BAB I PENGINTEGRALAN KOMPLEKS

Transkripsi

1 BAB I PENGINTEGRALAN OMPLES

2 . Itegral Gars Sebelum membcaraka tegral gars terlebh dahulu aka dbahas kurva kurva mulus ltasa da retas suatu ltasa. Ltasa urva legkuga d bdag datar dapat dataka dalam betuk parameter atu: dega = t da = t a t b da ktu pada [ab]. urva dsebut kurva mulus jka da ktu pada selag tertutup [ab]. DEFINISI..: Fugs : [ab] R dsebut ktu baga dem baga jka terdapat parts P = { } dar selag [ab] sehgga ktu pada selag terbuka - = Berdasarka des tersebut kurva dsebut kurva mulus baga dem baga jka d dalam = t da = t a t b berlaku da ktu baga dem baga pada [ab]. urva mulus baga dem baga dsebut ltasa. Pada kurva dega = t da = t a t b ttk aa dsebut ttk pagkal kurva da bb dsebut ttk ujug kurva.

3 urva dsebut tertutup sederhaa jka berlaku: tt tt utuk setap t t ab a.a = bb urva tertutup sederhaa urva tertutup tak sederhaa DEFINISI 5..: Suatu ltasa tertutup sederhaa dsebut berretas pst jka dtelusur dar ttk awal ke ttk akhr maka terra terletak d sebelah kr sebalka berretas egat. Berretas pst Berretas egat Itegral Gars Msalka a t b adalah kurva mulus da M permukaa terbatas atu palg sedkt terdes pada kurva. truks tegral gars. Buatlah parts utuk selag [ab] dega ttk pembaga selag baga ke-i dar parts adalah [t-t] da pajag partsa dega = maks t urva terbag atas baga atu PP PP P-P P-P Plh P* = cd P-P =.

4 4Ddeska jumlah abss P- = M c d = - dmaa abss P da - 5 Tetuka lm M c d Jka lmt ada maka M tertegralka pada. Dalam kasus M tertegralka pada tegral gars dar M pada ddeska dega Secara gemetr tegral gars M d M d lm M c d dperlhatka pada gambar d bawah. Y P aa L=Mcd P bb a = t Y X b = t

5 arta preks daerah d bawah permukaa = M da d atas kurva pada bdag XOY ag meghaslka daerah d atas sumbu X. DEFINISI 5..: Dberka kurva mulus a t b. Jka = M permukaa terbatas pada maka Apabla ltasa tegral ag dberka buka dalam betuk parameter tetap berbetuk = da = g dega ttk awal ab da ttk akhr cd maka dega substtus dperleh: Sat-sat dar. tetap tegral M dpadag sebaga varabel a Jka M ktu da terbatas maka ada d M j t t t F : dt t t t t M d M a t Mt lm ' * ' * ' Mtttdt t t t M d M b lm * ' * d b c a d g g M d M d M ' c a d b d M d g M d M ' d M d M d M

6 Nd d M d N M ] [ b. c. M k d km k R. M tetap dpadag sebaga varabel. Msalka mulus a t b maka a. aa ttk pagkal dar da bb ttk ujug dar. Perubaha t dar a ke b meghaslka retas dar. Perubaha t dar b ke a aka dperleh kurva ag sama dega retas ag berlawaa b. Jka a t b da a t b dega b b =bb maka = +. Secara sama ddeska =. d.. j t t t F : bb aa - j t t t F : j t t t F : c d M d M d M d M d M

7 . Jka M ktu M k utuk setap terbatas da pajag kurva maka th: Tetuka tegral gars terhadap kedua peubah baga ugs = + sepajag kurva = + + dmaa : Busur lgkara + = 4 dega retas egat dar - ke : Ruas gars lurus dar ke -- : Ruas gars lurus dar -- ke - Peelesaa: M d k. Y - X Dalam hal aka dhtug la dar M d sedagaka M d dperslaka utuk ada cba sedr.

