ALJABAR MAX-PLUS DAN PENERAPANNYA. M. Andy Rudhito

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "ALJABAR MAX-PLUS DAN PENERAPANNYA. M. Andy Rudhito"

Transkripsi

1 LJBR MX-PLUS DN PENERPNNY M. dy Rudhto Program Stud Peddka Matematka FKIP Uverstas Saata Dharma Yogyakarta 6

2

3 PRKT ljabar -plus merupaka suatu struktur aljabar d maa hmpua semua blaga real R {} dlegkap dega operas (maksmum) da plus (pejumlaha). ljabar berawal tahu 7a, tetap baru berkembag dega pesat sektar tahu 9a. Permasalaha-permasalaha dalam jarga (teor graf) yag terutama terkat dega masalah skrosas dapat dmodelka da dselesaka dega bak dega aljabar -plus. Permasalaha d atas yag dega megguaka matematka basa berupa model matematka yag olear, dega megguaka aljabar -plus dapat berupa model yag lear dalam operasya. Buku dsajka dalam beberapa bab dega sstematka sebaga berkut. Bab pedahulua da motvas yag bers masalah-masalah yag dapat dmodelka da dselesaka dega megguaka aljabar -plus, d ataraya adalah masalah sstem jarga kereta ap, sstem produks sederhaa, pejadwala dalam jarga proyek da jarga atra. Bab membahas kosep-kosep dasar aljabar -plus yag melput matrks da struktur aljabarya. Bab membahas tetag sstem persamaa lear -plus, yag melput sstem put output da sstem teratf. Sstem persamaa lear -plus aka dguaka sebaga dasar pemodela masalah dega megguaka aljabar -plus. Selajutya dbahas beberapa peerapa dar sstem persamaa lear -plus. Bab 4 membahas tetag la ege matrks atas aljabar -plus. Nla ege sagat terkat dega permasalaha yag terkat dega sfat-sfat perodk damka jarga. Dbahas pula beberapa peerapa dar kosep la da vektor ege plus terkat sfat perodk sstem. Bab membahas vara la aljabar -plus, yak aljabar m-plus da aljabar -m beserta peerapaya. Pembahasa dalam buku agak megalam kesulta kalau tdak dbatu aspek komputasya dega megguaka komputer. Dalam tap babya aka dberka aspek komputasya dega megguaka bahasa MTLB.

4 Pada kesempata peuls megucapka termakash kepada kolega dose d Uverstas Saata Dharma yag telah memberka dukuga postp. Jurusa Matematka FMIP UGM, khusus dose-dose kulah da pembmbg tugas akhr selama peuls meempuh S da S. Para dose da mahasswa dar berbaga pergurua tgg d Idoesa yag telah medskuska topk dalam berbaga kesempata semar da perjumpaa-perjumpaa bak ole maupu offle. Mahasswa bmbga skrps saya, Rega Wahyudyah Soata yu, yag telah bekerja keras meyelesaka skrps topk aljabar -plus, d maa haslya juga merupaka baga dar susua buku. khrya semoga buku bermafaat da dapat dguaka dalam kehdupa sehar-har, maupu dkembagka sebaga kaja lmu matematka Yogyakarta, Pebruar 6 Peuls (e-mal: rudhto@usd.ac.d) v

5 DFTR ISI PRKT... DFTR ISI... v BB PENDHULUN.... Sstem Jarga Kereta p.... Sstem Produks Sederhaa Pejadwala Jarga Proyek Jarga tra... 9 BB LJBR MX-PLUS DN MTRIKS.... ljabar Max-Plus.... Matrks atas ljabar Max-Plus.... Semmodul atas ljabar Max-Plus... BB SISTEM PERSMN LINER MX-PLUS DN PENERPNNY Sstem Persamaa Lear Iput-Output (SPLIO) Max-Plus Peerapa pada Sstem Produks Sederhaa Eksstes da Ketuggala SPLIO Max-Plus Peerapa pada Masalah Ramp-Hadlg Pesawat ljabar Matrks da Teor Graf Sstem Persamaa Lear Iteratf (SPLI) Max-Plus Peerapa pada Pejadwala Proyek BB 4 NILI, VEKTOR EIGEN MX-PLUS DN PENERPNNY Nla Ege da Vektor Ege Max-Plus Peerapa pada Pejadwala Kereta Peerapa als Model tra... BB LJBR MIN-PLUS DN LJBR MX-MIN SERT PENERPNNY ljabar M-Plus... 8 v

6 . Peerapa ljabar M-Plus pada Masalah Ltasa Terpedek.... ljabar Max-M Peerapa ljabar Max-M pada Masalah Kapastas Maksmum... 4 DFTR PUSTK INDEKS... v

7 BB I PENDHULUN Dalam kehdupa sehar-har terdapat beberapa masalah yag dapat dmodelka secara matemats dega sstem damka, msalya sstem produks perakta, sstem jarga telekomukas, sstem pemrosesa paralel pada komputer, sstem jarga kereta, da sebagaya. Dalam bab aka dberka masalah-masalah dalam sstem jarga kereta ap, sstem produks sederhaa, pejadwala dalam jarga kerja da jarga atra yag dapat dmodelka dega megguaka aljabar -plus.. Sstem Jarga Kereta p Dperhatka suatu sstem jarga kereta sederhaa yag dsajka dalam Gambar.. berkut: Gambar.. Jarga Kereta p Sederhaa Msalka d suatu kota terdapat dua stasu kereta S da S yag dhubugka dega suatu jarga rel kereta sepert pada Gambar.. d atas, dega dua kereta utuk tap stasu. Msalka pada waktu keberagkata pertama empat kereta tersebut melakuka perjalaa sebaga berkut. Kereta pertama beragkat dar stasu S, megatar da mejemput peumpag d pggra kota da kembal ke S. Kereta kedua beragkat dar stasu S, megatar da mejemput peumpag d tegah kota da meuju ke stasu S. Kereta ketga beragkat dar stasu S, megatar da mejemput peumpag d tegah kota da meuju ke stasu S. Kereta keempat beragkat dar stasu S, megatar da mejemput

8 peumpag d pggra kota da kembal ke S. Pada waktu keberagkata kedua perjalaa kereta sebaga berkut. Kereta pertama da keempat kembal melakuka perjalaa sepert pada waktu perjalaa sebelumya. Kereta kedua beragkat dar stasu S, megatar da mejemput peumpag d tegah kota da meuju ke stasu S. Kereta ketga beragkat dar stasu S, megatar da mejemput peumpag d tegah kota da meuju ke stasu S. Pada waktu keberagkata ketga perjalaa kereta sepert pada waktu perjalaa pertama, demka seterusya. Dega demka jarga rel kereta dapt dpadag terdr dar satu lgkar dalam ( S S S ) da dua lgkar luar ( S S da S S ). Kereta mecapa stasu la (atau yag sama) setelah suatu waktu tertetu, yag dsebut sebaga waktu perjalaa, sepert yag dtujukka pada Gambar.. d atas. Keberagkata kereta d suatu stasu harus meuggu kedataga kereta yag la sehgga peumpag mempuya kesempata bergat kereta utuk meuju tempat yag dgka. Waktu utuk meuggu kereta la da peumpag bergat kereta telah dperhtugka dalam waktu perjalaa. Stasu d pggra kota tdak dpertmbagka karea tdak mempuya peraa yag petg dalam pemodela. Msalka tdak ada jadwal keberagkata kereta da kereta lagsug beragkat setelah peumpag bergat kereta pada suatu stasu. Ddefska : x (k+) : waktu keberagkata ke-k + pada stasu S utuk =,. Jka proses keberagkata da kedataga suatu kereta berkesambuga, maka ddapat: utuk k =,,,.... x (k+) = ( + x (k), + x (k)), x (k+) = ( + x (k), + x (k) ), (..) Jka operas dotaska dega, operas pejumlaha dotaska dega, maka persamaa (..) dapat dtulska sebaga berkut: x (k+) = ( x (k) ) ( x (k) ),

9 x (k+) = ( x (k) ) ( x (k) ). (..) Jka persamaa (..) d atas dtulska dalam persamaa matrks, dega cara yag serupa pada aljabar matrks basa, d maa operas pejumlaha dgat operas maksmum da operas perkala dgat dega operas pejumlaha, maka dperoleh persamaa matrks berkut: [ x (k + ) x (k + ) ] = [ x (k) x (k) ] (..) Persamaa (..) d atas secara rgkas dapat juga dtulska sebaga x(k+) = x(k) (..4) dega x(k) = [ x (k), x (k)] T da =. Dalam praktekya jarga rel kereta beroperas berdasarka jadwal keberagkata. Jadwal keberagkata terdr dar waktu keberagkata kereta dar semua stasu. Hal berart bahwa sebuah kereta tdak dapat meggalka stasu sebelum waktu jadwal keberagkataya, meskpu kereta yag dtugguya telah datag. Ddefska: d (k + ) : jadwal keberagkata ke-(k+) pada stasu S utuk =,. Kemuda ddapat x (k+) utuk =, sebaga berkut: utuk k =,,,.... x (k+) = ( x (k) +, x (k) +, d (k + )), x (k+) = ( x (k) +, x (k) +, d (k + )), (..) Jka operas dotaska dega, operas pejumlaha dotaska dega, maka, persamaa (..) atas dapat dtulska sebaga berkut: x (k+) = ( x (k) ) ( x (k) ) d (k + ), x (k+) = ( x (k) ) ( x (k) ) d (k + ), (..6)

10 4 utuk k =,,,.... Jka persamaa (..6) dtulska dalam persamaa matrks aka dperoleh persamaa matrks berkut x(k+) = x(k) d( k ) d ( k ) utuk k =,,,..., dega x(k) = [ x (k), x (k)] T. (..7) Persamaa matrks (..7) d atas dapat juga dtulska dalam persamaa berkut: x(k+) = x(k) d(k + ) (..8) utuk k =,,,..., dega x(k) = [ x (k), x (k)] T, = [ d (k + ), d (k + )] T. da d(k + ) = Pada bab-bab selajutya aka dbahas bagamaa cara meetuka keberagkata awal kereta sehgga waktu keberagkata selajutya aka perodk utuk perode waktu tertetu.. Sstem Produks Sederhaa Dperhatka suatu sstem produks sederhaa (Schutter, 996) yag dsajka dalam Gambar.. berkut: d = u(k) t = t = d = t = d = 6 t 4 = t = y(k) Gambar.. Sstem Produks Sederhaa Sstem terdr dar ut pemrosesa P, P, P. Baha baku dmasukka ke P da P, dproses da dkrmka ke P. Waktu pemrosesa utuk P, P da P berturut-turut adalah d =, d = 6 da d = satua waktu. Dasumska

11 bahwa baha baku memerluka t = satua waktu utuk dapat masuk dar put ke P da memerluka t = satua waktu dar produk yag telah dselesaka d P utuk sampa d P, sedagka waktu trasportas yag la dabaka. Pada put sstem da atara ut pemrosesa terdapat peyagga (buffer), yag berturut-turut dsebut peyagga put da peyagga teral, dega kapastas yag cukup besar utuk mejam tdak ada peyagga yag meluap (overflow). Suatu ut pemrosesa haya dapat mula bekerja utuk suatu produk baru jka a telah meyelesaka pemrosesa produk sebelumya. Dasumska bahwa setap ut pemrosesa mula bekerja segera setelah baha terseda. Ddefska: ) u(k+) : waktu saat baha baku dmasukka ke sstem utuk pemrosesa ) ke-(k+), x (k) : waktu saat ut pemrosesa ke- mula bekerja utuk pemrosesa ke-k, ) y(k) : waktu saat produk ke-k yag dselesaka meggalka sstem. Waktu saat P mula bekerja utuk pemrosesa ke-(k+) dapat dtetuka sebaga berkut. Jka baha metah dmasukka ke sstem utuk pemrosesa ke-(k+), maka baha metah terseda pada put ut pemrosesa P pada waktu t = u(k+) +. ka tetap P haya dapat mula bekerja pada sejumlah baha baku baru segera setelah meyelesaka pemrosesa sebelumya, yatu sejumlah baha baku utuk pemrosesa ke-k. Karea waktu pemrosesa pada P adalah d = satua waktu, maka produk setegah-jad ke-k aka meggalka P pada saat t = x (k) +. Hal dapat dtulska dega: x (k+) = (u(k+) +, x (k) + ) utuk k =,,,.... Dega alasa yag sama utuk P, P da waktu saat produk ke-k yag dselesaka meggalka sstem, dperoleh: x (k+) = (u(k+) +, x (k) + 6) x (k+) = ( x (k+) + +, x (k+) + 6 +, x (k) + )

12 6 = ( (u(k+) +, x (k) + ) + 6, (u(k+) +, x (k) + 6) + 6, x (k) + ) = (u(k+) + + 6, x (k+) + + 6, u(k+) + + 6, x (k) , x (k) + ) = ( x (k) +, x (k) +, x (k) +, u(k+) + 8) y(k) = x (k) + + utuk k =,,,.... Jka operas dotaska dega, operas pejumlaha dotaska dega, maka persamaa-persamaa dalam model sstem produks sederhaa d atas dapat dtulska dalam persamaa-persamaa berkut: x (k+) = x (k) u(k+) x (k+) = 6 x (k) u(k+) x (k+) = x (k) x (k) x (k) 8 u(k+) y(k) = x (k). Dalam hal uruta pegoperasa (jka tada kurug tdak dtulska), operas mempuya prortas yag lebh tgg dar pada operas. Jka dtulska dalam persamaa matrks dapat dperoleh persamaa matrks berkut x(k+) = 6 y(k) = x(k) x(k) utuk k =,,,..., dega x(k) = [ x (k), x (k), x (k)] T. u(k+) 8 (..) Hasl d atas dapat juga dtulska dega x(k+) = x(k) B u(k+) y(k) = C x(k) (..)

