Penerapan Sistem Persamaan Lanjar untuk Merancang Algoritma Kriptografi Klasik

Transkripsi

1 Penerapan Sistem Persamaan Lanjar untu Merancang Algoritma Kriptografi Klasi Hendra Hadhil Choiri ( ) Program Studi Teni Informatia Seolah Teni Eletro dan Informatia Institut Tenologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132, Indonesia Abstra Dalam proses enripsi-deripsi, terdapat banya algoritma riptografi yang sudah diciptaan dan diembangan. Tiap algoritma menggunaan pendeatan tertentu yang pasti memilii elebihan dan eurangan masing-masing. Melalui proposal maalah ini, penulis mengusulan penerapan sistem persamaan lanjar (linear equation system) dalam perancangan suatu algoritma riptografi. Melalui pendeatan ini, dapat diturunan berbagai algoritma lasi untu enripsi dan deripsi. Variasi algoritma yang terbentu berbeda dalam hal penempatan plaintes dan unci saat membentu persamaan-persamaan lanjar. Dan tentu saja setiap algoritma enripsi harus memilii algoritma deripsi yang sesuai, agar pesan yang dienripsi dapat diembalian lagi. Selanjutnya aan dianalisis elebihan dan eurangannya, serta teni-teni riptanalisis yang bisa dilauan untu memecahannya. Diharapan, sistem persamaan lanjar dapat diembangan untu menciptaan suatu algoritma riptografi yang aurat dan sulit dipecahan sehingga pesan menjadi aman. Kata Kunci riptografi lasi, sistem persamaan lanjar, algoritma riptografi. I. PENDAHULUAN Kriptografi adalah ilmu dan seni untu menjaga erahasian pesan dengan cara menyandiannya e dalam bentu yang tida dapat dimengerti lagi mananya. Sedangan riptografi lasi adalah riptografi uncisimetris yang berbasis arater [1] Telah banya algoritma riptografi yang telah diciptaan dan diembangan. Tiap algoritma menggunaan pendeatan tertentu yang pasti memilii elebihan dan eurangan masing-masing. Melalui maalah ini, penulis bermasud merancang beberapa algoritma riptografi yang menggunaan suatu onsep dalam aljabar lanjar (linear algebra). Yani, dalam hal ini memanfaatan sistem persamaan lanjar (linear equation system) dalam penyusunan algoritmanya. Mesipun tiap algoritma pasti punya eurangan, diharapan pendeatan ini dapat diembangan untu menciptaan algoritma riptografi lasi yang ooh dan tida mudah dipecahan. II. SISTEM PERSAMAAN LANJAR Pada dasarnya, sistem persamaan lanjar adalah umpulan persamaan persamaan yang berbentu: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Terlihat bahwa tiap persamaan bersifat lanjar (linear) terhadap x 1, x 2,, x n, sehingga disebut persamaan lanjar. [2] Selanjutnya, sistem persamaan lanjar tersebut dapat direpresentasian menjadi suatu operasi matri-matri sebagai beriut: Untu selanjutnya, dalam maalah ini penulis sebut matri-matri di atas: A = sebagai matri oefisien X = sebagai matri variabel B = sebagai matri onstanta III. RUMUSAN MASALAH Dengan memanfaatan onsep persamaan lanjar tersebut, dapat diturunan berbagai algoritma riptografi lasi. Secara umum, algoritma enripsi dirancang berdasaran bagaimana merepresentasian plaintes dan unci menjadi matri-matri oefisien dan variabel. Sedangan ciphertes adalah matri oefisien yang dihasilan. Misal algoritma aan diterapan pada sistem alfabet α

