Pengantar Analisis Real

Transkripsi

1 Bacaa Waga KSA Pegata Aalisis Real Itoductio to eal aalysis Diumpula dai bebagai sumbe oleh: Abu Abdillah KOMUNITAS STUDI ALKWARIZMI UNAAHA 03

2 PERSEMBAHAN Utu baha bacaa waga KSA (Komuitas Studi Al Khwaizmi). Pesa Jagalah esibua duiamu melalaia utu meutut ilmu Agama, igatlah bahwa yag wajib ai bagi alia adalah meutut ilmu Agama. ii Komuitas Studi Al Khwaizmi Abu Abdillah

3 KATA PENGANTAR B uu ii ditulis dalam aga pegadaa buu aja mata uliah Aalisis Real I da II, yag meupaa mata uliah wajib. Buu ii beisi matei yag dipeutua bagi mahasiswa yag telah megambil mata Kalulus I da Kalulus II. Topi-topi dalam buu ii sebeaya sudah dieal oleh mahasiswa yag telah megambil edua mata uliah tesebut. Haya saja, matei pada buu ii lebih absta, teoitis, da medalam. Matei pada buu ii meupaa matei dasa aalisis eal. Aalisis eal meupaa alat yag esesial, bai di dalam bebagai cabag dai matematia maupu bidag ilmu-ilmu lai, sepeti isia, imia, da eoomi. Mata uliah Aalisis I adalah gebag meuju mata uliah yag lebih lajut, bai di dalam maupu di lua juusa Matematia. Jia mata uliah ii dapat dipahami dega bai maa mahasiswa mempuyai modal yag sagat behaga utu memahami mata uliah lai. Dihaapa, setelah mempelajai matei pada buu ii, mahasiswa mempuyai edewasaa dalam bematematia, yag meliputi ataa lai emampua bepii secaa deduti, logis, da utut, seta memilii emampua megaalisis masalah da megomuiasia peyelesaiaya secaa auat da igoous. Buu ii tedii dai lima bab. Bab I membahas tetag aljaba himpua, ugsi, da idusi matematia. Sebagaimaa ita etahui bahwa matei pada bab ii adalah matei peujag pemahama pada bab-bab selajutya, maa dihaapa paa pembaca da pegaja tida megabaia peyampaia bab I ii. Bab II membahas tetag himpua bilaga eal. Di dalamya, dibicaaa tetag siat aljaba (lapaga), siat teuut, da siat elegapa dai himpua bilaga eal. Kemudia, dibahas tetag himpua bagia dai himpua bilaga eal yag iii Komuitas Studi Al Khwaizmi Abu Abdillah

4 diostusi bedasaa siat teuutya, yag disebut sebagai iteval. Dijelasa pula tetag epesetasi desimal dai bilaga eal da megguaaya utu membutia Teoema Cato. Selajutya, bab III beisi tetag baisa bilaga eal, yag meliputi deiisi da siat-siat baisa, Teoema Bolzao-Weiestass, iteia Cauchy, baisa divege, da seilas tetag deet ta higga. Kemudia, bab IV medisusia tetag deiisi limit ugsi (temasu limit sepiha, limit di ta higga, da limit ta higga) da siat-siatya. Lalu, bab V membahas eotiua ugsi, yag meliputi deiisi ugsi otiu da siat-siatya, ugsi otiu pada iteval, eotiua seagam, seta ugsi mooto da ugsi ives. Buu ii masih dalam poses pegembaga da tetuya masih jauh dai sempua. Utu itu, peulis membua dii tehadap saa da iti dai pembaca, demi semai baiya buu ii sebagai buu aja mata uliah wajib Aalisis I. Uaaha, Apil 03 Peulis, Abu Abdillah iv Komuitas Studi Al Khwaizmi Abu Abdillah

5 DAFTAR ISI PERSEMBAHAN... ii KATA PENGANTAR... iii DAFTAR ISI... v BAB I PENDAHULUAN. Aljaba Himpua.... Fugsi Idusi Matematia... 7 BAB II HIMPUNAN BILANGAN REAL. Siat Aljaba dai R Siat Teuut dai R Siat Kelegapa dai R Iteval Repesetasi Desimal dai Bilaga Real... 5 BAB III BARISAN BILANGAN REAL 3. Deiisi Baisa Bilaga eal Siat-Siat Baisa Bilaga Real Teoema Bolzao-Weiestass Kiteia Cauchy Baisa Divege Deet Ta Higga... 7 BAB IV LIMIT FUNGSI 4. Titi Timbu Deiisi Limit Fugsi Teoema Limit Fugsi v Komuitas Studi Al Khwaizmi Abu Abdillah