13 7 utuk k =,,,..., dega x(k) = [ x (k), x (k), x (k)] T, keadaa awal x() = x, = 6, B = 8 da C =. Dalam Schutter (996), sstem (..) d atas dsebut Sstem Kejada Dskrt (SKD) lear -plus waktu-varat atau secara sgkat dsebut sstem lear plus waktu-varat (SLMI). Pada bab-bab berkutya aka dbahas put-output da sfat perodk ssstem produks sederhaa d atas.. Pejadwala Jarga Proyek Dalam Rset Operas kta sudah megeal masalah pejadwala proyek, dega beberapa metode peyelesaaya, d ataraya adalah metode CPM (Crtcal Path Method). Masalah pejadwala yag basa dbahas melput peetua saat-mula palg awal setap ttk pada jarga, waktu mmal peyelesaa proyek, saat peyelesaa palg lambat setap ttk pada jarga, waktu megambag setap ttk pada jarga da peetua ltasa krts. Suatu proyek medefska satu kombas kegata-kegata yag salg berkata yag harus dlakuka dalam uruta tertetu sebelum keseluruha tugas dapat dselesaka. Kegata-kegata salg berkata dalam satu uruta kegata yag logs dalam art bahwa beberapa kegata tdak dapat dmula sampa kegata-kegata laya dselesaka (Taha, 996). Pemodela damka jarga proyek da aalss ltasa krts dawal dega meetuka saatmula palg awal (earlest start tme) utuk setap aktftas yag berasal dar ttk. Dega megadops tekk perhtuga maju (forward) sepert pada PERT- CPM dapat dlakuka suatu pemodela jarga proyek dega megguaka operas da plus. Msalka e x = saat-mula palg awal yag berasal dar ttk. Dperhatka jarga proyek sepert yag dberka pada Gambar.. (Taha, 996, pp. 8) berkut, d maa bobot busur berarah atara dua ttk j da yatu

14 8 j meyataka waktu aktftas dalam jarga. Dasumska bahwa aktftas jarga dmula pada ttk pada saat waktu sama dega ol, yatu e x =. Selajutya dega tekk perhtuga maju PERT-CPM dperoleh e x = + e x = + e x e x e x 4 = ( + e x = ( + e x 6 = ( + e x 7 = ( + e x, + e x, + e x 4, 7 + e x 4, + e x ) e x 4 ) e x ) e x, 6 + e x 6 ) Jka pada persamaa-persamaa d atas operas dotaska dega, operas pejumlaha dotaska dega, dperoleh e x = e x = e x 4 = e x = e x 6 = e x 7 = Gambar.. Jarga Proyek e x e x e x e x e x 4 7 e x 4 e x e x 4 ) e x ) e x 6 e x 6

15 9 Jka dtulska dalam persamaa matrks dapat dperoleh persamaa matrks berkut x e = x e b e d maa x e = [ x e e, x,..., = e x ] T, b e = [,,..., ] T da Jarga tra Dperhatka suatu jarga atra ser tertutup (closed tadem) dega pelaya-tuggal (Krvul, 99). dapu asums-asums dasar dalam jarga adalah sebaga berkut:. Kapastas peyagga atra takhgga.. tra bekerja dega prsp Frst-I Frst-Out (FIFO).. Perpdaha pelagga dar suatu atra ke atra berkutya tdak memerluka waktu. 4. Pelagga harus melewat atra dar awal sampa akhr secara berturuta utuk meerma layaa setap pelaya. Satu sklus layaa jarga adalah proses dar masukya pelagga ke peyagga pelaya ke- hgga meggalka pelaya ke-. Setelah peyelesaa layaa pada pelaya ke-, pelagga kembal ke atra pertama utuk suatu sklus baru layaa jarga. Pada saat awal pegamata, semua pelaya tdak member layaa, d maa peyagga pada pelaya ke- memuat sebayak pelagga utuk setap =,,...,. Gambar.4. berkut (Krvul, 996) memberka keadaa awal jarga atra ser tertutup yag dmaksud, dega pelagga yag dyataka dega. Jarga atra ser tertutup dapat djumpa dalam sstem pabrk perakta, sepert perakta mobl maupu barag-barag elektrok. Pelagga

16 dalam sstem adalah palet sedagka pelayaa adalah mes perakt. Palet yag dmaksud adalah semacam meja atau tempat d maa kompoe-kompoe atau barag setegah-jad dtempatka da bergerak megujug mes-mes perakt. Mula-mula sebuah palet ke- masuk ke peyagga mes ke-, kemuda masuk mes ke- da palet ke- masuk ke peyagga mes ke-. D mes ke- kompoe-kompoe dletakka da dpersapka utuk drakt d mes berkutya. Selajutya palet ke- masuk ke peyagga mes ke- da palet ke- masuk ke mes ke-. Demka seterusya utuk palet yag terseda, sehgga tercapa keadaa sepert pada Gambar.4. d bawah, d maa tercapa keadaa awal pegamata. Setelah perakta selesa dkerjaka d mes ke-, barag hasl rakta aka meggalka jarga, semetara palet yag membawa aka meuju kembal ke peyagga mes ke-, utuk memula suatu sklus baru layaa jarga, demka seterusya. Gambar.4. Jarga tra Ser Tertutup Msalka a (k) = saat kedataga pelagga ke-k pada pelaya ke-, d (k) = saat keberagkata pelagga ke-k dar pelaya ke-, t = waktu layaa pada pelaya ke-. utuk k =,,... da =,,...,. Selajutya damka atra pada pelaya ke-, sepert yag telah dbahas dalam (Krvul, 99), dapat dyataka dega d (k) = ( t + a (k), t + d (k )) (.4.) a (k) = d( k ) jka d ( k ) jka,..., (.4.) Jka operas dotaska dega, operas pejumlaha dotaska dega, maka persamaa (.4.) dapat dtulska sebaga berkut d (k) = t a (k) t d (k) (.4.)

17 Msalka d(k) = [ d (k), d (k),..., d (k)] T, a(k) = [ a (k), a (k),..., a (k)] T da T = t mejad dega matrks G =. Persamaa (.4.) da (.4.) d atas dapat dtulska t d(k) = T a(k) T d(k ). (.4.4) a(k) = G d(k), (.4.). Dega mesubsttuska persamaa (.4.) ke persamaa (.4.4) dapat dperoleh persamaa d(k) = T G d(k) T d(k ) = T (G E) d(k ) atau dega = T (G E) = d(k) = d(k ) (.4.6) t t t t t t t. Persamaa (.4.6) d atas t merupaka model damka jarga atra tersebut. Pada bab berkutya aka dbahas suatu peetua saat keberagkata awal tercepat pelagga agar atar saat keberagkata pelagga pada setap pelayaa dapat berlagsug secara perodk dega besar perode tertetu. Pemodela masalah-masalah d atas dega pedekata megguaka operas da plus dapat memberka suatu cara yag lebh padu da meyatu serta persamaa yag dhaslka aalog dega hasl-hasl pada teor sstem yag kovesoal (Krvul, ).

18 BB LJBR MX-PLUS DN MTRIKS Dalam bab dbahas beberapa kosep-kosep dasar yag aka dguaka utuk membahas bab-bab berkutya. Pembahasa melput aspek struktur aljabar secara umum, sfat-sfat struktur aljabar tersebut, cotoh-cotoh, da komputasya. Secara lebh khususya aka dbahas aljabar -plus, matrks atas aljabar -plus, semmodul atas aljabar -plus da kata atara matrks atas aljabar -plus da teor graf. Hal dkareaka bayak kosep-kosep aljabar -plus yag karea asal-usul da peerapaya terkat dega masalah jarga dalam teor graf.. ljabar Max-Plus Dalam bab sebelumya telah dberka beberapa cotoh pemodela dega semesta pembcaraa hmpua semua blaga real R, dega megguaka operas mum yag dsgkat dega, yag dotaska dega, da operas pejumlaha (atau plus) yag dotaska dega. Dalam subbab dbahas aljabar -plus da sfat-sfatya Pembahasa dawal dega mejau suatu struktur aljabar yag lebh umum. Defs.. Suatu semrg (S, +, ) adalah suatu hmpua tak kosog S yag dlegkap dega dua operas ber + da, yag memeuh aksoma berkut: ) ( S, + ) adalah semgrup komutatf dega eleme etral, yatu a, b, c S : (a + b) + c = a + (b + c), a + b = b + a, a + = a. ) (S, ) adalah semgrup dega eleme satua, yatu a, b, c S : (a b) c = a (b c), a = a = a,

19 ) eleme etral merupaka eleme peyerap terhadap operas, yatu a S : a = a =. v) Operas dstrbutf terhadap +, yatu a, b, c S : (a + b) c = (a c) + (b c), a ( b + c ) = (a b) + (a c). Cotoh.. Dberka R : = R { } dega R adalah hmpua semua blaga real da : =. Pada a, b R ddefska operas berkut: R, a b : = (a, b) da a b : = a + b. Msalka : = (, ) = ; 4 : = + 4 =. ( R,, ) merupaka semrg dega eleme etral = da eleme satua e =, karea utuk setap a, b, c R berlaku: ) a b = (a, b) = (b, a) = b a, (a b) c = ((a, b), c) = (a, b, c) = (a, (b, c)) = a (b c), a = (a, ) = a. ) (a b) c = (a + b) + c = a + (b + c) = a (b c), a e = a + = a = + a = e a, ) a = a + () = = () + a = a. v) (a b) c = (a, b) + c = (a + c, b + c) = (a c) (b c), a (b c) = a + (b, c) = (a + b, a + c) = (a b) (a c). Defs.. Suatu semrg (S, +, ) dkataka komutatf jka operas bersfat komutatf, yatu a, b S : a b = b a. Defs..4 Suatu semrg (S, +, ) dkataka dempote jka operas + bersfat dempote, yatu a S : a + a = a.

20 4 Dalam Baccell, et.al.() stlah semrg dempote dsebut dod. Cotoh.. Semrg ( R,, ) merupaka semrg komutatf yag sekalgus dempote, karea utuk setap a, b R berlaku a b = a + b = b + a = b a da a a = (a, a) = a. Defs..6 Suatu semrg komutatf (S, +, ) dsebut semfeld jka setap eleme tak etralya mempuya vers terhadap operas, yatu a S \{} a S, a a =. Cotoh..7 Semrg komutatf ( R,, ) merupaka semfeld, karea utuk setap a R terdapat a sehgga berlaku a (a) = a + (a) =. Dar Cotoh.. da..7 d atas terlhat bahwa ( R,, ) merupaka semfeld dempote. Struktur aljabar R : = ( R,, ) dsebut aljabar plus, yag selajutya cukup dtulska dega R. Eleme-eleme R aka dsebut juga skalar. Dalam hal uruta pegoperasa (jka tada kurug tdak dtulska), operas mempuya prortas yag lebh tgg darpada operas. Pagkat k N {} dega N adalah hmpua semua blaga asl, dar eleme x R dalam aljabar -plus dotaska dega k x ddefska sebaga berkut: Ddefska pula x : = da k x : = x k x, utuk k =,,.... : = da k : =, utuk k =,,.... Dperhatka bahwa k x = x x x = x x x = kx, dega operas k perkala pada blaga real. Pagkat aljabar -plus mempuya prortas tertgg dbadgka operas da dalam hal uruta pegoperasa. k

21 . Matrks atas ljabar Max-Plus matrks dalam Operas da pada R d atas dapat dperluas utuk operas-operas m R sepert dalam defs berkut. Defs.. Dberka m R : = { = ( j ) j m ) Dketahu R,, B R. Ddefska adalah matrks yag usur ke-j-ya: R, =,,..., m da j =,,..., }. ( ) j = j utuk =,,..., m da j =,,..., da B adalah matrks yag usur ke-j-ya: ( B) j = j ) Dketahu R m p, B R B j utuk =,,..., m da j =,,...,. p. Ddefska B adalah matrks yag usur ke-j-ya: ( B) j = k B kj p k utuk =,,..., m da j =,,...,. Cotoh.. ) 4 ) = 4 4 = 4, 4, 4 4,, = 7 = 7, =. 4 4,, - -, 7 =. 7 ) = 6 4

22 6 =, 6, 6,,, 9,,, 6 6 =. 9 6 Defs.. m Matrks, B R dkataka sama jka j = B j utuk setap da j. Operas da utuk matrks d atas mempuya sfat-sfat berkut: Teorema..4 Peryataa-peryataa berkut berlaku utuk sebarag skalar da, da sebarag matrks, B da C asalka operas yag dmaksud terdefs. ) ( B) C = (B C) ) B = B ) ( B) C = (B C) v) (B C) = ( B ) ( C) v) ( B) C = ( C ) ( C) v) = v) ( ) = ( ) v) ( B ) = ( ) B = ( B) x) ( ) = ( ) ( ) x) ( B) = ( ) ( B) x) =. Bukt: ka dbuktka utuk ) da v) sedagka bukt yag la lagsug megkut defs operas da sfat-sfat operas pada R. ): Dambl sebarag matrks R m p, B R pr, C R. r Usur ke-j matrks ( B) C adalah r l p k k B kl C lj, usur ke-j matrks (B C) adalah p k k r l B kl C lj.

23 7 r Karea l p k k B kl C lj r = l p k k B kl C lj = p k k r l B kl C v): Dambl sebarag R p lj m p maka ( B) C = (B C)., B, C R. Usur ke-j matrks (B C) adalah ( B C ), usur ke-j matrks ( B) ( C) adalah k k kj kj p p k B k kj p k C k kj p. Karea k ( Bkj Ckj) k = p k B k kj p k C k kj, maka (B C) = ( B) ( C). Berkut dperhatka dua buah matrks khusus. Ddefska matrks E R dega ( E) : = j jka jka j. j m Ddefska matrks R dega: ( ) j := utuk setap da j. Cotoh.. ( R,, ) merupaka semrg dempote dega eleme etral adalah matrks da eleme satua adalah matrks E. Matrks E d atas dsebut juga matrks dettas -plus, sedagka matrks dsebut matrks ol -plus. ( R,, ) buka semrg komutatf, karea terdapat matrks = da B = dega B = =, B = =. Jad B B.

24 8 Pagkat k N {} dega N adalah hmpua semua blaga asl, dar matrks x R dalam aljabar -plus ddefska dega: = E da k = k utuk k =,,.... Usur ke-st matrks adalah ( ) = ) = st ( s,, t ( s, +, t ). Usur ke-st matrks adalah ( ) st = ( s, ( (,, t ))) = ( ( s,,, t )) =, ( s, +, +, t ). Secara umum, usur ke-st matrks k adalah ( k ) = st s, k k = ( (... ( (,, t ))) = s, k,, t,, k )) ( s, , +, t ). k... Dperhatka bahwa utuk sebarag skalar matrks ( ) k ) = ( st ( ) k adalah,, k = ( ) + ( = k k ( k Jad utuk sebarag skalar R da x R usur ke-st (( s, ) (, ) +(, t )). k,, k ) st utuk k =,,.... R da ( s, , +, t )) k x R berlaku bahwa ( ) k = k k utuk k =,,.... (..)

