Bahan Minggu II, III dan IV Tema : Kerangka acuan inersial dan Transformasi Lorentz Materi :

Transkripsi

1 Bahan Minggu II, III dan IV Tema : Keranga auan inersial dan Transformasi Lorent Materi : Terdaat dua endeatan ang digunaan untu menelusuri aedah transformasi antara besaran besaran fisis (transformasi Lorent) dari eranga inersial ang satu (K) menuju eranga inersial ang lain ( K ~ ) ang bergera dengan eeatan onstan V terhada K Pendeatan ertama ang digunaan bersifat onvensional aitu dengan memilih ruang dan watu sebagai variabel awal ang digunaan dalam merumusan aedah transformasi Lorent Dengan endeatan ini, aedah transformasi untu besaran momentum dan energi baru ditelusuri emudian Pendeatan edua bersifat endeatan energetia, aitu dengan memilih momentum energi sebagai variabel awal, ang selanjutna transformasi untu besaran ruang dan watu baru ditamilan emudian Menurut Muslim (997), endeatan ini tamil lebih ringas dan lebih sesuai aabila diteraan untu roses mirosoi ada arah elementer, mengingat data data ada roses hamburan dan setrosoi biasana melibatan besaran momentum dan energi Beriut ini aan dijabaran erumusan aedah transformasi Lorent melalui endeatan energetia (momentum energi) Pendeatan Energetia dan Penjabaran Kaedah Transformasi Lorent Menurut asas oresondensi, erumusan huum Newton edua ang berbentu d F dan de F dr dw dt daat ula berlau dalam energetia relativisti (untu momentum dan energi relativisti), dengan modifiasi definisi bagi momentum Dalam hal ini, F adalah gaa luar ang melauan erja dw ada arah dalam selang watu dt, dengan aibat terjadina erubahan momentum sebesar d dan energi sebesar de sewatu arah tersebut melauan ergeseran sejauh r d Perubahan tenaga tersebut daat ditulisan sebagai d dr de dr d v d dt dt Pada saat arah dalam eadaan rehat ( v 0 ), energi arah bernilai E 0 ang dinamaan dengan energi rehat Selanjutna jia arah bergera ( v 0 ), energi arah tersebut aan bertambah dengan energi ineti sebesar E menjadi energi total E ang dirumusan sebagai

2 E E 0 + E Jia arah tersebut bergera lurus maa v // sehingga de v d Untu foton dengan v onstan dan invarian (asas edua teori relativitas), maa dieroleh energi foton sebesar de d + E onstan Mengingat tida ada foton dengan eeatan nol, maa disimulan bahwa tetaan onstan tersebut sama dengan nol Jadi dieroleh E untu v Selanjutna untu arah bermassa dengan v E sembarang, bentu uadrat momentum daat diuraian e dalam suatu deret Talor dalam a0 + ae + ae Untu arah rehat (v 0), nilai mauun + E E0 E ang berbentu E 0, sehingga a 0 0 Dari sini, erilau arah untu eeatan rendah diberian oleh oefisien a Untu arah berelajuan tinggi, E tinggi sehingga nilai E E, mengingat untu daerah ini E 0 daat diabaian Dari ondisi ini dieroleh a 0 /, sedangan untu 3 a dan seterusna sama dengan nol Adaun untu elajuan rendah, tentu saja a 0 Jadi untu sembarang daerah elajuan / energi ineti, berlau aitan disersi untu arah bebas ang berbentu a E + E untu 0 v Aabila ungaan di atas diambil turunanna, serta dengan mengingat bahwa dieroleh ang harus de d E E ) de ( 0 d ( a E ) de + de a + E v d Dari sini dieroleh esamaan Pangat dua ersamaan di atas adalah v d ( ) a + E

3 ang harus bernilai sama dengan a + E E v a + a E E + Dua ersamaan terahir di atas daat ditulisan dengan mengumulan sebagai E ang berangat sama v E v a + E a v Dengan mengalian ersamaan di atas dengan ( v, dieroleh ) E + a E a v ( v ) ang ternata sama dengan Dengan demiian Untu elajuan rendah, berlau rumus Newton : dan sehingga av v v mv a v mv a m Dengan mengisian hasil ini dieroleh vetor momentum relativisti sebagai mv γ mv v dengan γ v Selanjutna dengan mengisian nilai a m dieroleh γ mv v( m + E )

