Suatu Kondisi Buka Pada Varieti Representasi dari Quiver. An Open Condition on Variety of Quiver Representation

Transkripsi

1 Jual Matematia & Sais, Agustus 24, Vol 9 Nomo 2 Suatu Koisi Bua Paa Vaieti Repesetasi ai uive Damaji Kelompo Keilmua Aljaba Faultas Matematia a Ilmu Pegetahua Alam, Istitut Teologi Baug, Baug amaji@stuetsitbaci Diteima 22 Novembe 23, isetujui utu ipubliasia 7 Apil 24 Absta Misala aalah aljaba atas lapaga yag tetutup secaa aljaba Dalam maalah ii aa iaji suatu iteia oisi bua alam otes aljaba paa olesi semua -epesetasi ega veto imesi paa quive Kata uci : Koisi bua, Repesetasi ai quive A Ope Coitio o Vaiety of uive Repesetatio Abstact Let be a algeba ove a algebaically close fiel I this pape we stuy a ope coitio o the collectio of all -epesetatio of quive with imesio vecto Keywos : Ope coitio, Repesetatio of quive Peahulua a Hasil Utama assosiatif Gabiel (975 telah meujua bahwa himpua ai semua stutu -aljaba ega usu esatua paa V, iotasia ega Alg meupaa himpua bua i Ass Selai itu, Bobisy (2 juga meujua bahwa Misala aalah lapaga tetutup secaa aljaba Vaieti afi iefiisia sebagai himpua pembuat ol besama ai sistem pesamaa poliom a meupaa subhimpua ai suatu uag afi yag beaggotaa -tupel usu-usu i Dega melihat sifat subhimpua vaieti afi i uag afi, ita apat membeia stutu topologi Zaisi i, yai meefiisia vaieti afi sebagai himpua tutup i Dalam otes ii, ita ega muah meapata himpua bua i, yai megambil ompleme ai suatu vaieti afi i Fataya, himpua semua matis atas beuua l, iotasia ega M l(, apat ipaag sebagai uag afi beimesi l (Hule, 23 Aibatya, ita apat membeia stutu vaieti afi paa suatu stutu aljaba ega caa mempaameteisasi usuusuya alam betu tupel matis atas yag memeuhi elasi tetetu (Rietma, 986 Dega megigat poses paameteisasi, cuup umit bila ita meetua iteia oisi bua ai suatu stutu aljaba alam otes topologi Hal yag meai utu iaji aalah bagaimaa meetua oisi himpua bua alam otes aljaba Teapat bebeapa hasil megeai iteia oisi bua yag telah iaji sebelumya Misala V suatu -uag veto beimesi a Ass aalah sub himpua ai Hom ( V V, V yag beaggotaa semua pemetaa yag besifat S { A Alg A mempuyai tipe epesetasi behigga} meupaa himpua bua i Alg Di piha lai, Schofiel (985 meujua bahwa At { AAlg A mempuyai imesi global t} meupaa himpua bua i Alg Hasil ai Gabiel a Schofiel tesebut iteapa utu vaieti epesetasi ai quive Misala, suatu -aljaba beimesi higga yag isomof ega suatu aljaba litasa /J utu suatu quive a ieal amisibel J Misala, ep meyataa olesi yag beaggotaa semua - epesetasi ega veto imesi ai quive Bobisy (2 mejelasa bahwa himpua W ep im ( Ext ( W, V bua i ep Dalam maalah ii, ita membawa eaga eja (Gabiel, 975 a Schofiel, 985 tetapi megguaa tei pembutia bebea alam peetua sebuah oisi bua laiya paa ep 56

2 Damaji, Suatu Koisi Bua Paa Vaieti Repesetasi ai uive 57 Dibeia ua epesetasi pojetif P ep t a M ep imaa Taa etasamaa iataa veto imesi a iefiisia sebagai etasamaa iataa masig-masig ompoe yag besesuaia paa veto imesi a Misala, pes ( P, M aalah subhimpua ai ep beaggotaa semua epesetasi H yag memuat suatu pesetasi P M H Hasil beiut mugi cuup muah i alaga paa paa teoi epesetasi aljaba, amu efeesi yag mejelasaya belum itemua Teoema Himpua pes ( P, M bua i ep Teoema tesebut aa ibutia