25 9 Utuk sebarag x R ddefska trace() : =. Cotoh..6 Dberka = 4. = = 4 4 = = = = Trace() = = (,, ) =, trace( ) = = (, 4, 4) = 4 da trace( ) = = (, 6, 6) = 6. Utuk memudahka perhtuga dalam perhtuga matrks, terutama perkala da perpagkata matrks atas aljabar -plus, berkut dberka lst program MTLB utuk meghtug dua operas matrks tersebut. % Program Matlab Perkala Max-plus Matrks da B % Oleh: M. dy Rudhto FKIP Uverstas Saata Dharma % put: = matrks -plus mx % B = matrks xp % output: Hasl kal -plus da B fucto haslkal = kal dsp(' ') % Memasukka matrks yag dkalka = put(' Masukka matrks (mx) = '); dsp(' ') B = put(' Masukka matrks B(xp) = '); dsp(' ') [m, ]= sze(); [k, r]=sze(b); f == k for = :m for j = : r B(, j) = -If; for p = :

26 B(, j) = (B(, j), (, p) + B(p, j)); % Meamplka hasl kal dsp(' HSIL PERHITUNGN :') dsp(' ===================') dsp(' Matrks = '),dsp() dsp(' Matrks B = '),dsp(b) dsp(' Hasl kal -plus matrks da B adalah'),dsp(b) % Pergata tdak dapat dkalka else dsp(' Ordo tdak sesua, matrks tdak dapat dkalka '); Gambar.. Lst Program MTLB Perkala Matrks Max-Plus Berkut dberka cotoh etr matrks da hasl eksekus programya. Cotoh..7» kal Masukka matrks (mx) = [ - -If 4 -If - ; -If -If -6-7;- -If - ; If 4;-If -If ; - -If -If -If 7; If ; -If -If -If -If -If -If -If -If -If] Masukka matrks B(xp) = [-If -If -4 -If; 4 - -If 4 -If ; -If -7 8 ;-If -If -If -If ; - -If 6 - -;-If -If -If -If -If -If -; - -If - ; -If 6 - ; -If - -If ; -If -If -If -If 7 4 ] HSIL PERHITUNGN : =================== Matrks = - -If 4 -If - -If -If If If 4 -If -If If -If -If If If -If -If -If -If -If -If -If -If Matrks B = -If -If -4 -If 4 - -If 4 -If -If If -If -If -If

27 - -If If -If -If -If -If -If - - -If - -If 6 - -If - -If -If -If -If -If 7 4 Hasl kal -plus matrks da B adalah -If 4 -If 7 -If If If 9 4 -If If If -7 8 % Program Matlab Meghtug PNGKT MX-PLUS Matrks % Oleh: M. dy Rudhto FKIP Uverstas Saata Dharma % put: = matrks -plus x % k = pagkat tertgg % output pagkat -plus s/d k fucto kuadrat = pk % Memasukka matrks da pagkat tertgg dsp(' ') dsp(' PNGKT MX-PLUS MTRIKS') dsp(' ') dsp(' ') = put(' Masukka matrks = '); dsp(' ') k = put(' Htug sampa pagkat ke- '); dsp(' HSIL PERHITUNGN :') dsp(' ===================') dsp(' Matrks = '), dsp() [m, ]= sze(); f m== D = ; for r = : k- r+; for = : m for j = : C(, j) = -If; for p = : C(, j) = (C(, j), (, p) + D(p, j)); D = C; % Meamplka hasl perhtuga dsp(' Matrks pagkat -plus'), dsp(r+), dsp(c) else

28 % Pergata kalau matrksya tdak bujur sagkar dsp(' Matrks tdak bujur sagkar, pagkat tdak ddefska' ) Gambar.. Lst Program MTLB Perpagkata Matrks Max-Plus Cotoh..8 Berkut dberka cotoh etr matrks da hasl eksekus programya.» pk PNGKT MX-PLUS MTRIKS Masukka matrks = [ - -If -If - ; -If -If -6-7;- -If ; - - -If 4; -If -If ;- -If 7; If 9 ; -If -If -If -If -If -If -If ] Htug sampa pagkat ke- 4 HSIL PERHITUNGN : =================== Matrks = - -If -If - -If -If If - - -If 4 -If -If If If 9 -If -If -If -If -If -If -If Matrks pagkat -plus If Matrks pagkat -plus

29 Matrks pagkat -plus Semmodul atas ljabar Max-Plus Baga aka membahas struktur aljabar yag meladas pembahasa kosep vektor dalam aljabar -plus. D sampg tu juga aka dbahas kosep uruta dalam vektor d maa d dalamya dbahas kosep lebh besar da lebh kecl. Defs.. Dberka semrg komutatf (S, +, ) dega eleme etral da eleme dettas. Semmodul M atas S adalah semgrup komutatf (M, + ) bersama operas perkala skalar : S M M, yag dtulska dega (, x) x, yag memeuh aksoma berkut:, S da x, y M berlaku: ) (x + y) = x + y, ) ( + ) x = x + x, ) ( x) = ( ) x, v) x = x, v) x =. Eleme dalam semmodul dsebut vektor. Cotoh.. Dberka R := { x = [ x, x,..., x ] T x R, =,,..., }.

30 4 Utuk setap x, y R da utuk setap R ddefska operas dega da operas perkala skalar dega x y = [ x y, x y,..., x y ] T x = x = [ x, x,..., x ] T. Perhatka bahwa R dapat dpadag sebaga R. Dega memperhatka Teorema..4 ) da ) terlhat bahwa ( R, ) merupaka semgrup komutatf dega eleme etral = [,,..., ] T. Kemuda dega memperhatka Teorema..4 x), x), da v), R merupaka semmodul atas R. Dberka vektor-vektor x, x,..., x d dalam semmodul M da skalarskalar,,..., lear dar vektor-vektor x, x,..., x d dalam semrg komutatf S. Ddefska kombas x. x adalah suatu betuk aljabar x + Defs.. (Wohlgemuth, 99) Relas pada hmpua P dsebut uruta parsal pada P jka utuk semua x, y, z P berlaku: ) Sfat refleksf, yatu: x x. ) Sfat atsmetrs, yatu: jka x y da y x, maka x = y. ) Sfat trastf, yatu: jka x y da y z, maka x z. Eleme x da y dkataka komparabel (comparable) jka x y atau y x. Jka x y aka dtulska juga dega y x. Jka x y da x y aka dtulska juga dega x y. Defs..4 (Wohlgemuth, 99) Uruta parsal pada hmpua P dsebut uruta total pada P jka setap dua eleme dalam P komparabel.

31 Teorema.. Jka (S, + ) semgrup komutatf dempote maka relas yag ddefska pada S dega x y x + y = y merupaka uruta parsal pada S. Bukt: Dambl sebarag x, y, z S. ) Karea berlaku sfat dempote maka x + x = x x x. ) Jka x y da y x maka x + y = y da y + x = x. Karea berlaku sfat komutatf maka x = y. ) Jka x y da y z maka x + y = y da y + z = z. Dar s karea berlaku sfat asosatf maka x + z = x + (y + z) = (x + y) + z = y + z = z. Dega demka x z. kbat..6 Relas m yag ddefska pada R dega merupaka uruta parsal pada total pada R. x m y x y = y R. Lebh lajut relas merupaka uruta Bukt: Karea ( R, ) merupaka semgrup komutatf dempote, maka meurut Teorema.. relas m yag ddefska pada R d atas merupaka uruta parsal pada berlaku kbat..7 R. Selajutya dambl x, y R maka x y = (x, y) = x atau x y = (x, y) = y. Relas yag ddefska pada m m R dega m B B = B B = j j B j j m B j utuk setap da j, merupaka uruta parsal pada m R.

32 6 Bukt: Dega megguaka Teorema..4 ), ) da x) ampak ( R, ) merupaka semgrup komutatf dempote, sehgga meurut Teorema.. relas yag ddefska pada m m m R d atas merupaka uruta parsal. kbat..8 Relas yag ddefska pada m R dega x m y x y = y x m y utuk setap, merupaka relas uruta parsal pada R. Bukt: Karea ( R m yag ddefska pada, ) merupaka semgrup komutatf dempote, maka relas R merupaka uruta parsal pada R. Relas yag ddefska pada m m R d atas buka merupaka uruta total, karea terdapat matrks = B = da B = dega =, sehgga B B da B. Demka juga relas yag ddefska pada m R d atas buka merupaka uruta total, karea terdapat vektor x = [,, ] T da y = [,, -] T dega x y = [,, ] T [,, -] T = [,, ] T. Dega demka x y y da x y x. Teorema..9 Dberka matrks ( x) m ( y). m R. Jka x, y R dega x m y, maka Bukt: Dambl sebarag x, y x y = y (x y) = y R dega x m y, maka

33 7 ( x) ( y) = y ( x) m ( y). Hasl pada Teorema..9 d atas aka dguaka dalam pembahasa peyelesaa sstem persamaa lear -plus melalu subpeyelesaa terbesarya.

34 BB SISTEM PERSMN LINER MX-PLUS DN PENERPNNY Dalam bab dbahas sstem persamaa lear (SPL) -plus yag merupaka salah satu alat utuk pemodela masalah real dega pedekata aljabar -plus. Secara umum ada dua betuk SPL -plus, yatu SPL -plus putoutput da SPL -plus teratf. ka dbahas eksstes da ketuggala peyelesaa SPL -plus da juga beberapa cotoh peerapaya.. Sstem Persamaa Lear Iput-Output (SPLIO) Max-Plus Sstem persamaa lear -plus put-output -plus mempuya betuk umum x = b d maa R m, x selalu mempuya peyelesaa. Sebaga cotoh: R da b R m. SPL tdak Cotoh.. Dberka sstem persamaa lear Sstem d atas ekuvale dega x 4 x x x 6 atau 7 x 6 4 = x. 7 ( x 4 ( 4 x x x ) 6 ) 4 7 atau x x x x 4 atau ( x, x ( x, x ) 4. ) Karea 4 maka tdak ada x, x yag memeuh sstem persamaa d atas. Utuk tu masalah peyelesaa x = b dapat dperlemah dega medefska kosep subpeyelesaa berkut. 8

35 9 Defs.. Dberka R da b m R m. Vektor x R dsebut suatu subpeyelesaa sstem persamaa lear x = b jka vektor x tersebut memeuh x m b. Subpeyelesaa x = b selalu ada, karea utuk = [,,..., ] T selalu berlaku: = b. m Defs.. Suatu subpeyelesaa xˆ dar sstem x = b dsebut subpeyelesaa terbesar sstem x = b jka x x = b. m xˆ utuk setap subpeyelesaa x dar sstem Sebaga suatu usaha utuk meyelesaka sstem persamaa, berkut dbahas suatu hasl megea subpeyelesaa terbesar. Teorema..4 Dberka R dega usur-usur setap kolomya tdak semuaya sama dega da b xˆ dega m m R. Subpeyelesaa terbesar x = b ada da dberka oleh xˆ = j (b + utuk setap =,,..., m da j =,,...,. Bukt: Perhatka bahwa: ( x m b ) x x m x m x x x j ) m x x x m m m b b b m

36 ( ( j j m j x ) b, j x j m b,, j ) ( j + x j b,, j ) Karea usur setap kolom matrks tdak semuaya sama dega, maka utuk setap j selalu ada sehgga j yag berart j ada. Meggat utuk setap a R berlaku a = da a = a maka koefse-koefse j = tdak aka berpegaruh pada la x. Sehgga berlaku: ( j + x j ( b, j + x j b, ( x j b ( x j ( x j j,, j ) m ( b j ), (b +, j dega j ), j dega j ) j dega j ) j ), j ). Jad subpeyelesaa sstem x = b d atas adalah setap vektor x yag kompoe-kompoeya memeuh x j (b + j ), j. Jka vektor xˆ = [ xˆ, xˆ,..., utuk setap j =,,..., maka dperoleh: ( xˆ j = (b + j ), j xˆ ] T ddefska dega ) ( xˆ = j m ( b j ), xˆ j = j dega (b + j ) j ) ( xˆ j b j,, j dega j ) j ( j xˆ j ) m b, ( xˆ m b ). Jad vektor xˆ tersebut merupaka subpeyelesaa sstem x = b. Karea x j (b + ) = xˆ, j j j, maka x j xˆ j, j. kbatya x Jad vektor xˆ tersebut merupaka subpeyelesaa terbesar sstem x = b. m xˆ.

37 Dega demka, suatu cara utuk meyelesaka sstem persamaa x = b, pertama-tama dhtug dahulu subpeyelesaa terbesarya, kemuda dperksa subpeyelesaa terbesar tu memeuh sstem persamaa atau tdak. Utuk mempermudah peghtuga subpeyelesaa terbesar x = b, dperhatka bahwa: xˆ = xˆ xˆ xˆ = ) ( ) ( ) ( b b b = ) ( ) ( ) ( b b b = ) ) ) ) ) ) ) ) ) m m m m m m b b b b b b b b b ( ( ( ( ( ( ( ( ( = T ( b). Jad utuk meetuka subpeyelesaa terbesar x = b, pertama-tama dapat dlakuka dega meghtug: xˆ = T ( b). Dalam Teorema..4 d atas, karea dasumska bahwa kompoe setap kolom matrks tdak semuaya sama dega, maka subpeyelesaa terbesar xˆ R. Cotoh.. ka dtetuka peyelesaa terbesar sstem persamaa berkut, dega terlebh dulu meetuka subpeyelesaa terbesarya. x x = 7. Pertama-tama dhtug: T ( b) = 7 =. kbatya subpeyelesaa terbesar sstem persamaa d atas adalah.

