Keterbatasan Operator Integral Fraksional Di Ruang Lebesgue Tak Homogen

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Keterbatasan Operator Integral Fraksional Di Ruang Lebesgue Tak Homogen"

Yohanes Halim
6 tahun lalu
Tontonan:

1 Ketebatasa Oeato Itegal Faksioal Di uag Lebesgue Tak Homoge Hey Pibawato Suyawa Juusa Matematika Fakultas Sais a Tekologi Uivesitas Saata Dhama Yogyakata heyibs@staff.us.ac.i Abstak Dalam makalah ii aka ibuktika ketebatasa oeato itegal faksioal I i uag Lebesgue tak homoge ega megguaka ketebatasa oeato maksimal aial Hay-Littlewoo a ketaksamaa Hebeg. Selautya, ketebatasa I tesebut iteaka aa embuktia ketaksamaa Olse i uag Lebesgue tak homoge. Kata kuci: Oeato itegal faksioal, oeato maksimal aial Hay- Littlewoo, uag Lebesgue tak homoge, ketaksamaa Olse. Peahulua Misalka Qx (, meyataka kubus yag beusat i x a memuyai ai-ai (yaitu setegah aag sisi > 0; a Qxk (,, ega k > 0, meyataka kubus kosetis ega ai-ai k. Misalka uga C aalah kostata ositif, yag alam makalah ii tiak elu sama ai bais ke bais. uag metik isii haya ibicaaka yag ilegkai ega ukua Boel μ isebut uag homoge aabila μ memeuhi koisi oublig: μ( Qx (,2 Cμ( Qx (,. Semetaa itu, (, μ ega μ yag tiak memeuhi koisi oublig tetai memeuhi koisi gowth μ( Qx (, C, utuk 0 <, isebut sebagai uag tak homoge. Bebeaa hasil yag bekeaa ega uag tak homoge aat ilihat misalya aa [2, 9, 2]. Di uag tak homoge, oeato itegal faksioal I iefiisika ega f( y I f( x: = ( y. x μ Semas Matematika a Peiika Matematika

2 Ketebatasa Oeato Itegal Faksioal Di uag Lebesgue Tak Homoge Pehatika bahwa i uag homoge, agkat ai x y aalah. Oeato, yag ikeal ula sebagai otesial iesz, etama kali ielaai oleh Hay a Littlewoo [6, 7] seta Sobolev [3], seagka hasil selautya i uag homoge aat ilihat aa [, 4, 5, 8, 0]. Dalam [3], oeato I telah ibuktika tebatas ai uag Lebesgue tak homoge L ( μ ke L ( μ. Dalam makalah ii, ketebatasa tesebut aka ibuktika ulag a kemuia iguaka utuk membuktika ketaksamaa Olse i uag Lebesgue tak homoge. I Ketebatasa Oeato I Dibeika f aalah sebaag fugsi teuku- μ aa Boel yag memeuhi koisi gowth. Diefiisika a ( μ f : L ( μ = f( y ( y, < { } f : L ( μ = esssu f( x : x, ega μ aalah ukua ega ess su { f ( x : x } meyataka batas atas tekecil esesial ai f. uag Lebesgue tak homoge L ( μ = L (, μ,, aalah uag kelas-kelas ekuivale f seemikia sehigga f : L ( μ <. Di uag Lebesgue tak homoge, iketahui I besifat tebatas. Teoema 2. [2, 3] Dibeika 0 < <. Jika < < a =, maka I tebatas ai L ( μ ke L ( μ. Bukti ketebatasa I i uag Lebesgue tesebut aat ieoleh megguaka ketaksamaa Hebeg yag melibatka oeato maksimal aial Hay-Littlewoo M ega Mf( x : = su f( y ( y. 0 μ > Q( x, Oeato M ii betie lemah-(, a betie kuat- (,. - 20

3 Teoema 2.2 [3] Oeato maksimal M memeuhi C μ { x : Mf( x > } ( μ( f x x a Mf : L ( μ C f : L ( μ. Bukti: Ambil f L ( μ a efiisika { : ( } E = x Mf x >. Jika x, maka teaat > 0 sehigga E x Q( x, x x f( y μ( y >. Selautya, Lema Cove Vitali membeika koleksi kubus { Qx (, } (ega x a = yag seasag-seasag salig leas seemikia sehigga E Akibatya, x E Q( x, Q( x,3. U U x E x μ( E μ( Q( x,3 C (3 C ( μ( f y y Q( x, C f( y μ( y. Hal ii membuktika bahwa C μ{ x : Mf( x > } ( ( f x μ x. Utuk membuktika bagia selautya, ambil sebaag x a kubus Qx (,. Dega emikia, Semas Matematika a Peiika Matematika

