TEORI GAUGE DAN GRUP SIMETRI INTERNAL

Transkripsi

1 Seminar Nasional Fisia 1 Jaarta 9 Juni 1 EORI GAUGE DAN GRUP SIMERI INERNAL. B. Prayitno Jurusan Fisia Universitas Negeri Jaarta Jl. Pemuda Rawamangun No. 1 Jaarta imur [email protected] Abstra Pada maalah ini telah diaji ulang mengenai onsep dasar transformasi gauge dan aitannya dengan teori grup. Gagasan mengenai onsep teori gauge yang pertama ali diajuan oleh Hermann Weyl pada tahun 1919 ini mengambil analogi yang sama dengan gagasan yang diajuan oleh Albert Einstein dengan memperenalan besaran connection dalam teori relativitas umum. Besaran ini digunaan oleh Einstein untu mendefinisian eranga oordinat loal dengan menganggap bahwa medan gravitasi bersifat merata/uniform. Selain itu Gagasan ini pada dasarnya diajuan untu menyataan hubungan antara satu pengamat dengan pengamat lainnya dalam meninjau sistem fisia sebagai upaya untu memperluas etida ubahan huum fisia yang dilihat oleh pengamat mana pun juga. Namun demiian connection yang pertama ali diajuan oleh Weyl ternyata merupaan simetri dari persamaan Maxwell di dalam teori eletromagneti mengenai ebebasan memilih potensial salar dan potensial vetor. Selain itu Weyl juga menunjuan bahwa simetri tersebut beraitan dengan simetri dari suatu grup simetri internal yang tergolong grup Lie yaitu grup U(1). Keywords: Gauge Invariance Grup simetri internal Abstract In this paper we have reviewed the basic concept of the gauge transformation and its relation with the group theory. he idea of the gauge theory was initially proposed by Hermann Weyl in 1919 by taing the same analogy with the idea of Albert Einstein by introducing the new quantity namely connection in general relativity. his quantity was used by Einstein in order to define the local coordinate by considering that gravitational field is uniform. In addition this idea is actually proposed to relate the observer and other observers for extension that the law of physics still hold. However the connection which was initially proposed by Weyl is also a symmetry of Maxwell equations in the electromagnetic theory in the case of freedom to choose both scalar potential and vector potential. Moreover Weyl also proved that the symmetry is related by the group of internal symmetry which is Lie group namely U(1) group. Keywords: Gauge Invariance Group of internal symmetry 1. Pendahuluan Istilah simetri gauge yang mengilhami Hermann Weyl [1] untu mengajuan teori gaugenya berawal dari onsep simetri yang diajuan oleh Albert Einstein dalam teori relativitas husus di tahun 195 lalu dilanjutan dengan teori relativitas umum beberapa tahun setelah itu. eori relativitas husus meneanan bahwa semua huum fisia berlau sama apabila diamati oleh semua pengamat inersial. Di samping itu teori ini juga dianggap sebagai pengganti teori meania lasi Newton yang digunaan untu mengaji gera benda yang mempunyai ecepatan mendeati ecepatan cahaya. Keteraitan antara pengamat yang satu dengan yang lainnya dihubungan melalui transformasi Lorentz yang hanya bergantung pada ecepatan relatif pengamat dan tida bergantung pada posisi pengamat berada. Simetri yang demiian dinamaan simetri global atau yang lebih dienal sebagai simetri grup Lorentz dalam teori relativitas husus. Beberapa tahun emudian Einstein mengajuan teori relativitas umumnya yang pada dasarnya untu membuat pernyataan umum bahwa 5