38 Karea = 7, maka merupaka peyelesaa sstem d atas. Cotoh..6 ka dtetuka peyelesaa terbesar sstem persamaa berkut, dega terlebh dulu meetuka subpeyelesaa terbesarya. x 6 4 = x. 7 Pertama-tama dhtug: T (b)= 4 6 = 7. kbatya subpeyelesaa terbesar sstem persamaa d atas adalah Karea sstem = 7 maka 7 buka merupaka peyelesaa Catata: Jka sstem persamaa lear -plus x = b mempuya subpeyelesaa terbesar yag buka merupaka peyelesaa, maka sstem persamaa lear -plus tersebut tdak mempuya peyelesaa. Hal dapat dtujukka sebaga berkut. daka x adalah peyelesaa sstem persamaa lear -plus x = b, yag berart ( x ) = b utuk setap =,,..., m. Msalka sstem persamaa lear -plus x = b mempuya subpeyelesaa terbesar xˆ yag buka merupaka peyelesaa, yag berart terdapat {,,..., m} sehgga ( xˆ ) b. Karea x juga merupaka subpeyelesaa, maka x m xˆ. kbatya meurut Teorema..9 berlaku ( x ) berart ( x m ( xˆ ), yag ) ( xˆ ) utuk setap =,,..., m. Hal berakbat terdapat {,,..., m} sehgga ( x pegadaa d atas. ) ( xˆ ) b, yag kotradks dega

39 Teorema..7 (Zmmerma, 6) daka xˆ adalah subpeyelesaa terbesar sstem x = b. Vektor x merupaka subpeyelesaa sstem x = b jka da haya jka x m xˆ. Bukt: () Jelas meurut defs subpeyelesaa terbesar. () daka x m xˆ. Meggat operas pada matrks kosste terhadap uruta da xˆ adalah subpeyelesaa terbesar sstem x = b, maka m berlaku x m x m b. Jad x subpeyelesaa sstem x = b. m b yag berart x merupaka Teorema..8 (Zmmerma, 6) Sstem x = b mempuya peyelesaa jka da haya jka xˆ terbesar dar sstem x = b. m b, d maa vektor xˆ adalah subpeyelesaa Bukt ( ) daka xˆ m b. Meggat xˆ adalah subpeyelesaa terbesar sstem x = b, maka berlaku xˆ m b. Meggat berlaku xˆ m b da xˆ m b, maka xˆ = b, sehgga xˆ merupaka peyelesaa x = b. Jad x = b mempuya peyelesaa. () daka x = b mempuya peyelesaa, yatu vektor y, maka y = b atau y m b da y m b. Nampak bahwa y merupaka subpeyelesaa sstem x = b. Meggat xˆ adalah subpeyelesaa terbesar sstem x = b, maka berlaku y m m, maka xˆ xˆ. Meggat operas pada matrks kosste terhadap uruta m y kbat..9 (Schutter ad Boom, ) m b. Jad xˆ m b. Dberka R dega usur-usur setap kolomya tdak semuaya sama m dega, da b R m. Jka xˆ adalah subpeyelesaa terbesar sstem persamaa lear -plus x = b maka utuk setap deks j {,,..., } terdapat suatu deks (j) {,,..., m} sedemka hgga ˆ ( j), j x j b( j).

40 4 Bukt: Karea xˆ adalah subpeyelesaa terbesar sstem x = b, maka meurut Teorema..4 xˆ j = m ( b j ) utuk setap j =,,..., dega j. Hal berart juga utuk setap deks j {,,..., } terdapat suatu deks (j) {,,..., m} sedemka hgga ˆ x j b( j) ( j), j atau ˆ ( j), j x j b( j). Defs.. Dberka x = [ x, x,..., x ] T...,. R. Ddefska x = maks x utuk =,, Dberka masalah optmsas yag berkata dega sstem persamaa lear -plus x = b berkut: Dberka R dega kompoe setap kolomya tdak semuaya sama m dega da b R m. ka dtetuka suatu vektor x R yag memmalka b x. Karea kompoe setap kolom matrks d atas tdak semuaya sama dega da x R, maka ( x) R m. kbatya b x merupaka hasl operas peguraga vektor dalam masalah optmsas d atas. Teorema.. (Schutter ad Boom, ) m R. Berkut teorema yag memberka peyelesaa Dberka R dega kompoe setap kolomya tdak semuaya sama m dega da b R m. Vektor # x = xˆ δ dega xˆ subpeyelesaa terbesar sstem x= b da = b xˆ, merupaka vektor yag memmalka b x. Selajutya δ b x =. # Bukt : Msalka xˆ subpeyelesaa terbesar sstem x = b.

41 ) Jka xˆ merupaka peyelesaa sstem x = b, maka b ( xˆ ) =. kbatya xˆ memmalka b x. ) Jka xˆ buka merupaka peyelesaa sstem x = b, maka maks b ( xˆ ) =. Karea xˆ m b, maka maks b ( xˆ ) b xˆ = maks maks b xˆ = b ( xˆ ) =. Hmpua deks yatu {,,..., m}dapat dparts mejad tga hmpua baga I, J da K sedemka hgga: b ( xˆ b ( xˆ ) = utuk semua I ) = utuk semua J b ( xˆ ) = utuk semua K, dega. Karea xˆ adalah subpeyelesaa terbesar sstem x = b maka meurut kbat..9 utuk setap deks j {,,..., } terdapat suatu deks (j) {,,..., m} sedemka hgga ˆ ( j), j x j b( j). kbatya I tdak kosog. Karea xˆ buka merupaka peyelesaa sstem x = b, maka terdapat suatu deks sehgga maks b ( xˆ ) =. kbatya hmpua J juga tdak kosog. Semetara hmpua K dapat kosog atau tdak kosog. Meurut Teorema..9 utuk setap x yag memeuh x xˆ berlaku ( x) m m ( xˆ ), yag berakbat maks b ( xˆ ) maks b ( x) utuk setap x m xˆ. Dega memperhatka Teorema..4 v) da v) dperoleh bahwa utuk sebarag R berlaku ( xˆ ) = ( xˆ ). Jka, maka xˆ ( xˆ ), yag berakbat b ( xˆ ) utuk suatu skalar postp maks b ( xˆ )) ( maks R. Utuk tu ddefska x() := xˆ, dega R,. Kareab ( x() ) = b ( ( xˆ ) ) = b (( xˆ ) ), maka dperoleh

42 6 b ( x() ) = jka I jka J jka K. Karea I da J tdak kosog da utuk semua K, maka b x( ) = b ( x( )) =, yag mempuya la mmum utuk = δ. Jad # x = x( δ ) = xˆ δ merupaka vektor yag memmumka b x. Selajutya dperoleh # b x = δ, =. Kemuda aka dtujukka bahwa tdak ada vektor x yag memeuh δ b x. Msalka terdapat vektor ~ x R sedemka hgga b ( ~ δ x). (..) Ddefska = ~ x xˆ. Maka ~ x = ( xˆ + ). Karea xˆ subpeyelesaa terbesar sstem x = b maka meurut kbat..9 utuk setap j {,,..., }, terdapat suatu deks (j) sedemka hgga ˆ ( j), j x j b( j). Karea ( ~ x ) ( j) = xˆ ( j), j j j j), j x j j j ~ j ˆ (, maka dperoleh ( x ) ( ) b ( j) j. Karea ketaksamaa (..) maka j δ (..) utuk setap j {,,..., }. Karea xˆ merupaka subpeyelesaa terbesar sstem x = b, maka terdapat suatu deks {,,..., m} sehgga b ( xˆ ) = atau ( xˆ ) = b. Karea ( xˆ ) = xˆ xˆ xˆ, = ( xˆ, xˆ,, xˆ ), maka j ˆx b j, utuk setap j {,,..., }. (..)

43 7 kbatya ( x ~ ) = xˆ b j j j j j j b +. j j Karea ketaksamaa (..), maka b + j j δ δ b + = b. Jad terdapat suatu deks {,,..., m} sedemka hgga ( x ~ atau b ( ~ x δ ). Hal berakbat bahwa δ ) b b ( ~ δ x), yag bertetaga dega pemsala bahwa b ( ~ δ x).. Peerapa pada Sstem Lear Max-Plus Waktu-Ivara da Sstem Produks Sederhaa Pada subbab. telah dtrodusr megea model sstem produks sederhaa, sepert pada persamaa (..). Dar lustras da cotoh-cotoh pada Bab. Pedahulua ampak bahwa sstem-sstem yag dbahas merupaka Sstem Kejada Dskrt (SKD) yag mempuya waktu aktftas da barsa kejada yag determstk. Matrks dalam persamaa sstemya merupaka matrks kosta, yatu tdak tergatug pada parameter k, sehgga sstemya merupaka sstem waktu-varat. Sstem sepert dalam cotoh d atas merupaka suatu cotoh sstem lear -plus waktu-varat sepert yag dberka dalam defs berkut. Defs.. (Sstem Lear Max-Plus Waktu-Ivarat (SLMI), Schutter, 996) Sstem Lear Max-Plus Waktu-Ivarat adalah SKD yag dapat dyataka dega persamaa berkut: x(k+) = x(k) B u(k+) y(k) = C x(k) utuk k =,,,..., dega kods awal x() = x, R C R. l (..), B R, m

44 8 Vektor x(k) R meyataka keadaa (state), u(k) R m adalah vektor put, da y(k) R l adalah vektor output sstem saat waktu ke-k. SLMI sepert dalam defs d atas secara sgkat aka dtulska dega SLMI (, B, C) da dtulska dega SLMI (, B, C, x ) jka kods awal x() = x dberka. SLMI dega satu put da satu output aka dsebut SLMI satu put satu output (SISO). Sedagka SLMI dega lebh dar satu put da lebh dar satu output aka dsebut SLMI mult put mult output (MIMO). Dalam buku, SLMI yag dbahas dbatas pada SLMI SISO. Secara khusus SLMI SISO mempuya persamaa berkut: x(k+) = x(k) B u(k + ) y(k) = C x(k) (..) utuk k =,,,..., kods awal x() = x, R, B R, C R. Vektor x(k) R meyataka keadaa, skalar u(k) R meyataka put, skalar y(k) R meyataka output sstem utuk saat waktu ke-k. Selajutya SLMI yag dmaksud adalah SLMI SISO da kadag-kadag haya dsebut sstem apabla koteksya sudah jelas. Sstem Produks Sederhaa dalam subbab. merupaka cotoh SLMI SISO. Dalam stuas tertetu ada suatu SLMI yag keadaaya tdak dpegaruh kedataga put, yag dsebut SLMI autoomous, sepert dberka dalam defs berkut. Defs.. (SLMI utoomous) SLMI autoomous adalah SLMI yag mempuya persamaa berkut: x(k+) = x(k) y(k) = C x(k) (..) utuk k =,,,..., dega kods awal x() = x, R, B R, C R.

45 9 Secara sgkat SLMI autoomous sepert dalam defs d atas dtulska dega SLMI (, C, x ) dega x. Iterpertas SLMI autoomous dalam sstem produks sederhaa adalah bahwa keadaa awal sstem, buffer put da beberapa buffer teral tdak kosog (x ), kemuda baha baku dmasukka pada sstem dega laju tertetu sedemka hgga buffer put tdak perah kosog. Jad mes-mes sudah bekerja pada kods awal, da utuk berkutya tdak perlu meuggu kedataga put, karea put sudah selalu terseda. Selajutya dbahas aalss da beberapa masalah put-output SLMI. Jka kods awal da suatu barsa put dberka utuk suatu SLMI (, B, C, x ), maka secara rekursf dapat dtetuka suatu barsa vektor keadaa sstem da barsa output sstem. Cotoh.. Dperhatka sstem produks sederhaa dalam subbab.. Msalka kods awal sstem x() = [,, ] T, yag berart ut pemrosesa P da P berturut-turut memula aktftasya saat waktu da semetara ut pemrosesa P mash kosog da harus meuggu datagya put dar P da P. Baha metah dmasukka sstem saat waktu, 9,, 4 da seterusya, yag berart dberka barsa put u() =, u() = 9, u() =, u(4) = 4, da seterusya, dega u(k) u(k+) utuk setap k =,,,.... Secara rekursf dapat dtetuka barsa vektor keadaa berkut x() = x() B u() = 6 = 8 7 = 8 7 x() = x() B u() = =, 9 x() = x() B u() = = 6 9,

46 4 x(4) = x() B u(4) = 6 4 = 6, da seterusya. Kemuda dperoleh barsa output sstem sebaga berkut: y() = 6, y() =, y() = 8, y(4) =, da seterusya, yag berart produk aka meggalka sstem saat waktu 6,, 8, da seterusya.. Utuk SLMI autoomous (, C, x ) dega x, jka kods awal dberka, maka secara rekursf juga dapat dtetuka barsa keadaa sstem da barsa output sstem yag bersesuaa dega kods awal tersebut. Secara umum sfat put-output SLMI (, B, C, x ) dberka dalam teorema berkut. Teorema.. (Iput-Output SLMI (, B, C, x )) Dberka suatu blaga bulat postp p. Jka vektor output y = [y(), y(),..., y(p)] T da vektor put u = [u(), u(),..., u(p)] T pada SLMI (, B, C, x ), maka dega K = C C C p y = K x H u C B da H = C B p C B C C B p B. C B Bukt: Jka dberka kods awal x() = x da barsa put u duks matematk aka dbuktka berlaku ( k) k, dega k x(k) = ( x() ) ( k ( k B u() ) utuk k =,,,.... (..4) Dperhatka bahwa x() = x() B u() = x() B u() = ( x() ) ( ( B u() ).

47 4 Jad (..4) bear utuk k =. Msalka bear utuk k = : x() = ( x() ) ( maka x( +) = x() B u( +) ( B u() ), = (( x() ) ( ( B u() ) ) B u( +) = (( x() ) ( = (( x() ) ( ( ( ( ) ( ) B u() ) ) B u( +) B u() ) ) B u( +). Jad (..4) bear utuk k = +. kbatya dperoleh y(k) = (C k k x()) ( C k B u() ) (..) utuk k =,,,.... Dberka suatu blaga bulat postp p. Jka ddefska y = [y(), y(),..., y(p)] T da u = [u(), u(),..., y(p)] T maka dar persamaa (..) dperoleh: y() = C x() C B u() y() = C y(p) = C x() C B u() C B u() p x() C... C B u(p). p B u() C atau dalam persamaa matrks dapat dtulska sebaga y() C y() = C y( p) C p x() p B u()

48 4 B C B C B C B C B C B C p p ) ( () () p u u u atau y = K x() H u (..6) dega K = p C C C da H = B C B C B C B C B C B C p p. Dalam sstem produks, Teorema.. berart bahwa jka dketahu kods awal sstem da barsa waktu saat baha metah dmasukka ke sstem, maka dapat dtetuka barsa waktu saat produk selesa dproses da meggalka sstem. Cotoh..6 Dperhatka sstem produks sederhaa dalam subbab.. Ddefska y = [y(), y(), y(), y(4)] T. Jka dberka x() = [,, ] T da u = [, 9,, 4 ] T, maka dperoleh y = K x() H u dega K = da H = Dperhatka bahwa y = K x() H u = 8 6 = 8 6. Hal berart bahwa jka kods awal x() = [,, ] T da baha baku dmasukka ke dalam sstem pada saat waktu u() =, u() = 9, u() =, u(4) =, maka

49 4 produk selesa da aka meggalka sstem pada saat waktu y() = 6, y() =, y() = 8, y(4) = 4. Hasl pada cotoh sesua dega Cotoh.. d atas. akbat berkut. Secara khusus utuk SLMI (, B, C, ) dperoleh sfat put-otputya dalam kbat..7 (Iput-Output SLMI (, B, C, )) Dberka suatu blaga bulat postp p. Jka vektor output y = [y(), y(),..., y(p)] T da vektor put u = [u(), u(),..., u(p)] T pada SLMI (, B, C, ), maka y = H u dega C B H = C B p C B C C B p B. C B Bukt: Sepert bukt Teorema.., dega megambl x =. Dalam sstem produks, SLMI (, B, C, ) berart bahwa keadaa awal sstem, semua peyagga dalam keadaa kosog da tdak ada ut pemrosesa yag memuat baha metah atau produk setegah-jad. Cotoh..8 Dperhatka sstem produks sederhaa dalam subbab.. Ddefska y = [y(), y(), y(), y(4)] T. Jka dberka x() =, da u = [, 9,, ] T, maka dperoleh y = H u dega H =

