01-Pengenalan Vektor. Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal Anny2011 1

Transkripsi

1 01-Pengenalan Vektor Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal Anny2011 1

2 Agenda Bagian 1: Vektor dan Kombinasi Linier Bagian 2: Panjang Vektor dan Perkalian Titik (Dot Products) Bagian 3: Matriks Anny2011 2

3 Bagian 1 VEKTOR DAN KOMBINASI LINIER Anny2011 3

4 Pendahuluan Inti dari aljabar linier ada pada dua operasi vektor Penjumlahan vektor: v + w Perkalian skalar dengan vektor: cv dan dw Gabungan dua operasi diatas disebut kombinasi linier: cv + dw Anny2011 4

5 Kombinasi Linier Berapa nilai kombinasi linier cv + dw jika c = d = 1? Bagaimana jika c = 2, d = 1? Anny2011 5

6 Vektor (1) Vektor kolom: Penulisan vektor: miring tebal, komponen vektor: miring tipis Penjumlahan vektor: Anny2011 6

7 Vektor (1) Perkalian vektor dengan skalar: Berapa v + v? Anny2011 7

8 Representasi Vektor (2D) Dua angka Panah dari (0,0) Titik di sebuah bidang Anny2011 8

9 Vektor 3-Dimensi Memiliki 3 komponen Contoh: Ganti bidang datar xy dengan ruang 3 dimensi: Tapi ini bukan vektor baris v = [1 1-1] Anny2011 9

10 Kombinasi Linier Vektor 3D (1) Contoh: Short Quizzes What is the picture of all combinations cu? What is the picture of all combinations cu + dv? What is the picture of all combinations cu + dv + ew? Jika u, v, dan w bukan zero vector: The combinations cu fill a line. The combinations cu + dv fill a plane. The combinations cu + dv + ew fill 3D space. Anny

11 Kombinasi Linier Vektor 3D (2) Contoh Soal: Kombinasi linier v = (1, 1, 0) dan w = (0, 1, 1) membentuk sebuah bidang datar. Jelaskan bidang datar yang terbentuk tsb. Berikan sebuah contoh vektor yang bukan merupakan kombinasi v dan w. Anny

12 Kombinasi Linier Vektor 3D (3) Jawaban: Kombinasi cv + dw membentuk bidang datar di ruang R 3. Contoh vektor yang berada pada bidang tersebut adalah (0, 0, 0), (2, 3, 1), (5, 7, 2), dan (π, 2π, π). Komponen kedua = komponen pertama + komponen ketiga Contoh vektor yang tidak berada pada bidang cv + dw adalah (1, 2, 3) Anny

13 Kombinasi Linier Vektor (1) Contoh Soal: Tentukan dua persamaan untuk dua variabel yang tidak diketahui c dan d sehingga kombinasi linier cv + dw sama dengan vektor b: Anny

14 Kombinasi Linier Vektor (2) Jawaban: Persamaan vektor: Persamaan untuk menentukan nilai c dan d: 2c d = 1 -c + 2d = 0 Solusi: c = 2/3, d = 1/3. Anny

15 Bagian 2 PANJANG VEKTOR DAN PERKALIAN TITIK (DOT PRODUCTS) Anny

16 Perkalian Titik Juga disebut dot product atau inner product Perkalian titik vektor v = (v 1, v 2 ) dan w = (w 1, w 2 ) adalah nilai v w : Contoh: Nilai perkalian titik vektor v = (4, 2) dan w = (-1, 2) adalah 0. Dua vektor saling tegak lurus jika nilai perkalian titiknya = 0. Anny

17 Panjang Vektor Panjang vektor v adalah akar kuadrat dari v v Contoh: jika v = (1, 2, 3) maka v v = = 14, sehingga panjang vektor v : Anny

18 Vektor Unit Vektor unit u adalah vektor yang panjangnya = 1, sehingga u u = 1. Contoh: Semua vektor nonzero v jika dibagi dengan panjangnya v akan menghasilkan vektor unit. Anny

19 Sudut Antara Dua Vektor v w = 0 v tegak lurus dengan w v w > 0 sudut antara v dan w < 90 v w < 0 sudut antara v dan w > 90 Rumus COS Anny

20 Sudut Antara Dua Vektor Contoh Soal: Diketahui dua vektor v = (3, 4) dan w = (4, 3). 1. Tunjukkan kebenaran Schwarz Inequality dan Triangle Inequality 2. Hitung berapa nilai cos Θ (Θ = sudut antara vektor v dan w) 3. Tentukan vektor unit u yang searah dengan v 4. Tentukan vektor unit U yang tegak lurus dengan u Anny