2 Seminar Nasional Fisia 1 Jaarta 9 Juni 1 semua huum fisia haruslah berlau sama untu semua pengamat bai pengamat inersial maupun non inersial. Namun demiian perumusan matematia tersebut tidalah mudah mengingat onsep mengenai percepatan benda pada suatu medan gravitasi haruslah dipertimbangan. Hal demiian terjadi arena secara umum percepatan gravitasi pada semua titi tida sama melainan bergantung pada jara dari sumber gravitasi sesuai dengan perumusan gaya gravitasi yang diajuan pertama ali oleh Newton. Dengan demiian Einstein menyadari bahwa eteraitan antara pengamat yang satu dengan yang lainnya dalam suatu sistem yang dipercepat dalam hal ini adalah medan gravitasi haruslah diungapan melalui eranga loal yang menganggap bahwa dalam eranga tersebut medan gravitasi dianggap merata []. Untu mengatasinya Einstein memperenalan sebuah besaran connection yang menggambaran hubungan antara pengamat yang satu dengan yang lainnya dalam medan gravitasi. Simetri dari teori di atas dinamaan simetri loal dalam teori relativitas umum arena eteraitan antara pengamat yang satu dengan yang lainnya bergantung pada posisi pengamat masingmasing. Secara geometri teori relativitas husus digambaran melalui geometri ruang watu datar/flat sedangan teori relativitas umum digambaran melalui ruang watu lengung. Selain itu edua simetri di atas dienal sebagai simetri esternal dalam teori grup. Pada tahun 1919 seelompo ilmuwan yang dipimpin oleh Sir Arthur Eddington tertari untu membutian ebenaran teori relativitas umum. Salah satu dugaan yang diemuaan oleh Einstein adalah pembeloan cahaya bintang yang merambat deat dengan matahari. Pada tahun itu Eddington memberian hasil pengamatannya bahwa cahaya bintang yang melalui medan gravitasi matahari memang membelo seperti yang diramalan oleh Einstein [3]. Hasil pengamatan tersebut dibutian di Afria etia terjadinya gerhana matahari total. Hasil pembutian di atas mengilhami Weyl untu mengajuan teorinya. Pada tahun itu hanya terdapat dua teori fundamental yang dienal yaitu gravitasi dan eletromagneti. Hal yang menari bagi Weyl adalah bentu matematia yang mirip antara gaya gravitasi Newton dan gaya Coulomb. Oleh sebab itu Weyl memberi dugaan onsep adanya connection yang berlau di dalam teori relativitas umum seharusnya dapat berlau juga di dalam teori eletromagneti walaupun dengan pandangan yang berbeda. Dugaan Weyl ini dituangan dalam onsep simetri internal dengan memperenalan suatu ruang internal berdasaran analogi teori relativitas umum. Weyl beranggapan bahwa connection harus muncul apabila ruang 6 internal tersebut melengung dengan mengajuan suatu onsep bahwa suatu besaran vetor yang menggambaran besaran fisis haruslah mempunyai panjang yang tetap dan tida bergantung pada posisi di dalam ruang dan watu. Berdasaran anggapan ini Weyl berhasil membutian bahwa eletromagneti merupaan salah satu wujud dari simetri internal. eori yang diajuan Weyl ini menjadi cial baal terbentunya teori gauge modern terutama yang beraitan dengan fisia partiel seperti interasi lemah dan uat yang ditemuan beberapa tahun emudian setelah Weyl mengajuan teorinya. Di dalam maalah ini aan dibahas pertama ali bentu matematia yang diajuan oleh Weyl yang beraitan dengan teori gauge dalam eletromagneti di dalam lingup meania uantum. Bentu matematia tersebut memberi interpretasi bahwa interasi eletromagneti dari partiel bermuatan merupaan wujud eberadaan teori gauge loal. Selain itu aan ditunjuan pula bahwa teori gauge di atas dapat diaitan dengan grup internal yang pada dasarnya merupaan grup Lie. Di samping itu aan dibahas pula teori simetri gauge umum yang merupaan perluasan dari simeri gauge yang diajuan oleh Weyl. Menurut sejarah simetri gauge tersebut