ANALISIS MASALAH GENERATOR DARI POSSIBLE DAN UNIVERSAL EIGENVECTOR PADA MATRIKS INTERVAL DALAM ALJABAR MAX-PLUS

Transkripsi

1 Sear Nasoal Mateatka IV (SeNasMat) Isttut Tekolog Sepuluh Nopeber, Surabaya, 3 Deseber NLISIS MSLH GENERTOR DRI POSSIBLE DN UNIVERSL EIGENVECTOR PD MTRIKS INTERVL DLM LJBR MX-PLUS Rata Novtasar, Suboo, Jurusa Mateatka FMIP Isttut Tekolog Sepuluh Nopeber Jl ref Raha Hak, Kapus Keputh - Sukollo, Surabaya Jawa Tur e-al : rtop@ateatkatsacd, suboo3@telkoet bstrak Pada peelta aka dbahas asalah egevalue da egevector dar atrks terval dala ljabar Ma-Plus Egevalue da egevector harus eeuh atrks terval bawah da atas Dala hal atrks terval tersebut dkataka epuya possble egevalue da uversal egevalue serta possble egevector da uversal egevector Keuda aka dtetuka geerator-geerator dar hpua seua possble egevector da uversal egevector dar suatu atrks terval Juga aka dtetuka hpua terbesar dar atrks terval jka dberka suatu possble egevector dega cara teras Keywords: ljabar a-plus, egevalue, egevector, atrks terval Pedahulua Pada beberapa perasalaha, atrks dguaka utuk eodelka suatu sste da sste tersebut dselesaka sehgga ddapatka solusya Utuk edapatka peyelesaa aalts dar sste adakalaya eeu kesulta da lebh udah egguaka koputas Tetap la koputas dar atrks tersebut tdak tepat sepert keadaa yag sebearya Hal eyebabka adaya terval la dar sebuah atrks dala koputas dbadgka keadaa yag sebearya Sebuah atrks yag epuya terval data sepert daaka atrks terval Petgya asalah atrks terval telah dketahu da dpelajar dala ljabar basa da dcar peyelesaaya (Cechlarova, ) ljabar a-plus serg dguaka utuk eodelka suatu perasalaha sepert trasportas, aufakturg, pejadwala, sste atra, lalu ltas da la sebagaya Sepert halya pada aljabar basa, utuk eyelesaka odel tersebut ucul perasalaha adaya terval la yag eyebabka adaya atrks terval Karea tu, dperluka aalss egea atrks terval utuk edapatka peyelesaaya Sepert atrks basa, atrks terval juga epuya egevalue da egevector Nau, pada atrks terval adaya terval la eyebabka atrks tersebut epuya batas bawah da batas atas sehgga egevalue da egevector yag dlk atrks terval tersebut lebh sult ddapatka darpada atrks basa Hal dsebabka egevalue da egevector tersebut harus eeuh atrks pada batas bawah da atrks pada batas atas Sehgga atrks terval epuya possble egevalue da uversal egevalue serta possble egevector da uversal egevector Jka suatu egevalue haya eeuh salah satu atrks saja dar atrks terval egevalue tersebut daaka possble egevalue, begtu juga dega possble egevector Sedagka suatu egevalue da egevector bsa dkataka sebaga uversal egevalue da uversal egevector jka eeuh seua atrks pada batas atas da batas bawah (Cechlarova, ) Pada peelta, aka dbahas egea ope probles yag dberka oleh Cechlarova () yatu eetuka geerator-geerator utuk hpua seua possble egevector dar suatu atrks terval, lagkah-lagkah eetuka suatu atrks terval epuya uversal egevector da hpua terbesar dala suatu atrks terval apabla dberka suatu possble egevector Utuk eetuka la koputas dguaka toolbo ljabar Ma-Plus dega progra Sclab