50 44 Dperhatka bahwa y = H u = =. Hal berart bahwa jka keadaa awal sstem semua peyagga dalam keadaa kosog da tdak ada ut pemrosesa yag memuat baha metah atau produk setegah-jad da baha baku dmasukka ke dalam sstem pada saat waktu u() =, u() = 9, u() =, u(4) =, maka produk selesa da aka meggalka sstem pada saat waktu y() =, y() =, y() =, y(4) =. Teorema..9 (Iput-Output SLMI utoomous) Dberka suatu blaga bulat postp p. Jka vektor output y = [y(), y(),..., y(p)] T pada SLMI utoomous (, C, x ) dega x, maka dega y = K x() C K = C C p. Bukt: Dega kods awal x() = x, dega duks matematk aka dbuktka bahwa x(k) = Dperhatka bahwa x() = x() = Msalka (..4) bear utuk k = yatu x() = x( + ) = x() = ( utuk k = +. kbatya dperoleh y(k) = C k x(), utuk k =,,,.... (..7) x(). Jad (..4) bear utuk k =. x()) = x(), maka k x(), utuk k =,,,..., sehgga x(). Jad (..4) bear

51 4 y() C y() = C y( p) C p x() utuk suatu blaga bulat postp p. ( k ( k Dperhatka dua barsa put u = u k) da u = u k). ( k Msalka y = y k) adalah barsa output yag bersesuaa dega barsa ( k put u (dega kods awal x, ) da y = y k) adalah barsa output yag bersesuaa dega barsa put u (dega kods awal x, ) serta, R. Dega megguaka persamaa (..) da sfat-sfat pada Teorema..4, maka ( k dega barsa put u u = u k) u ( k) (dega kods awal x = x, x, ) utuk SLMI (, B, C, x )) dperoleh K ( x, x, ) H ( u u ) = (K x, ) (K x, ) (H u ) (H u ) = (K x, H u ) (K x, H u ) = (K x, H u ) (K x, H u ) = y y. Jad jka barsa put u da u berturut-turut aka memberka barsa output y da y, maka barsa put u u aka memberka barsa output y y. Hal merupaka suatu alasa bahwa sstem (..) dsebut sstem lear -plus. Berkut dbahas masalah put palg lambat pada SLMI (, B, C, x ). Masalah put palg lambat pada SLMI (, B, C, x ) adalah sebaga berkut: Dberka suatu blaga bulat postp p. Dketahu vektor output y = [y(), y(),..., y(p)] T. Msalka vektor u = [u(), u(),..., u(p)] T adalah vektor put. Permasalahaya adalah meetuka vektor put u terbesar

52 46 (waktu palg lambat) sehgga memeuh K x H u K da H sepert dalam Teorema..9. m y, dega Dalam sstem produks, masalah mempuya terpretas sebaga berkut. Msalka dketahu vektor y adalah vektor waktu palg lambat agar produk harus meggalka sstem. Permasalahaya adalah meetuka vektor u yatu vektor waktu palg lambat saat baha baku harus dmasukka ke dalam sstem. Terlebh dahulu dperhatka utuk SLMI (, B, C, ). Peyelesaa masalah put palg lambat pada SLMI (, B, C, ) dega C B dberka dalam teorema berkut. Teorema.. Peyelesaa masalah put palg lambat pada SLMI (, B, C, ) dega C B dberka oleh û = T ˆ ˆ ˆ dega (k) [ u(), u(),, u( p)] û = ( y( ) H p, k ), utuk k =,,..., p. Bukt: Karea K =, maka K H u = H u. kbatya masalah put palg lambat pada SLMI (, B, C, ) mejad masalah meetuka vektor put u terbesar (waktu palg lambat) yag memeuh H u m y. Masalah merupaka masalah meetuka subpeyelesaa terbesar sstem persamaa lear -plus H u = y. Karea C B, maka kompoe setap kolom matrks H tdak semuaya sama dega. Meurut Teorema..4 subpeyelesaa terbesar sstem persamaa lear -plus H u = y dberka oleh vektor û = T ˆ ˆ ˆ dega (k) [ u(), u(),, u( p)] û = ( y( ) H ), k =,,..., p. p, k Cotoh.. Dperhatka sstem produks sederhaa dalam subbab. Msalka dgka peyelesaa produk sebelum saat y() = 7, y() = 9, y() = 4, y(4) = 7, dega

53 47 waktu pemasukka baha baku ke dalam sstem yag selambat mugk. Msalka y = [y(), y(), y(), y(4)] T da u = [u(), u(), u(), u(4)] T. Masalah dselesaka dega cara meetuka subpeyelesaa terbesar sstem persamaa lear plus u( ) H u = y, yatu 6 u( ) = 6 u( ) 7 6 u( 4) Terlebh dulu dperhatka bahwa û = H T ( y) = 6 9 = Jad subpeyelesaa terbesar sstem persamaa lear -plus H u = y d atas adalah vektor û = [, 6,, 6] T. Hal berart bahwa baha baku harus dmasukka ke sstem pada saat waktu û () =, û () = 6, û () =, û (4) = 6. Dega waktu put û, dperoleh waktu output sstem adalah ŷ = H û = [, 7,, 7] T yatu ŷ () =, ŷ () = 7, ŷ () =, ŷ (4) = 7. Pembahasa peyelesaa masalah put palg lambat pada SLMI (, B, C, ) d atas dapat sedkt dperluas utuk SLMI (, B, C, x ) dega x, sepert dberka dalam teorema berkut. Teorema.. Dberka SLMI (, B, C, x ) dega C B. Jka K x y, maka m peyelesaa masalah put palg lambat pada SLMI (, B, C, x ) dberka oleh T û = [ uˆ (), uˆ (),, uˆ ( p)] dega û (k) = ( y( ) H ), k =,,..., p. p, k Bukt: Karea K x y, maka K m x H u = y H u = y. Selajutya bukt sepert pada bukt Teorema.. d atas.

54 48 Berkut dbahas masalah mmsas smpaga maksmum output pada SLMI (, B, C, x ). Masalah mmsas smpaga maksmum output pada SLMI (, B, C, x ) adalah sebaga berkut. Dberka suatu blaga bulat postp p. Dketahu vektor output y = [y(), y(),..., y(p)] T. Msalka vektor u = [u(), u(),..., u(p)] T adalah vektor put. Permasalahaya adalah meetuka vektor put u sehgga ( y (K x H u)) mmal dega K da H sepert dalam Teorema... Msalka Iterpretas masalah dalam sstem produks adalah sebaga berkut. dmlk baha-baha metah yag tdak taha lama. Kemuda dgka memmalka smpaga maksmal atara waktu peyelesaa yag dgka dega waktu peyelesaa yag sesugguhya. Terlebh dahulu dperhatka utuk SLMI (, B, C, ). Peyelesaa masalah mmsas smpaga maksmum output pada SLMI (, B, C, ) dega C B dberka dalam teorema berkut. Teorema.. Peyelesaa masalah mmsas smpaga maksmum output pada SLMI(, B, C, ) dega C B dberka oleh vektor u ~ = û δ, dega û subpeyelesaa terbesar sstem H u = y da = ( y H uˆ ). Bukt: Karea K =, maka K H u = H u. kbatya masalah mmsas smpaga maksmum output mejad meetuka vektor put u sedemka hgga ( y H u) mmal. Masalah merupaka masalah optmsas yag berkata dega sstem persamaa lear -plus H u = y, sepert pada pembahasa subbab. d atas. Karea C B, maka kompoe setap kolom matrks H tdak semuaya sama dega.. Meurut Teorema..

55 49 suatu peyelesaa u ~ utuk masalah d atas dberka oleh u ~ = û δ, dega = ( y H uˆ ) da û merupaka subpeyelesaa terbesar sstem H u = y. Cotoh..4 Dperhatka sstem produks sederhaa dalam subbab.. Msalka dgka peyelesaa produk saat y() = 7, y() = 9, y() = 4, y(4) = 7 dega memmalka smpaga maksmum atara waktu yag dberka dega waktu sesugguhya. Msalka y = [y(), y(), y(), y(4)] T da u = [u(), u(), u(), u(4)] T Dar Cotoh.. dperoleh bahwa û = [, 6,, 6] T dega ŷ = H û = [, 7,, 7] T. Dperhatka bahwa smpaga terbesar atara waktu output y yag dberka dega waktu output sesugguhya ŷ adalah = y ˆ y = (y H uˆ ) 4 = (6,,, ) = 6. Kemuda waktu put yag memmalka smpaga maksmum atara waktu output yag dgka dega waktu output sesugguhya ŷ adalah u~ = û δ = û = [, 6,, 6] T = [, 9, 4, 9] T. Utuk wakatu put u ~ dperoleh waktu output berkut: y~ = H u ~ = [4,,, ] T. Smpaga terbesar atara waktu peyelesaa (waktu output) yag dgka da waktu peyelesaa sesugguhya ( y ~ ) adalah (y H ~ 6 δ u ) = (,,, ) = = =. Pembahasa peyelesaa masalah mmsas smpaga maksmum output pada SLMI (, B, C, ) d atas juga dapat sedkt dperluas utuk SLMI(, B, C, x ) dega x, sepert dberka dalam teorema berkut.

BAB II KAJIAN PUSTAKA. Aljabar Max-Plus adalah himpunan { } himpunan semua bilangan real yang dilengkapi dengan operasi

BAB II KAJIAN PUSTAKA. Aljabar Max-Plus adalah himpunan { } himpunan semua bilangan real yang dilengkapi dengan operasi BAB II KAJIAN PUSTAKA A. Aljabar Max-Plus 1. Pegerta Aljabar Max-Plus Aljabar Max-Plus adalah hmpua { } dega hmpua semua blaga real yag dlegkap dega operas maksmum, dotaska dega da operas pejumlaha yag

Lebih terperinci

TUGAS MATA KULIAH TEORI RING LANJUT MODUL NOETHER

TUGAS MATA KULIAH TEORI RING LANJUT MODUL NOETHER TUGAS ATA KULIAH TEORI RING LANJUT ODUL NOETHER Da Aresta Yuwagsh (/364/PPA/03489) Sebelumya, telah dketahu bahwa sebaga rg dega eleme satua memeuh sfat rata ak utuk deal-deal d. Apabla dpadag sebaga modul,

Lebih terperinci

BAB 6 PRINSIP INKLUSI DAN EKSKLUSI

BAB 6 PRINSIP INKLUSI DAN EKSKLUSI BB 6 PRINSIP INKLUSI DN EKSKLUSI Pada baga aka ddskuska topk berkutya yatu eumeras yag damaka Prsp Iklus da Eksklus. Kosep dalam bab merupaka perluasa de dalam Dagram Ve beserta oepras rsa da gabuga, amu

Lebih terperinci

BAB 5 BARISAN DAN DERET KOMPLEKS. Secara esensi, pembahasan tentang barisan dan deret komlpeks sama dengan barisan dan deret real.

BAB 5 BARISAN DAN DERET KOMPLEKS. Secara esensi, pembahasan tentang barisan dan deret komlpeks sama dengan barisan dan deret real. BAB 5 BARIAN DAN DERET KOMPLEK ecara eses, pembahasa tetag barsa da deret komlpeks sama dega barsa da deret real. 5. Barsa Barsa merupaka sebuah fugs dega doma berupa hmpua blaga asl N. ebuah barsa kompleks

Lebih terperinci

ALGORITMA MENENTUKAN HIMPUNAN TERBESAR DARI SUATU MATRIKS INTERVAL DALAM ALJABAR MAX-PLUS

ALGORITMA MENENTUKAN HIMPUNAN TERBESAR DARI SUATU MATRIKS INTERVAL DALAM ALJABAR MAX-PLUS LGORITM MENENTUKN HIMPUNN TERBESR DRI SUTU MTRIKS INTERVL DLM LJBR MX-PLUS Rata Novtasar Program Stud Matematka FMIP UNDIP JlProfSoedarto SH Semarag 575 bstract Ths research dscussed about how to obtaed

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI. Regresi linier sederhana yang variabel bebasnya ( X ) berpangkat paling tinggi satu.

