PERTEMUAN 02 PERBEDAAN ANTARA SISTEM DISKRIT DAN SISTEM KONTINU

Transkripsi

1 PERTEMUAN 2 PERBEDAAN ANTARA SISTEM DISKRIT DAN SISTEM KONTINU 2. SISTEM WAKTU DISKRET Sebuah sistem watu-disret, secara abstra, adalah suatu hubungan antara barisan masuan dan barisan eluaran. Sebuah sistem watu-disret mencirian bagaimana suatu barisan masuan {u()} ditransformasian e dalam suatu barisan eluaran {y()}. Jenis sistem ini menjadi semain penting diarenaan emajuan-emajuan dalam tenologi untu memprodusian rangaian-rangaian miro digital (digital microcircuits). Kecepatan pengolahannya yang semain tinggi dan harganya yang cuup rendah telah membuat jenis sistem ini bersaing dengan rangaian-rangaian op-amp dan RLC yang lebih tradisional. Desain dan analisis dari sistem-sistem disret aan terus bertumbuh dan melengapi rangaian-rangaian (analog) watu-ontinu. Pada umumnya, sistemsistem watu-disret digunaan untu memroses sinyal-sinyal yang muncul sebagai sinyal-sinyal watu-ontinu. Jadi, ada suatu proses pencuplian (sampling) yang mentransformasian suatu sinyal watu :ontinu u(t) e dalam suatu himpunan cupliancuplian berspasi (jara antara) sama {u(t)} yang emudian diproses oleh sistem watu-disret. Salah satu contoh dari penerapan sistem-sistem disret adalah dalam bidang sistem audio digital piringan ompa (compact-dis audio digital). Dengan sistem ini, bahan audio buannya diream sebagai suatu sinyal analog melainan dicupli dengan suatu pengubah analog-e-digital (analog-to-digital converter = ADC) dan diream dalam bentu digital, sama halnya dengan data-data digital lainnya. Selama pemutaran embali, informasi ini diubah embali e bentu analog dengan sebuah pengubah digital-eanalog yang menghasilan embali suatu bentu-gelombang (waveform) yang melewati cuplian-cuplian dari bentu-gelombang semula. Bentu-gelombang analog yang dihasilan ini emudian dilewatan melalui sebuah sistem penguat/pengeras suara onvensional. Keuntungan dari pendeatan baru ini terhadap pereaman dan pemutaran embali musi cuup banya. Jangauan dinaminya (dynamic range) dinaian dari urang daripada 7 db e lebih daripada 9 db. Dengan menggunaan sebuah sandi pembetulan-esalahan (error-correction code), informasi digital dapat diprodusi embali tanpa esalahan mendasar yang disebaban oleh hal-hal seperti berbagai goresan dan sidi-jari pada piringan ompa. Karena informasi digital, pada haeatnya, bebas dari ata-e-ata, maa pemisahan stereo antara saluran-saluran (channels) menjadi lebih

2 2 daripada 9 db dibandingan dengan pemisahan stereo analog yang hanya 25 hingga 3 db. Dengan majunya tenologi pembuatan rangaian-miro digital, maa jenis-jenis sistem audio ini pasti aan menggantian sistem analog yang lebih tradisional. Dan contoh penggantian sistem-sistem analog atau ontinu dengan digital ini aan terus berlangsung dalam penerapan begitu tenologi mempermurah harganya dan memperbesar erapatan berbagai rangaian-miro pada sebuah chip (serpihan). Disini aan digunaan notasi {u(t)} atau u untu menunjuan eseluruhan barisan. Sebagairnana dibahas di depan, nilai-nilai barisan ditunjuan oleh notasi-notasi u(), u dan u(t) di mana adalah sebarang bilangan bulat. Barisan dapat didefinisian dalam dua cara: a. Merincian suatu aturan untu menghitung nilai e- dari barisan. Sebagai contoh: f = {,/2, ¼,. (/2), ) adalah setara dengan perincian: f = ( ) 2, < b. Mendartaran nilai-nilai barisan secara eplisit. Sebagai contoh: F = {,,,, 5, -3, 2.5,,,...) Tanda-panah digunaan untu menunjuan suu =. Disini aan digunaan perjanjian bahwa jia tanda-panahnya diabaian, maa suu pertama adalah suu = dan semua nilai barisan adalah nol untu <. Searang dapat didefinisian jumlah dari dua barisan {a } {b } sebagai barisan {c }, di mana c = a b. Hasilali dari dua barisan {a }{b } adalah barisan {c } dengan nilai-nilai = a b. Hasilali dari sebuah tetapan α dan sebuah barisan {a } adalah barisan {c } dengan nilai-nilai c = αa. Sebuah sistem watu-disret dapat diluisan dalam berbagai cara. Elemenelemen poo dalam suatu sistem watu-disret adalah penjumlah (adders) (yang menjumlah dua bilangan bersama), pengali (multipliers) (yang mengalian dua bilangan bersama), dan elemen-elemen unit-tunda (unit-delay) (yang menyimpan bilanganbilangan). Mesipun tidalah perlu untu memahami implementasi (implementation) atau pelasanaan fisis dari sistem-sistem watu-disret, namun adang-adang pemahaman sifat-sifat matematisnya juga diperluan.