berhasil menyingap dua interasi fundamental di alam lainnya yaitu interasi lemah dan interasi uat [4]. Perembangan selanjutnya adalah menggabungan eempat interasi fundamental di alam melalui onsep teori gauge namun sayangnya gravitasi belum dapat digabungan dengan etiga interasi lainnya.. ransformasi Gauge Loal dalam Meania Kuantum Perembangan meania uantum yang bersamaan dengan lahirnya teori gauge ini memunculan suatu interpretasi baru. Interpretasi tersebut muncul dengan meninjau transformasi rotasi pada fungsi gelombang dalam meania uantum yang secara umum mempunyai bentu 1 iq r t (1) e dengan variabel merupaan fungsi ruang dan watu. Pada persamaan (1) ita langsung dapat menyimpulan bahwa 1 onstanta q secara umum dienal sebagai onstanta opling (dalam eletromagneti dienal sebagai muatan listri)

3 () yang menunjuan bahwa amplitudo probabilitas tida berubah. Dari hasil di atas Weyl menduga bahwa fasa di atas dalam hal ini dapat dianggap sebagai variabel loal [5]. Dengan demiian Weyl menyimpulan bahwa untu asus ini transformasi gauge loal dapat ditulisan sebagai transformasi fasa atau transformasi rotasi dalam ruang internal. Selain itu Weyl juga memberi argumen bahwa aan terdapat suatu connection yang menyebaban interpretasi di atas tida berubah. Pada bagian ini aan diaji mengenai perumusan persamaan Schrödinger yang invarian/tida berubah bentu terhadap transformasi gauge loal dengan menambahan suatu connection sesuai dengan dugaan yang diajuan oleh Weyl. Kita meninjau dahulu persamaan Schrödinger non relativisti di dalam meania uantum V i. m t (3) langah selanjutnya ita terapan transformasi gauge loal seperti yang tertulis pada persamaan (1). Dengan mudah dibutian bahwa persamaan (3) aan berubah bentu yang terlihat dari hubungan beriut 3 iq iq e iq iq e e t e (4) t. (5) Solusi untu mengatasinya adalah memperluas bentu operator differensial yang di dalamnya terandung connection yang didefinisian sebagai beriut 4 D iqa (6) Dt iq (7) t t dengan A dan adalah connection. Selain itu agar persamaan Schrödinger invarian terhadap apabila tida bergantung pada ruang dan watu transformasinya dienal sebagai transformasi gauge global. 3 transformasi gauge global tida mengubah bentu persamaan Schrödinger Seminar Nasional Fisia 1 Jaarta 9 Juni 1 transformasi gauge loal maa diterapan pula dua syarat batas transformasi yang diambil berdasaran analogi persamaan (4) dan (5) sebagai beriut D (8) D (9) iq iq e e D iq iq e e D. t Apabila transformasi gauge loal diterapan pada persamaan (8) dan (9) maa ita mendapatan transformasi untu connection yang memenuhi transformasi A A A (1). (11) t Persamaan (1) dan (11) adalah transformasi gauge di dalam eletromagneti yang menjamin bahwa medan listri dan magnet tida berubah apabila edua transformasi di atas diterapan [6]. Dengan demiian persamaan Schrödinger yang invarian terhadap transformasi gauge loal mempunyai bentu m iqa V i iq dengan transformasi simultan t t (1) iq e (13) A A A (14). (15) t Oleh sebab itu Weyl memberi tafsiran bahwa potensial salar dan vetor ( A ) pada teori eletromagneti merupaan connection atau yang lebih dienal juga sebagai potensial gauge. Interpretasi lain yang dapat diambil adalah bahwa eberadaan interasi medan eletromagneti dengan partiel bermuatan yang digambaran melalui persamaan (1) adalah wujud adanya esimetrian gauge. 3. ransformasi Gauge Loal Umum dan Grup Simetri Internalnya Pada bagian ini aan diperluas bentu umum transformasi gauge loal dan aitannya dengan grup simetri internal yang bersangutan. Berdasaran ajian sebelumnya fasa dari fungsi gelombang partiel dapat dianggap sebagai derajat 7