6 BAB V KEKONTINUAN FUNGSI 5. Deiisi Fugsi Kotiu Siat-Siat Fugsi Kotiu Fugsi Kotiu pada Iteval Keotiua Seagam Fugsi Mooto da Fugsi Ives DAFTAR PUSTAKA vi Komuitas Studi Al Khwaizmi Abu Abdillah

7 BAB I HIMPUNAN BILANGAN REAL P ada bab ii, ita aa membahas bebeapa pasyaat yag dipelua utu mempelajai aalisis eal. Bagia. da. ita aa megulag seilas tetag aljaba himpua da ugsi, yag eduaya meupaa peaas petig utu semua cabag matematia. Pada bagia selajutya yai bagia.3 ita aa megulas megeai idusi matematia. Sebagaimaa ita etahui bahwa idusi matematia behubuga dega siat dasa sistem bilaga asli yag aa seig ita guaa pada pembutia bebeapa masalah husus dalam bab selajutya.. ALJABAR HIMPUNAN Bila A meyataa suatu himpua, maa utu suatu usu ita aa meulisaya mejadi A, utu meyataa suatu usu di A, aggota A, atau temuat di A, atau A memuat. Selajutya bila ita igi meyataa bahwa suatu usu yag bua di A maa dapat ita tulisa mejadi: A, Selajutya bila A da B eduaya adalah himpua sehigga utu setiap usu A megaibata B ( setiap usu di A juga usu di B ), maa ita ataa A temuat di B, atau B memuat A, atau A suatu subhimpua dai B, da ita meulisaya dega: Bila A B atau B A, A B da tedapat usu di B yag bua aggota A maa ita ataa A subhimpua sejati dai B. Mecitai ilmu adalah caa temudah utu mempelajaiya

8 ... Deiisi Kesamaa Dua Himpua Dua buah himpua A da B diataa sama bila eduaya memuat usu yag sama. Dega ata lai utu setiap usu aggota himpua A maa juga meupaa aggota himpua B, da juga sebaliya utu setiap usu y aggota himpua B maa y juga meupaa aggota himpua A. Selajutya edua buah himpua A da B diataa sama maa ita meulisaya dega: A B Utu meujua bahwa A B da B A. A B, ita haus meujua bahwa Suatu himpua dapat ditulis dega medata aggota-aggotaya, atau dega meyataa siat eaggotaaya. Kata siat eaggotaa memag meimbula eagu-agua, aa tetapi bila P meyataa siat eaggotaa (yag ta bias maaya) maa suatu himpua yag memeuhi P aa ita tulisa dega caa: P() Notasi diatas ita baca: himpua semua yag memeuhi (sedemiia sehigga) P. Bila pelu utu meyataa subhimpua S yag memeuhi P, maa ita dapat meulisaya dalam betu: S P() Bebeapa himpua tetetu aa baya diguaa dalam buu ii, da aa ita tulisa dega peulisa stada yai sebagai beiut: Himpua bilaga asli, N,,3,... Himpua bilaga bulat Ζ 0,,,,,... Himpua bilaga asioal m Q m,, 0 Himpua bilaga eal, R Mecitai ilmu adalah caa temudah utu mempelajaiya

9 Cotoh-cotoh:. Himpua 3 0 N, meyataa himpua bilaga asli yag memeuhi pesamaa uadat 3 0. Kaea yag memeuhi haya da mejadi,., maa himpua tesebut dapat juga ditulisa. Teadag omula dapat pula diguaa utu meyigat peulisa himpua. Sebagai cotoh himpua bilaga geap positi seig ditulisa dega caa N, dai pada ita meulisaya y N y, N. Opeasi Himpua Pada bagia ii ita aa medeiisia atua utu membagu (megostusi) himpua bau dai himpua yag sudah ada.... Deiisi a. Bila A da B eduaya adalah himpua, maa iisa (itesesi) dai A da B ditulisa dega A B, meupaa himpua yag usu-usuya adalah aggota himpua A da juga meupaa aggota himpua B. A B A da B b. Gabuga dai himpua A da B adalah himpua yag usuya palig tida temuat di salah satu dai himpua A atau B. Gabuga dai himpua A da B ditulisa dega..3. Deiisi A B A atau B A B. Himpua yag tida mempuyai aggota disebut dega himpua osog, ditulisa dega atau. Bila himpua A da B dua himpua yag tida mempuyai usu besama (yaitu, salig asig atau disjoi. A B ), maa A da B diataa 3 Mecitai ilmu adalah caa temudah utu mempelajaiya

