpotongan atau bersilangan. Misalkan berpotongan dengan, berarti ada titik potong,,. sehingga,, dan,, sebagai titik potong garis dan. Jika,, maka,,,,,,..(1) Jika,, maka,,,,,,..(2) Dari persamaan (1) dan (2) jika di kurangkan menjadi:,,,,,,,, atau Berdasarkan teori persamaan linier, nilai dan ada, jika nilai determinannya: (18) Merupakan syarat dua garis lurus berpotongan pada suatu titik. Jika nilai determinannya tidak sama dengan nol maka kedua garis tersebut bersilangan. Sedangkan persamaan bidang yang memuat kedua garis dan adalah: (19)

22 22 Masalah 4.5 Tunjukkan bahwa garis berpotongan dengan garis. Jika berpotongan maka tentukan titik potong kedua garis tersebut serta tentukan bidang yang memuat kedua garis tersebut Penyelesaian dan Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda.,, 1, 1, 10 2, 3, 8,, 4, 3, 1 1, 4, 7 Jika kita perhatikan vektor arah kedua garis tersebut tidak berkelipatan berarti kedua garis tersebut tidak sejajar dan tidak berimpit. Untuk menunjukkan kedua garis tersebut berpotongan, kita harus mencari determinannya terlebih dahulu, dan nilai determinannya harus sama dengan nol Karena determinannya sama dengan nol maka garis berpotongan dengan garis. Titik potong kedua garis tersebut diperoleh dari persamaan: Cukup kita ambil dua persamaan, sehingga diperoleh nilai dan dengan cara mengeliminasikan kedua persamaan tersebut. Setelah di eliminasi maka diperoleh nilai 2 dan 1. Untuk memperoleh titik potong kedua garis tersebut kita menggunakan persamaan:,,,,,,

23 23,, 1, 1, 10 22, 3, 8,, 5, 7, 6 Jika kita menggunakan persamaan:,,,,,,,, 4, 3, 1 11, 4, 7,, 5, 7, 6 Jadi, titik potong kedua garis tersebut adalah 5, 7, 6 Bidang rata yang memuat garis dan adalah: = Jadi, persamaan bidang yang memuat kedua garis tersebut adalah B. Garis Lurus Memotong Dua garis Lurus Lain di Bidang dan di Ruang 4.2 Garis Lurus Memotong Dua Garis Lurus Lain Di Bidang Misalkan 0 dan 0. Untuk menentukan persamaan garis lain kita menggunakan persamaan berkas garis, berkas garis adalah garis-garis yang melalui sebuah titik yang sama (satu titik tetap) sedangkan arahnya berlainan. Persamaan berkas garis adalah dimana disebut dengan parameter dan harus linier. Titik potong S kedua garis dan terletak pada garis, berarti koordinat titik potong tersebut memenuhi ke dalam persamaan garis maupun ke dalam garis. Serta untuk tiap-tiap harga bentuk 0 selalu linier, sehingga menghasilkan sebuah garis lurus yang melalui S. Jadi dapat disimpulkan bahwa semua garis yang didapat dari persamaan 0 selalu melalui titik potong kedua garis dan. (20) Masalah 4.6 Diketahui dua garis lurus 1 dan 2

24 24 Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik pangkal dan titik potong kedua garis tersebut. Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Buatlah berkas garis sehingga dapat di tulis menjadi: Karena garis tersebut melalui titik pangkal yaitu 0, 0 maka diperoleh: sehingga di dapatlah nilai. Subsitusikan nilai ke persamaan (1) yaitu: Jadi, persamaan garis lurus yang melalui titik pangkal dan titik potong kedua garis tersebut adalah. 4.3 Garis Lurus Memotong Dua Garis Lurus Lain Di Ruang Jika 0 dan 0 maka persamaan umum dari garis lurus yang memotong dan adalah dan (21) Masalah 4.7 Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik 2, 1, 1 dan memotong garis-garis lurus 2 4 0, 2 0 serta 3 4,

25 25 Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Persamaan umum garis lurus yang memotong dan adalah: dan Pertama kita menggunakan persamaan (22) Karena melalui titik 2, 1, 1 maka subsitusikan titik tersebut ke persamaan (22), Subsitusikan nilai 1 ke persamaan (22) sehingga diperoleh persamaan garis: Jadi, persamaan garis lurus adalah. Kedua kita menggunakan persamaan (23) Karena melalui titik 2, 1, 1 maka subsitusikan titik tersebut ke persamaan (23), Subsitusikan nilai 1 ke persamaan (23) sehingga diperoleh persamaan garis: Jadi, persamaan garis lurus adalah.

26 26 C. Sudut Antara Dua Garis Lurus di Bidang dan di Ruang Sekarang kita perhatikan sudut yang merupakan sudut diantara dua garis lurus di bidang seperti yang terlihat pada Gambar 4.1. Jika dan. Sudut adalah sudut perpotongan antara kedua garis tersebut. tan dan tan tan tan tan tan tan 1 tan. tan karena tan dan tan maka di peroleh suatu persamaan: tan 1. Supaya sudut selalu lancip, maka tan harus bernilai positif, oleh karena itu diambil harga mutlaknya yaitu:. (24). (25) CATATAN (4) Jika, maka. Ini berarti dua garis tersebut sejajar atau berimpit. Dua garis tersebut akan sejajar apabila dan dua garis tersebut berimpit, apabila.

27 27 Jika harga tan besarnya tak berhingga, yaitu, maka. atau.. Ini berarti kedua garis tersebut saling tegak lurus. Masalah 4.8 Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik 2, 1 dan mengapit sudut yang besarnya 45 dengan garis Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Perhatikan gambar 4.2 di bawah ini adalah sketsa dari ketentuan-ketentuan dalam soal dan garis dan adalah garis-garis yang mengapit sudut yang besarnya 45 dengan garis Tanjakan garis adalah. Misalkan tanjakan garis yang dicari adalah, maka tan

28 Jadi, persamaan garis adalah garis dengan gradien 2, 1, yaitu: dan melalui titik Gradien garis adalah 5, karena garis tegak lurus dengan garis sehingga diperoleh persamaan garis melalui titik 2, 1 dengan gradien 5 adalah Berdasarkan proses di atas, persamaan garis lurus yang melalui titik 2, 1 adalah dan. Sedangkan sudut antara garis dan di ruang adalah sudut antara vektor-vektor arah,, dan,, yaitu: cos,,.,,,,,, cos Jadi, persamaan untuk menentukan sudut antara dua garis lurus di ruang adalah: CATATAN (5) (25) Jika kedua garis dan saling tegak lurus apabial dot product vektor arah mereka sama dengan nol sehingga diperoleh suatu persamaan:,,.,, (26)

29 29 Masalah 4.9 Tentukan sudut antara garis h,, 1, 2, 0 2, 1, 2 dan garis,, 2, 6, 3. Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Sudut antara garis h dan garis adalah cos cos cos cos cos 3.7 cos 4 21 Jadi, sudut antara garis h dan garis adalah cos. D. Jarak Sebuah Titik Ke Sebuah Garis Lurus di Bidang dan di Ruang Sebelumnya kita sudah mempelajari kegiatan 3.3 yaitu persamaan normal Hesse adalah cos sin dengan adalah jarak dari titik pangkal ke garis dan adalah sudut antara jarak tersebut dengan sumbu positif serta titik, yang berjarak dari garis seperti yang terlihat pada Gambar 4.3 di bawah ini.