4 Ketebatasa Oeato Itegal Faksioal Di uag Lebesgue Tak Homoge f ( y ( y esssu f( y ( y (, μ Q x μ Q( x, f : L ( ( y μ μ Q( x, = f : L ( μ ( μ y Q( x, = f : L ( μ μ( Q( x, C f : L ( μ. Akibatya, su f( y ( y C f : L (, 0 μ μ > Q( x, yag membeika ketaksamaa yag iigika. Catat bahwa oeato yag betie kuat- (, beimlikasi bahwa oeato tesebut betie lemah- (,. Jai M meuaka oeato subliie yag betie lemah-(, a (., Selautya, ega megguaka Teoema Iteolasi Macikiewicz ieoleh hasil beikut. Akibat 2.3 [3] Oeato maksimal M tebatas i L ( μ utuk < <. Dega megguaka ketebatasa M i L ( μ aka ibuktika ketaksamaa Hebeg yag atiya ieluka utuk membuktika ketebatasa oeato I i uag Lebesgue tak homoge. Teoema 2.4 (Ketaksamaa Hebeg. Dibeika 0 < < a f fugsi tebatas ega tumua komak. Maka utuk < belaku I f( x C f : L ( μ Mf( x. Bukti: Ambil sebaag t > 0. Dega meuliska f( y f( y I f( x μ( y + (, < t μ y x y t x y x y aka icai batas utuk I a II. Utuk suku etama, I, belaku I II - 22

5 f( y I = μ( y < t = k = 0 k k 2 t < 2 t 2 2 t k+ k+ (,2 0 (2 Q x t k = t 2 k 2 2 ( t k = 0 = Ct Mf ( x. f( y Mf x μ( y f( y μ( y Selautya utuk suku keua, yaitu II, telebih ahulu iehatika kasus = sebagai beikut. II = f( y μ( y f ( y μ( y t ( t f : L( μ. Kemuia utuk kasus < <, ilih β = (. Dalam hal ii, aalah agkat sekawa ai, yaitu memeuhi + =. Oleh kaea β > 0, maka ega megguaka ketaksamaa Höle ieoleh f( y II = μ( y ( f( y μ( y μ( y ( μ( y = f : L ( μ ( μ( y = f : L ( μ k k+ 2 t < 2 t + β k = 0 f : L ( μ k = 0 μ k (2 t k + ( Qx (,2 t + β Semas Matematika a Peiika Matematika

6 Ketebatasa Oeato Itegal Faksioal Di uag Lebesgue Tak Homoge β kβ C f : L ( μ 2 t 2 k = 0 β = C f : L ( μ t ( = Ct f : L ( μ. Catat bahwa aabila iilih = a C =, maka ieoleh ketaksamaa yag sama ega kasus = i atas. Dega emikia, utuk < belaku I f( x I + II ( C t Mf( x + t f : L ( μ utuk setia t > 0. Selautya, ega memilih Mf ( x t = f : L ( μ a mesubstitusikaya ke alam ketaksamaa teakhi, ieoleh ( Mf ( x Mf ( x I f( x C Mf( x C f : L ( μ + f : L ( μ f : L ( μ + Mf ( x Mf ( x Mf ( x = C + f : L ( μ + f : L ( μ f : L ( μ Mf ( x = C f : L ( μ = C f : L ( μ Mf( x. Dega megguaka fakta bahwa fugsi maksimal Mf tebatas i L ( μ, maka bukti selesai. Sekaag aka ibuktika bahwa oeato itegal faksioal I besifat tebatas i uag Lebesgue tak homoge. Bukti Teoema 2.. Dai Ketaksamaa Hebeg ieoleh I f( x C f : L ( μ Mf( x. - 24