21 Sudut Antara Dua Vektor Jawab: Diketahui dua vektor v = (3, 4) dan w = (4, 3). v w = = 24. Panjang v dan w: v = 5, w = 5. v+w = (7,7), panjangnya: v+w = Schwarz Inequality: v w v w Schwarz Inequality Triangle Inequality: v+w v + w Triangle Inequality 2. cos Θ = 24/ u = v/ v = (3/5, 4/5). 4. Vektor yang tegak lurus dengan v: V = (-4, 3). Vektor unit yang tegak lurus dengan u: U = V/ V = (-4/5, 3/5) Anny

22 Perintah di MATLAB Input v dan w dalam satu baris, lalu gunakan tanda untuk mengubahnya dalam satu kolom. Contoh: v = [2 3 4] ; w = [1 1 1] ; u = 2 * v + 3 * w Perkalian titik (dot product) umumnya menggunakan perkalian baris dengan kolom Anny

23 Perintah di MATLAB Panjang vektor v norm(v) Rumus cos PR: Buatlah sebuah file.m yang berisi fungsi cosine(v, w) untuk menghitung cos θ dan sudut θ. Anny

24 Bagian 3 MATRIKS Anny

25 Kombinasi Vektor Menggunakan Matriks (1) Diketahui tiga vektor u, v, w sbb: Kombinasi linier dalam ruang 3D: cu + dv + ew : Anny

26 Kombinasi Vektor Menggunakan Matriks (2) Kombinasi linier diatas dapat ditulis ulang menjadi: Ax = kombinasi linier b dari kolom-kolom pada matriks A. Anny

27 Persamaan Linier Jika sebelumnya dicari hasil kombinasi linier x 1 u + x 2 v + x 3 w, dinotasikan dengan b Maka pada persamaan linier yang dicari adalah nilai x 1, x 2, x 3, sedemikian hingga nilai kombinasi liniernya = b Anny

28 Persamaan Linier Contoh: Persamaan diatas dapat diselesaikan urut dari atas ke bawah dikarenakan matriks A bersifat lower triangular Anny

29 Persamaan Linier Bila nilai b = (0, 0, 0), berapa nilai x? Jawab: x = (0, 0, 0) Bila nilai b = (1, 3, 5), berapa nilai x? Jawab: x = (1, 4, 9) Matriks A disebut invertible, karena dari b dapat diperoleh nilai x Anny

30 Matriks Invers Persamaan diatas dapat dipecahkan dengan: Untuk setiap b terdapat satu solusi untuk Ax = b. Terdapat sebuah matriks S sedemikian hingga x = Sb. Dalam aljabar linier, notasi untuk matriks invers adalah A -1. Anny

31 Persamaan Linier Contoh 2: Kombinasi linier vektor u, v, dan w* membentuk matriks C : Matriks C diatas bukan termasuk triangular. Solusi persamaan Cx = b tidak ada atau tak terhingga, misal untuk b = (0, 0, 0): Anny

32 Persamaan Linier Misal untuk b = (1, 3, 5): Tidak ada solusi untuk pers. linier Cx = b Anny

33 Independen dan Dependen Contoh 1: vektor u, v, dan w Contoh 2: vektor u, v, dan w* Independen vektor w tidak berada di bidang uv Dependen vektor w* berada di bidang uv Vektor w* adalah kombinasi linier u dan v Anny

34 Independen dan Dependen Pada matriks, vektor menjadi kolom. Untuk vektor dimensi n sebanyak n, akan membentuk matriks n x n. Kolom-kolom matriks yang independen: Ax = 0 memiliki satu solusi. A disebut matriks invertible. Kolom-kolom matriks yang dependen: Ax = 0 memiliki banyak solusi. A disebut matriks singular. Anny

35 Contoh Soal Diketahui matriks A:. Tentukan solusi vektor x dari Ax = b untuk sembarang nilai b. Anny

36 Contoh Soal Solusi dari atas ke bawah: x 1 = b 1 x 2 = b 1 + b 2 x 3 = b 2 + b 3 Ini berarti: Anny

37 Latihan Pertemuan 1 Chapter 1.1 Problem 5, 6 Chapter 1.2 Problem 1, 2, 5, 7, 8 Chapter 1.3 Problem 1, 3, 6 Anny