30 30 Gambar 4.3. Garis Lurus sejajar dengan garis Dari persamaan normal Hesse tersebut dapat ditentukan persamaan normal garis yang melalui titik, dan sejajar dengan garis. Jelas bahwa panjang normal dari normal dari garis adalah, maka persamaan normal garis adalah. Karena titik, pada garis, maka koordinat-koordinat titik memenuhi persamaan garis, sehingga diperoleh. Jadi,. Dengan cara yang sama dapat ditentukan pula jarak tersebut apabila titik-titik dan terletak sepihak terhadap garis, sehinga diperoleh. Karena adalah jarak, maka nilainya harus positif, sehingga harus diambil harga mutlaknya. (27) Jika persamaan garisnya merupakan persamaan untuk umum, maka untuk menentukan jarak suatu titik pada garis tersebut harus diubah ke persamaan normal. Karena persamaan normal garis 0 adalah ± 0 Maka jarak titik, ke garis tersebut adalah Bentuk persamaan normal garis adalah ± 0 1 Maka jarak titik, ke garis adalah (28)

31 31 (29) Masalah 4.10 Tentukan jarak titik 2, 3 ke garis Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Jarak titik 2, 3 ke garis adalah Sedangkan jarak titik ke garis di ruang, kita misalkan titik,, dan garis tersebut berada di ruang. Kita dapat di menghitungnya dengan cara sebagai berikut: 1. Buat bidang melalui yang tegak lurus garis. 2. Cari titik, titik ini adalah titik tembus garis pada bidang. 3. Setelah dapat titik maka hubungkan titik ke sehingga terbentuklah sebuah garis lurus yaitu garis. Garis adalah suatu garis yang tegak lurus garis dan melalui titik sehingga panjang adalah jarak titik ke garis. Seperti yang terlihat pada Gambar 4.4 dibawah ini. Gambar 4.4. Bidang rata tegak lurus terhadap garis

32 Modul Geometri Analitik Berbasis Kontruktivisme dengan Untuk mencari panjang kita menggunakan persamaan jarak antara dua titik yaitu. Masalah 4.11 Tentukan jarak titik 4, 5, 3 ke garis lurus Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk mencari jarak titik ke garis lurus kita ikuti langkah-langkah di atas: 1. Buat bidang melalui titik,, yang tegak lurus garis Persamaan bidang rata yang melalui titik,, adalah Karena bidang maka sehingga di peroleh,,,, 3, 4, 5,, Berarti 3, 4 dan 5, subsitusikan nilai tersebut ke persamaan bidang yaitu (1) 2. Cari titik,, titik ini adalah titik tembus garis pada bidang. Untuk menentukan titik tembus garis pada bidang, kita gunakan persamaan parameter garis lurus yaitu (2) 6 5 Subsitusikan persamaan (2) ke persamaan (1), untuk memperoleh niai

33 Modul Geometri Analitik Berbasis Kontruktivisme dengan 33 Subsitukan nilai 1 ke persamaan (2), sehingga diperoleh Jadi, titik adalah 8, 7, Jarak antara titik 4, 5, 3 ke titik 8, 7, 1 adalah Jadi, jarak titik ke garis tersebut adalah 6 satuan panjang. E. Jarak Antara Dua Garis Lurus di Ruang Untuk mencari jarak antara dua garis lurus dan di ruang ada beberapa hal yang harus di perhatikan yaitu: 1. Jika dan sejajar, maka kita dapat menghitung jaraknya dengan mengikuti langkah-langkah berikut ini. a. Pilihlah sebarang titik pada garis berarti,, b. Buat bidang rata yang melalui titik dan tegak lurus pada garis, yang dengan sendirinya juga tegak lurus pada pada garis. Seperti yang terlihat pada Gambar 4.5 di bawah ini. Gambar 4.5. Bidang rata tegak lurus terhadap dua garis yang sejajar c. Tentukan titik, titik adalah titik tembus garis pada. d. Setelah titikk di dapat maka carilah panjang dimana panjang ini adalah jarak antara garis dan garis. Seperti yang terlihat pada Gambar 4.6 di bawah ini.

34 34 Gambar 4.6. Bidang B rata sejajar dengan garis lurus e. Mencari panjang dengan menggunakan persamaan jarak antara dua titik yaitu: 2. Jika dan bersilangan, maka kita dapat menghitung jaraknya dengan mengikuti langkah-langkah berikut ini. a. Buat bidang rata yang melalui garis dan sejajar dengan garis. b. Pilih sebarang titik pada garis. c. Tentukan jarak titik ke bidang, jarak ke bidang ini adalah jarak antara garis dan garis. d. Untuk menghitung jarak titik ke bidang, kita menggunakan Masalah 4.12 persamaan jarak antara titik ke bidang rata yaitu Tentukan jarak antara garis lurus dan dibawah ini Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Pertama-tama kita perhatikan apakah kedua garis tersebut sejajar atau bersilangan. Jika kedua garis tersebut sejajar maka kita menggunakan langkah yang pertama, dan jika tidak maka kita menggunakan langkah yang kedua. Perhatikan vektor arah kedua garis lurus tersebut, apakah sama atau tidak. Ternyata kedua garis tersebut memiliki vektor arah yang sama yaitu 2, 3, 1,