8 M d d d d d dega : + = 4 :. urva dapat dataka dalam betuk parameter atu : F t cst s t j t Sehgga dperleh = cs t da = - s t. Dega demka dperleh : Dperleh: d 8 4 4cst 4s 4 t 4 cs tdt - 8 cst dt - 8 s t ] : : t. cst dt s 8 s tds t s t ] tds t 4 M d d d ]

9 : = - : - Dperleh M d 4 d 4 ] 5 Jad d Art dar d = 4 8 adalah preks daerah d bawah = + da d atas pada bdag YOZ ag meghaslka daerah d bawah sumbu Y. LATIHAN 5.. Htuglah d d jka a. adalah busur parabla = dar ke 4 b. adalah ruas gars lurus dar 4 ke c. adalah ruas gars lurus dar ke 4 dlajutka dar 4 ke 4 d. adalah busur parabla + = 5 dar ke 4 Htug la dar d d jka adalah lgkara + = 4 dega retas pst. erjaka pula sal jka lgkara + = dega retas egat. Htug la dar d d jka adalah ellps dega retas pst. erjaka sal 6 9 jka berrtas egat

10 5. Pegtegrala mpleks Msalka : t = t + t a t b adalah kurva mulus da w = ddeska pada maka pegtegrala kmpleks d dktruks sebaga berkut. Buatlah parts pada [ab] dega ttk pembaga a = t O < t < t < < t - < t < < t = b Selag baga ke-i pada parts adalah [t-t] da pajag partsa adalah dega maks. Stuas tersebut dperlhatka pada gambar berkut tt Z - Z - t- t t - t = b a=t urva terbag atas baga atu dega = aa da = bb Plh c - t

11 4 Deska jumlah dmaa 5 Tetuka. Jka lmt ada maka tertegralka pada. 6 Dalam kasus tertegralka pada tegral kmpleks dar pada dtaska dega dmaa = th: Tetukalah tegral berkut a. b. Peelesaa: Msalka = maka c = utuk setap c -. Jad dperleh c c lm d d c lm d d d c c c d. lm lm a. d lm ] lm ]... lm [

12 c c c d. lm lm b. Msalka = maka c = c. Dambl c = -. Jad dperleh d. lm lm. d lm lm Dambl c = maka Persamaa + dperleh lm d lm ]... lm [

13 Jad dperleh bahwa TEOREMA 5.. Eksstes Itegral mpleks: Jka = u +v ktu pada setap ttk d suatu kurva mulus maka tegral sepajag ada da Pada terema d atas terdapat hal ag meark utuk dsmak bahwa jka merupaka suatu uterval pada sumbu real maka pada aka mejad ugs dar saja. Dega demka adaa tegral utuk ugs ag ktu merupaka kasus khusus pada terema d atas. Dalam pegerta tersebut suatu tegral kmpleks dapat dpadag sebaga perluasa dar tegral real. Pegguaa rumus pada Terema 5.. aka dlustraska melalu cth-cth setelah dsampaka beberapa sat dasar tegral kmpleks ag dsajka d bawah. SIFAT-SIFAT d :. tetap dpadag sebaga varabel a Jka ktu da terbatas maka b Jka da g ktu pada maka c Jka da ktu pada maka. Fugs tetap dpadag sebaga varabel a d d b d d ud vd ud vd d d d d ada ] g d d g d d d

14 . Jka ugs ktu pada terbatas utuk suatu M > berlaku utuk setap pada da pajag maka d M. th: Htuglah d dega : = 4 ; : : 4 : = ; : : = : = ; : = + + Peelesaa: Y M 4 4 d d d d d d d d d 4 d d X d d d 4 d 4 d

15 d d d d d d 4 d d d d d d Jad d d d d d d d d. d = = 5 th: Msalka : Peelesaa = dega retas egat. Htuglah d Y t = / t = t = = X t = / a. d d d d d d d

16 : : : F t cs t s t j t cst s t Dperleh t d cst st dt d d cst dcst cst st d st s t ] cst cst dt ] cst dt cstdt

17 d s t s t dt cst dt Jad d LATIHAN 5.. Htuglah d jka a. adalah busur parabla = dar = - ke = b. adalah ruas gars lurus dar = ke = + c. adalah ruas gars lurus dar = ke = - dlajutka dar = ke = + I. Htuglah d jka a. adalah lgkara dega retas pst b. adalah perseg pajag dega ttk sudut = = = 4 + da =4 dega retas egat. Htuglah d jka a. adalah lgkara + = 9 dega retas pst b. adalah bujursagkar dega ttk sudut da dega retas egat

18 Pegtegrala auch Pada pasal aka dbcaraka pegtegrala dar ugs ag aaltk dega daerah tegras suatu ltasa tertutup sederhaa. Pegtegrala dar ugs aaltk tersebut dsajka dalam terema auch Gursat. Sebelum membcaraka terema auch Gursat ddahulu dega terema auch ag merupakaa dasar lahra terema auch Gursat tersebut. TEOREMA 5.. Terema auch: Dberka daerah terhubug sederhaa D da ltasa tertutup sederhaa d D. Jka aaltk da ktu pada D maka d Bukt: Msalka = u + v da aaltk pada D. Jad ada utuk setap D da = u + v = v u. area ktu pada D maka u v u uv da v semuaa ktu pada D. Dega demka u da v memeuh sarat berlakua terema Gree atu ud vd vd ud v u dd u v dd D D