BAB 2 LANDASAN TEORI. Regresi linier sederhana yang variabel bebasnya ( X ) berpangkat paling tinggi satu. BAB LANDASAN TEORI. Regres Ler Sederhaa Regres ler sederhaa yag varabel bebasya ( berpagkat palg tgg satu. Utuk regres ler sederhaa, regres ler haya melbatka dua varabel ( da. Persamaa regresya dapat dtulska

Lebih terperinci

NORM VEKTOR DAN NORM MATRIKS

NORM VEKTOR DAN NORM MATRIKS NORM VEKTOR DN NORM MTRIK umaag Muhtar Gozal UNIVERIT PENDIDIKN INDONEI. Pedahulua Jka kta membcaraka topk ruag vektor maka cotoh sederhaa yag dapat kta ambl adalah ruag Eucld R. D ruag kta medefska pajag

Lebih terperinci

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS TERREDUKSI REGULER DALAM ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS TERREDUKSI REGULER DALAM ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS TERREDUKSI REGULER DALAM ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL A-12 Sswato 1, Ar Suparwato 2, M Ady Rudhto 3 1 Mahasswa S3 Matematka FMIPA UGM da Staff Pegajar FMIPA UNS Surakarta,

Lebih terperinci

SIFAT-SIFAT LANJUT FUNGSI TERBATAS

SIFAT-SIFAT LANJUT FUNGSI TERBATAS Bulet Ilmah Mat. Stat. da Terapaya (Bmaster) Volume 03, No. 2(204), hal 35 42. SIFAT-SIFAT LANJUT FUNGSI TERBATAS Suhard, Helm, Yudar INTISARI Fugs terbatas merupaka fugs yag memlk batas atas da batas

Lebih terperinci

I adalah himpunan kotak terbatas dan tertutup yang berisi lebih dari satu

I adalah himpunan kotak terbatas dan tertutup yang berisi lebih dari satu METODE FUNGS QUAS-FED SATU ARAMETER UNTUK MENYEESAKAN MASAAH ROGRAM NTEGER TAK NEAR Ra Hardyat (M4) ABSTRAK Dalam kehdupa sehar-har serg djumpa masalah optmas yag membutuhka hasl teger Masalah tersebut

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI. Regresi linier sederhana merupakan bagian regresi yang mencakup hubungan linier

BAB 2 LANDASAN TEORI. Regresi linier sederhana merupakan bagian regresi yang mencakup hubungan linier BAB LANDASAN TEORI. Regres Ler Sederhaa Regres ler sederhaa merupaka baga regres yag mecakup hubuga ler satu peubah acak tak bebas dega satu peubah bebas. Hubuga ler da dar satu populas dsebut gars regres

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. Dalam pengambilan sampel dari suatu populasi, diperlukan suatu

BAB II LANDASAN TEORI. Dalam pengambilan sampel dari suatu populasi, diperlukan suatu BAB II LADASA TEORI Dalam pegambla sampel dar suatu populas, dperluka suatu tekk pegambla sampel yag tepat sesua dega keadaa populas tersebut. Sehgga sampel yag dperoleh adalah sampel yag dapat mewakl

Lebih terperinci

PERTEMUAN III PERSAMAAN REGRESI TUJUAN PRAKTIKUM

PERTEMUAN III PERSAMAAN REGRESI TUJUAN PRAKTIKUM PERTEMUAN III PERSAMAAN REGRESI TUJUAN PRAKTIKUM 1 Megetahu perhtuga persamaa regres ler Meggambarka persamaa regres ler ke dalam dagram pecar TEORI PENUNJANG Persamaa Regres adalah persamaa matematka

Lebih terperinci

PENDAHULUAN Metode numerik merupakan suatu teknik atau cara untuk menganalisa dan menyelesaikan masalah masalah di dalam bidang rekayasa teknik dan

PENDAHULUAN Metode numerik merupakan suatu teknik atau cara untuk menganalisa dan menyelesaikan masalah masalah di dalam bidang rekayasa teknik dan Aalsa Numerk Baha Matrkulas PENDAHULUAN Metode umerk merupaka suatu tekk atau cara utuk megaalsa da meyelesaka masalah masalah d dalam bdag rekayasa tekk da sa dega megguaka operas perhtuga matematk Masalah-masalah

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. Pada bab II ini, akan dibahas pengertian-pengertian (definisi) dan teoremateorema

II. LANDASAN TEORI. Pada bab II ini, akan dibahas pengertian-pengertian (definisi) dan teoremateorema II. LANDAAN TEORI Pada bab II aka dbahas pegerta-pegerta (defs) da teoremateorema ag medukug utuk pembahasa pada bab IV. Pegerta (defs) da teorema tersebut dtulska sebaga berkut.. Teorema Proeks Teorema

Lebih terperinci

Ruang Banach. Sumanang Muhtar Gozali UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

Ruang Banach. Sumanang Muhtar Gozali UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Ruag Baach Sumaag Muhtar Gozal UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Satu kose etg d kulah Aalss ugsoal adalah teor ruag Baach. Pada baga aka drevu defs, cotoh-cotoh, serta sfat-sfat etg ruag Baach. Kta aka

Lebih terperinci

SOLUSI TUGAS I HIMPUNAN

SOLUSI TUGAS I HIMPUNAN Program Stud S1 Tekk Iformatka Fakultas Iformatka, Telkom Uversty SOLUSI TUGAS I HIMPUNAN Matematka Dskrt (MUG2A3) Halama 1 dar 6 Soal 1 Tetukalah eleme-eleme dar hmpua berkut! 2 x x adalah blaga real

Lebih terperinci

BAB III PERSAMAAN PANAS DIMENSI SATU

BAB III PERSAMAAN PANAS DIMENSI SATU BAB III PERSAMAAN PANAS DIMENSI SAU Pada baga sebelumya, kta telah membahas peerapa metoda Ruge-Kutta orde 4 utuk meyelesaka masalah la awal dar persamaa dferesal basa orde. Pada bab, kta aka melakuka

Lebih terperinci

UKURAN GEJALA PUSAT DAN UKURAN LETAK

UKURAN GEJALA PUSAT DAN UKURAN LETAK UKURAN GEJALA PUSAT DAN UKURAN LETAK MODUL 4 UKURAN GEJALA PUSAT DAN UKURAN LETAK. Pedahulua Utuk medapatka gambara yag lebh jelas tetag sekumpula data megea sesuatu persoala, bak megea sampel atau pu

Lebih terperinci

BAB IV BATAS ATAS BAGI JARAK MINIMUM KODE SWA- DUAL GENAP

BAB IV BATAS ATAS BAGI JARAK MINIMUM KODE SWA- DUAL GENAP BAB IV BATAS ATAS BAGI JARAK MINIMUM KODE SWA- DUAL GENAP Msal dguaka kode ler C[, k, d] dega matrks pembagu G da matrks cek partas H. Sebuah blok formas x = x 1 x 2 x k, x = 0 atau 1, yag aka dkrm terlebh

Lebih terperinci

BAB III INTEGRAL RIEMANN-STIELTJES. satu pendekatan untuk membentuk proses titik. Berkaitan dengan masalah

BAB III INTEGRAL RIEMANN-STIELTJES. satu pendekatan untuk membentuk proses titik. Berkaitan dengan masalah BAB III INEGRAL RIEMANN-SIELJES. Pedahulua Pada Bab, telah dsggug bahwa ukura meghtug merupaka salah satu pedekata utuk membetuk proses ttk. Berkata dega masalah perhtuga, ada hal meark yag perlu amat,

Lebih terperinci

Extra 4 Pengantar Teori Modul

Extra 4 Pengantar Teori Modul Extra 4 Pegatar Teor odul Apabla selama dkealka suatu kosep aljabar megea ruag vektor, maka modul merupaka perumuma dar ruag vektor. Pada modul, syarat skalar dperumum mejad eleme pada suatu rg da buka

Lebih terperinci

TAKSIRAN UMUR SISTEM DENGAN UMUR KOMPONEN BERDISTRIBUSI SERAGAM. Sudarno Jurusan Matematika FMIPA UNDIP

TAKSIRAN UMUR SISTEM DENGAN UMUR KOMPONEN BERDISTRIBUSI SERAGAM. Sudarno Jurusan Matematika FMIPA UNDIP JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 7. No. 1, 11-19, Aprl 004, ISSN : 1410-8518 TAKSIRAN UMUR SISTEM DENGAN UMUR KOMPONEN BERDISTRIBUSI SERAGAM Sudaro Jurusa Matematka FMIPA UNDIP Abstrak Sstem yag dbetuk

Lebih terperinci

KALKULUS LANJUT. Pertemuan ke-4. Reny Rian Marliana, S.Si.,M.Stat.

KALKULUS LANJUT. Pertemuan ke-4. Reny Rian Marliana, S.Si.,M.Stat. KALKULUS LANJUT Pertemua ke-4 Rey Ra Marlaa, S.S.,M.Stat. Plot Mater Notas Jumlah & Sgma Itegral Tetu Jumlah Rema Pedahulua Luas Notas Jumlah & Sgma Purcell, et all. (page 226,2003): Sebuah fugs yag daerah

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Dalam proses penelitian untuk menganalisis aproksimasi fungsi dengan metode

II. TINJAUAN PUSTAKA. Dalam proses penelitian untuk menganalisis aproksimasi fungsi dengan metode II. TINJAUAN PUSTAKA Dalam proses peelta utuk megaalss aproksmas fugs dega metode mmum orm pada ruag hlbert C[ab] (Stud kasus: fugs rasoal) peuls megguaka defs teorema da kosep dasar sebaga berkut:.. Aproksmas

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Statistika Deskriptif dan Statistika Inferensial. 1.2 Populasi dan Sampel

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Statistika Deskriptif dan Statistika Inferensial. 1.2 Populasi dan Sampel BAB I PENDAHULUAN 1.1 Statstka Deskrptf da Statstka Iferesal Dewasa d berbaga bdag lmu da kehdupa utuk memaham/megetahu sesuatu dperluka dat Sebaga cotoh utuk megetahu berapa bayak rakyat Idoesa yag memerluka

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. merepresentasikan dan menjelaskan permasalahan pada dunia nyata ke dalam. pernyataan matematis (Widowati & Sutimin, 2007 : 1).

BAB II LANDASAN TEORI. merepresentasikan dan menjelaskan permasalahan pada dunia nyata ke dalam. pernyataan matematis (Widowati & Sutimin, 2007 : 1). BAB II LANDASAN EORI.. Model Matematka Model Matematka merupaka represetas matematka yag dhaslka dar pemodela Matematka. Pemodela Matematka merupaka suatu proses merepresetaska da mejelaska permasalaha

Lebih terperinci

On A Generalized Köthe-Toeplitz Duals

On A Generalized Köthe-Toeplitz Duals JMP : Volume 4 Nomor, Ju 202, hal. 3-39 O A Geeralzed Köthe-Toepltz Duals Sumardoo, Supama 2, da Soepara Darmawaa 3 PPPPTK Matematka, smrd2007@gmal.com 2 Mathematcs Departmet, Gadah Mada Uverst, supama@ugm.ac.d

Lebih terperinci

Notasi Sigma. Fadjar Shadiq, M.App.Sc &

Notasi Sigma. Fadjar Shadiq, M.App.Sc & Notas Sgma Fadjar Shadq, M.App.Sc (fadjar_pg@yahoo.com & www.fadjarpg.wordpress.com Notas sgma memag jarag djumpa dalam kehdupa sehar-har, tetap otas tersebut aka bayak djumpa pada baga matematka yag la,

Lebih terperinci

MASALAH NORM MINIMUM PADA RUANG HILBERT DAN APLIKASINYA

MASALAH NORM MINIMUM PADA RUANG HILBERT DAN APLIKASINYA Masalah Norm Mmum (Karat) MASALAH NORM MINIMUM PADA RUANG HILBERT DAN APLIKASINYA Karat da Dhorva Urwatul Wutsqa Jurusa Peddka Matematka FMIPA Uverstas Neger Yogakarta Abstract I ths paper, wll be dscussed

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang BAB PENDAHULUAN. Latar Belakag Dalam pemodela program ler, semua parameter yag dguaka dalam model dasumska dapat dketahu secara past. Parameter-parameter terdr dar koefse batasa ( ) a, la kuattas batasa

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI. perkiraan (prediction). Dengan demikian, analisis regresi sering disebut sebagai

BAB 2 LANDASAN TEORI. perkiraan (prediction). Dengan demikian, analisis regresi sering disebut sebagai BAB LANDASAN TEORI. Kosep Dasar Aalss Regres Aalss regres regressso aalyss merupaka suatu tekk utuk membagu persamaa da megguaka persamaa tersebut utuk membuat perkraa predcto. Dega demka, aalss regres

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang BAB PENDAHULUAN. Latar Belakag Sampa saat, model Regres da model Aalss Varas telah dpadag sebaga dua hal ag tdak berkata. Meskpu merupaka pedekata ag umum dalam meeragka kedua cara pada taraf permulaa,

Lebih terperinci

Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Kompleks Dengan Invers Matriks Menggunakan Metode Faddev (Contoh Kasus: SPL Kompleks dan Hermit)

Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Kompleks Dengan Invers Matriks Menggunakan Metode Faddev (Contoh Kasus: SPL Kompleks dan Hermit) Jural Sas Matematka da Statstka, Vol., No. I, Jauar ISSN - Peyelesaa Sstem Persamaa Ler Kompleks Dega Ivers Matrks Megguaka Metode Faddev Cotoh Kasus: SPL Kompleks da Hermt F. rya da Tka Rzka, Jurusa Matematka,

Lebih terperinci

Aturan Cramer dalam Aljabar Maks-Plus Interval

Aturan Cramer dalam Aljabar Maks-Plus Interval Jural Matematka & Sas Aprl 2015 Vol 20 Nomor 1 Atura Cramer dalam Aljaar Maks-Plus Iterval Sswato Jurusa Matematka Fakultas Matematka da Ilmu Pegetahua Uverstas Seelas Maret Surakarta e-mal: ssmpaus@yahoocod

Lebih terperinci

BAB 5. ANALISIS REGRESI DAN KORELASI

BAB 5. ANALISIS REGRESI DAN KORELASI BAB 5. ANALISIS REGRESI DAN KORELASI Tujua utama aalss regres adalah mecar ada tdakya hubuga ler atara dua varabel: Varabel bebas (X), yatu varabel yag mempegaruh Varabel terkat (Y), yatu varabel yag dpegaruh

Lebih terperinci

BAB 2. Tinjauan Teoritis

BAB 2. Tinjauan Teoritis BAB Tjaua Teorts.1 Regres Lear Sederhaa Regres lear adalah alat statstk yag dperguaka utuk megetahu pegaruh atara satu atau beberapa varabel terhadap satu buah varabel. Varabel yag mempegaruh serg dsebut

Lebih terperinci

SUM BER BELA JAR Menerap kan aturan konsep statistika dalam pemecah an masalah INDIKATOR MATERI TUGAS

SUM BER BELA JAR Menerap kan aturan konsep statistika dalam pemecah an masalah INDIKATOR MATERI TUGAS C. Pembelajara 3 1. Slabus N o STANDA R KOMPE TENSI KOMPE TENSI DASAR INDIKATOR MATERI TUGAS BUKTI BELAJAR KON TEN INDIKA TOR WAK TU SUM BER BELA JAR Meerap ka atura kosep statstka dalam pemecah a masalah

Lebih terperinci

TEKNIK SAMPLING. Hazmira Yozza Izzati Rahmi HG Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas

TEKNIK SAMPLING. Hazmira Yozza Izzati Rahmi HG Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas TEKNIK SAMPLING Hazmra Yozza Izzat Rahm HG Jurusa Matematka FMIPA Uverstas Adalas Defs Suatu cotoh gerombol adalah suatu cotoh acak sederhaa dmaa setap ut pearka cotoh adalah kelompok atau gerombol dar

Lebih terperinci

IMPLEMENTASI DAN KOMPARASI ATURAN SEGIEMPAT UNTUK PENYELESAIAN INTEGRAL DENGAN BATAS MENGGUNAKAN MATLAB

IMPLEMENTASI DAN KOMPARASI ATURAN SEGIEMPAT UNTUK PENYELESAIAN INTEGRAL DENGAN BATAS MENGGUNAKAN MATLAB Semar Nasoal Tekolog 007 (SNT 007) ISSN : 978 9777 IMPLEMENTASI DAN KOMPARASI ATURAN SEGIEMPAT UNTUK PENYELESAIAN INTEGRAL DENGAN BATAS MENGGUNAKAN MATLAB Krsawat STMIK AMIKOM Yogyakarta e-mal : krsa@amkom.ac.d

