Semigrup Matriks Admitting Struktur Ring

Transkripsi

1 Semigrup Matriks dmittig Struktur ig K a r y a t i Jurusa Pedidika Matematika FMIP, Uiversitas Negeri Yogyakarta yatiuy@yahoo.com bstrak Diberika adalah rig komutatif dega eleme satua da adalah bilaga iteger positif dega 2, serta M adalah himpua semua matriks bujur sagkar dega orde atas. Dibetuk suatu himpua bagia dari M yaitu himpua matriks di M yag ivertibel yag selajutya diotasika dega G. Himpua M ii membetuk semigrup terhadap operasi perkalia matriks biasa. Utuk suatu semigrup S, S jika semigrup S memuat eleme ol da S S jika semigrup S tidak memuat eleme ol. Suatu semigrup S dikataka admit struktur rig jika terdapat suatu operasi + pada S sedemikia sehigga S,,. membetuk struktur rig. Dalam tulisa ii diselidiki sifat subsemigrup M dega determiaya ol maupu suatu ideal dalam M. Diperoleh hasil bahwa: Misalka S subsemigrup M yag setiap elemeya mempuyai determia ol, jika S adalah admit struktur rig maka S = M. Sebagai akibatya, dapat dibuktika bahwa ideal M det dari M buka merupaka admit struktur rig. Kata Kuci: Semigrup,ig, ideal, admit struktur rig S. Pedahulua Diberika adalah rig komutatif dega eleme satua da adalah bilaga iteger positif dega 2. Selajutya M meotasika himpua semua matriks bujur sagkar dega orde suatu himpua bagia dari atas. Dibetuk M yaitu himpua matriks di M yag ivertibel. Selajutya himpua tersebut diotasika dega G, yaitu:

2 G M ivertibel Dalam tulisa ii diselidiki sifat subsemigrup M dega determiaya ol maupu suatu ideal dalam M.. Matriks tas ig Matriks atas rig adalah matriks yag eleme-elemeya eleme suatu rig. Dari sifat matriks M diperoleh bahwa matriks M ivertibel jika da haya jika det U( ), dega U () adalah himpua semua uit di. Dega kata lai M ivertibel jika da haya jika det ivertible di (row : 6 ). Dega demikia, himpua G dapat diyataka sebagai : G M det ivertibel di. Selajutya himpua M det G, da jika merupaka lapaga, maka himpua G M det. Sifat determia yag lai, atara lai: det( ) det. det utuk setiap, M da det (det ) utuk setiap M ( row :6 ).. Semigrup Himpua S disebut semigrup terhadap operasi bier, apabila operasi tersebut bersifat asosiatif. Semigrup S disebut mempuyai eleme ol apabila terdapat a S. S sedemikia sehigga a da a utuk setiap Utuk suatu semigrup S, S S jika semigrup S memuat eleme ol da S S jika semigrup S tidak memuat eleme ol. Suatu semigrup S dikataka admit struktur rig jika terdapat suatu operasi + pada S sedemikia sehigga S,,. membetuk struktur rig ( Kemprasit, Y & 2

3 Siripitukdet, M: 49). Dari defiisi tersebut, maka semigrup M merupaka admit struktur rig terhadap operasi stadar pejumlaha matriks. D. Pembahasa Utuk suatu matriks M da i, j :,,, misalka ij meotasika eleme dari matriks pada baris ke- i da kolom ke j. Utuk k, l :,,, didefiisika suatu matriks didefiisika sebagai berikut: E, dega etri-etriya E ij jika utuk k i, yag j lai l Dapat diberika beberapa cotoh webagai berikut: E E 2 Sehigga matriks E selalu memuat kolom maupu baris ol. Dega demikia matriks ii memeuhi det E utuk semua k, l :,, ( Kemprasit, Y & Siripitukdet, M: 49 ). Pada walya, aka diberika teorema utuk meujukka bahwa tidak ada semigrup S dimaa M det S M da admit struktur rig. Teorema. Misalka S adalah sub semigrup dari M yag memuat setiap matriks M dega det. Jika S admit struktur rig, maka S = M. ukti: Dari defiisi matriks E di atas, diperoleh bahwa det utuk setiap E k, l :, 3,,, sehigga E S. Diketahui S admit struktur rig, sehigga 3

4 dapat diasumsika terdapat suatu operasi pada S sedemikia sehigga S,,. membetuk struktur rig dimaa '.' adalah operasi perkalia pada S. Selajutya ditujukka bahwa S = M. Misalka matriks, M yag didefiisika sebagai berikut: 2,, da 2 Diperoleh bahwa det da det. Dega demikia, S. Diketahui S admit struktur rig, maka S. Selajutya, diperoleh juga bahwa: E Sehigga dipeuhi: E 2 2 da E 2,, Serta E, k :, 3,, Sehigga berlaku: E E E, da 4

5 E E E E E utuk setiap k :, 3,, Sehigga utuk i :, 3,,, berlaku: i ik Ek E i i k Utuk i :, 3,, da j :, 3,,, berlaku: i ij k j ik Ek j E i j E i j ikek k ij ij Kosekuesimya, M Sebagai akibatya, subsemigrup M det dari semigrup buka merupaka admit struktur rig atau dega kata lai, tidak ada operasi pejumalaha yag didefiisika pada M det sedemikia sehigga M det membetuk struktur rig. Sifat tersebut selegkapya diberika pada akibat sebagai berikut: M kibat 2. Subsemigrup M det dari semigrup M buka merupaka admit struktur rig. ukti: ka dibuktika dega kotraposisiya: Misalka himpua T M det merupaka admit struktur rig, jelas bahwa T memuat semua matriks di M yag determiaya ol. Meurut Teorema, maka berakibat T M. Hal ii kotradiksi dega 5

6 yag diketahui bahwa T M det M, karea tidak semua matriks di M determiaya ol. E. Kesimpula Dari pembahasa di atas disimpulka bahwa:. Misalka S adalah sub semigrup dari M yag memuat setiap matriks M dega det. Jika S admit struktur rig, maka S = M. 2. Subsemigrup M det dari semigrup M buka merupaka admit struktur rig DFT PUSTK [] row, W Matrices Over ommutative igs. Marcel Dekker, Ic, New York. [2] Kemprasit, Y ad Siripitukdet, M. 22. Matrix Semigroup dmittig ig Structure. ulleti alcutta Mathematics Soc. Volume 5 (22)