35 Modul Geometri Analitik Berbasis Kontruktivisme dengan 35 berarti kedua garis tersebut sejajar. Karena maka kita menggunakan langkah yang pertama yaitu: 1. Pilihlah sebarang titik pada garis, berarti,, Titik 2, 0, 2 yang terletak pada garis berarti 2, 0, Buat bidang rata yang melalui titik dan tegak lurus pada garis yang juga akan tegak lurus dengan garis. Persamaan bidang rata yang melalui titik 2, 0, 2 adalah Karena bidang maka sehingga di peroleh,,,, 2, 3, 1,, Berarti 2, 3 dan 2, subsitusikan nilai tersebut ke persamaan bidang yaitu (1) 3. Tentukan titik,, titik adalah titik tembus garis pada. Untuk menentukan titik tembus garis pada bidang rata adalah dengan menggunakan persamaan parameter garis lurus yaitu (2) 8 Subsitusikan persamaan (2) ke persamaan (1) untuk memperoleh nilai yaitu Subsitusikan nilai 1 ke persamaan (2) sehingga diperoleh Jadi titik adalah 2, 1, Jarak antara titik,, ke titik,, adalah

36 Jadi, jarak antara garis ke garis adalah 42 satuan panjang. Rangkuman 1. Kedudukan dua garis lurus di Bidang, Jika garis sejajar dengan garis maka Jika garis tegak lurus dengan garis maka. Garis berimpit dengan garis jika dan hanya jika dan. Garis berpotongan dengan garis jika dan. 2. Kedudukan dua garis lurus di Ruang, Jika garis sejajar dengan garis maka Garis berimpit dengan garis jika dan hanya jika dan,, Garis berpotongan dengan garis jika dan hanya jika. 3. Persamaan garis lurus yang perpotongan dengan dua buah garis lurus di bidang adalah sedangkan persamaan garis lurus yang berpotongan dengan garis lain adalah dan. 4. Sudut antara dua buah garis lurus di bidang adalah sedangkan sudut antara dua buah garis lurus di ruang adalah 5. Jarak sebuah titik, ke garis 0 adalah

PERSAMAAN GARIS LURUS

PERSAMAAN GARIS LURUS 1 KEGIATAN BELAJAR 3 PERSAMAAN GARIS LURUS Setelah mempelajari kegiatan belajar 3 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. menentukan persamaan gradien garis lurus, 2. menentukan persamaan vektoris dan persamaan

Lebih terperinci

KEDUDUKAN DUA GARIS LURUS, SUDUT DAN JARAK

KEDUDUKAN DUA GARIS LURUS, SUDUT DAN JARAK 1 KEGIATAN BELAJAR 4 KEDUDUKAN DUA GARIS LURUS, SUDUT DAN JARAK Setelah mempelajari kegiatan belajar 4 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan kedudukan dua garis lurus di bidang dan di ruang 2.

Lebih terperinci

MODUL 3 BIDANG RATA. [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

MODUL 3 BIDANG RATA. [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat] 1 MODUL 3 BIDANG RATA Setelah mempelajari modul 1 dan 2 anda akan melanjutkan mempelajari modul 3 tentang bidang rata. Materi bidang rata ini berkaitan dengan materi pada modul sebelumnya. Pada modul 3

Lebih terperinci

PERSAMAAN BIDANG RATA

PERSAMAAN BIDANG RATA 1 KEGIATAN BELAJAR 5 PERSAMAAN BIDANG RATA Setelah mempelajari kegiatan belajar 5 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan persamaan vektoris bidang rata 2. Menentukan persamaan linier bidang rata

Lebih terperinci

SUDUT DAN JARAK ANTARA DUA BIDANG RATA

SUDUT DAN JARAK ANTARA DUA BIDANG RATA 1 KEGIATAN BELAJAR 6 SUDUT DAN JARAK ANTARA DUA BIDANG RATA Setelah mempelajari kegiatan belajar 6 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan sudut antara dua bidang rata 2. Menentukan jarak sebuah

Lebih terperinci

MODUL 4 LINGKARAN DAN BOLA

MODUL 4 LINGKARAN DAN BOLA 1 MODUL 4 LINGKARAN DAN BOLA Sumber: www.google.co.id Gambar 6. 6 Benda berbentuk lingkaran dan bola Dalam kehidupan sehari-hari kita banyak menjumpai benda-benda yang berbentuk bola maupun lingkaran.

Lebih terperinci

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PARABOLA

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PARABOLA 1 KEGIATAN BELAJAR 11 PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PARABOLA Setelah mempelajari kegiatan belajar 11 ini, mahasiswa diharapkan mampu Menentukan Persamaan Garis Singgung Parabola, Titik dan Garis Polar Pada

Lebih terperinci

Sistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis Lurus

Sistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis Lurus Modul 1 Sistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis Lurus Drs. Sukirman, M.Pd. D alam Modul Pertama ini, kita akan membahas tentang Sistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis

Lebih terperinci

VII III II VIII HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK

VII III II VIII HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK A. Sistem Koordinat Tegak Lurus Suatu sistem koordinat tegak lurus disebut juga dengan sistem koordinat cartesian. Di dalam ruang, terdapat tiga buah garis lurus

Lebih terperinci

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f.

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f. Pertemuan ke 8 GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(,y): y = f(), D f } disebut grafik fungsi f. Grafik metode yang paling umum untuk menyatakan hubungan antara dua himpunan yaitu dengan menggunakan

Lebih terperinci

PERSAMAAN GARIS BAHAN BELAJAR MANDIRI 4

PERSAMAAN GARIS BAHAN BELAJAR MANDIRI 4 BAHAN BELAJAR MANDIRI 4 PERSAMAAN GARIS PENDAHULUAN Secara umum bahan belajar mandiri ini menjelaskan tentang konsep garis, dan persamaan garis lurus yang dinyatakan ke dalam bentuk implisit maupun bentuk

Lebih terperinci

MODUL 1 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS

MODUL 1 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS 1 MODUL 1 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS Dalam matematika, sistem koordinat kartesius digunakan untuk menentukan tiap titik dalam bidang dengan menggunakan dua bilangan yang biasa disebut koordinat x (absis)

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut.

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut. BAB II TINJAUAN PUSTAKA Sebelum pembahasan mengenai irisan bidang datar dengan tabung lingkaran tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut. A. Matriks Matriks adalah himpunan skalar (bilangan

Lebih terperinci

Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat

Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat Modul 1 Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat Drs. Susiswo, M.Si. K PENDAHULUAN ompetensi umum yang diharapkan, setelah mempelajari modul ini, adalah Anda dapat memahami konsep tentang persamaan linear dan

Lebih terperinci

KONSTRUKSI PERSAMAAN GARIS LURUS MELALUI ANALISIS VEKTORIS DALAM RUANG BERDIMENSI DUA

KONSTRUKSI PERSAMAAN GARIS LURUS MELALUI ANALISIS VEKTORIS DALAM RUANG BERDIMENSI DUA Prosiding Seminar Nasional Volume 02, Nomor 1 ISSN 2443-1109 KONSTRUKSI PERSAMAAN GARIS LURUS MELALUI ANALISIS VEKTORIS DALAM RUANG BERDIMENSI DUA Rio Fabrika Pasandaran 1, Patmaniar 2 Universitas Cokroaminoto

Lebih terperinci

Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR

Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR VEKTOR DAN SKALAR Materi pokok pertemuan ke I: 1. Vektor dan skalar 2. Komponen vektor 3. Operasi dasar aljabar vektor URAIAN MATERI Masih ingatkah Anda tentang vektor? Apa beda vektor dengan skalar? Ya,

Lebih terperinci

SISTEM KOORDINAT. Berikut ini kita akan mempelajari bagaimana menentukan sistem koordinat dibidang dan diruang.