10 ..4. Teoema Misala A, B da C sebaag himpua, maa: a) A A A, A A A Idempote b) A B B A, A B B A Komutati c) A B C A B C A B C A B C, Asosiati d) A B C A B A C, A B C A B A C Distibuti. Buti teoema diatas diseaha epada pembaca! Dimugia juga utu meujua bahwa bila A A,...,, meupaa olesi himpua, maa tedapat sebuah himpua, maa tedapat sebuah himpua A yag memuat usu yag meupaa usu semua himpua A j, j,,..., ; da tedapat sebuah himpua B yag usuya A palig tida usu dai suatu A j, j,,...,. Dega meaggala uug, ita tulisa dega A A A... B B B... A B Utu mempesigat peulisa, A da B di atas seig ditulisa dega A A j j B A j j 4 Mecitai ilmu adalah caa temudah utu mempelajaiya

11 ..5. Deiisi Misala A da B suatu himpua, maa ompleme dai B elati tehadap A, ditulisa dega A \ B (baca A mius B ) adalah himpua yag usuusuya adalah semua usu di A tetapi bua aggota B. Dibebeapa buu ditulis megguaa otasi A B atau A B. A \ B A d a B Seigali A tida diyataa secaa esplisit, aea sudah dimegeti/disepaati. Dalam situasi begii A \ B seig ditulisa dega C A...6. Teoema Misala A, B, C sebaag himpua, maa A \ ( B C) ( A \ B) ( A \ C), A \ ( B C) ( A \ B) ( A \ C). Buti: Kita aa membutia esamaa petama da meiggala bagia edua pada pembaca sebagai baha latiha. Utu meujua A \ ( B C) ( A \ B) ( A \ C), beati yag haus ditujua adalah: A \ ( B C) ( A \ B) ( A \ C) da A \ ( B C) ( A \ B) ( A \ C) Aa ditujua A \ ( B C) ( A \ B) ( A \ C) Ambil sebaag A \ ( B C), maa A da B C, ii beati bahwa di A tetapi bua usu B atau C, aeaya di A tetapi tida di B da di A tetapi tida di C, sehigga dapat ditulisa A B da A \ C, hal ii beati bahwa A \ B A \ C \ sehigga tebutilah bahwa A \ ( B C) ( A \ B) ( A \ C) Aa ditujua A \ ( B C) ( A \ B) ( A \ C), 5 Mecitai ilmu adalah caa temudah utu mempelajaiya

12 Ambil sebaag y ( A \ B) ( A \ C) maa, maa y A \ B da y A \ C, y A tetapi y B da y A tetapi y C. Jadi y A tetapi bua aggota dai B atau C. Aibatya y A da y B C, ii beati y A \ ( B C), sehigga tebuti bahwa A \ ( B C) ( A \ B) ( A \ C). Dai dua buti diatas dapat disimpula bahwa A \ ( B C) ( A \ B) ( A \ C). Podu (hasil ali) atesius Beiut ii ita deiisia podu atesius yag aa ita guaa pada pembahasa tetag ugsi pada bagia selajutya...7. Deiisi Bila A da B eduaya adalah himpua-himpua ta osog, maa podu atesius dai A da B yag selajutya aa ita tulisa megguaa otasi A B adalah himpua pasaga beuut a, b dega a A da b B A B Sehigga bila A,,3 da B 4,5 a, b a A d a b B A B, maa,4,,5,,4,,5, 3,4, 3,5 Latiha... Gambaa diagam yag meyataa masig-masig himpua pada Teoema..4. Butia teoema Butia bahwa A B jia da haya jia A B A. 4. Tujua bahwa himpua D yag usu-usuya meupaa usu dai tepat satu himpua A atau B dibeia oleh D A \ B B \ A. 6 Mecitai ilmu adalah caa temudah utu mempelajaiya