19 area u da v memeuh persamaa auch Rema pada D maka tegral lpat dua d ruas kaa mejad l. Sedagka d ruas kr adalah rumus utuk. d Jad d =. Pada Terema auch d atas mecakup hptess tambaha bahwa ktu pada D tetap jka aaltk pada daerah D maka juga aaltk da ktu pada D. karea tu Gursat berpedapat bahwa kektua merupaka suatu hptess ag berlebha. Hal sudah dmplkaska leh keaaltka. TEOREMA 5.. Terema auch-gursat: Oleh Dberka daerah terhubug sederhaa D da ltasa tertutup sederhaa d D. Jka aaltk pada D maka d Bukt terema tersebut cukup pajag leh karea tu dalam pembcaraa d s tdak aka dbuktka. vers dar Terema auch Gursat adalah salah atu Jka sederhaa D maka aaltk d D. d utuk setap ltasa tertutup sederhaa d dalam daerah terhubug

20 Sebaga cth ag meggambarka keataa dperlhatka leh ugs. Itegral jka ltasa tertutup sederhaa ag tak melalu tetap tak aaltk d. d TEOREMA 5.. Perluasa Terema auch-gursat: Dberka daerah terhubug sederhaa D da ttk tetap dalam D da dua ltasa ag meghubugka da dmaa D. Jka aaltk pada D maka Y Bukt: D Msalka L = + - maka L d d d d d d d d d X

21 th: Htuglah d dmaa : busur lgkara + = dar ttk - ke : ruas gars dar ttk ke = + Peelesaa: Y X - area = aaltk pada ag memuat = - da =. Meurut terema d atas harus dplh ltasa sebarag dar da. Ltasa ag palg mudah dalam kasus gars lurus dar ke adalah ltasa : = -. Dega demka dperleh d d

22 TEOREMA 5..4 Terema Dasar Pertama Itegras mpleks: Jka D daerah terhubug sederhaa suatu ttk tetap d D da aaltk pada D maka utuk setap D berlaku A w dw ' A d d w dw Bukt: ' A lm A A lm lm lm lm lm w dw w dw w w w dw dw w dw dw lm dw dw

23 area dw [w ] dw [ ] maka dperleh lm dw lm. Fugs w aaltk d megakbatka ktu d. Hal berart utuk. setap blaga > terdapat blaga > sehgga jka w < berlaku Oleh karea tu dperleh [ w ] dw. w < [ w ]dw.

24 Akbata lm [ w ] dw Jad terbukt bahwa A =. Dar terema d atas dapat dperluas mejad suatu terema ag lebh sederhaa terema tersebut dkeal dega ama terema dasar kedua tegral kmpleks. Sebeluma aka ddahulu dega pegerta at turua dar suatu ugs ag dsajka d dalam Des 5..5 da Terema 5..6 berkut. DEFINISI 5..5: Dberka D terbuka da ugs : D. Fugs F : D dsebut at turua pada D jka berlaku F = utuk setap D.

25 TEOREMA 5..6: Dberka ugs : D aaltk pada D. Jka ugs G : D at turua dar maka terdapat kstata k sehgga H = G + k utuk setap D. Bukt: area G da H at turua ugs pada D dperleh G ==H utuk setap D atau H G = - = utuk setap D. Jka H G = utuk setap D maka terdapat k sehgga berlaku H-G = k utuk setap D. Jad terbukt bahwa H = G + k utuk setap D.

26 TEOREMA 5..7Terema Dasar edua Itegras mpleks: Dberka D daerah terhubug sederhaa da ttk tetap d D. Jka aaltk pada D da F at turua dar pada D maka ] d w dw F w dw k k w dw k G w dw k G Bukt: adalah suatu at turua dar da G=k+ at turua sebarag dar maka Akbata w dw G G

27 Jad dperleh w dw d G F k F G F k F Itegral dar suatu ugs ag meeluruh sepajag sebarag ltasa ag meghubugka dua ttk pada bdag datar dapat dhtug secara lagsug asalka at turua ugs tersebut dapat dtemuka. Demka pula tegral dar ugs aaltk asalka ttk awal da ttk akhr ltasa tegrasa seluruha terletak d dalam daerah terhubug sedehaa d maa ugs tu aaltk. th:... d e d e ] ] e s d cs ] cs