2 arater (misal α=26 untu huruf Indonesia, dan α=256 untu ASCII). Dan p i, i, dan c i berturut-turut menyataan suatu arater di plaintes, unci, dan ciphertes. Beriut beberapa gambaran algoritma yang dapat dibuat: (contoh dan penjelasan rinci aan diberian saat maalah direalisasian setelah disetujui) Pendeatan 1: Kunci berupa matri oefisien (yani Hill cipher) Diawali dari algoritma yang sudah ada, dan cuup terenal yaitu Hill cipher yang diembangan oleh Lester Hill (1929). Algoritma ini menerapan sistem persamaan lanjar di mana digunaan m buah persamaan lanjar. Selanjutnya plaintes dibagi-bagi menjadi blo-blo berisi m arater. Lalu gunaan persamaan: c 1 = ( 11 p p m p m ) mod α c 2 = ( 21 p p m p m ) mod α c 3 = ( 31 p p m p m ) mod α terlihat bahwa pada algoritma ini, unci berupa matri beruuran mxm (berisi elemen 11 hingga mm ), seperti ini: C C C = p p p Sehingga secara umum, algoritma enripsinya dapat dinyataan: K mxm.p mx1 = C mx1 dan untu proses deripsi, cuup diinversan matri K: P mx1 = C mx1. K mxm -1 Algoritma ini memang cuup bagus dan aman, tetapi urang nyaman arena harus memilii unci beruuran mxm. Untu mengenripsi suatu blo dengan arater saja, dibutuhan unci sepanjang 100 arater. Pendeatan 2: Kunci sebagai fator variabel Misal uncinya adalah 1 2 m (panjangnya m), bagi plaintes menjadi blo-blo berisi m arater (misal dalam suatu blo isinya p 1 p 2 p m ). Selanjutnya algoritma enripsinya adalah sebagai beriut: ) mod α Selanjutnya untu menemuan cara deripsian, dapat digunaan manipulasi aljabar seperti metode eliminasi sebagai beriut: Kita dapatan persamaan baru:. Ahirnya didapatan algoritma dasar untu deripsinya: Namun formula di atas masih harus dioresi, dalam hal adanya modularitas (mod α) arena adanya operasi pembagian. Untu itu, ita lauan oresi mulai dari persamaan: 1 α Dan untu mencari nilai dari, ita tida boleh langsung membagi dengan m-1, arena pembagian buan termasu operasi dalam persamaan ongruensi. Sehingga yang bisa dilauan yaitu mengalian edua ruas dengan 1 sehingga aan memenuhi 1. 1 α 1. α α Jadi telah ita dapatan persamaan 1 α Setelah mendapat persamaan di atas, dapat dengan mudah ita cari nilai p i, yani dengan mengurangan persamaan di atas dengan c i, aan diperoleh: 1 Jadi telah ita temuan: 1 α α Dilihat dari proses enripsi, terlihat bahwa algoritma ini cuup bai dan sulit dipecahan arena dalam satu blo, tiap arater saling mempengaruhi. Namun, masih terdapat masalah dalam menerapan algoritma ini, yani adanya invers. Karena a -1 mod m ada jia dan hanya jia a dan m relatif prima (GCD (a,m)=1). Sehingga pada asus di atas haruslah GCD( i,α)=gcd(m-1,α)=1. Untu itu, perlu dibuat

3 batasan dalam penerapan algoritma tersebut, beriut 3 alternatif yang mungin: Memilih i dan m-1 yang relatif prima terhadap α. Untu memilih m tida ada masalah arena panjang blo memang tetap. Namun masalah terjadi dalam memilih i. Karena unci ditentuan oleh piha yang aan beririm pesan. Aan sangat tida nyaman jia harus diberi aturan arater-arater pada unci harus relatif prima dengan jumlah alfabet. Untu itu cara ini tida disaranan. Menggunaan alfabet yang banya araternya merupaan bilangan prima. Karena setiap bilangan asli yang urang dari bilangan prima