ega megguaa sifat ai veto buel yag juga meupaa suatu pemetaa bua Maalah ii isajia alam pembagia bab sebagai beiut, osep asa megeai vaieti afi, veto buel, a vaieti epesetasi ai quive ijelasa paa bagia 2 Pembahasa megeai lema peahulua a buti Teoema isajia paa bagia 3, seaga esimpula ijelasa paa bagia 4 2 Kosep Dasa Dalam bagia ii aa ibahas megeai osep asa vaieti epesetasi quive, a veto buel Utu selegapya, pembaca apat meuju efeesi (Assem,, 26; Hule, 23; Mues, 2; Potie, 997 a Rietma, Vaieti afi Ruag afi beimesi atas lapaga iefiisia sebagai himpua -pasaga teuut ai usu-usu, yai : { P ( c,, c c,, c } Himpua M l( yag beaggotaa semua matis beuua l atas apat ipaag sebagai uag afi l Misala [ X,, X ] aalah gelaggag poliom atas alam peubah Himpua V iataa vaieti afi jia teapat olesi poliom T [ X,, X ] sehigga PV, f T, f( P Ruag afi mempuyai stutu topologi Zaisi imaa himpua buaya iefiisia sebagai ompleme ai vaieti afi i (Hule, Pemetaa bua a veto buel Misala X a Y euaya uag topologi Topologi hasil ali paa X Y aalah topologi yag mempuyai himpua bua beupa semua gabuga ai himpua-himpua bebetu U V imaa U suatu himpua bua ai X a V suatu himpua bua ai Y Pemetaa f:x Y iataa otiu jia utu setiap himpua bua V i Y megaibata himpua f ( V bua i X Pemetaa f:x Y iataa pemetaa bua jia utu setiap himpua bua U i X megaibata himpua f(u bua i Y Pehatia bahwa eua pemetaa pojesi X : X Y X, ( x X, y x, a Y : X Y Y, ( x Y, y y meupaa pemetaa otiu sealigus pemetaa bua (Mues, 2 Misala Z suatu vaieti afi Suatu fibasi liie atas Z aalah suatu vaieti E beseta suatu mofisma vaieti sujetif p : E Z seemiia sehigga utu setiap titi w Z, teapat suatu stutu uag veto paa himpua p - (w Vaieti E tesebut iamaa uag total ai fibasi seaga himpua p - (w iamaa fibe ai titi w Z Bila E telah itetapa maa ita apat meulisa p - (w = E w Dibeia ua fibasi liie p: E Z a p: E Z, suatu mofisma vaieti f: E E iataa pemetaa fibasi liie jia f ompatibel ega pojesi p a p, yai p f = p, a utu setiap w Z, pemetaa iusiya f w : E w E w meupaa pemetaa liie Suatu buel aalah pemetaa pojesi Z : Z Z, z( w, c w Buel semacam ii iamaa fibasi tivial ega a Beasaa efiisi ii, jelas bahwa suatu buel meupaa pemetaa bua sealigus otiu Suatu veto buel ega a atas Z aalah suatu fibasi liie p : E Z yag tivial secaa loal, yai utu setiap titi w Z teapat suatu peseitaa bua U w ai w a suatu isomofisma fibasi : p ( U U, w p ( b { b} w imaa pegaita p - (b e {} b meupaa isomofisma uag veto utu setiap b U w Apabila vaieti Z suah itetapa, veto buel paa efiisi ii seig iamaa veto buel E ega a Veto buel meupaa fibasi buel yag mempuyai stutu aljaba (Potie, 997 Misala p: E Z suatu veto buel ega a atas Z Suatu subbuel ega a m ai E aalah sub vaieti F E seemiia sehigga utu setiap w Z, iisa F p - (w meupaa suatu sub uag veto ai p - (w beimesi m a fibasi liie yag ibatasi i F p : F F Z tivial secaa loal Jelas bahwa subbuel mempuyai stutu veto buel (Potie, 997 Dibeia ua veto buel E a F yag betuut-tuut mempuyai a s a Pemetaa veto buel g: E F iefiisia sama ega pemetaa fibasi liie Beiut aalah poposisi yag