28 LATIHAN 5.. Htuglah tegral berkut. a. b. c. d. e.. d csh d e e e d cs s d s d d. Msalka sebarag ltasa tertutup ag tdak memuat l. arlah. Msalka aaltk pada reg ag memuat. Tujukka bahwa adalah majer mur kektua ag mejam. s ' d d

29 5.4 Aulus Pada pasal aka dbcaraka pegtegrala dar ugs ag aaltk pada suatu aulus tertutup da bagamaa megkaj pegguaa Terema auch dalam masalah. Sebelum membcaraka masalah tersebut lebh lajut aka dsajka terlebh dahulu des dar aulus. 5.4 Aulus Pada pasal aka dbcaraka pegtegrala dar ugs ag aaltk pada suatu aulus tertutup da bagamaa megkaj pegguaa Terema auch dalam masalah. Sebelum membcaraka masalah tersebut lebh lajut aka dsajka terlebh dahulu des dar aulus. DEFINISI 5.4.: a Dberka ltasa sederhaa da D daerah ag dbatas leh. Iterr ddeska dega It = D da eksterr dega Eks=D c b Dberka da dua ltasa tertutup sederhaa dega It It. Aulus ag dtetuka leh da ddeska dega A = It Eks = Hmpua semua ttk ag terletak d dalam da d luar A c Dberka adalah + ltasa tertutup sederhaa dega It It = da It It j = j.

30 Aulus ag dtetuka leh da ddeska dega A = It eks = Hmpua semua ttk ag terletak d dalam da d luar TEOREMA 5.4.Terema Aulus: Jka da dua ltasa tertutup sederhaa da aaltk pada A maka d d asalka da djelajah dega retas ag sama. atata: Terema Aulus dguaka jka tak aaltk d suatu ttk pada terr.

31 Bukt: r r Ltasa = + da ltasa = +. Perhatka dua ltasa tertutup sederhaa + r - r da + r r Meurut Terema auch dperleh r r r r d d area r da r djelajah dalam kedua arah maka dar tegras d atas tdak memeberka art apa-apa sehugga d d d d d d

32 TEOREMA 5.4. Terema Perluasa Terema Aulus: Dberka adalah + ltasa tertutup sederhaa. Jka aaltk pada maka d d A... th: d Htuglah ltasa tak melalu. Peelesaa: asus : It Y. Msalka D = It da X d maka aaltk pada D da asus : It.

33 asus : It. Y X Msalka = { : }. area aaltk pada A dega ltasa tertutup sederhaa maka meurut Terema Aulus dperleh d d. Msalka Dar s dperleh t e dega t maka d e t dt d e e t t dt t ] Dega demka d It It dega tak melalu.

34 TEOREMA 5.4.4: Dberka ltasa tertutup sederhaa d daerah terhubug sederhaa D. Jka aaltk pada A maka d It It dega tak melalu Bukt: Msalka It da lgkara ag pusata d dega jar-jar r dperleh : r sehgga t re t r > re d re t dt t Jad terbukt bahwa d re re t t dt dt

35 TEOREMA 5.4.5Terema Rumus Itegral auch: Dberka ltasa tertutup sederhaa ag berretas pst da It. Jka aaltk pada It maka d Bukt: d [ ] d d d area aaltk pada It maka ada utuk setap It. area It maka ada sehgga ktu d. Hal berart utuk setap > terdapat > sehgga jka berlaku

36 L d d } : { L L d L d d L } : { d d d. d Msalka dega L = Dperleh Jad. maka Msalka Dar da dperleh

37 TEOREMA 5.4.6Terema Perumuma Rumus Itegral auch: Dberka ltasa tertutup sederhaa ag berretas pst It. Jka aaltk pada It maka! d th: Tetuka d 4 dmaa a. : retas pst b. : 4 retas pst Peelesaa: a tak aaltk d = = - da =

38 Y - X d 4 d - 4d g Dambl maka g aaltk pada It. Jad dperleh 4 d 4 g d.g

39 b. : 4 retas pst Y 4 X Msalka ltasa da adalah : : : Dega = = da =.

40 Jad dperleh d d d d d d d

41 LATIHAN 5.4. Htuglah tegral berkut : d a. : 4 dega retas pst e d b. : dega retas pst c. S d d d. 4 : da : 4 dega retas pst : 4 dega retas pst