p, pasti saling prima dengan p. Masalahnya, tida setiap himpunan arater banya araternya adalah bilangan prima. Misalnya saja abjad A-Z ada 26 arater, dan ASCII ada 256 arater. Namun, hal ini dapat diselesaian dengan menambah/mengurangi sejumlah arater sehingga banya araternya berupa bilangan prima. Berhubung ini algoritma ini diterapan untu algoritma lasi, maa manipulasi alphabet bisa dilauan dengan mudah. Namun tetap saja, mesipun banya arater alfabetnya berupa bilangan prima, deripsi tida bisa dilauan jia unci mengandung arater bernilai nol, arena GCD(0,α) 1. Alternatif selanjutnya adalah menyesuaian arater unci. Yani, jia i ternyata relatif prima dengan α, ganti i dengan arater lain yang relatif prima dengan α.bisa dengan arater terdeatnya, atau ganti dengan suatu arater husus. Dengan begitu, tida perlu memberian batasan terhadap unci dan alphabet. Namun tetap saja disaranan memilih alphabet yang banya araternya buan elipatan anga-anga ecil seperti 2 atau 3, arena aan terdapat banya arater unci yang tida sesuai. Pada maalah ini penulis sertaan implementasi dari riptografi yang menggunaan metode ini. Pendeatan 3: Sebuah arater unci mengenripsi satu blo. Apabila pendeatan 2 sulit diimplementasian arena tida bisa memanipulasi alphabet (misalnya ASCII yang harus 256 arater, pengurangan ataupun penambahan arater menyebaban erusaan file), dapat diterapan metode yang ini. Yani, plaintes dipartisi menjadi blo-blo, lalu blo e-i (misal berisi m arater) dienripsi dengan arater unci e-i. Lalu gunaan suatu persamaan lanjar untu mengenripsi sebuah blo dengan sebuah arater, misalnya: mod α dan untu menemuan algoritma deripsinya, gunaan cara seperti di pendeatan 2, jumlahan semua arater ciphertes dalam satu blo, didapat: 1 α Yang setara dengan: 1 α Selanjutnya dengan mengurangan bentu di atas dengan (c i - i ), diperoleh arater plaintes: =p i Jadi ditulisan embali, formula deripsinya adalah: 1 α Dan seperti pendeatan 2, pada metode ini harus tetap berlau bahwa GCD(m-1,α)=1, tetapi arater unci boleh bebas, arena satu arater unci mengenripsi satu blo. Namun metode ini tida coco untu plaintes yang ecil arena unci menjadi urang terpaai. Untu itu metode ini dapat dipaduan dengan Vigenere cipher agar lebih uat. Pendeatan 4: Karater unci sebagai panjang partisi blo Misal uncinya adalah 1 2 m. Anggap araterarater unci sebagai bilangan bulat. Selanjutnya partisi plaintes menjadi blo-blo, dengan tiap blo berisi i arater, dan unci diulang. Misal unci = halo (7,0,11,14), plaintes aan dipartisi menjadi: (p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 p 6 p 7 )()(p 8 p 9 p 10 p 11 p 12 p 13 p 14 p 15 p 16 p 17 p 18 )( p 19..) Lalu, tiap blo dideripsi dengan suatu algoritma enripsi, bai dengan algoritma lasi lain, maupun dengan pendeatan sistem persamaan lanjar. Masih banya pendeatan yang dapat dirancang dengan memanfaatan SPL. Dan untu menciptaan algoritma yang bagus, gunaan sistem enripsi m-gram. Yani, dibagi menjadi blo-blo. Dan pada blo yang terdiri dari m arater, gunaan formula enripsi c i = f(p 1,p 2,p 3,.p m, 1, 2, 3,, m ) IV. IMPLEMENTASI Dari pendeatan-pendeatan di bab 3, penulis telah mengimplementasian salah satunya, yaitu pendeatan 2.