SISTEM KOORDINAT. Berikut ini kita akan mempelajari bagaimana menentukan sistem koordinat dibidang dan diruang. 1 KEGIATAN BELAJAR 1 SISTEM KOORDINAT Setelah mempelajari kegiatan belajar 1 ini, mahasiswa diharapkan mampu menggambarkan dan membedakan sebuah titik yang terletak di bidang dan Berikut ini kita akan

Lebih terperinci

Bola dan bidang Rata

Bola dan bidang Rata 1 KEGIATAN BELAJAR 9 Bola dan Bidang Rata Setelah mempelajari kegiatan belajar 9 ini, mahasiswa diharapkan mampu menentukan persamaan bidang singgung bola dan titik kuasa bola. Pernahkah Anda memperhatikan

Lebih terperinci

6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI

6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI 6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI KUADRAT 5.1. Fungsi Linear Pada Bab 5 telah dijelaskan bahwa fungsi linear merupakan fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berpangkat satu. Bentuk umum fungsi linear adalah

Lebih terperinci

UKURAN RUAS-RUAS GARIS PADA SEGITIGA SKRIPSI

UKURAN RUAS-RUAS GARIS PADA SEGITIGA SKRIPSI UKURAN RUAS-RUAS GARIS PADA SEGITIGA SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan guna Memperoleh Gelar Sarjana

Lebih terperinci

MATEMATIKA DASAR TAHUN 1987

MATEMATIKA DASAR TAHUN 1987 MATEMATIKA DASAR TAHUN 987 MD-87-0 Garis singgung pada kurva y di titik potong nya dengan sumbu yang absisnya positif mempunyai gradien 0 MD-87-0 Titik potong garis y + dengan parabola y + ialah P (5,

Lebih terperinci

VEKTOR. Notasi Vektor. Panjang Vektor. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor (,, ) (,, ) di atas dapat dinyatakan dengan: Matriks = Maka = =

VEKTOR. Notasi Vektor. Panjang Vektor. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor (,, ) (,, ) di atas dapat dinyatakan dengan: Matriks = Maka = = VEKTOR Notasi Vektor (,, ) (,, ) Vektor atau Matriks Maka di atas dapat dinyatakan dengan: Kombinasi linear vektor basis maka; ( ) + ( ) + ( ) + + (,, ) Panjang Vektor Misalkan + + (,, ), maka panjang

Lebih terperinci

Bab 3. Persamaan Garis Lurus. Standar Kompetensi. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus.

Bab 3. Persamaan Garis Lurus. Standar Kompetensi. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus. Bab 3 Persamaan Garis Lurus Standar Kompetensi Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus. Kompetensi Dasar 1.4 Menentukan gradien, persamaan dan grafik garis lurus 3.1 Pengertian

Lebih terperinci

Matematika II : Vektor. Dadang Amir Hamzah

Matematika II : Vektor. Dadang Amir Hamzah Matematika II : Vektor Dadang Amir Hamzah sumber : http://www.whsd.org/uploaded/faculty/tmm/calc front image.jpg 2016 Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 1 / 24 Outline 1 Pendahuluan Dadang

Lebih terperinci

Jika titik O bertindak sebagai titik pangkal, maka ruas-ruas garis searah mewakili

Jika titik O bertindak sebagai titik pangkal, maka ruas-ruas garis searah mewakili 4.5. RUMUS PERBANDINGAN VEKTOR DAN KOORDINAT A. Pengertian Vektor Posisi dari Suatu Titik Misalnya titik A, B, C Dan D. adalah titik sebarang di bidang atau di ruang. Jika titik O bertindak sebagai titik

Lebih terperinci

FUNGSI. A. Relasi dan Fungsi Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii)

FUNGSI. A. Relasi dan Fungsi Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) FUNGSI A. Relasi dan Fungsi Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) Relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/mengkawankan/mengkorepodensikan

Lebih terperinci

Pengertian Persamaan Garis Lurus 1. Koordinat Cartesius a. Menggambar Titik pada Koordinat Cartesius b. Menggambar Garis pada Koordinat Cartesius

Pengertian Persamaan Garis Lurus 1. Koordinat Cartesius a. Menggambar Titik pada Koordinat Cartesius b. Menggambar Garis pada Koordinat Cartesius Pengertian Persamaan Garis Lurus Sebelum memahami pengertian persamaan garis lurus, ada baiknya kamu mengingat kembali materi tentang koordinat Cartesius persamaan garis lurus selalu digambarkan dalam

Lebih terperinci

Matematika Semester IV

Matematika Semester IV F U N G S I KOMPETENSI DASAR Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi Menerapkan konsep fungsi linear Menggambar fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi trigonometri

Lebih terperinci

Analisis Vektor. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY

Analisis Vektor. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY Analisis Vektor Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY Analisis Vektor Analisis vektor meliputi bidang matematika dan fisika sekaligus dalam pembahasannya Skalar dan Vektor Skalar Skalar ialah

Lebih terperinci

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG ELLIPS

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG ELLIPS 1 KEGIATAN BELAJAR 13 PERSAMAAN GARIS SINGGUNG ELLIPS Setelah mempelajari kegiatan belajar 13 ini, mahasiswa diharapkan mampu Menentukan Persamaan Garis Singgung Elips, Titik Singung dan Garis Pada kegiatan

Lebih terperinci

12. PERSAMAAN GARIS LURUS

12. PERSAMAAN GARIS LURUS 12. PERSAMAAN GARIS LURUS A Persamaan Garis Lurus Persamaan garis lurus merupakan sebuah persamaan linier dua variabel (PLDV) dengan dua variabel yang tidak diketahui. Ilustrasi: Dari persamaan garis,

Lebih terperinci

VEKTOR. Gambar 1.1 Gambar 1.2 Gambar 1.3. Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si.