4 Seminar Nasional Fisia 1 Jaarta 9 Juni 1 ebebasan yang baru yang bergantung pada posisi di ruang dan watu. Dalam ruang internal fasa tersebut merupaan sudut rotasi dari suatu partiel yang direpresentasian melalui sebuah fungsi gelombang. Perumusan transformasi gauge loal umum ini pada awalnya dilatarbelaangi melalui ide yang diajuan oleh Yuawa pada tahun 1935 dalam upaya untu menjelasan interasi lemah (lebih dienal sebagai interasi nulir). Menurut Yuawa gaya nulir disebaban oleh adanya partiel perantara yang mirip foton seperti di dalam teori eletromagneti namun mempunyai massa mengingat interasi tersebut mempunyai janguan yang sangat pende. Usulan ini berawal dari gagasan Heisenberg beberapa tahun sebelumnya bahwa proton dan neutron dapat dianggap sebagai eadaan up atau down pada suatu spin isotopic abstra (isospin) yang mirip seperti eadaan spin pada eletron. Namun demiian usaha ini baru menemui eberhasilan melalui usaha C. N. Yang dan R. Mills pada tahun 1954 [7] yang mempostulatan bahwa grup isospin tersebut adalah SU() 5. Untu memperluas bentu transformasi gauge secara umum dipostulatan bahwa setiap partiel atau sistem yang berada di dalam suatu daerah yang terloalisasi dan membawa suatu bilangan uantum internal dianggap mempunyai arah di dalam ruang internal. Arah tersebut dapat dipilih sembarang pada setiap titi di ruang watu dan untu membandingan arah yang satu dengan arah yang lainnya dalam ruang internal pada dua titi yang berbeda x dan x dx dibutuhan suatu connection yang menyataan seberapa besar perbedaan arah pada edua titi tersebut. Di samping itu connection tersebut harus juga dapat menghubungan semua arah yang mungin di dalam ruang internal sehingga semua arah yang mungin tersebut haruslah berupa rotasi di dalam ruang internal. Menurut teori grup semua elemen transformasi rotasi aan membentu suatu grup simetri. Sebagai permulaan analisis ita meninjau terlebih dahulu suatu transformasi simetri loal untu sembarang grup 6 [] x iq x F exp (16) dengan dan masing-masing menyataan indes internal dan esternal sedangan parameter transformasi loal itu sendiri dinyataan oleh. Indes internal merupaan indes yang menyataan jumlah generator yang dimilii oleh suatu grup simetri internal ( 1... )/menyataan dimensi ruang internal sedangan indes esternal menyataan dimensi ruang watu ( 1 3) 7. Di samping itu menurut teori grup F merupaan generator dari suatu grup simetri. Secara ualitatif transformasi pada persamaan (16) dapat dibayangan sebagai perpindahan suatu partiel uji dari titi x menuju titi x dx dalam suatu ruang internal yang melengung []. x Melalui gambaran di atas maa suatu fungsi gelombang yang menggambaran partiel haruslah diuraian dalam bagian esternal dan internal yang dapat ditulis [] x u x. (17) Pada persamaan di atas x x dx u merupaan vetor basis di dalam ruang internal sedangan merupaan omponen dari dalam basis u. Dengan perataan lain u merupaan bagian internal sedangan merupaan bagian esternal. Apabila suatu partiel berpindah dari titi x menuju titi x dx dalam ruang internal maa fungsi gelombang partiel mengalami perubahan sebesar [] x dx Gambar 1 : rotasi sudut yang berubah dalam ruang internal aibat partiel yang berpindah dalam ruang watu. 5 Ini adalah awal dari teori gauge modern mengingat grup tersebut bersifat non -Abelian. 6 anda negatif (-) atau positif (+) pada bagian esponensial bergantung epada referensi. 8 7 penjelasan lengap mengenai indes tersebut tedapat pada lampiran.