4 Karena sepertinya memang menggunaan metode yang paling uat dan sulit dipecahan, dan aan dijelasan lebih lanjut di bagian analisis. Untu enripsi, digunaan fungi yang paling sederhana, yaitu: ) mod α Dengan ata lain, c i adalah total dari peralian arater plaintes ali arater unci selain dirinya dalam satu blo. Untu memperhatian bagaimana algoritma ini beerja, perhatian contoh asus beriut: Pada sistem alfabet 27 arater (a-z dan spasi), plaintes riptografi aan dienripsi dengan unci unci. Karena panjang unci adalah 5 arater, maa plaintes dipartisi menjadi blo-blo berisi 5 arater, yani ript, ograf, dan i.. Beriut proses enripsinya pada blo pertama ( ript ): (.+r.u+i.n+p.c+t.i) mod 27 = ( ) mod 27 = ( ) mod 27 = ( ) mod 27 = 78 mod 27 = 24 Selanjutnya setelah menemuan persamaan di atas, dapat dengan mudah diperoleh ciphertesnya, yani: C 1 = mod 27 = 5 (f) C 2 = mod 27 = 8 (i) C 3 = mod 27 = 1 (b) C 4 = 24 3 mod 27 = 21 (v) C 5 = mod 27 = 7 (h)\ Sehingga ita peroleh: ripto (enrip unci ) fibvh Selanjutnya ita deripsi embali dengan formula yang sudah diturunan: 1 α Kita cari dulu penjumlahan ciphertes, yani: f+i+b+v+h mod 27 = mod 27 = 15 Selain itu dapat ditemuan bahwa: (m-1) -1 mod 27 = 4-1 mod 27 = 7 (arena 4x7 = 28 dan 28 mod 27=1) Yang berarti 1 α Serta invers arater-arater pada unci: 10-1 mod 27 = mod 27 = mod 27 = mod 27 = mod 27 = 17 Selajutnya, dapat langsung didapatan plaintesnya, seperti ini: P1 = 19(24-5) mod 27 = 10 () P2 = 23(24-8) mod 27 = 17 (r) P3 = 25(24-1) mod 27 = 8 (i) P4 = 14(24-21) mod 27 = 15 (p) P5 = 17(24-7) mod 27 = 19 (t) Terlihat bahwa proses deripsi menghasilan plaintes yang sebelumnya dienripsi fibvh (derip unci ) ripto Jadi dapat dipastian bahwa fungsi enripsi dan deripsi tersebut sudah valid dan siap digunaan. Dalam algoritma yang penulis rancang, didefinisian: Agar banya arater merupaan bilangan prima, alfabet terdiri dari huruf-huruf, anga, dan tanda baca yang merupaan arater ASCII sehingga α=91. Beriut arater-arater tersebut: P 64 ` 80 p 1! A 49 Q 65 a 81 q B 50 R 66 b 82 r 3 # C 51 S 67 c 83 s 4 $ D 52 T 68 d 84 t 5 % E 53 U 69 e 85 u 6 & F 54 V 70 f 86 v G 55 W 71 g 87 w 8 ( H 56 X 72 h 88 x 9 ) I 57 Y 73 i 89 y 10 * 26 : 42 J 58 Z 74 j 90 z ; 43 K 59 [ { 12, 28 < 44 L 60 \ 76 l = 45 M 61 ] 77 m > 46 N 62 ^ 78 n 15 / 31? 47 O 63 _ 79 o Untu α=91 = 7x13, terdapat beberapa bilangan urang dari 91 yang tida relatif prima, yaitu 0, 7, dan 13. Untu itu, jia unci mengandung araterarater bernilai 0 (spasi), 7 ( ), atau 13 (-) perlu diganti dulu. Dalam hal ini penulis definisian: 0 1, 7 8, Pada blo terahir, bisa ditambahan padding untu memenuhi blo. Dalam implementasi ini, penulis tambahan tanda-tanda titi hingga blo penuh. Mesipun plaintes seragam, berisi titi semua, ciphertes aan tetap terlihat aca arena fungsi enripsinya melibatan banya variabel, meliputi semua arater plaintes dan unci dalam satu blo. Setelah segala ebutuhan sudah didefinisan, algoritma sudah siap diimplementasian. Beriut adalah pseudocode dari algoritma ini dengan bentu perhitungan yang paling mudah:

5 VARIABEL GLOBAL P[0..n-1] adalah plaintes, nilainya dianggap integer K[0..m-1] adalah unci, nilainya dianggap integer C[0..n-1] adalah ciphertes, nilainya dianggap integer KONVERSI_KUNCI for(i=0 to m-1) if(p[i]=0) then P[i]=1 if(p[i]=7) then P[i]=8 if(p[i]=13) then P[i]=14 ALGORITMA ENKRIPSI Variabel Loal n_blo = round_up(n/m) B[0..n_blo-1][0..m-1] partisi_blo(p,n) Sigma_KP // ΣKP tambahi_titi_di_ahir(b[n_blo-1]) for(a=0 to n_blo-1) sigma_kp 0 sigma_kp+=k[t]*p[a*m+t] mod 27; C[a*m+t] sigma_kp K[t]*P[a*m+t] mod 27; ALGORITMA DEKRIPSI Variabel Loal n_blo = round_up(n/m) B[0..n_blo-1][0..m-1] partisi_blo(c,n) sigma_c // ΣC mc //invers(m-1)* ΣC /** daftar invers **/ In_M = invers(m-1) In_K[0..m-1] for(i=0 to m-1) In_K[i]= invers(k[i]) Endfor for(a=0 to n_blo-1) sigma_c=0 sigma_c+=c[a*m+t] mod 27 mc = sigma_c*in_m mod 27 P[a*m+t]=In_K[t]*(mc-C[t]) V. ANALISIS Untu menerapan sistem persamaan lanjar ini e dalam algoritma riptografi, beriut hal-hal yang harus diperhatian: Banya elemen dalam alphabet harus terbatas dan dietahui (yani α) Harus dapat dipastian bahwa bilangan yang diinvers harus relatif prima dengan jumlah arater dalam alphabet Dengan algoritma ini, unci tida boleh osong. Sehingga jia unci osong harus diberian penanganan husus (misal dengan unci default). Dari implementasi di atas, terdapat beberapa analisis yang dilauan penulis. Dalam hal emangusan algoritma, terlihat pada algoritma enripsi dan deripsi, di awal dilauan mn ali operasi assignment saat partisi. Karena eduanya melauan operasi yang sama, dapat diabaian dulu. Pada algoritma enripsi, setiap blo terjadi 2m operasi peralian, 2m operasi penjumlahan/pengurangan, dan 2m+1 operasi assignment. Jia panjang plaintesnya adalah m, maa aan terdapat n_blo buah blo, di mana n_blo adalah m/n dibulatan e atas. Sehingga banya operasi yaitu n_blo(2m [*] + 2m [+/-] + (2m+1) [ ]) Sedangan pada algoritma deripsi, pada tiap blo terdapat 2m+1 operasi penjumlahan/pengurangan, m+1 operasi peralian, serta 2m+2 assignment, sehingga total operasi yaitu: n_blo((m+1) [*] + (2m+1) [+/-] + (2m+2) [ ]) Dari perbandingan banya operasi tersebut, apaah dapat disimpulan bahwa algoritma deripsi justru lebih mangus? Tida juga.. Karena pada algoritma deripsi, di awal harus didefinisian dulu invers ongruensi dari beberapa bilangan, yani m-1 dan i, yang berarti dibutuhan m+1 operasi invers. Padahal jia dijabaran, mencari invers ongruensi tidalah mudah. Dengan brute-force saja dibutuhan α ali peralian, dan dalam hal ini ada 27 peralian untu dicari tahu mana yang menghasilan sisa 1 jia dibagi 27. Dan menurut penulis, ini adalah seni dari pembalian sistem persamaan lanjar menggunaan operator ongruensi. Dari analisis tersebut, dapat bahwa algoritma deripsi menjadi lebih rumit daripada enripsi, sehingga eamanan menjadi lebih terjamin. Dan ini aan mampu membuat riptanalis mengalami esulitan. Sifat enripsi m-gram pada metode ini juga memberian esulitan lain bagi para riptanalis. Yani, setiap perubahan 1 arater saja di suatu blo berisi m arater, aan memberian hasil enripsi yang jauh berbeda arena memang semua arater saling berpengaruh dalam fungsi enripsi. Namun arater pada suatu blo tida mempengaruhi blo lain, sehingga jia satu blo rusa, blo lain masih dapat diselamatan. Selanjutnya eamanan dalam hal pemilihan unci.