3 58 Jual Matematia & Sais, Agustus 24, Vol 9 Nomo 2 iguaa alam pembutia teoema utama Buti selegapya apat ilihat paa buu (Potie, 997 Poposisi Dibeia ua veto buel E a F atas vaieti Z a suatu pemetaa veto buel g: E F Jia a ai g w osta utu setiap w Z maa e(f a im(f masig-masig meupaa subbuel ai E a F 23 Vaieti epesetasi ai quive Suatu quive aalah suatu empata = (,, s, e imaa aalah himpua titi, aalah himpua paah a s, e: betuut-tuut pemetaa yag megaita setiap paah ega titi awal a ahiya Aljaba litasa mempuyai basis beupa himpua ai semua emugia litasa i, a efiisia pealia ua litasa 2 ega sebagai litasa 2 jia beahi paa titi awal ai 2, a beilai ol utu laiya Setiap aljaba beimesi higga aa eivale secaa Moita ega suatu aljaba uosie /J utu suatu ieal amisibel J (Assem,, 26 Oleh aea itu, utu selajutya ita selalu megasumsia bahwa aljaba = /J Suatu epesetasi V ( Vb, V b, ai suatu quive teii atas suatu eluaga ai uag veto V b yag iies oleh titi-titi b a suatu eluaga ai pemetaa liie V : Vs( Ve( yag iies oleh paah-paah Bila eluaga uag veto V b telah itetapa utu setiap b, stutu epesetasi ai V apat itulisa sebagai ( V saja Veto imesi im ( V ai epesetasi V aalah suatu veto ega ompoe im( V ( im ( Vb b Suatu epesetasi paa quive tebatas (, J aalah suatu epesetasi V ( Vb, V b, ai quive imaa stutu epesetasi ( V memeuhi elasi yag aa alam ieal amisibel J (Assem,, 26 Suatu homomofisma ai epesetasi V e epesetasi W aalah suatu eluaga -pemetaa liie ( : V W sehigga utu setiap paah b b b b, ompatibel ega V a W, yai belau hubuga W s( e( V Lebih lajut, epesetasi U ( Ub, U b ega U b meupaa eel ai b : Vb Wb utu setiap b iamaa eel ai a itulisa sebagai U e( Ruag veto ai homomofisma epesetasi iotasia ega Hom ( V, W yag meupaa subuag ai pemetaa betigat Hom ( V, W Hom ( V, W Kategoi ai semua epesetasi quive eivale ega ategoi ai -moul ii (Assem,, 26 Dibeia suatu veto imesi ( b b Misala ep meyataa himpua ai semua epesetasi V ( Vb, V b, paa quive tebatas b (, ega V b utu setiap b Dega b meetapa suatu -basis bagi, setiap epesetasi i ep ibeia oleh suatu tupel ai matis yag memeuhi elasi i J sehigga ep meupaa suatu vaieti afi yag biasa iamaa vaieti epesetasi quive (Rietma, 986 Beiutya ita aa meefiisia epesetasi pojetif yag beoespoesi ega suatu -moul pojetif Suatu -epesetasi P ( Pb, P paa quive tebatas (, iataa pojetif jia utu setiap -efimofisma h: V W a f Hom ( P, W, teapat suatu g Hom ( P, V sehigga f h g Suatu baisa -epesetasi ai quive h h h 2 V V V V iataa baisa omples jia h h, Koisi h h eivale ega im( h e( h Jia paa baisa omples tesebut belau hubuga im( h e( h maa baisa tesebut iamaa baisa esa h 2 h2 3 Khususya, baisa V V V meupaa baisa esa jia im( h e( h2 a h2 meupaa suatu -efimofisma Suatu baisa esa ai -epesetasi quive P P V h h2 2 iamaa suatu pesetasi ai suatu -epesetasi V jia P a P 2 euaya meupaa -epesetasi pojetif (Assem, 26 3 Buti Teoema Utama Sebelum ita membutia Teoema, telebih ahulu isajia bebeapa lema peahulua Dibeia bilaga asli, l, Misala, Cl( { Z M l( a( Z } Lema beiut cuup popule, amu ita sajia sebagai elegapa buti Lema Himpua C ( tutup i M ( l l

