BAB II LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 BAB II LANDASAN TEORI Bab bers defs-defs da sfat-sfat yag petg yag berhubuga dega modul. Hal-hal tersebut dperlua dalam pembahasa megea modul jetf pada Bab III Modul Mata ulah Aljabar Ler membahas ruag vetor atas lapaga, sedaga lapaga adalah gelaggag pembaga omutatf yag setap usur ta olya merupaa ut, yatu meml bala terhadap operas perala. Ruag vetor atas lapaga dperumum mejad modul atas gelaggag. Defs 2.1. Hmpua M dataa modul aa atas gelaggag R, ja dpeuh 1. ( M, +) adalah grup abel, 2. terdapat pemetaa M R M, ( mr, ) mr, utu setap m M, r R yag memeuh sfat-sfat berut ( x + y) a= xa+ ya, x( a + b) = xa + xb, da x( ab) ( ) = xa b, utu setap x, y M, ab, R. 4

2 Dema pula dega modul r, haya saja as pada modul M oleh gelaggag R yag berlau adalah M R M, dega ( mr, ) r R, sehgga sfat-sfat berut terpeuh a( x+ y) = ax+ ay, ( a+ b) x= ax+ bx, da ( ) ( ) ab x = a bx, utu setap x, y M, ab, R. rm, utu setap m M, Ja R adalah gelaggag omutatf, maa M adalah modul r sealgus modul aa atas R. Modul M yag sealgus modul aa da r atas gelaggag omutatf R dapat dsebut M modul atas R. Cotoh 2.2. Berut adalah cotoh-cotoh modul m 1. modul aa atas m 2. modul r atas 3. modul aa atas 4. modul r atas 5. modul atas., m m,,, da m Pada cotoh 2.2.1, haya dapat mejad modul aa atas da tda dapat mejad modul r atas. Hal tersebut dsebaba tda terdefsya perala matrs yag beruura dega matrs beruura m. Dema halya dega cotoh 2.2.2, tda terdefsya perala matrs m atara matrs beruura m da m m megabata tda dapat mejad modul aa atas m m. 5

3 Pada cotoh da 2.2.4, terlhat bahwa juga modul r atas. Namu, sebaga gelaggag, maa modul r da modul aa atas sehgga adalah modul aa atas tda omutatf, bualah modul yag sama, tda dapat dsebut sebaga modul atas. Dalam cotoh tersebut juga terlhat bahwa suatu gelaggag R secara otomats berpera sebaga modul r da aa atas drya sedr. Pada cotoh 2.2.5, jelas bahwa merupaa gelaggag omutatf, sehgga modul r atas sama dega modul aa atas. Salah satu modul atas adalah, dega fugs, ( ra, ) r( amo ) d, utu setap r da a. Selajutya, hal-hal yag berlau pada modul aa juga berlau pada modul r da sebalya, hal-hal yag berlau pada modul r juga berlau pada modul aa. Defs 2.3. Msala M modul aa atas gelaggag R. Sebarag subgrup adtf N M adalah submodul dar M ja N bersfat tertutup terhadap perala dega R, yatu r N, utu setap N da r R. Submodul dotasa N M. Sebaga cotoh, merupaa submodul dar atas Ahlator Pejelasa megea ahlator dbutuha pada bab selajutya, terutama subbab 3.2, yatu Dvsblty. Defs 2.4. Msala M modul aa atas R da Y M. Defsa { } hmpua Y = r R y Y, yr = 0 R. Hmpua Y dsebut ahlator dar Y. Proposs 2.5. Hmpua Y aa dar gelaggag R. yag merupaa ahlator dar Y adalah deal 6