Lebih terperinci

BAB IX PENGGUNAAN STATISTIK DALAM SIMULASI

BAB IX PENGGUNAAN STATISTIK DALAM SIMULASI BAB IX PENGGUNAAN STATISTIK DALAM SIMULASI 9.1. Dstrbus Kotu Dstrbus memlk sfat kotu dmaa data yag damat berjala secara kesambuga da tdak terputus. Maksudya adalah bahwa data yag damat tersebut tergatug

Lebih terperinci

BAB III UKURAN PEMUSATAN DATA

BAB III UKURAN PEMUSATAN DATA BAB III UKURAN PEMUSATAN DATA A. Ukura Gejala Pusat Ukura pemusata adalah suatu ukura yag meujukka d maa suatu data memusat atau suatu kumpula pegamata memusat (megelompok). Ukura pemusata data adalah

Lebih terperinci

FMDAM (2) TOPSIS TOPSIS TOPSIS. Charitas Fibriani

FMDAM (2) TOPSIS TOPSIS TOPSIS. Charitas Fibriani FMDAM (2) Chartas Fbra Techque for Order Preferece by Smlarty to Ideal Soluto () ddasarka pada kosep dmaa alteratf terplh yag terbak tdak haya memlk jarak terpedek dar solus deal postf, amu juga memlk

Lebih terperinci

KODE SIKLIK (CYCLIC CODES)

KODE SIKLIK (CYCLIC CODES) Pegatar Teor Pegkodea (Codg Theory) KODE SIKLIK (CYCLIC CODES) Dose Pegampu : Al Sutjaa DISUSUN OLEH: Nama : M Zak Ryato Nm : /5679/PA/8944 Program Stud : Matematka JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA

Lebih terperinci

BAB 1 ERROR PERHITUNGAN NUMERIK

BAB 1 ERROR PERHITUNGAN NUMERIK BAB ERROR PERHITUNGAN NUMERIK A. Tujua a. Memaham galat da hampra b. Mampu meghtug galat da hampra c. Mampu membuat program utuk meelesaka perhtuga galat da hampra dega Matlab B. Peragkat da Mater a. Software

Lebih terperinci

Di dunia ini kita tidak dapat hidup sendiri, tetapi memerlukan hubungan dengan orang lain. Hubungan itu pada umumnya dilakukan dengan maksud tertentu

Di dunia ini kita tidak dapat hidup sendiri, tetapi memerlukan hubungan dengan orang lain. Hubungan itu pada umumnya dilakukan dengan maksud tertentu KORELASI 1 D dua kta tdak dapat hdup sedr, tetap memerluka hubuga dega orag la. Hubuga tu pada umumya dlakuka dega maksud tertetu sepert medapat kergaa pajak, memperoleh kredt, memjam uag, serta mta pertologa/batua

Lebih terperinci

BAB III MENYELESAIKAN MASALAH REGRESI INVERS DENGAN METODE GRAYBILL. Masalah regresi invers dengan bentuk linear dapat dijumpai dalam

BAB III MENYELESAIKAN MASALAH REGRESI INVERS DENGAN METODE GRAYBILL. Masalah regresi invers dengan bentuk linear dapat dijumpai dalam BAB III MENYELESAIKAN MASALAH REGRESI INVERS DENGAN METODE GRAYBILL 3. Pegerta Masalah regres vers dega betuk lear dapat djumpa dalam berbaga bdag kehdupa, dataraya dalam bdag ekoom, kesehata, fska, kma

Lebih terperinci

KODE SIKLIK (CYCLIC CODES)

KODE SIKLIK (CYCLIC CODES) Codg Theory KODE SIKLIK (CYCLIC CODES) Muhamad Zak Ryato NIM: 2/56792/PA/8944 E-mal: zak@malugmacd http://zakmathwebd Dose Pembmbg: Drs Al Sutjaa, MSc Pedahulua Salah satu bahasa yag palg petg pada lear

Lebih terperinci

III PEMBAHASAN. Karena vektor-vektor kolom X adalah bebas linear, maka L(ε) mempunyai n vektor eigen yang bebas linear. (Terbukti)

III PEMBAHASAN. Karena vektor-vektor kolom X adalah bebas linear, maka L(ε) mempunyai n vektor eigen yang bebas linear. (Terbukti) Karea vektor-vektor kolom X adalah bebas lear maka mempuya vektor ege yag bebas lear. erbukt eorema 9 Jka... adalah la ege dar maka... adalah la ege dar. BUK : salka... adalah la ege dar yag bersesuaa

Lebih terperinci

ANALISIS ALGORITMA REKURSIF DAN NONREKURSIF

ANALISIS ALGORITMA REKURSIF DAN NONREKURSIF ANALISIS ALGORITMA REKURSIF DAN NONREKURSIF KELOMPOK A I GUSTI BAGUS HADI WIDHINUGRAHA (0860500) NI PUTU SINTYA DEWI (0860507) LUH GEDE PUTRI SUARDANI (0860508) I PUTU INDRA MAHENDRA PRIYADI (0860500)

Lebih terperinci

POLIGON TERBUKA TERIKAT SEMPURNA

POLIGON TERBUKA TERIKAT SEMPURNA MODUL KULIAH ILMU UKUR TANAH POLIGON TERBUKA TERIKAT SEMPURNA Pegerta : peetua azmuth awal da akhr, peetuat kesalaha peutup sudut,koreks sudut, kesalaha lear da koreks lear kearah sumbu X da Y, Peetua

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 1 Pegerta Regres Istlah regres pertama kal dperkealka oleh Fracs Galto Meurut Galto, aalss regres berkeaa dega stud ketergatuga dar suatu varabel yag dsebut tak bebas depedet varable,

Lebih terperinci

Penelitian Operasional II Teori Permainan TEORI PERMAINAN

Penelitian Operasional II Teori Permainan TEORI PERMAINAN Peelta Operasoal II Teor Permaa 7 2 TEORI PERMAINAN 2 Pegatar 2 Krtera Tekk Permaa : () Terdapat persaga kepetga datara pelaku (2) Setap pema memlk stateg, bak terbatas maupu tak terbatas (3) Far Game

Lebih terperinci

ANALISIS MASALAH GENERATOR DARI POSSIBLE DAN UNIVERSAL EIGENVECTOR PADA MATRIKS INTERVAL DALAM ALJABAR MAX-PLUS

ANALISIS MASALAH GENERATOR DARI POSSIBLE DAN UNIVERSAL EIGENVECTOR PADA MATRIKS INTERVAL DALAM ALJABAR MAX-PLUS Sear Nasoal Mateatka IV (SeNasMat) Isttut Tekolog Sepuluh Nopeber, Surabaya, 3 Deseber NLISIS MSLH GENERTOR DRI POSSIBLE DN UNIVERSL EIGENVECTOR PD MTRIKS INTERVL DLM LJBR MX-PLUS Rata Novtasar, Suboo,

Lebih terperinci

Penarikan Contoh Acak Sederhana (Simple Random Sampling)

Penarikan Contoh Acak Sederhana (Simple Random Sampling) Pearka Cotoh Acak Sederhaa (Smple Radom Samplg) Defs Jka sebuah cotoh berukura dambl dar suatu populas sedemka rupa sehgga setap cotoh berukura ag mugk memlk peluag sama utuk terambl, maka prosedur tu

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI. Analisis regresi adalah suatu proses memperkirakan secara sistematis tentang apa yang paling

BAB 2 LANDASAN TEORI. Analisis regresi adalah suatu proses memperkirakan secara sistematis tentang apa yang paling BAB LANDASAN TEORI Kosep Dasar Aalss Regres Aalss regres adalah suatu proses memperkraka secara sstemats tetag apa yag palg mugk terjad dmasa yag aka datag berdasarka formas yag sekarag dmlk agar memperkecl

Lebih terperinci

ANALISIS REGRESI. Model regresi linier sederhana merupakan sebuah model yang hanya terdiri dari satu peubah terikat dan satu peubah penjelas:

ANALISIS REGRESI. Model regresi linier sederhana merupakan sebuah model yang hanya terdiri dari satu peubah terikat dan satu peubah penjelas: ANALISIS REGRESI Pedahulua Aalss regres berkata dega stud megea ketergatuga satu peubah (peubah terkat) terhadap satu atau lebh peubah laya (peubah pejelas). Jka Y dumpamaka sebaga peubah terkat da X1,X,...,X

Lebih terperinci

S2 MP Oleh ; N. Setyaningsih

S2 MP Oleh ; N. Setyaningsih S2 MP Oleh ; N. Setyagsh MATERI PERTEMUAN 1-3 (1)Pedahulua pera statstka dalam peelta ; (2)Peyaja data : dalam betuk (a) tabel da (b) dagram; (3) ukura tedes setaral da ukura peympaga (4)dstrbus ormal

Lebih terperinci

MATEMATIKA INTEGRAL RIEMANN

MATEMATIKA INTEGRAL RIEMANN MATEMATIKA KELAS XII IPA - KURIKULUM GABUNGAN Ses NGAN INTEGRAL RIEMANN A. NOTASI SIGMA a. Defs Notas Sgma Sgma (Σ) adalah otas matematka megguaka smbol yag mewakl pejumlaha da beberapa suku yag memlk

Lebih terperinci

* MEMBUAT DAFTAR DISTRIBUSI FREKUENSI MENGGUNAKAN ATURAN STURGES

* MEMBUAT DAFTAR DISTRIBUSI FREKUENSI MENGGUNAKAN ATURAN STURGES * PENYAJIAN DATA Secara umum, ada dua cara peyaja data, yatu : 1. Tabel atau daftar. Grafk atau dagram Macam-macam daftar yag dkeal : a. Daftar bars kolom b. Daftar kotges c. Daftar dstrbus frekues Sedagka

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI Bab aka mejelaska megea ladasa teor yag dpaka oleh peuls dalam peelta. Bab dbag mejad beberapa baga, yag masg masg aka mejelaska Prcpal Compoet Aalyss (PCA), Egeface, Klusterg K-Meas,

Lebih terperinci

STATISTIKA: UKURAN PEMUSATAN. Tujuan Pembelajaran

STATISTIKA: UKURAN PEMUSATAN. Tujuan Pembelajaran Kurkulum 013/006 matematka K e l a s XI STATISTIKA: UKURAN PEMUSATAN Tujua Pembelajara Setelah mempelajar mater, kamu dharapka memlk kemampua berkut. 1. Dapat meetuka rata-rata data tuggal da data berkelompok..

Lebih terperinci

Mean untuk Data Tunggal. Definisi. Jika suatu sampel berukuran n dengan anggota x1, x2, x3,, xn, maka mean sampel didefinisiskan : n Xi.

Mean untuk Data Tunggal. Definisi. Jika suatu sampel berukuran n dengan anggota x1, x2, x3,, xn, maka mean sampel didefinisiskan : n Xi. Mea utuk Data Tuggal Des. Jka suatu sampel berukura dega aggota x1, x, x3,, x, maka mea sampel ddesska : 1... N 1 Mea utuk Data Kelompok Des Mea dar data yag dkelompoka adalah : x x 1 1 1 dega : x = ttk

Lebih terperinci

BAB III METODE PENELITIAN. Tempat penelitian ini dilaksanakan di SMP Negeri 4 Tilamuta Kabupaten

BAB III METODE PENELITIAN. Tempat penelitian ini dilaksanakan di SMP Negeri 4 Tilamuta Kabupaten BAB III METODE PENELITIAN 3. Tempat da Waktu Peelta 3.. Tempat Tempat peelta dlaksaaka d SMP Neger 4 Tlamuta Kabupate Boalemo pada sswa kelas VIII. 3.. Waktu Peelta dlaksaaka dalam waktu 3 bula yatu dar

Lebih terperinci

2.2.3 Ukuran Dispersi

2.2.3 Ukuran Dispersi 3 Ukura Dspers Yag aka dbahas ds adalah smpaga baku da varas karea dua ukura dspers yag palg serg dguaka Hubuga atara smpaga baku dega varas adalah Varas = Kuadrat dar Smpaga baku otas yag umum dguaka

Lebih terperinci

PRINSIP INKLUSI- EKSKLUSI INCLUSION- EXCLUSION PRINCIPLE

PRINSIP INKLUSI- EKSKLUSI INCLUSION- EXCLUSION PRINCIPLE RISI IKLUSI- EKSKLUSI ICLUSIO- EXCLUSIO RICILE rsp Iklus-Eksklus Ada berapa aggota dalam gabuga dua hmpua hgga? A A = A A - A A Cotoh Ada berapa blaga bulat postf lebh kecl atau sama dega 00 yag habs dbag

Lebih terperinci

PENDAHULUAN. Di dalam modul ini Anda akan mempelajari teori gangguan bebas waktu yang mencakup:

PENDAHULUAN. Di dalam modul ini Anda akan mempelajari teori gangguan bebas waktu yang mencakup: PENDAULUAN D dalam modul Ada aka mempelajar teor gaggua bebas waktu yag mecakup: teor gaggua tak degeeras bebas waktu, teor gaggua degeeras bebas waktu, da efek Stark. Oleh karea tu, sebelum mempelajar

Lebih terperinci

BAB III PEMBENTUKAN SKEMA PEMBAGIAN RAHASIA

BAB III PEMBENTUKAN SKEMA PEMBAGIAN RAHASIA BAB III PEMBENTUKAN SKEMA PEMBAGIAN RAHASIA 3. Pegkodea Matrks Ketetaggaa Matrks ketetaggaa A adaah matrks smetr, sehgga, dega memh semua eeme pada dagoa utama da eeme-eeme dbawah dagoa utama, maka aka

Lebih terperinci

I PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI

I PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI I PENDAHULUAN 11 Latar Belakag Peelta yag dlakuka oleh Va der Pol pada sebuah tabug trode tertutup, yatu sebuah alat yag dguaka utuk megedalka arus lstrk dalam suatu srkut pada trasmtter da recever meghaslka

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA BAB II TINJAUAN PUSTAKA.1 Pedahulua Sebelum membahas megea prosedur peguja hpotess, terlebh dahulu aka djelaska beberapa teor da metode yag meujag utuk mempermudah pembahasa. Adapu teor da metode tersebut

Lebih terperinci

IDEAL DALAM ALJABAR LINTASAN LEAVITT

IDEAL DALAM ALJABAR LINTASAN LEAVITT Delta-P: Jural Matematka da Peddka Matematka ISSN 289-855X Vol., No. 2, Oktober 22 IDAL DALAM ALJABAR LINTASAN LAVITT Ida Kura Walyat Program Stud Peddka Matematka Jurusa Peddka MIPA FKIP Uverstas Kharu

Lebih terperinci

XI. ANALISIS REGRESI KORELASI

XI. ANALISIS REGRESI KORELASI I ANALISIS REGRESI KORELASI Aalss regres mempelajar betuk hubuga atara satu atau lebh peubah bebas dega satu peubah tak bebas dalam peelta peubah bebas basaya peubah yag dtetuka oelh peelt secara bebas

Lebih terperinci

REGRESI LINIER SEDERHANA

REGRESI LINIER SEDERHANA MODUL REGRESI LINIER SEDERHANA Dsusu oleh : I MADE YULIARA Jurusa Fska Fakultas Matematka Da Ilmu Pegetahua Alam Uverstas Udayaa Tahu 016 Kata Pegatar Puj syukur saya ucapka ke hadapa Tuha Yag Maha Kuasa

Lebih terperinci

Pada saat upacara bendera, kita sering memperhatikan teman-teman kita.