4 Damaji, Suatu Koisi Bua Paa Vaieti Repesetasi ai uive 59 Buti: Kita aa megostusi suatu olesi poliom atas X ij,( i ; j l alam peubah Utu =, ita memilih olesi [ X,, X ] l yag memuat semua poliom ega ostata ol Kaea { X,, X l ] meupaa aljaba yag ibagu secaa higga maa juga mempuyai behigga bayaya pembagu Pehatia bahwa matis ol i M l( meupaa satu-satuya pembuat ol paa olesi poliom ( Jai, l tutup i M l( Jia mi{, l} maa jelas bahwa l( Ml( yag beasaa efiisi topologi meupaa himpua tutup i M l( Selajutya, asumsia mi{, l} Aa itujua bahwa l( tutup i M l( Misala, X aalah matis beuua l ega X ij sebagai eti paa bais e-i olom e-j Kita ostusi submatis ai X beuua ( + ( + ega caa membuag masig-masig sebaya bais a l olom paa matis X l m Jelas bahwa teapat sebaya submatis yag tebetu Kita otasia matismatis tesebut ega Y u, u {,, m} Defiisia m buah poliom atas alam peubah X ij ega umus pu( X,, Xl et( Yu Ambil sebaag ( zij Z C l ( Kaea a(z maa meuut efiisi a paa matis jelas bahwa pu( z,, zl, u{,, m} Ii beati, ( z,, zl l ( meupaa pembuat ol ai olesi poliom {p,, p m Jai, tebuti bahwa l( tutup i M l( Selajutya, ita tetapa ua -uag veto V a W ega im ( V l a im ( V Utu suatu bilaga bulat {,,, mi{,l}} misala Hom ( V, W { f Hom ( V, W a( f } Lema 2 Himpua Hom ( V, W bua i Hom ( V, W Buti: Dega peetapa -basis bagi V a W, himpua Hom ( V, W a Hom ( V, W betuut-tuut beoespoesi ega himpua M ( a l Cl( { Z M jl( a( Z } Ii beati, cuup ibutia bahwa C l( bua i M l( Utu =, jelas bahwa C l( M l( yag beasaa efiisi topologi meupaa himpua bua i M l( Selajutya, asumsia bahwa mi{, l} Pehatia bahwa C C l( l( l ( l ( Beasaa Lema 3, C tutup i M l( utu mi{, l}, sehigga C l( bua i M ( l Dega megguaa Lema 2 a fata bahwa pemetaa pojesi meupaa pemetaa otiu, ita aa tujua bahwa olesi ai suatu baisa esa meupaa himpua bua paa olesi ai suatu baisa omples Utu tujua tesebut, ita tetapa -uag veto V, V2, V 3 imaa im ( Vi i,i 3 Kita efiisia omp sebagai suatu vaieti afi ai uag afi Hom( V, V2 Hom ( V2, V3 yag beaggotaa tupel -homomofisma (f, f 2 seemiia sehigga f f 2 = Jelas bahwa omp meupaa vaieti afi yag mempaameteisasi suatu olesi baisa omples atas uag veto ega imesi yag itetapa V V V f f2 2 3 Misala, esp sebagai suatu subvaieti ai omp yag beaggotaa tupel -homomofisma (f, f 2 seemiia sehigga im(f = e(f 2 Jelas bahwa esp meupaa vaieti afi yag mempaameteisasi suatu olesi baisa esa pee atas uag veto ega imesi yag itetapa V V V f f2 2 3 Lema 3 Himpua esp bua i omp Buti: Dega peetapa -basis bagi V, V 2, V 3, ita apat megietifiasi usu i Hom( V, V2 Hom ( V2, V3 ega usu i M ( M ( Betu pemetaa pojesi 2 32 : omp Hom ( V, V ( f, f f Koisi f2 f eivale ega megataa bahwa im( f e( f2, hususya a( f im(e( f2 Dega ata lai, aalah ilai masimal ai a(f Ii beati, 2 2

5 6 Jual Matematia & Sais, Agustus 24, Vol 9 Nomo 2 Ho { f Hom ( V, V2 a( f } { f Hom ( V, V2 a( f } Beasaa Lema 2, Ho meupaa himpua bua i Hom ( V, V2 Kaea meupaa pemetaa otiu, maa esp l ( Ho meupaa himpua bua i omp Lema 4 Misala P suatu epesetasi pojetif i ep Jia V W maa im ( Hom ( P, V im ( Hom ( P, W Buti: Misala f : V W suatu isomofisma Defiisia suatu pemetaa liie : Hom ( P, V Hom ( P, W, g f g Cuup ibutia bahwa bijetif Ambil sebaag g, g2 Hom ( P, V sehigga ( g ( g2 Kita mempeoleh, g f f g f ( g f ( g2 f f g2 g2 Jai, satu-satu Selajutya, ambil sembaag h Hom ( P, W Kaea P pojetif a f : V W juga meupaa suatu efimofisma maa teapat suatu g Hom ( P, V sehigga ii h f g ( g Beiut aalah buti Teoema paa maalah Buti Teoema Kostusi himpua Hom ( M, ep yag beaggotaa tupel (g,h ega sifat bahwa g suatu -homomofisma epesetasi yag ompatibel ega epesetasi