3 3 Cara lain untu mengimplementasian suatu sistem watu-disret adalah dengan menulisan perangat luna. (software), yani, sebuah program, bagi sebuah omputer serba guna. Dalam asus ini, untu barisan masuan u dan nilai-nilai yang disimpan dalam unit-unit tunda yang dietahui seseorang dapat menghitung tiap-tiap eluaran bagi tiap-tiap masuan baru, dalam barisan, seperti diperlihatan pada gambar 2.b. Metode etiga untu meluisan sebuah rangaian watu-disret adalah dengan menggunaan suatu desripsi matematis. Dalam asus ini, desripsi yang tepat adalah suatu persamaan beda linear atau pengulangan (difference or recursion equation) dengan oefisien-oefisien tetap. Karena eluaran dari sistem adalah pada eluaran dari penjumlah atau aumulator (accumulator), maa penulisan persamaan ini mudah dilauan. Hasilnya adalah suatu persamaan beda yang mengaitan eluaran ini y() dengan masuan u()dan nilai-nilai eluaran yang lalu y(-) dan y(-2) sebagai beriut: y = u y ( ) y( 2) 4 8 Memori atau ingatan (memory) dari sebuah sistem watu-disret terandung dalam elemen-elemen unit-tunda. Dalam contoh ini, memori-memori menyimpan edua nilai yang lalu dari barisan eluaran y(-) dan y(-2). Memori dari sistem adang-adang disebut eadaan sistem (state of the system) arena ia berguna untu meringasan semua pengalaman (history) sistem yang lalu. Perlu dicatat bahwa pengulangan dari suatu persamaan beda sebenarnya adalah suatu jumlah ta berhingga persamaanpersamaan, satu untu tiap-tiap nilai. Bila diberian suatu syarat awal dalam mana y( o-) dan y( o-2) merupaan nilai-nilai yang dietahui, maa seseorang dapat menggunaan persamaan pengulangan ini untu mencari barisan eluaran dengan "simulasi" (simulation) untu o dan u(), o yang dietahui. Bentu perhitungan ini pada dasarnya sama seperti perwujudan perangat-luna dari sistem yang diberian pada gambar 2.b. Dan seringali disebut suatu simulasi dari sistem watu-disret. Beberapa contoh lain dari sistem watu disret diberian sebagai beriut. Contoh 2.2: Tentuan model persamaan beda bagi rangaian watu-disret yang diperlihatan pada gambar 2.2. Elemen unit tunda merupaan elemen ingatan yang menahan masuan yang lalu selama satu silus pewatu. Jadi eluaran unit tunda yang pertama adalah y -. Dengan cara yang sama, eluaran unit tunda edua adalah y -2. Dengan menyamaan eluaran penjumlah y dengan panah yang masu, diperoleh:

4 4 y 4 8 = u y y 2 sebagai model persamaan beda bagi rangaian tersebut. Perhatian bagaimana cepatnya seseorang dapat menulisan persamaan untu sistem semacani ini. Gambar 2.2 Diagram blo untu sistem watu disret dari contoh 2.2. Contoh 2.3: Setiap satu silus pada suatu proses imia, u liter bahan imia A dan - u liter bahan imia B ditambahan pada 9 liter campuran dalam suatu bejana besar di mana u, =, 2, 3,.. Isi bejana tersebut diadu dengan sempurna dan liter campuran dieluaran. Ambil y sebagai onsentrasi frasional bahan imia A dalam campuran yang dieluaran, yani y merupaan jumlah bahan imia A dalam bejana. Untu memperoleh hubungan pengulangan atau reursi (recursion) bagi y, jumlah total bahan imia A pada silus disamaan dengan jumlah bahan imia A pada silus - ditambah dengan sebarang masuan. Jadi: atau (2.) Persamaan (2.) menyataan bahwa jumlah bahan imia A pada silus adalah jumlah pada silus - ditambah jumlah yang ditambahan pada silus. Contoh 2.4: Pertumbuhan geometris merupaan suatu model yang digunaan pada banya bidang. Andaian suatu populasi tertentu mempunyai N t individu pada ahir tahun t dengan t =,, 2,... Populasi dietahui meningat dengan laju relatif 2% per tahun. Yaitu, enaian populasi setiap tahun sebanding dengan populasi pada awal tahun. Tetapan perbandingan di sini adalah,2. Jadi, arena enaian populasi adalah N t-n t, maa aan dipunyai persamaan beda: (2.2)