VEKTOR. Gambar 1.1 Gambar 1.2 Gambar 1.3. Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si. VEKTOR 1 A. Definisi vektor Beberapa besaran Fisika dapat dinyatakan dengan sebuah bilangan dan sebuah satuan untuk menyatakan nilai besaran tersebut. Misal, massa, waktu, suhu, dan lain lain. Namun, ada

Lebih terperinci

fungsi Dan Grafik fungsi

fungsi Dan Grafik fungsi fungsi Dan Grafik fungsi Suatu fungsi adalah pemadanan dua himpunan tidak kosong dengan pasangan terurut (x, y) dimana tidak terdapat elemen kedua yang berbeda. Fungsi (pemetaan) himpunan A ke himpunan

Lebih terperinci

Buku Pendalaman Konsep. Trigonometri. Tingkat SMA Doddy Feryanto

Buku Pendalaman Konsep. Trigonometri. Tingkat SMA Doddy Feryanto Buku Pendalaman Konsep Trigonometri Tingkat SMA Doddy Feryanto Kata Pengantar Trigonometri merupakan salah satu jenis fungsi yang sangat banyak berguna di berbagai bidang. Di bidang matematika sendiri,

Lebih terperinci

SUSUNAN KOORDINAT BAGIAN-1. Oleh: Fitria Khasanah, M. Pd

SUSUNAN KOORDINAT BAGIAN-1. Oleh: Fitria Khasanah, M. Pd SUSUNAN KOORDINAT BAGIAN-1 Oleh: Fitria Khasanah, M. Pd Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas PGRI Yogyakarta 2010 Letak Suatu Titik pada Garis Lurus O g

Lebih terperinci

BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG

BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG 1. KOORDINAT CARTESIUS DALAM RUANG DIMENSI TIGA SISTEM TANGAN KANAN SISTEM TANGAN KIRI RUMUS JARAK,,,, 16 Contoh : Carilah jarak antara titik,, dan,,. Solusi :, Persamaan

Lebih terperinci

LINGKARAN. Lingkaran. pusat lingkaran diskriminan posisi titik posisi garis garis kutub gradien. sejajar tegak lurus persamaan lingkaran

LINGKARAN. Lingkaran. pusat lingkaran diskriminan posisi titik posisi garis garis kutub gradien. sejajar tegak lurus persamaan lingkaran LINGKARAN Persamaan Persamaan garis singgung lingkaran Persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) dan (a, b) Kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran Merumuskan persamaan garis singgung yang melalui suatu

Lebih terperinci

BESARAN VEKTOR B A B B A B

BESARAN VEKTOR B A B B A B Besaran Vektor 8 B A B B A B BESARAN VEKTOR Sumber : penerbit cv adi perkasa Perhatikan dua anak yang mendorong meja pada gambar di atas. Apakah dua anak tersebut dapat mempermudah dalam mendorong meja?

Lebih terperinci

Peta Konsep. Standar Kompetensi. Kompetensi Dasar. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi. persamaan garis lurus

Peta Konsep. Standar Kompetensi. Kompetensi Dasar. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi. persamaan garis lurus PErSamaan GarIS lurus Untuk SMP Kelas VIII Peta Konsep Standar Kompetensi Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi dan persamaan garis lurus Kompetensi Dasar Menentukan gradien, persamaan dan grafik garis

Lebih terperinci

BESARAN VEKTOR. Gb. 1.1 Vektor dan vektor

BESARAN VEKTOR. Gb. 1.1 Vektor dan vektor BAB 1 BESARAN VEKTOR Tujuan Pembelajaran 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahkan vektor secara grafis dan dengan vektor komponen 3. Melakukan

Lebih terperinci

BAB 1 BESARAN VEKTOR. A. Representasi Besaran Vektor

BAB 1 BESARAN VEKTOR. A. Representasi Besaran Vektor BAB 1 BESARAN VEKTOR TUJUAN PEMBELAJARAN 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahan vektor secara grafis dan matematis 3. Melakukan perkalian vektor

Lebih terperinci

PENGANTAR KALKULUS PEUBAH BANYAK. 1. Pengertian Vektor pada Bidang Datar

PENGANTAR KALKULUS PEUBAH BANYAK. 1. Pengertian Vektor pada Bidang Datar PENGANTAR KALKULUS PEUBAH BANYAK ERIDANI 1. Pengertian Vektor pada Bidang Datar Misalkan R menyatakan sistem bilangan real, yaitu himpunan bilangan real yang dilengkapi dengan empat operasi baku (tambah,

Lebih terperinci

BAB 5 TEOREMA SISA. Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar

BAB 5 TEOREMA SISA. Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar Standar Kompetensi BAB 5 TEOREMA SISA Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar Menggunakan algoritma pembagian sukubanyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian

Lebih terperinci

PERSAMAAN GARIS LURUS

PERSAMAAN GARIS LURUS PERSAMAAN GARIS LURUS A. Menggambar grafik garis lurus Langkah langkah mengambar grafik persamaan garis lurus sama dengan langkahlangkah membuat grafik pada sistim koordinat. Gambarlah grafik persamaan

Lebih terperinci

Garis Singgung Lingkaran

Garis Singgung Lingkaran 1 KEGIATAN BELAJAR 8 Garis Singgung Lingkaran Setelah mempelajari kegiatan belajar 8 ini, mahasiswa diharapkan mampu menentukan persamaan garis singgung lingkaran dan kuasa lingkaran. Pernahkah Anda memperhatikan

Lebih terperinci

Lingkaran. A. Persamaan Lingkaran B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Lingkaran. A. Persamaan Lingkaran B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Bab Sumber: www.panebiancod.com Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu merumuskan persamaan lingkaran dan menggunakannya dalam pemecahan masalah; menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran

Lebih terperinci

MATEMATIKA BISNIS FUNGSI LINIER

MATEMATIKA BISNIS FUNGSI LINIER MODUL MATEMATIKA BISNIS 2 FUNGSI LINIER Definisi Fungsi linier adalah fungsi paling sederhana karena hanya mempunyai satu variabel bebas dan berpangkat satu pada variabel tersebut, atau dengan kata lain

Lebih terperinci

SRI REDJEKI KALKULUS I

SRI REDJEKI KALKULUS I SRI REDJEKI KALKULUS I KLASIFIKASI BILANGAN RIIL n Bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli : n 1, 2, 3, 4, 5,. n n Bilangan asli membentuk himpunan bagian dari klas himpunan bilangan yang lebih