Pada saat upacara bendera, kita sering memperhatikan teman-teman kita. Bab Ukura Data Pada saat upacara bedera, kta serg memperhatka tema-tema kta. Terkadag tapa sadar kta membadgka tgg redah sswa dalam upacara tersebut. Ada yag tggya 170 cm, 165 cm, 150 cm atau bahka 140

Lebih terperinci

Penarikan Contoh Gerombol (Cluster Sampling) Departemen Statistika FMIPA IPB

Penarikan Contoh Gerombol (Cluster Sampling) Departemen Statistika FMIPA IPB Pearka Cotoh Gerombol (Cluster Samplg) Departeme Statstka FMIPA IPB Radom samplg (Revew) Smple radom samplg Stratfed radom samplg Rato, regresso, ad dfferece estmato Systematc radom samplg Cluster radom

Lebih terperinci

4/1/2013. Bila X 1, X 2, X 3,,X n adalah pengamatan dari sampel, maka rata-rata hitung dirumuskan sebagai berikut. Dengan: n = banyak data

4/1/2013. Bila X 1, X 2, X 3,,X n adalah pengamatan dari sampel, maka rata-rata hitung dirumuskan sebagai berikut. Dengan: n = banyak data //203 UKURAN GEJALA PUSAT DAN UKURAN LETAK Kaa Evta Dew, S.Pd., M.S. Ukura gejala pusat Utuk medapatka gambara yag lebh jelas tetag sekumpula data megea sesuatu hal, bak tu dar sampel ataupu populas Ukura

Lebih terperinci

BAB 4 ENTROPI PADA PROSES STOKASTIK RANTAI MARKOV

BAB 4 ENTROPI PADA PROSES STOKASTIK RANTAI MARKOV BAB 4 ENTROPI PADA PROSES STOKASTIK RANTAI MARKOV 4. Proses Sokask Dalam kehdupa yaa, sergkal orag g megama keerkaa sau kejada dega kejada la dalam suau erval waku ereu, yag merupaka suau barsa kejada.

Lebih terperinci

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) III MODEL. , θ Ω. 1 Pendugaan parameter dengan metode maximum lkelihood estimation dapat diperoleh dari:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) III MODEL. , θ Ω. 1 Pendugaan parameter dengan metode maximum lkelihood estimation dapat diperoleh dari: 5 Mamum Lkelhood Estmato Defs Fugs Lkelhood Msalka X, X,, X adalah eubah acak d dega fugs massa eluag ( ; θ, dega θ dasumska skalar da tdak dketahu, maka rosedur fugs lkelhood daat dtulska sebaga berkut

Lebih terperinci

INTERVAL KEPERCAYAAN UNTUK PERBEDAAN KOEFISIEN VARIASI DARI DISTRIBUSI LOGNORMAL I. Pebriyani 1*, Bustami 2, S. Sugiarto 2

INTERVAL KEPERCAYAAN UNTUK PERBEDAAN KOEFISIEN VARIASI DARI DISTRIBUSI LOGNORMAL I. Pebriyani 1*, Bustami 2, S. Sugiarto 2 INTERVAL KEPERCAAAN UNTUK PERBEDAAN KOEFIIEN VARIAI DARI DITRIBUI LOGNORMAL I. Pebrya * Bustam. ugarto Mahasswa Program Matematka Dose Jurusa Matematka Fakultas Matematka da Ilmu Pegetahua Alam Uverstas

Lebih terperinci

b) Untuk data berfrekuensi fixi Data (Xi)

b) Untuk data berfrekuensi fixi Data (Xi) B. Meghtug ukura pemusata, ukura letak da ukura peyebara data serta peafsraya A. Ukura Pemusata Data Msalka kumpula data berkut meujukka hasl pegukura tgg bada dar orag sswa. 0 cm 30 cm 5 cm 5 cm 35 cm

Lebih terperinci

INTEGRAL LEBESGUE PADA FUNGSI TERBATAS SKRIPSI

INTEGRAL LEBESGUE PADA FUNGSI TERBATAS SKRIPSI INTGRAL LBSGU PADA FUNGSI TRBATAS SKRIPSI Dajuka Kepada Fakultas Matematka da Ilmu Pegetahua Alam Uverstas Neger Yogyakarta utuk memeuh sebaga persyarata gua memperoleh gelar Sarjaa Sas Dsusu Oleh : Fauzah

Lebih terperinci

TEOREMA TITIK TETAP BANACH. Skripsi. Diajukan untuk Memenuhi Salah satu Syarat. Memperoleh Gelar Sarjana Matematika. Program Studi Matematika

TEOREMA TITIK TETAP BANACH. Skripsi. Diajukan untuk Memenuhi Salah satu Syarat. Memperoleh Gelar Sarjana Matematika. Program Studi Matematika TEOREMA TITIK TETAP BANACH Skrps Dajuka utuk Memeuh Salah satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjaa Matematka Program Stud Matematka Oleh: Wdaryata Ctra Nursata NIM : 348 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

Lebih terperinci

Edge Anti-Magic Total Labeling dari

Edge Anti-Magic Total Labeling dari Edge At-Magc Total Labelg dar Charul Imro da Suhud Wahyud Jurusa Matematka Isttut Tekolog Sepuluh Nopember Surabaya mro-ts@matematka.ts.ac.d, suhud@matematka.ts.ac.d C Abstract We wll fd edge at-magc total

Lebih terperinci

Penurunan Persamaan Perpetuitas dan Anuitas

Penurunan Persamaan Perpetuitas dan Anuitas SEMINR NSIONL MTEMTIK DN PENDIDIKN MTEMTIK UNY 2016 Peurua Persamaa Perpetutas da utas T - 6 Bud Fresdy Fakultas Ekoom da Bss Uverstas Idosa bstrak Mahasswa bss da akutas, debtor bak, da vestor memerluka

Lebih terperinci

STATISTIK. Ukuran Gejala Pusat Ukuran Letak Ukuran Simpangan, Dispersi dan Variasi Momen, Kemiringan, dan Kurtosis

STATISTIK. Ukuran Gejala Pusat Ukuran Letak Ukuran Simpangan, Dispersi dan Variasi Momen, Kemiringan, dan Kurtosis STATISTIK Ukura Gejala Pusat Ukura Letak Ukura Smpaga, Dspers da Varas Mome, Kemrga, da Kurtoss Notas Varabel dyataka dega huruf besar Nla dar varabel dyataka dega huruf kecl basaya dtuls Tmes New Roma

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI. yang akan terjadi pada masa yang akan datang dengan waktu yang relative lama.

BAB 2 LANDASAN TEORI. yang akan terjadi pada masa yang akan datang dengan waktu yang relative lama. BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pegerta Peramala Peramala ( forecastg ) adalah kegata memperkraka atau mempredkska apa yag aka terjad pada masa yag aka datag dega waktu yag relatve lama. Sedagka ramala adalah

Lebih terperinci

SISTEM LINEAR MAX-PLUS KABUR WAKTU INVARIANT AUTONOMOUS

SISTEM LINEAR MAX-PLUS KABUR WAKTU INVARIANT AUTONOMOUS SISTEM LINEAR MAX-PLUS KABUR WAKTU INVARIANT AUTONOMOUS A8 M. Andy Rudhto 1 1 Program Stud Penddkan Matematka FKIP Unverstas Sanata Dharma Kampus III USD Pangan Maguwoharjo Yogyakarta 1 e-mal: arudhto@yahoo.co.d

Lebih terperinci

Regresi Linier Sederhana Definisi Pengaruh

Regresi Linier Sederhana Definisi Pengaruh Regres Ler Sederhaa Dah Idra Baga Bostatstka da Kepeduduka Fakultas Kesehata Masyarakat Uverstas Arlagga Defs Pegaruh Jka terdapat varabel, msalka da yag data-dataya dplot sepert gambar dbawah 3 Defs Pegaruh

Lebih terperinci

MINGGU KE-10 HUBUNGAN ANTAR KONVERGENSI

MINGGU KE-10 HUBUNGAN ANTAR KONVERGENSI MINGGU KE-0 HUBUNGAN ANTAR KONVERGENSI Hubuga atar koverges Hrark atar koverges dyataka dalam teorema berkut. Teorema Msalka X da X, X, X 3,... adalah varabel radom yag ddefska pada ruag probabltas yag

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. Pada bab II ini, akan dibahas pengertian-pengertian (definisi) dan teorema-teorema

II. LANDASAN TEORI. Pada bab II ini, akan dibahas pengertian-pengertian (definisi) dan teorema-teorema II. LANDASAN TEORI Pada bab II aka dbahas pegerta-pegerta (defs) da teorea-teorea ag edukug utuk pebahasa pada bab IV. Pegerta (defs) da teorea tersebut dtulska sebaga berkut... Teorea Proeks Teorea proeks

Lebih terperinci

ANALISIS INDEKS DISTURBANCES STORM TIME DENGAN KOMPONEN H GEOMAGNET

ANALISIS INDEKS DISTURBANCES STORM TIME DENGAN KOMPONEN H GEOMAGNET Prosdg Semar Nasoal Peelta, Peddka da Peerapa MIPA Fakultas MIPA, Uverstas Neger Yogyakarta, 6 Me 9 ANALISIS INDEKS DISTURBANCES STORM TIME DENGAN KOMPONEN H GEOMAGNET Sty Rachyay Pusat Pemafaata Sas Atarksa,

Lebih terperinci

REPRESENTASI BILANGAN FIBONACCI DALAM BENTUK KOMBINATORIAL

REPRESENTASI BILANGAN FIBONACCI DALAM BENTUK KOMBINATORIAL REPRESENTASI BILANGAN FIBONACCI DALAM BENTUK KOMBINATORIAL Rzky Maulaa Nugraha Tekk Iformatka Isttut Tekolog Badug Blok Sumurwed I RT/RW 4/, Haurgeuls, Idramayu, 4564 e-mal: laa_cfre@yahoo.com ABSTRAK

Lebih terperinci

PRAKTIKUM 7 Penyelesaian Persamaan Non Linier Metode Secant Dengan Modifikasi Tabel

PRAKTIKUM 7 Penyelesaian Persamaan Non Linier Metode Secant Dengan Modifikasi Tabel Praktkum 7 Peelesaa Persamaa No Ler Metode Secat Dega Modfkas Tabel PRAKTIKUM 7 Peelesaa Persamaa No Ler Metode Secat Dega Modfkas Tabel Tujua : Mempelajar metode Secat dega modfkas tabel utuk peelesaa

Lebih terperinci

PELABELAN GRACEFUL PADA DIGRAF LINTASAN DAN DIGRAF BIPARTIT LENGKAP

PELABELAN GRACEFUL PADA DIGRAF LINTASAN DAN DIGRAF BIPARTIT LENGKAP PELABELAN GRACEFUL PADA DIGRAF LINTASAN DAN DIGRAF BIPARTIT LENGKAP Lusa Tr Lstyowat Krstaa Waya M Fatekurohma Jurusa Matematka FMIPA Uerstas Jember e-mal: krstaa_waya@yahoocom da m_fatkur@yahoocom Abstract:

Lebih terperinci

PRAKTIKUM 5 Penyelesaian Persamaan Non Linier Metode Secant Dengan Modifikasi Tabel

PRAKTIKUM 5 Penyelesaian Persamaan Non Linier Metode Secant Dengan Modifikasi Tabel Praktkum 5 Peelesaa Persamaa No Ler Metode Secat Dega Modfkas Tabel PRAKTIKUM 5 Peelesaa Persamaa No Ler Metode Secat Dega Modfkas Tabel Tujua : Mempelajar metode Secat dega modfkas tabel utuk peelesaa

Lebih terperinci

Orbit Fraktal Himpunan Julia

Orbit Fraktal Himpunan Julia Vol. 3, No., 6-7, Jauar 7 Orbt Fraktal Hmpua Jula Ad Kresa Jaya, Nswar Alasa Abstrak Makalah membahas kumpula ttk-ttk yag berada dalam daerah hmpua Jula d ruag kompleks da memperlhatka sebuah algortma

Lebih terperinci

BAB 2 : BUNGA, PERTUMBUHAN DAN PELURUHAN

BAB 2 : BUNGA, PERTUMBUHAN DAN PELURUHAN Jl. Raya Wagu Kel. Sdagsar Kota Bogor Telp. 0251-8242411, emal: prohumas@smkwkrama.et, webste : www.smkwkrama.et BAB 2 : BUNGA, PERTUBUHAN DAN PELURUHAN PENGERTIAN BUNGA Buga adalah jasa dar smpaa atau

Lebih terperinci

PELABELAN GRACEFUL SATU MODULO w PADA BEBERAPA GRAF EULER

PELABELAN GRACEFUL SATU MODULO w PADA BEBERAPA GRAF EULER PELABELAN GRACEFUL SATU MODULO PADA BEBERAPA GRAF EULER Isa 1, Luca Ratasar, R. Heru Tjahjaa 3 1,,3 Jurusa Matematka, Fakultas Sas da Matematka, Uverstas Dpoegoro Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Tembalag,

Lebih terperinci

III. METODE PENELITIAN. yang hidup dan berguna bagi masyarakat, maupun bagi peneliti sendiri

III. METODE PENELITIAN. yang hidup dan berguna bagi masyarakat, maupun bagi peneliti sendiri III. METODE PEELITIA A. Metodolog Peelta Metodolog peelta adalah cara yag dlakuka secara sstemats megkut atura-atura, recaaka oleh para peeltutuk memecahka permasalaha yag hdup da bergua bag masyarakat,

Lebih terperinci

ALJABAR LINTASAN LEAVITT SEMIPRIMA

ALJABAR LINTASAN LEAVITT SEMIPRIMA ALJABAR LINTASAN LAVITT SMIPRIMA Ngrum Astrawat Program Stud Tekka, Akadem Martm Yogyakarta astramath@gmal.com ABSTRA. Suatu graf dapat drepresetaska sebaga aljabar ltasa da jka graf tersebut dperluas

Lebih terperinci