H ep, yai belau H g g H s( e( utu setiap paah Misala Hom ( P, M Hom ( M, ep beaggotaa tupel (f,g,h yag memeuhi elasi gf = a g suatu -efimofisma epesetasi yag ompatibel ega epesetasi H ep Jelas bahwa meupaa suatu vaieti afi yag mempaameteisasi olesi yag beaggotaa baisa omples f g PM H Kostusi himpua beaggotaa tupel (f,g,h ega sifat im(f = e(g Ii beati, meupaa suatu vaieti afi yag mempaameteisasi olesi yag beaggotaa baisa esa f g PM H Beasaa Lema 3, himpua bua i Kaea Hom ( P, M a Hom ( P, euaya meupaa uag veto beimesi higga a aalah vaieti afi maa ita apat membetu ua veto buel tivial t : Hom ( P, M, : (, t 2 Hom P Misala suatu pemetaa ai veto buel petama e veto buel eua yag iefiisia ega megaita (f,g,h e (gf,g,h Pehatia bahwa meupaa eel ai aea (f,g,h jia a haya jia ( f, gh, ( gf, gh, (, gh, yag meupaa usu ol paa veto buel eua Lebih lajut, eel paa setiap fibe ai (g,h isomof ega Hom ( P,e( g Kaea P suatu epesetasi pojetif maa beasaa Lema 6, im(e( im( Hom ( P,e( g osta utu setiap usu i ( gh, Beasaa Poposisi 2, : meupaa subbuel ai veto buel petama Ii beati, meupaa pemetaa bua sehigga oisi bua i megaibata ( bua i Selajutya, aea Hom ( M, a Hom s ( e ( (, euaya meupaa uag veto beimesi higga a ep aalah vaieti afi maa ita apat membetu veto buel tivial etiga a eempat, yai : (, t3 Hom M ep ep, : ( s(, e( t4 Hom ep ep, Misala, suatu pemetaa ai veto buel etiga e veto buel eempat yag iefiisia ega megaita g,( H ( H g g H,( H s( e( Pehatia bahwa meupaa eel ai aea g,( H jia a haya jia a

6 Damaji, Suatu Koisi Bua Paa Vaieti Repesetasi ai uive 6 g,( H ( H g g H,( H s( e( (,( H yag meupaa usu ol paa veto buel eempat Lebih lajut, eel paa setiap fibe ai H ep isomof ega Hom ( M, H Kaea M suatu epesetasi pojetif, maa beasaa Lema 4, im(e( im( Hom ( M, H osta utu setiap usu i H ep Beasaa Poposisi, ep : 2 meupaa subbuel ai veto buel etiga Ii beati, 2 meupaa pemetaa bua sehigga oisi ( bua i megaibata 2 ( ( bua i ep Beasaa ostusi himpua, telihat bahwa pes ( P, M ( 2 Tebuti bahwa pes ( P, M bua i ep 4 Peutup Dai hasil pembahasa ipeoleh bahwa himpua pes ( P, M beaggotaa H ep yag memuat suatu pesetasi pojetif meupaa suatu himpua bua i ep Maalah ii haya membahas sebuah oisi bua paa suatu olesi epesetasi ai quive Paa peelitia selajutya aa iaji megeai sifat-sifat geometi laiya paa vaieti epesetasi ai quive Ucapa Teima Kasih Peulis megucapa teima asih epaa LPDP atas beasiswa batua isetasi beasaa Suat Pejajia No PRJ-544/LPDP/24 Dafta Pustaa Assem, I, D Simso, a A Sowosi, 26, Elemets of the Repesetatio Theoy of Associative Algebas, i: Techiques of Repesetatio Theoy,, New Yo, Cambige Uivesity Pess Bobisy, G, 2, Geometic Repesetatio of uive, Lectue otes o CIMPA 2 Gabiel, P, 975, Fiite epesetatio type is ope, Lectue Notes i Math: Repeesetatios of Algebas, 488, Hule, K, 23, Elemetay Algebaic Geomety, Ameica Mathematical Society, New Yo Mues, JR, 2, Topology, 2 E, Petice hall Ic, New Yo Potie, JL, 997, Lectues o Vecto Bules, Taslate by A Maciocia, Cambige Stuies i Avace Mathematics, 54, Cambige Uivesity Pess, Cambige Rietma, C, 986, Degeeatios fo Repesetatios of uives with Relatios, Aales Scietifiques e l Ecole Nomale Supeieue, 4, Schofiel, A, 985, Bouig the Global Dimesio i Tems of the Dimesio, Bull Loo Math Soc, 7,