5 5 atau dengan N o merupaan populasi awal. Perhatian bahwa dalam contoh ini masuan adalah nol. Keluaran bertambah arena syarat awal (populasi) N tida nol. Contoh 2.5: Teori informasi adalah bidang yang beraitan dengan bagaimana mengiriman sinyal (informasi) secara efisien. Medium lewat mana sinyal diirim disebut anal (channel). Setiap anal fisis memilii batasan teoritis (arena bising dan lebar pita) dalam jumlah informasi persatuan watu yang dapat diirim lewat anal tanpa esalahan. Ini disebut apasitas anal C. Satuannya adalah bit per deti dan secara formal didefinisian sebagai: lim log 2 N C = t t t bit/deti (2.3) Pada (2.3), N t adalah jumlah pesan yang dapat diiriman selama selang t. Jadi, untu anal tertentu, jia jumlah "pesan" per satuan watu yang dapat diiriman meningat maa apasitasnya meningat. Andaian dipunyai sistem omuniasi yang hanya menggunaan dua simbol. Kataanlah S dan S 2, misalnya titi dan garis. Pesan dibuat dari ombinasi simbol S i dan S 2. Andaian bahwa S berahir t i deti dan untu S2 adalah t 2 deti. Ambil N t sebagai jumlah pesan dengan selang t. Berapaah apasitas anal ini? Dalam ranga menghitung apasitas, N t harus dihitung. N t dapat dihitung dengan mengembangan suatu pengulangan bagi N t. Berapa banyaah pesan yang ada dalam selang t deti? Jumlah total dapat dibagi dalam dua elompo, yani yang berahir pada simbol S dan yang berahir pada simbol S 2. Berapa banyaah yang berahir pada S? S 2 berahir t deti. Jadi ada (t-t ) deti sebelum S mulai. Berdasaran pada definisi, ada N t-t pesan dalam selang ini. Begitu pula, jumlah total pesan selama selang t yang berahir pada S 2 harus berjumlah N t-t2. Karena jumlah total pesan N t berahir pada masing-masing S atau S 2, maa didapatan: (2.4) Untu menghitung apasitas anal, persamaan (2.4) harus dipecahan untu N t dan emudian memaai persamaan (2.3) untu memperoleh C. Jia misalnya t = dan t 2 = 2, maa berdasaran pada persamaan (2.4) disusutan menjadi Nt Nt Nt 2 = t =,2,3,... (2.5) Syarat-syarat awal adalah N dan N 2, yang berturut-turut merupaan jumlah pesan

6 6 selama selang dan 2 unit watu. Dalam hal ini N =, N 2 = 2. Jia t = t 2 =, apaah anda mengharap apasitas anal menjadi meningat atau menurun dibandingan dengan asus t = dan t 2 = 2? 2.2 SISTEM WAKTU KONTINU Sistem-sistem watu-ontinu barangali lebih dienal oleh para mahasiswa teni tahap sarjana arena telah banya ditinjau dalam uliah-uliah sebelumnya mengenai rangaian listri dan meania. Desripsi matemati dasar dari sistem-sistem adalah persamaan diferensial linear dengan oefisien tetap (dengan mengandaian sistem-sistemnya berparameter tetap) berbentu: n d y n ( t ) d y( t ) n m ( t ) d u( t ) m d u b... bn y( t ) = a a u n m m ( t )... a u( t ) m (2.6) Dalam model ini, masuan u(t) dan fungsi eluaran y(t) merupaan fungsi ontinu dari variabel riil t yang biasanya adalah variabel watu. Contoh 2.6: Jaringan listri merupaan contoh lasi sistem yang dapat dimodelan oleh persamaan diferensial. Persamaan yang meluisan rangaian diperoleh dengan menggunaan edua huum Kirchoff. Tinjaulah jaringan yang terlihat pada gambar 2.3. Huum Kirchoff tegangan yang diterapan seeliling untaian (loop) tunggal menghasilan persamaan: (2.7) Persamaan (2.7) dapat dirubah menjadi persamaan yang hanya mengandung turunan dengan mendeferensiasian edua belah ruas terhadap t, diperoleh: (2.8) Dalam ranga memecahan (2.8) harus ditentuan syarat-syarat awal bagi jaringan ini. Jia diandaian bahwa saelar tertutup pada saat t =, maa arus pada untaian sesaat setelah saelar ditutup, i( ), adalah nol arena arus tida dapat berubah secara sesaat, melalui indutor. Jadi tida ada arus yang mengalir pada t = 4- dan tegangan total yang muncul sepanjang indutor, adalah atau (2.9)