4 But. Utu meujua bahwa Y deal aa dar R, pertama-tama harus ) Y + (, ) dtujua bahwa (, merupaa subgrup dar R +. Padag 0 R. Ambl sebarag y Y, maa y 0= 0. Maa 0 Y da Y. Kemuda, ambl sebarag ab, Y da y Y, maa ya = 0 da yb = 0, sehgga y( a b) ya y( b) ya yb = + = = =. Dega dema a b Y R, utu setap ab, Y ab, Y, maa (, subgrup dar. Karea Y da a b Y R, utu setap ) Y + (, ) R +. Selajutya, ambl embal sebarag a Y, r R, da y Y, maa ya = 0. Karea y( ar) ( ya) r 0r = = =0, maa ar Y, utu setap a Y da r R. Karea ( Y, +) subgrup dar ( R, + ) da ar Y, utu setap a Y da r R, maa Y deal aa dar R. Ja m M, maa m ddefsa sebaga a R, maa ddefsa sebaga m { r Rmr 0} a { } a r Rar 0 = =. Sela tu, ja = = Kal da Tambah Lagsug Subbab aa meeraga beberapa hal megea al lagsug da tambah lagsug. Defs 2.6. Msala I adalah hmpua des. Msala pula utu setap I, atau M M modul atas gelaggag R. Kal lagsug { M I} ddefsa sebaga hmpua dar semua fugs : I { M I} α () M. α dega 7

5 Defs 2.7. Tambah lagsug { M I} atau M ddefsa sebaga submodul dar al lagsug, dotasa M M, yag beraggotaa setap x = ( x ) M yag meml sebaya hgga ompoe ta ol. Pemetaa : j M M dmaa j ( m) ( 0,...,0, m,0,...0) = dega ompoe e- adalah m M, dsebut pemetaa lus. Sela pemetaa lus, terdapat pemetaa π : M M, yatu π ( x) = x I, dsebut pemetaa proyes. Kedua pemetaa tersebut memeuh j π = 1 = π j Perluasa Fugs Dalam subbab aa ddefsa perluasa fugs yag aa dpaa dalam defs modul jetf. Selajutya, gelaggag yag aa dbahas adalah gelaggag omutatf. Defs 2.8. Msala A B da f : A C pemetaa. Pemetaa g : B C merupaa perluasa dar f d B ja f ( a) = g( a), utu setap a A Lemma Zor Subbab tda aa bers pembuta dar Lemma Zor, tetap haya s dar Lemma Zor tersebut. Lemma 2.9. Msala X adalah hmpua terurut parsal yag memeuh 1. X, 2. setap subhmpua terurut total dar X meml batas atas, da 3. batas atas tersebut adalah aggota dar X, maa X meml eleme masmal. 8

6 2.6. Gelaggag da Ideal Dalam subbab haya aa dbahas defs dar beberapa macam gelaggag da deal yag aa dguaa pada Bab III. Defs Gelaggag R dataa daerah tegral ja tda memuat pembag ol, yatu ja 0 a,0 b R, maa ab 0. Defs Msala deal I R. Ideal I dsebut deal utama ja dbagu oleh satu eleme R, yatu I = ar, utu suatu a R. Defs Msala R gelaggag. Gelaggag R dsebut gelaggag deal utama ja semua dealya adalah deal utama. Defs Gelaggag R dsebut daerah deal utama, ja R gelaggag deal utama da R daerah tegral Grup Dvsble da Grup Ijetf. Subbab bers defs da dar grup dvsble da grup jetf da ata atara eduaya. Defs Dalam teor grup, suatu grup abel G dataa grup dvsble ja utu sebarag blaga bulat postf da sebarag g G, terdapat y G, sehgga y = g. Cotoh dar grup dvsble adalah grup adtf blaga rasoal area utu setap g da +, terdapat g y =, sedema sehgga g y = = g. 9

7 Defs Suatu grup Q dataa jetf ja utu sebarag grup X da Y, juga sebarag moomorfsma f : X Y da homomorfsma g: X Q, terdapat homomorfsma h: Y Q, sedema sehgga hf = g. X f Y g h Q Proposs Dalam teor grup, utu setap grup abel G berlau G dvsble G jetf Oleh area tu, grup dvsble dsebut juga sebaga grup jetf. 10