Lebih terperinci

2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a

2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a Soal - Soal UM UGM. Soal Matematika Dasar UM UGM 00. Jika x = 3 maka + 3 log 4 x =... a. b. c. d. e.. Jika x+y log = a dan x y log 8 = b dengan 0 < y < x maka 4 log (x y ) =... a. a + 3b ab b. a + b ab

Lebih terperinci

BAB III RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3. Bab ini membahas pengertian dan operasi vektor-vektor. Selain

BAB III RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3. Bab ini membahas pengertian dan operasi vektor-vektor. Selain BAB III RUANG VEKTOR R DAN R 3 Bab ini membahas pengertian dan operasi ektor-ektor. Selain operasi aljabar dibahas pula operasi hasil kali titik dan hasil kali silang dari ektor-ektor. Tujuan Instruksional

Lebih terperinci

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8 . Turunan dari f ( ) = + + (E) 7 + +. Turunan dari y = ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) (E) ( ) ( + ) 7 5 (E) 9 5 9 7 0. Jika f ( ) = maka f () = 8 (E) 8. Jika f () = 5 maka f (0) +

Lebih terperinci

IKIP BUDI UTOMO MALANG GEOMETRI HAND OUT 2

IKIP BUDI UTOMO MALANG GEOMETRI HAND OUT 2 IKIP BUDI UTOMO MALANG GEOMETRI HAND OUT 2 ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 4/14/2012 KUMPULAN DEFINISI DAN AKSIOMA DALAM GEOMETRI Nama Definisi 2.1 Definisi 2.2 Definisi 2.3 Definisi 2.4 Definisi 2.5

Lebih terperinci

Aljabar Linier Elementer. Kuliah ke-9

Aljabar Linier Elementer. Kuliah ke-9 Aljabar Linier Elementer Kuliah ke-9 Materi kuliah Hasilkali Titik Proyeksi Ortogonal 7/9/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Hasilkali Titik dari Vektor-Vektor Definisi Jika u dan v adalah vektor-vektor

Lebih terperinci

MBS - DTA. Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI. SMK Muhammadiyah 3 Singosari

MBS - DTA. Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI. SMK Muhammadiyah 3 Singosari MBS - DTA Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI SMK Muhammadiyah Singosari SERI : MBS-DTA FUNGSI STANDAR KOMPETENSI Siswa mampu memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan fungsi linear dan fungsi

Lebih terperinci

B.1. Menjumlah Beberapa Gaya Sebidang Dengan Cara Grafis

B.1. Menjumlah Beberapa Gaya Sebidang Dengan Cara Grafis BAB II RESULTAN (JUMLAH) DAN URAIAN GAYA A. Pendahuluan Pada bab ini, anda akan mempelajari bagaimana kita bekerja dengan besaran vektor. Kita dapat menjumlah dua vektor atau lebih dengan beberapa cara,

Lebih terperinci

III. FUNGSI POLINOMIAL

III. FUNGSI POLINOMIAL III. FUNGSI POLINOMIAL 3. Pendahuluan A. Tujuan Setelah mempelajari bagian ini diharapkan mahasiswa dapat:. menuliskan bentuk umum fungsi polinomial;. menghitung nilai fungsi polinomial; 3. menuliskan

Lebih terperinci

kombinasi antara aljabar dan geometri. Dengan membuat korespondensi antara

kombinasi antara aljabar dan geometri. Dengan membuat korespondensi antara Sistem Koordinat Cartesius.. Geometri Analitik Geometri analitik adalah suatu cabang ilmu matematika yang merupakan kombinasi antara aljabar dan geometri. Dengan membuat korespondensi antara persamaan

Lebih terperinci

2. Memahami dan mampu menyelesaikan Permasalahan yang berkaitan dengan vektor di Ruang Tiga, yaitu Persamaan Bidang

2. Memahami dan mampu menyelesaikan Permasalahan yang berkaitan dengan vektor di Ruang Tiga, yaitu Persamaan Bidang TUJUAN EMBELAJARAN Agar pembaca memahami tentang Sistem Koordinat Kartesian beserta fungsinya yaitu titik, jarak dua titik, persamaan bola serta Vektor dalam ruang dimensi tiga beserta aplikasinya yaitu

Lebih terperinci

Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN

Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah

Lebih terperinci

Selain besaran pokok dan turunan, besaran fisika masih dapat dibagi atas dua kelompok lain yaitu besaran skalar dan besaran vektor

Selain besaran pokok dan turunan, besaran fisika masih dapat dibagi atas dua kelompok lain yaitu besaran skalar dan besaran vektor Selain besaran pokok dan turunan, besaran fisika masih dapat dibagi atas dua kelompok lain yaitu besaran skalar dan besaran vektor Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai saja. Contoh :

Lebih terperinci

matematika K-13 PERSAMAAN GARIS LURUS K e l a s

matematika K-13 PERSAMAAN GARIS LURUS K e l a s K- matematika K e l a s XI PERSAMAAN GARIS LURUS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami pengertian garis, garis pada koordinat Cartesius,

Lebih terperinci

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG HIPERBOLA

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG HIPERBOLA 1 KEGIATAN BELAJAR 15 PERSAMAAN GARIS SINGGUNG HIPERBOLA Setelah mempelajari kegiatan belajar 15 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menemukan Persamaan Garis Singgung Hiperbola, Titik Singung dan Garis

Lebih terperinci

TEOREMA SISA 1. Nilai Sukubanyak Tugas 1

TEOREMA SISA 1. Nilai Sukubanyak Tugas 1 TEOREMA SISA 1. Nilai Sukubanyak Apa yang dimaksud sukubanyak (polinom)? Ingat kembali bentuk linear seperti 2x + 1 atau bentuk kuadrat 2x 2-3x + 5 dan juga bentuk pangkat tiga 2x 3 x 2 + x 7. Bentuk-bentuk

Lebih terperinci

Perkalian Titik dan Silang

Perkalian Titik dan Silang PERKALIAN TITIK DAN SILANG Materi pokok pertemuan ke 3: 1. Perkalian titik URAIAN MATERI Perkalian Titik Perkalian titik dari dua buah vektor dan dinyatakan oleh (baca: titik ). Untuk lebih jelas, berikut

Lebih terperinci

PERSAMAAN GARIS LURUS

PERSAMAAN GARIS LURUS Bab 4 PERSAMAAN GARIS LURUS A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar 1. Mampu mentransformasi diri dalam berpilaku jujur, tangguh mengadapi masalah, kritis dan disiplin dalam melakukan