7 Hal ii beakibat Jai belaku ( ( μ μ I f( x ( x C f : L ( ( ( Mf x μ x yaitu I tebatas ai L ( μ ke L ( μ. ( μ = C f : L ( μ Mf( x ( x = C f : L ( μ Mf : L ( μ C f : L ( μ f : L ( μ = C f : L ( μ. : I f L ( μ C f : L ( μ, Ketaksamaa Olse Seeti halya ega hasil i uag homoge (lihat [0], isii aka ibuktika ketaksamaa Olse i uag Lebesgue tak homoge. Ketaksamaa Olse ii meuukka ketebatasa oeato WI utuk otesial yag ietubasi W aa esamaa Schöige. Teoema 3.. Utuk < a = belaku WI f : L ( μ C W : L ( μ f : L ( μ, yaitu WI tebatas i L ( μ, aabila W L ( μ. Bukti: Dega megguaka ketaksamaa Höle ieoleh ( μ ( μ WI f ( y μ( y W ( y ( y I f ( y ( y. Aabila iambil aka agkat- ai keua uas ketaksamaa, maka ( WI f y μ y ( W y μ y ( I f y μ y ( ( ( ( ( (. Selautya ega megguaka ketebatasa I ai L ( μ ke L ( μ, ieoleh WI f : L ( μ C W : L ( μ f : L ( μ. Peutu Semas Matematika a Peiika Matematika

8 Ketebatasa Oeato Itegal Faksioal Di uag Lebesgue Tak Homoge Dega megguaka ketebatasa oeato maksimal Hay-Littlewoo a Ketaksamaa Hebeg aat ibuktika ketebatasa oeato itegal faksioal i uag Lebesgue tak homoge. Selautya ketebatasa oeato itegal faksioal ii iteaka aa embuktia ketaksamaa Olse i uag Lebesgue tak homoge. Hasilhasil ii sekaligus meukug fakta aa eelitia i aea aalisis Fouie yaki bayak teoi i alam aalisis Fouie yag teta belaku aabila koisi oublig igatika oleh koisi gowth. Dafta Pustaka [] Aams, D.., A ote o iesz otetials, Duke Math. J. 42 (975, [2] Cueva, J. G., a Gatto, A. E., Boueess oeties of factioal itegal oeatos associate to o-oublig measues, Stuia Math 62 (2004, o. 3, [3] Cueva, J. Gacia, a Matell, J. M., Two weight om ieualities fo maximal oeato a factioal itegals o o-homogeeous saces, Iiaa Uivesity Mathematics Joual 50 (200, o. 3, [4] Guawa, H., A ote o the geealize factioal iegal oeatos, J. Ioes. Math. Soc. (MIHMI 9 (2003, [5] Guawa, H. a Eiai, Factioal itegals a geealize Olse ieualities, to aea i Kyugook Math. J. [6] Hay, G. H., a Littlewoo, J. E., Some oeties of factioal itegals. I, Math. Zeit. 27 (927, [7] Hay, G. H., a Littlewoo, J. E., Some oeties of factioal itegals. II, Math. Zeit. 34 (932, [8] Nakai, E., ecet toics o factioal itegal oeatos (Jaaese, Sūgaku 56 (2004, [9] Nazaov, F., Teil, S., a Volbeg, A., Weak tye estimates a Cotla ieualities fo Caleo-Zygmu oeatos o o-homogeeous saces, Iteat. Math. es. Notices 9 (998, [0] Olse, P. A., Factioal itegatio, Moey saces a a Schöige euatio, Comm. Patial Diffeetial Euatios 20 (995,

9 [] Sawao, Y., Sobukawa, T., a Taaka, H., Limitig case of the boueess of factioal itegal oeatos o o-homogeeous sace, J. Ieual. Al. At. ID (2006, 6. [2] Sihwaigum, I., Suyawa, H. P., a Guawa, H. Factioal itegal oeatos a Olse ieualities o o-homogeeous saces, to aea i Aust. J. of Math. Aal. a Al. [3] Sobolev, S., O a theoem i fuctioal aalysis (ussia, Mat. Sob. 46 (983, [Eglish taslatio i Ame. Math. Soc. Tasl. Se (963, 39-68]. Semas Matematika a Peiika Matematika

dokumen-dokumen yang mirip

0 < α < n d ), we define here the

0 < α < n d ), we define here the OPERATOR INTEGRA FRAKSIONA DAN KETAKSAAAN OSEN DI RUANG ORREY TAK HOOGEN YANG DIPERUU Iha Sihwaigum Hea Guawa a Woo Seta uhi KK Aalisis a Geometi Fakultas atematika a Ilmu Pegetahua Alam Istitut Tekologi