7 7 ( ) e( ) = = 2 A/det di L Gambar 2.3 Rangaian eletris untu contoh 2.6 Persamaan (2.9) dan i( ) adalah syarat-syarat awal dari rangaian. Jadi persoalannya adalah memecahan: = dengan i di ( ) ( t ) = dan t= = 2 Contoh 2.7: Persamaan diferensial linear digunaan sebagai model bagi ebanyaan persoalan fisia. Tinjaulah suatu contoh ideal dari pembuatan saluran limbah (got = sewage). Sebuah olam penampungan berisi cemaran (pollutant) tertentu dengan onsentrasi C. Limbah yang belum diolah yang ditambahan e olam, berisi cemaran dengan onsentrasi lebih tinggi daripada onsentrasi cemaran pada olam. Setelah beberapa lama dalam olam, bateri mempengaruhi cemaran dan campuran dibiaran mengalir e sungai. Gambar 2.4 menunjuan situasi tersebut. Andaian bahwa laju masuan adalah mantap yaitu i gal/ min dengan onsentrasi cemaran masuan adalah C lb/gal. Aliran eluaran adalah mantap yaitu i 2 gal/min. Kolam mula-mula berisi G o gallon dengan cemaran P o pon. Persoalannya adalah menentuan berapa lama campuran dapat diosongan e sungai sebelum onsentrasi melebihi standar pemerintah,c. Dengan laju aliran limbah yang masu dan yang eluar olam tetap, maa isi air total dalam olam adalah: Isi total pada saat t = G o (i -i 2)t gallon Ambil P(t) sebagai berat cemaran dalam pon pada saat t. Laju perubahan jumlah cemaran adalah dp(t)/. Laju perubahan ini sama dengan jumlah yang memasui

8 8 olam,c i, diurangi jumlah yang meninggalan olam, i 2P(t)/(isi total). Jadi: atau: dp dp ( t ) P( t ) = Ci i2 G ( i i ) ( t ) ( i i ) 2 t i2 P( t ) = Ci G t (2.) 2 Gambar 2.4 Model perawatan saluran gedung untu contoh 2.7 Persamaan (2.) adalah persamaan diferensial linear orde satu dengan oefisien-oefisien yang bergantung pada watu. Persamaan tersebut dapat dipecahan dengan mudah dengan menggunaan teni standar. Disini aan diutamaan sistem berparameter tetap yang memilii oefisien tetap, misalnya, eadaan yang diperoleh dengan i =i 2. Pada bagian-bagian beriutnya aan disajian beberapa metode untu menganalisis sistem yang dinyataan oleh persamaan beda dan persamaan diferensial. Pertama aan disajian untu sistem watu-disret dan emudian untu sistem watuontinu. Untu edua elompo sistem ini, terdapat persamaan matemati yang sangat mirip. Jadi, sangatlah membantu untu mengingat proses pemecahan sistem watudisret, pada saat mempelajari sistem watu-ontinu, dan sebalinya. Pertama-tama aan dibahas sistem watu-disret arena matematinya cenderung lebih mudah. Salah satu tujuan bahan ini adalah untu menyajian beberapa desripsi alternatif dari suatu sistem linear. Masing-masing desripsi aan dibahas secara terinci dan beberapa metode untu menyataan suatu desripsi dalam desripsi yang lainnya. Sementara membaca bahan ini dan menghadapi desripsi baru dari sistem yang sama, cobalah nyataan tiap-tiap model dalam paramater-parameter dari desripsi yang lainnya. Jenis transformasi ini bermanfaat dan aan membantu dalam memahami sifatsifat berbagai desripsi.