5 d x du x Pada persamaan (18) dx u du. x (18) du muncul arena adanya connection yang pada dasarnya diidentian sebagai potensial luar dalam ruang internal. Untu menghitung du ita meninjau dahulu operator transformasi rotasi infinitesimal beriut [] dx exp iq d F exp iq dx F x. (19) Langah selanjutnya ita merotasian basis internal ini melalui operator transformasi di atas yang secara umum mempunyai bentu dx u u du Apabila operator dx. () diuraian sampai orde-1 pada ruas anan persamaan (19) lalu disubstitusian pada ruas iri persamaan () maa melalui aljabar matematia dapat dibutian bahwa basis infinitesimalnya mempunyai persamaan [] du a iq dx F u ab b x. (1) Melalui persamaan (1) inilah didefinisan sebuah connection yang ditulisan sebagai beriut [] A F ab ab x. () Dengan mensubstitusian persamaan (1) e persamaan (18) maa didapat dengan D d D b dx ub (3) b A. (4) b b iq b x Seminar Nasional Fisia 1 Jaarta 9 Juni 1 Dalam beberapa referensi suu D dienal sebagai operator turunan ovarian. Untu grup U(1) hanya terdapat satu generator sehingga ruang internalnya berubah menjadi satu dimensi sehingga persamaan (4) teredusi menjadi D iqa. (5) Untu melihat aitan antara grup U(1) dengan eletromagneti ita tinjau dahulu syarat yang diharapan dari transformasi gauge menurut Weyl. Menurut Weyl transformasi dari suatu fungsi gelombang harus mempertahanan arti fisis (dalam hal ini adalah rapat probababilitas) atau secara matematis ditulisan. (6) Dengan demiian Weyl juga memberi usulan tambahan bahwa transformasi dari turunan ovarian juga harus tida berubah [] D D (7) sehingga aturan transformasi dari turunan ovarian haruslah mempunyai bentu yang sama dengan transformasi fungsi gelombang yang ditulisan pada persamaan (1) D D (8) dengan definisi transformasi untu turunan ovarian berbentu D iqa. (9) Persamaan (9) memberian informasi epada ita bahwa connection mempunyai suatu aturan transformasi agar dapat mempertahanan arti fisis. Dengan mensubstitusian persamaan (5) e persamaan (8) aan didapatan bentu transformasi connection berbentu A A iq (3) Untu grup U(1) elemen grup yang bersangutan dapat ditulisan sebagai bentu husus dari operator (jumlah parameternya adalah satu dengan dimensi matris 1x1) seperti yang ditunjuan pada persamaan (16) 9

6 exp iq. (31) Menurut aturan transformasi di dalam meania uantum bentu operator yang dapat mentransformasian fungsi gelombang hanyalah operator yang bersifat Hermitian sehingga 1 (3) dengan menunjuan transpose onjugat. Dengan demiian apabila persamaan (31) disubstitusian e persamaan (3) diiuti dengan aturan yang ditentuan pada persamaan (3) maa aan didapat bentu transformasi untu connection yang mempunyai simetri grup U(1) A A. (33) Persamaan transformasi (33) merupaan transformasi gauge untu eletromagneti pada persamaan (1) dan (11) yang ditulisan dalam bentu tensor. 4. Kesimpulan Pada maalah ini telah ditunjuan aitan antara transformasi gauge pada teori eletromagneti dan teori grup U(1). ransformasi gauge pada eletromagneti tersebut tida lain adalah transformasi potensial salar dan potensial vetor yang dapat dipilih sembarang asalan tida mengubah bentu medan listri dan magnet. Selain itu berdasaran ajian teori grup edua potensial eletromagneti tersebut dianggap sebagai connection atau potensial luar di dalam ruang internal arena adanya perpindahan partiel dari suatu titi e titi lain dalam ruang watu. Bentu connection sendiri bergantung dari jenis grup internalnya. Untu grup dengan dimensi lebih dari satu buah (misalnya SU()) dapat ditunjuan bahwa connection nya secara umum bersifat non-abelian. Hal ini disebaban adanya ebergantungan connection dengan generator dari grup yang bersangutan. Untu grup U(1) sendiri connection bersifat Abelian mengingat generator pada grup tersebut berjumlah satu buah. Ucapan erima Kasih Pada esempatan ini penulis mengucapan terima asih