6 Berhubung arater-arater unci perlu disesuaian dulu agar relatif prima dengan α, maa bisa terjadi tumbuan (collide). Yani beberapa unci menghasilan hasil enripsi yang sama. Pada asus di atas misalnya unci ^- ^ V aan sama dengan ^.^ V ataupun ^.^!V arena memang pada prosesnya, - (13) aan dionversi menjadi. (14), serta spasi(0) dionversi menjadi! (1). Namun hal ini tida menjadi masalah dalam riptografi lasi, arena peluang mendapatan unci-unci tersebut secara aca tetap saja ecil. Seperti halnya menemuan eberuntungan menemuan unci yang tepat. Masalah seperti ini juga sering terjadi pada beberapa algoritma lain, misalnya vigenere cipher yang 26 arater. Bahan riptografi dengan onsep hashing pasti terjadi tumbuan juga, arena berapapun panjang plaintesnya, aan diubah menjadi string dengan panjang tertentu. Sesuai dengan prinsip sarang merpati (PHP: Pigeon Hole Principle): Jia ada n+1 merpati dan n sarang dan ita harus memasuan semua merpati e sarang, maa pasti terdapat sarang yang berisi minimal 2 merpati. PERNYATAAN Dengan ini saya menyataan bahwa maalah yang saya tulis ini adalah tulisan saya sendiri, buan saduran, atau terjemahan dari maalah orang lain, dan buan plagiasi. Bandung, 19 Maret 2011 Hendra Hadhil Choiri ( ) VI. KESIMPULAN Secara umum, penggunaan sistem persamaan lanjar dapat menghasilan enripsi data yang sulit dipecahan, tetapi tida mangus dalam proses enripsinya. Beriut esimpulan yang dapat diambil dari analisis di atas: Secara umum, untu menggunaan teni membagi plaintes menjadi blo-blo berisi m arater, lalu gunaan fungsi enripsi c i = f(p 1,p 2,p 3,.p m, 1, 2, 3,, m ) Proses enripsi dan deripsi berbasis SPL sebainya dilauan dengan omputasi arena memang ada banya perhitungan, serta esalahan hitung dapat beraibat fatal. Dalam pengembangannya, sistem persamaan lanjar dapat juga diterapan dalam hashing maupun algoritma unci public, arena sifatnya yang enripsinya mudah tetapi deripsinya rumit dan beresio salah hitung. Sistem persamaan lanjar urang coco untu riptografi modern, arena adanya batasan bahwa banya arater alfabet dan nilai arater unci harus saling prima. Serta dibutuhan padding di blo terahir. Berarti jia pesan yang dienripsi buan tes, ada emunginan plaintes setelah dideripsi sediit berbeda dengan plaintes awal. DAFTAR PUSTAKA [1] Munir, Rinaldi, Ir.,M.T Ditat Kuliah IF-5054 Kriptografi. Bandung : Informatia ITB [2] H. Wiryanto, Leo. Ditat Kulah Matematia Teni. Bandung : Matematia ITB [3] URL diases tanggal 1 Maret 2011 jam 23.07