Lebih terperinci

KUMPULAN SOAL MATEMATIKA SMP KELAS 8

KUMPULAN SOAL MATEMATIKA SMP KELAS 8 KUMPULAN SOAL MATEMATIKA SMP KELAS 8 Dirangkum oleh Moch. Fatkoer Rohman Website: http://fatkoer.co.cc http://zonamatematika.co,cc Email: fatkoer@gmail.com 009 Evaluasi Bab 1 Untuk nomor 1 sampai 5 pilihlah

Lebih terperinci

Persamaan Lingkaran. Pusat Jari-jari Pusat. Jari-jari Menentukan persamaan lingkaran atau garis singgung lingkaran. Persamaan Lingkaran

Persamaan Lingkaran. Pusat Jari-jari Pusat. Jari-jari Menentukan persamaan lingkaran atau garis singgung lingkaran. Persamaan Lingkaran 2. 5. Menentukan persamaan lingkaran atau garis singgung lingkaran. Persamaan Lingkaran Persamaan Lingkaran () () Bentuk Umum 0 dibagi (2) Pusat Jari-jari Pusat (,), Jumlah kuadrat pusat dikurangi Jari-jari

Lebih terperinci

DIKTAT MATEMATIKA II

DIKTAT MATEMATIKA II DIKTT MTEMTIK II (VEKTOR) Drs.. NN PURNWN, M.T JURUSN PENDIDIKN TEKNIK MESIN FKULTS PENDIDIKN TEKNOLOGI DN KEJURUN UNIVERSITS PENDIDIKN INDONESI 004 VEKTOR I. PENDHULUN 1.1. PENGERTIN Sepotong garis berarah

Lebih terperinci

A. Menentukan Letak Titik

A. Menentukan Letak Titik Apa yang akan Anda Pelajari? Koordinat Cartesius Mengenal pengertian dan menentukan gradien garis lurus Menentukan persamaan garis lurus Menggambar grafik garis lurus Menentukan Gradien, Persamaan garis

Lebih terperinci

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak 4 Lingkaran 4.1. Persamaan Lingkaran Bentuk Baku. Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak tetap dari suatu titik tetap. Titik tetap dari lingkaran disebut pusat lingkaran,

Lebih terperinci

Bagian 7 Koordinat Kutub

Bagian 7 Koordinat Kutub Bagian 7 Koordinat Kutub Bagian 7 Koordinat Kutub mempelajari bagaimana teknik integrasi yang telah Anda pelajari dalam bagian sebelumnya dapat digunakan untuk menyelesaikan soal yang berhubungan dengan

Lebih terperinci

PERSAMAAN HIPERBOLA KEGIATAN BELAJAR 14

PERSAMAAN HIPERBOLA KEGIATAN BELAJAR 14 1 KEGIATAN BELAJAR 14 PERSAMAAN HIPERBOLA Setelah mempelajari kegiatan belajar 14 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan Persamaan Hiperbola 2. Melukis Persamaan Hiperbola Sebelumnya anda telah

Lebih terperinci

Persamaan Parabola KEGIATAN BELAJAR 10

Persamaan Parabola KEGIATAN BELAJAR 10 1 KEGIATAN BELAJAR 10 Persamaan Parabola Setelah mempelajari kegiatan belajar 10 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan persamaan Parabola 2. Melukis Persamaan Parabola Anda tentu sangat mengenal

Lebih terperinci

Rencana Pembelajaran

Rencana Pembelajaran Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan nilai turunan suatu fungsi di suatu titik ) Menentukan nilai koefisien fungsi sehingga

Lebih terperinci

Pesawat Terbang. gaya angkat. gaya berat

Pesawat Terbang. gaya angkat. gaya berat Sumber: www.staralliance.com Pesawat Terbang Terbayangkah kalian dengan teknologi pesawat terbang? Alat transportasi ini diciptakan dengan teknologi yang canggih. Salah satunya adalah saat merancang konstruksi

Lebih terperinci

PENDAHULUAN KALKULUS

PENDAHULUAN KALKULUS . BILANGAN REAL PENDAHULUAN KALKULUS Ada beberapa jenis bilangan ang telah kita kenal ketika di bangku sekolah. Bilangan-bilangan tersebut adalah bilangan asli, bulat, cacah, rasional, irrasional. Tahu

Lebih terperinci

SOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN. yos3prens.wordpres.com

SOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN. yos3prens.wordpres.com SOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN 05 yosprens.wordpres.com SOAL DAN PEMBAHASAN MATA UJI MATEMATIKA TKD SAINTEK SBMPTN 05 Berikut ini 5 soal mata uji matematika beserta pembahasannya yang diujikan

Lebih terperinci

1. Fungsi Objektif z = ax + by

1. Fungsi Objektif z = ax + by Nilai Optimum Suatu Fungsi Objektif, Program Linear, Fungsi Objektif, Cara Menentukan, Contoh Soal, Rumus, Pembahasan, Metode Uji Titik Sudut, Metode Garis Selidik, Matematika Nilai Optimum Suatu Fungsi

Lebih terperinci

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )=

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )= Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ()= (+) () Penyusun Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana Nama NIm : : Untuk ilmu yang bermanfaat Untuk Harapan

Lebih terperinci

Matematika Proyek Perintis I Tahun 1979

Matematika Proyek Perintis I Tahun 1979 Matematika Proyek Perintis I Tahun 979 MA-79-0 Irisan himpunan : A = { x x < } dan himpunan B = { x < x < 8 } ialah himpunan A. { x x < 8 } { x x < } { x < x < 8 } { x < x < } { x < x } MA-79-0 Apabila

Lebih terperinci

Modul Matematika MINGGU 4. g. Titik Potong fungsi linier

Modul Matematika MINGGU 4. g. Titik Potong fungsi linier MINGGU 4 Pokok Bahasan Sub Pokok Bahasan Tujuan Instruksional Umum : Hubungan dan : 1. Hubungan 2. a. Pengertian fungsi b. Jenis-jenis fungsi c. Diagram fungsi d. Pengertian fungsi linier e. Penggambaran

Lebih terperinci

1 Sistem Bilangan Real

1 Sistem Bilangan Real Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan solusi pertidaksamaan aljabar ) Menyelesaikan pertidaksamaan dengan nilai mutlak

Lebih terperinci

syarat tertentu yang diberikan. Atau bisa juga diartikan sebagai lintasan dari sebuah

syarat tertentu yang diberikan. Atau bisa juga diartikan sebagai lintasan dari sebuah 2 Tempat Kedudukan dan Persamaan 2.1. Tempat Kedudukan Tempat kedudukan (locus) adalah himpunan titik-titik yang memenuhi suatu syarat tertentu yang diberikan. Atau bisa juga diartikan sebagai lintasan