2 ljabar Ma-Plus def def Ddefska ε da Hpua R ε, daa R adalah hpua blaga rl dapu defs dar struktur ljabar dar R delaska dala defs berkut : Defs Struktur aljabar R (Bacell dkk, 99) Sbol R eyataka hpua R ε dega dua operas ber yatu u yag dotaska da pejulaha yag dotaska e adalah hpua R { } Utuk setap a, b R, ddefska operas da adalah a b ( a, b) da a b a+ b Sehgga utuk setap a R da ε, ddapatka a ε ε a a da a ε ε a ε Hpua R dega operas da dsebut ljabar Ma-Plus da dyataka R (R,,, ε, e) def def Hpua atrks d dala ljabar Ma-Plus dyataka dega R ak s Ddefska {,, } Elee dar atrks R pada bars ke da kolo ke j dyataka dega a, utuk da a a a a a a j Matrks sebagaaa basa dapat dtuls dega Operas a a a pejulaha atrks, B R, dotaska dega B, ddefska [ B] a b ( a, b ) dapu operas perkala R dega skalar α R, ddefska oleh [ α ] α a def α Sedagka operas perkala atrks R da l l B R, ddefska sebaga B a b a + b }, daa da ak s jk { jk j j l k Suatu graph dapat dubah ejad betuk atrks da sebalkya, daa elee-elee dar atrks tersebut erupaka bobot dar arc pada graph yag ddefska sebaga berkut: Defs Precedece Graph (Bacell dkk, 99) Precedece graph dar atrks bujur sagkar dega eleeya a adalah sebuah graph berarah berbobot dega ode da sebuah arc (j, ) jka Precedece graph dotaska G() a l ε, daa bobot pada arc adalah la dar a Dala sebuah graph terdr dar beberapa ode yag salg berhubuga yag dsebut path Jka sebuah path epuya ode awal saa dega ode akhr path tersebut daaka crcut Sebuah crcut p d G() dsebut crtcal jka epuya bobot rata-rata u Crtcal graph dotaska dega G C () yatu graph yag terdr dar seua ode da arc yag ejad aggota crtcal crcut d G() Seua ode yag ejad aggota G C () dsebut crtcal ode dapu defs egevalue da egevector dala ljabar Ma-Plus dberka sebaga berkut: Defs 3 (Hedergott dkk, ) Msalka R adalah atrks bujur sagkar Jka adalah sebuah skalar da v R adalah sebuah vektor yag euat al satu elee yag berhgga sehgga eeuh v v, aka dsebut egevalue dar atrks da v adalah egevector dar atrks yag bersesuaa dega egevalue Utuk edapatka egevalue da egevector dar suatu atrks dala ljabar Ma-Plus dguaka algorta aalgol (Suboo, 7)

3 3 Matrks Iterval Matrks terval adalah hpua seua atrks yag epuya terval la da dtuls dala betuk,, daa, R da Matrks terval sepert dala atrks basa juga epuya egevalue da egevector Dberka defs egea egevalue pada atrks terval adalah sebaga berkut: Defs Possble Egevalue da Uversal Egevalue (Cechlarova, ) Suatu blaga rl adalah sebuah possble egevalue dar sebuah atrks terval jka erupaka egevalue dar al satu atrks Suatu blaga rl adalah sebuah uversal egevalue dar sebuah atrks terval jka erupaka egevalue dar tap atrks Sedagka pegerta egevector pada atrks terval ddefska sebaga berkut: Defs Possble Egevector da Uversal Egevector (Cechlarova, ) Suatu vektor R adalah sebuah possble egevector dar sebuah atrks terval jka ada sehgga ( ) Suatu vektor R adalah sebuah uversal egevector dar sebuah atrks terval jka ( ) utuk setap atrks Cotoh 3,,,9 Dberka atrks terval, 3, Dega egguaka algorta aalgol,,, 3,7 atrks epuya egevalue ( ) da atrks epuya egevalue ( ) Karea ( ) ( ), berart atrks terval tdak epuya uversal egevalue haya epuya possble egevalue yatu Jka d abl suatu vektor 3 Selajutya ddapatka la dar bars kedua da ketga, la dperoleh 9 dega la ( ) 9 da > padahal seharusya buka erupaka possble egevector utuk atrks terval Jka d abl suatu vektor Selajutya ddapatka la dar bars eeuh sehgga ddapatka 7 Terlhat bahwa pada Jad, 3 dega la ( ) dapu la dar Karea da Terlhat bahwa pada setap { + } dberka oleh a a,( ) da adalah possble egevector utuk atrks terval dega j

4 Cotoh Dberka atrks terval { () c ; c, }, daa c () c Dega egguaka algorta aalgol, ddapatka egevalue dar Jad, atrks epuya uversal egevalue ( ( c) ) dar (c) adalah atrks () c c Daa egevector dar atrks ( c) da () c adalah saa dega ol utuk seua c, Da egevector ( c) adalah sedagka egevector dar adalah Jad, atrks terval (c) tdak epuya uversal egevector c Dberka atrks terval B { B() c ; c, }, daa () c dega atrks terval bawah egevalue dar () c () c da atrks terval atas () c Ddapatka B da B () c adalah saa dega ol Jad, atrks B epuya uversal egevalue ( B() c ) utuk seua c, Sedagka egevector dar B(c) adalah Daa egevector dar atrks () c da egevector dar atrks () c adalah Jad, atrks terval B(c) epuya uversal egevector Geerator Dar Possble Egevector da Uversal Egevector Dala eetuka suatu vektor erupaka possble egevector atau buka da jka erupaka possble egevector keuda dtetuka atrks yag bersesuaa, dberka dala algorta berkut: lgorta put : atrks terval, da vektor output : possble egevector da atrks atau buka possble egevector f ( ) adalah possble egevector a a, + { } else buka possble egevector ed j Dega egguaka lgorta d atas, dlakuka beberapa peguja keugka geerator dar possble egevector sebaga berkut:

5 Cotoh 3 Matrks terval yag dberka pada Cotoh a Egevector dar atrks Jka d abl egevector dar, yatu dega Ddapatka da Karea eeuh aka adalah possble egevector utuk atrks terval dega possble egevalue da b Egevector dar atrks Jka d abl egevector dar, yatu dega Ddapatka da Karea eeuh adalah possble egevector utuk atrks terval dega possble egevalue da c Rata-rata dar egevector atrks da egevector atrks Jka d abl la rata-rata dar egevector da egevector sehgga ddapatka dega Maka dperoleh da Karea eeuh adalah possble egevector utuk atrks terval dega possble egevalue da 3 7

6 d Maksu rata-rata dar atrks terval Jka d abl rata-rata dar atrks terval ddapatka atrks baru yatu Keuda tap bars d abl la uya aka ddapatka kbatya dperoleh dega da serta possble egevalue da Karea eeuh adalah possble egevector utuk atrks terval dega Uversal Egevector dapat dperoleh berdasarka pada teorea berkut Teorea (Cechlarova, ) Msalka sebuah atrks terval dega uversal egevalue () sehgga G C ( ) epuya haya satu kopoe yag strogly coected da salka u adalah sebuah fudaetal egevector dar atrks Maka epuya uversal egevector jka da haya jka u adalah sebuah egevector dar atrks Cotoh,, Dberka atrks terval Keuda dbetuk atrks terval B 3,, Matrks terval bawah epuya egevalue da egevector v Sedagka 3 atrks terval atas epuya egevalue da egevector v Maka ddapatka atrks terval bawah B yag epuya da egevector v Dega graph sebaga berkut: Gabar Graph dar atrks terval bawah B Terlhat pada Gabar bahwa G C ( ) epuya haya satu kopoe yag strogly coected yatu dega bobot saa dega ol

7 Deka juga dega atrks terval atas da egevector v B epuya egevalue Gabar Graph dar atrks terval atas B Terlhat pada Gabar bahwa G C ( ) epuya haya satu kopoe yag strogly coected yatu dega bobot saa dega ol Maka, atrks terval B epuya uversal egevalue da uversal egevector v Cotoh Dar atrks terval pada Cotoh 3 keuda dbetuk atrks terval ddapatka atrks terval bawah da egevector v Sedagka atrks terval atas B Maka B epuya egevalue B epuya egevalue da egevector v Meskpu berasal dar sebuah atrks terval, au setelah asg-asg elee dkurag egevalue asg-asg teryata atrks tersebut buka erupaka atrks terval lag Sebab ada beberapa elee dar atrks terval bawah yag laya lebh besar dar atrks terval atas, yatu a > a, a 3 > a3, a > a da a > a kbatya egevector dar B tdak saa dega egevector B Hpua Terbesar Dar Matrks Iterval Jka Dberka Suatu Possble Egevector Utuk edapatka hpua terbesar d suatu atrks terval apabla dberka suatu possble egevector aka dlakuka dega cara teras Matrks past terletak d atara atrks da Keuda atrks dgatka oleh atrks da seterusya hgga la dar atrks seak ak hgga ecapa la terbesarya da berhet Cotoh Matrks terval dberka pada Cotoh Dar keepat aca yag telah ddapatka, dabl dega la terbesar, yatu jka dberka vektor yag erupaka egevector dar, yatu Dega egguaka algorta aalgol, ddapatka atrks epuya

8 da,,, v Keuda d abl sebaga,,9,7 Jka dberka adalah egevector dar yag saa dega, sehgga atrks terval berubah ejad yatu ddapatka Jka dberka adalah egevector dar yatu ddapatka Jka dberka adalah la u dar rata-rata atrks terval, yatu ddapatka bahwa buka erupaka possble egevector 7 Jad, hpua terbesar dar atrks terval jka dberka keepat aca possble egevector keuda d abl la yag terbesar da dlakuka secara teras adalah Kespula Geerator dar Possble egevector dar atrks terval adalah egevector, egevector, rata-rata egevector da serta dar la u tap bars atrks rata-rata Hal berlaku juga utuk asg-asg kelpataya dega eberka hasl yag saa Hpua terbesar suatu atrks terval apabla dberka suatu possble egevector ddapatka dega cara teras Matrks past terletak d atara atrks da Keuda atrks dgatka oleh atrks da seterusya hgga la dar atrks seak ak hgga ecapa la terbesarya da berhet 7 Daftar Pustaka Baccell, F, Cohe, G, Olsder, GJ da Quadrat, JP (99), Sychrozato ad Learty lgebra for Dscrete Evet Systes, Joh Wley & Sos, New York Cechlarova, K (), Egevectors of Iterval Matrces over Ma-Plus lgebra, Joural of Dscrete ppled Matheatcs, vol, hal Hedergott, B, Olsder, GJ da Woude, J va der (), Ma Plus at Work, Modelg ad alyss of Sychrozed Systes: Course o Ma-Plus lgebra ad Its pplcatos, Prceto Uversty Press, New Jersey Suboo, Woude, J va der (), Power lgorth for (a, +) ad Bpartte (, a, +) Systes, Joural of Dscrete Evet Dyac Systes, vol, hal Suboo (7), Ma-plus lgebra Toolbo, ver, Jurusa Mateatka Isttut Tekolog Sepuluh Nopeber, Surabaya