yang sebesar-besarnya epada reanrean dosen di jurusan fisia UNJ atas terwujudnya maalah ini. Seminar Nasional Fisia 1 Jaarta 9 Juni 1 Lampiran A. eori Grup Secara umum sebuah grup G merupaan himpunan yang dilengapi dengan sebuah operasi peralian grup 8 ( ) yang memenuhi syarat-syarat beriut [8] 1. sifat etertutupan/losur a bg a bg. sifat asosiatif a b c G a ( bc) ( a b) c 3. terdapat elemen satuan/identitas G memenuhi aturan e a a e a a G 5. untu setiap a G aan terdapat elemen 1 invers a G sehingga berlau 1 1 a a a a e e yang Berdasaran sifat peralian dari elemenelemen grup grup terbagi menjadi dua bagian 1. grup Abelian/omutatif a b ba a b G. grup non-abelian a b ba a b G Di samping itu berdasaran jumlah elemennya grup dibagi lagi menjadi dua bagian yaitu grup ontinu (jumlah elemennya ta hingga buah) dan grup disrit (jumlah elemennya berhingga). Definisi : Grup Lie merupaan grup ontinu yang setiap elemennya g( 1 r ) merupaan fungsi analiti dari sejumlah parameter ( 1 r ) yang operasi peraliannya berupa hubungan omutasi/omutator 9. eorema Lie : setiap elemen grup Lie g( 1 r ) dapat dihasilan melalui elemen grup infinitesimal melalui operasi esponensial g( 1 r ) exp i aa (34) a dengan indes a menyataan jumlah parameter dari grup yang bersangutan. merupaan generator dari suatu grup Lie 1 yang memenuhi aljabar Lie beriut [9] 8 Operasi peralian grup dapat berupa penjumlah peralian atau operasi lainnya 9 Hubungan ini dienal sebagai aljabar Lie 1 Jumlah parameter sama dengan jumlah generator a 3

7 a b ab ba. (35) Grup uniter merupaan grup yang elemenelemennya berupa matris uniter U( n) g U( n) g 1 g gg 1 e. (36) Jumlah parameter grup uniter secara umum dapat dirumusan sebagai n dengan n merupaan dimensi dari grup yang bersangutan. Dengan demiian grup U(1) hanya mempunyai satu generator dan tergolong grup Abelian. B. Notasi relativisti Menurut teori relativitas husus dua ejadian pada dua titi di ruang watu yang berbeda ( x y z t) dan ( x dx y dy z dz t dt) dapat dihubungan melalui sebuah interval di antara dua titi tersebut 11 ds c dt dx dy dz (37) dengan c adalah ecepatan cahaya. Berdasaran persamaan (37) dapat didefinisian tensor ontravarian ( x ) dan tensor ovarian x ) ( dengan indes adalah indes ruang watu ( 13). Dalam hal ini oordinat ruang watu didefinisian sebagai vetor ontravarian x ( x x 1 x x 3 ) ( ct x y z). Di samping itu ita juga dapat mendefinisian tensor metri g (38) dan invers matris yang bersangutan g. (39) ensor metri beserta inversnya berfungsi untu menaian atau menurunan indes pada setiap tensor x g x 1 3 x g1x gx g3x g (4) Seminar Nasional Fisia 1 Jaarta 9 Juni 1 Dari persamaan (4) terlihat bahwa untu vetor ovarian dapat ditulisan x x x x x ) ( ct x y ) ( 1 3 z. Untu operator differensial aturan penulisan tensornya sebagai beriut x 1 ( 1 3) c t x y z 1 (41) c t dan inversnya 1 g. (4) c t Di dalam teori eletromagneti potensial salar dan vetor dapat ditulisan di dalam notasi relativisti A Ax Ay Az (43) c dan inversnya A Ax Ay Az. (44) c Daftar Acuan [1]. H. Weyl Ann. Physi (1919). []. K. Moriyasu An Elementary Primer for Gauge heory 1 st ed. Singapore: World Scientific 1983 pp [3]. R. D Inverno Introducing Einsteins s Relativity 1 st ed. New Yor: Oxford University Press Inc. 199 pp [4]. G. Kane Modern Elementary Particle Physics 1 st ed. Michigan : Westview Press 1993 pp [5]. H. Weyl Zeit. Physi 5633 (199). [6]. D. J. Griffiths Introduction o Electrodynamics nd ed. New Jersey: Prentice-Hall 1999 pp [7]. C. N. Yang and R. L. Mills Phys. Rev (1954). [8]. H. F. Jones Groups Representations and Phyics nd ed. London : IOP Publishing Ltd 1998 pp [9]. H. Georgi Lie Algebras in Particle Physics nd ed. Michigan : Westview Press 1999 pp [1]. L. H. Ryder Quantum Field heory nd ed. Cambridge : Cambridge University Press 1998 pp Bentu interval ini menyataan geometri ruang watu Minowsi 31