Lebih terperinci

MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT

MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Dalam ilmu ekonomi, kita selalu berhadapan dengan variabel-variabel ekonomi seperti harga, pendapatan nasional, tingkat bunga, dan lainlain. Hubungan kait-mengkait

Lebih terperinci

Jenis Jenis--jenis jenis fungsi dan fungsi linier Hafidh Munawir

Jenis Jenis--jenis jenis fungsi dan fungsi linier Hafidh Munawir Jenis-jenis fungsi dan fungsi linier Hafidh Munawir Diskripsi Mata Kuliah Memperkenalkan unsur-unsur fungsi ialah variabel bebas dan variabel terikat, koefisien, dan konstanta, yang saling berkaitan satu

Lebih terperinci

Bab. Persamaan Garis Lurus. Pengertian Persamaan Garis Lurus Gradien Menentukan Persamaan Garis lurus

Bab. Persamaan Garis Lurus. Pengertian Persamaan Garis Lurus Gradien Menentukan Persamaan Garis lurus Bab Sumb er: Scien ce Enclopedia, 997 Persamaan Garis Lurus Dalam suatu perlombaan balap sepeda, seorang pembalap mengauh sepedana dengan kecepatan tetap. Setiap 5 detik, pembalap tersebut menempuh jarak

Lebih terperinci

a menunjukkan jumlah satuan skala relatif terhadap nol pada sumbu X Gambar 1

a menunjukkan jumlah satuan skala relatif terhadap nol pada sumbu X Gambar 1 1. Koordinat Cartesius Sistem koordinat Cartesius terdiri dari dua garis yang saling tegak lurus yang disebut sumbu Sumbu horizontal disebut sumbu X dan sumbu vertikal disebut sumbu Y Tiap sumbu mempunyai

Lebih terperinci

FUNGSI DAN PERSAMAAN LINEAR. EvanRamdan

FUNGSI DAN PERSAMAAN LINEAR. EvanRamdan FUNGSI DAN PERSAMAAN LINEAR TEORI FUNGSI Fungsi yaitu hubungan matematis antara suatu variabel dengan variabel lainnya. Unsur-unsur pembentukan fungsi yaitu variabel (terikat dan bebas), koefisien dan

Lebih terperinci

Pengantar Teknologi dan Aplikasi Elektromagnetik. Dr. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY

Pengantar Teknologi dan Aplikasi Elektromagnetik. Dr. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY Pengantar Teknologi dan Aplikasi Elektromagnetik Dr. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY Kelistrikan dan Kemagnetan Tanpa listrik dan magnet, maka dalam kehidupan jaman sekarang: tanpa motor

Lebih terperinci

BAB XI PERSAMAAN GARIS LURUS

BAB XI PERSAMAAN GARIS LURUS BAB XI PERSAMAAN GARIS LURUS A. Pengertian Pesamaan Garis Lurus Persamaan garis lurus adalah suatu fungsi yang apabila digambarkan ke dalam bidang Cartesius akan berbentuk garis lurus. Garis lurus ini

Lebih terperinci

Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan

Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 9 Agustus 004 di PPPG Matematika Oleh: Drs. Markaban, M.Si. Widyaiswara PPPG

Lebih terperinci

BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN A. HASIL PENELITIAN 1. Hasil Pengembangan Produk Penelitian ini merupakan penelitian pengembangan yang bertujuan untuk mengembangkan produk berupa Skema Pencapaian

Lebih terperinci

PP' OP = OP' PERSAMAAN UMUM LINGKARAN

PP' OP = OP' PERSAMAAN UMUM LINGKARAN Bab III : Lingkaran 30 Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik ang berjarak sama terhadap suatu titik tetap. Jarak ang sama itu disebut jari-jari sedangkan titik tetap dinamakan pusat lingkaran 3..

Lebih terperinci

Arahnya diwakili oleh sudut yang dibentuk oleh A dengan ketigas umbu koordinat,

Arahnya diwakili oleh sudut yang dibentuk oleh A dengan ketigas umbu koordinat, VEKTOR Dalam mempelajari fisika kita selalu berhubungan dengan besaran, yaitu sesuatu yang dapat diukur dan dioperasikan. da besaran yang cukup dinyatakan dengan nilai (harga magnitude) dan satuannya saja,

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):

Lebih terperinci

Materi Fungsi Linear Fungsi Variabel, koefisien, dan konstanta Variabel variabel bebas Koefisien Konstanta 1). Pengertian fungsi linier

Materi Fungsi Linear Fungsi Variabel, koefisien, dan konstanta Variabel variabel bebas Koefisien Konstanta 1). Pengertian fungsi linier Materi Fungsi Linear Admin 8:32:00 PM Duhh akhirnya nongol lagi... kali ini saya akan bahas mengenai pelajaran yang paling disukai oleh hampir seluruh warga dunia :v... MATEMATIKA, ya itu namanya. materi

Lebih terperinci

AFTAR ISI KATA PENGANTAR... i DAFTAR ISI... iii SOAL - SOAL... 2 PEMBAHASAN... 19

AFTAR ISI KATA PENGANTAR... i DAFTAR ISI... iii SOAL - SOAL... 2 PEMBAHASAN... 19 DAFTAR ISI KATA PENGANTAR... i DAFTAR ISI... iii SOAL - SOAL... UTS Genap 009/00... UTS Ganjil 009/00... UTS Genap 008/009... 5 UTS Pendek 008/009... 6 UTS 007/008... 8 UTS 006/007... 9 UTS 005/006...

Lebih terperinci

yang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan.

yang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan. 3 Gariis Lurus Dalam geometri aksiomatik/euclide konsep garis merupakan salah satu unsur ang tak terdefinisikan dalam arti keberadaanna tidak perlu didefinisikan. Karakteristik suatu garis diberikan pada

Lebih terperinci

PERSAMAAN BIDANG RATA DAN VEKTOR NORMAL. (,, ) dan (,, ). Dan misalkan

PERSAMAAN BIDANG RATA DAN VEKTOR NORMAL. (,, ) dan (,, ). Dan misalkan PERSAAAN BIDANG RATA DAN VEKTOR NORAL Bila terdapat tiga titik yang tidak kolinear maka ketiga titik itu menentukan sebuah bidang rata. dan. Dan misalkan isalkan ketiga titik itu masing-masing vector-vektor

Lebih terperinci

Vektor Ruang 2D dan 3D

Vektor Ruang 2D dan 3D Vektor Ruang 2D dan D Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak

Lebih terperinci