4 E m ( γ ) Mengingat energi ineti artiel adalah energi relativisti artiel diurangi dengan energi rehatna, ang ditulisan sebagai E E dengan E energi relativisti artiel dan E 0 energi rehat artiel Selanjutna daat dilauan identifiasi beriut : E 0 E γ m m v dan E 0 m Untu limit non relativisti, bentu / γ ( v ) ( + v ) v sehingga tenaga ineti nonrelativisti menjadi ang bersesuaian dengan teori Newton Kuadrat energi relativisti artiel bernilai E m ( v ) mv ( m m v m v ) m E + v v ( v m ( v ) ) + mv v m + sehingga E + m Hubungan antara, v dan E daat ditulisan dalam bentu Ev γ mv γm v Iilustrasi ang menggambaran hubungan tersebut dalam segitiga siu-siu terdaat ada Gambar di bawah ini E m Segitiga siu-siu antara E, dan m

5 Transformasi Lorent untu besaran ( E, ) Ditinjau transformasi Lorent antara eranga K dan eranga K ~ ang bergera terhada K dengan eeatan V, ang seara linear menghubungan erangat besaran E,,, ) dan ( x ~ E, ~, ~, ~ ) serta sebagai bentu enghususan diilih transformasi ang hana ditinjau e arah ( x salah satu sumbu oordinat saja, dalam hal ini diilih sumbu x Bentu transformasi Lorent tersebut adalah ~ E Γ' ( E + b ); ~ Γ( + ae); ~ dan ~ x x x Jadi ada bentu di atas, omonen momentum e arah sumbu dan tida mengalami erubahan, sehingga transformasi hana melibatan asangan E, ) Untu menari arameter arameter transformasi aitu ( x Γ,Γ', a dan b, aan ditinjau dua asus husus aitu asus artiel bermassa rehat m ang rehat masing masing di K dan K ~ Ilustrasi tentang eranga K dan K ~ terdaat ada Gambar di bawah ini ~ V O ~ ~ O x ~ x Keranga K dan K ~ Saat artiel rehat di K ~, ang berarti ~ ~ ~ 0 x maa memberian 0 serta Padahal hubungan antara, v dan E adalah x + ae 0 x ae Ev

6 sehingga dieroleh esimulan v a Mengingat artiel tersebut rehat di K ~, itu berarti artiel tersebut bergera dengan eeatan v V V di K Ahirna daat disimulan bahwa n x V a Selanjutna saat artiel rehat di K, ang berarti 0, x ang dari transformasi Lorent memberian ~ ~ 0 serta ~ V x ΓaE Γm ΓVm Partiel tersebut berarti bersama sama dengan eranga K bergera terhada K ~ dengan eeatan v V V Dengan demiian momentum artiel di K ~ bernilai n x sehingga dieroleh x mv / Γ Kemudian dihitung nilai energi E ~ di K ~ menurut sehingga dieroleh ~ m E Γ' ( m Γ' / Γ + 0) Untu menentuan tetaan b, ditinjau embali artiel ang rehat di K ~, sehingga transformasi Lorent untu energi E ~ di K ~ menghasilan ~ E m Γ' ( Γm + bγmv ) m bmv Γ m m ( ) mv

7 ang berarti bahwa b V Dengan demiian transformasi Lorent antara eranga K dan eranga K ~ ang bergera dengan eeatan V e arah sumbu x untu erangat besaran E,,, ) dan E ~, ~, ~, ~ ) ( x ( x adalah ~ E Vx E ; ~ x x VE ; ~ ; ~ Selanjutna dilauan erluasan jia arah V sembarang Dengan melauan substitusi : x // ; dan ; V V V x // dieroleh ~ E V E ; ~ // VE // ; ~ Karena K bergera terhada K ~ dengan eeatan V, maa transformasi bali untu bentu di atas adalah ~ ~ E + V E ; ~ // + VE ~ // ; ~ Contoh Soal Sebuah artiel bermassa m bergera terhada eranga I dengan eeatan v ( / 5)(ˆ i ˆj + ˆ) Jia terdaat eranga II ang bergera terhada eranga I dengan eeatan V ( / 5)(ˆ i + ˆj ˆ ), arilah :

8 (a) momentum dan tenaga ineti dan tenaga total artiel menurut eranga I (b) eeatan, momentum, tenaga ineti dan tenaga total artiel menurut eranga II Sebuah eletron dalam suatu aselerator tenaga tinggi bergera dengan elajuan 0,5 Carilah erja ang harus dilauan terhada eletron untu menaian elajuanna menjadi (a) 0,75 (b) 0,99 () Untu edua nilai elajuan tersebut, tentuan fator eningatan tenaga ineti mauun momentum eletron 3 Di eranga K, sebuah artiel bergera dengan eeatan u Di K tersebut juga terdaat medan E dan B Bagaimanaah ara menentuan gaa Lorent ada artiel tersebut di eranga K, dimana K bergera dengan eeatan V terhada K? Jia gaa Lorent di K tersebut telah dieroleh, bagaimana ara menguji bahwa nilai ang dieroleh itu benar?