13 Himpua D ii seig disebut selisih simetis dai A da B. Nyataa dalam diagam. 5. Tujua bahwa selisih simetis D pada soal omo 4, juga dibeia oleh: A B A B D \ 6. Jia B A tujua B A \ A \ B 7. Dibeia himpua A da B, tujua bahwa A B da A \ B salig asig da bahwa A A B A \ B. 8. Dibeia sebaag himpua A da B, tujua A B A \ A \ B 9. Bila A A,...,, A. suatu olesi himpua, da E sebaag himpua, tujua bahwa E Aj E Aj, da E Aj E Aj j j. j j 0. Megacu pada soal omo 9 tujua bahwa E Aj E Aj j j j E Aj E A.. Megacu pada soal omo 9 butia huum de moga j j, da E \ Aj E \ A j, E \ Aj E \ Aj j j Catata bila Aj j j E \ ditulisa dega C A j, maa esamaa diatas mempuyai betu C A j CAj, C A j CAj j j j j. Misala J suatu himpua da utu setiap j J, A j temuat di E. Tujua bahwa C A j CAj, C A j CAj jj jj jj jj 7 Mecitai ilmu adalah caa temudah utu mempelajaiya

14 3. Bila B da B subhimpua dai B da B B B A B A B A B tujua bahwa. FUNGSI Pada bagia ii ita aa membahas gagasa udametal suatu ugsi atau pemetaa. Selajutya aa ita etahui bahwa ugsi meupaa suatu jeis husus dai himpua, walaupu tedapat visualisasi lai yag seig lebih besiat sugesti. Pada bagia teahi ii ita aa baya membahas megeai jeis-jeis ugsi, tetapi sediit lebih absta dibadiga bagia ii. Bagi matematiawa abad tedahulu ata ugsi biasaya beati omula tetetu, sepeti 3 5 yag besesuaia dega masig-masig bilaga eal da bilaga lai. Mugi juga seseoag memucula otovesi, apaah ilai mutla h dai suatu bilaga eal meupaa ugsi sejati atau bua. Selai itu deiisi dibeia pula yai:,, bila bila 0 0 Dega beembagya matematia, semai jelas bahwa dipelua deiisi ugsi yag lebih umum. Juga semai petig utu ita membedaa ugsi sedii dega ilai ugsi itu. Disii aa medeiisia suatu ugsi da hal ii aa ita laua dalam dua tahap. 8 Mecitai ilmu adalah caa temudah utu mempelajaiya

15 Deiisi petama: suatu ugsi dai himpua A e himpua B adalah atua oespodesi yag memasaga masig-masig usu di A secaa tuggal dega usu di B. Deiisi di atas mugi saja tida jelas, diaeaa tida jelasya maa ase atua oespodesi. Utu megatasi hal ii ita aa medeiisia ugsi dega megguaa himpua sepeti yag telah dibahas pada bagia sebelumya. Beiut ii adalah deiisi yag mugi saja dapat membuat ita ehilaga aduga ituiti dai deiisi tedahulu, tetapi ita dapata ejelasa. Ide dasa pedeiisia beiut ii adalah memiia gamba dai suatu ugsi; yaitu, suatu oelasi dai pasaga beuut. Bila ita pehatia tida setiap olesi pasaga beuut meupaa gamba suatu ugsi, aea seali usu petama dalam pasaga beuut diambil, usu eduaya ditetua secaa tuggal.... Deiisi Gamba. Gamba gai sebuah ugsi Misala A da B himpua, suatu ugsi dai A e B adalah himpua pasaga beuut di di A B sedemiia sehigga utu masig- 9 Mecitai ilmu adalah caa temudah utu mempelajaiya

16 masig a A tedapat B b yag tuggal dega a b, a, b',, maa b b'. Himpua A dai usu-usu petama dai disebut daeah asal domai dai, da ditulisa D. Sedaga usu-usu dai B yag mejadi usu edua di disebut age dai da ditulisa dega Notasi R. : A B Meujua bahwa suatu ugsi dai A e B ; aa seig ita ataa bahwa suatu pemetaa dai A e B atau memetaa dai A e dalam B. Bila a b,, seig ditulis dega: b a Pembatasa da Peluasa Fugsi dai Bila suatu ugsi dega domai D da D suatu subhimpua D, sehig ali bemaaat utu medeiisia ugsi bau dega domai D da pembatasa ugsi pada D utu setiap D. Fugsi ii disebut. Sehigga meuut deiisi.., ita mempuyai a, b a D Teadag ita tulisa D utu meyataa pembatasa ugsi pada himpua D. Kostusi yag seupa utu gagasa peluasa. Bila suatu ugsi g dega domai domai D g da D Dg, maa sebaag ugsi g dega D sedemiia sehigga g g utu setiap Dg peluasa g pada himpua D. disebut 0 Mecitai ilmu adalah caa temudah utu mempelajaiya

17 Bayaga Lagsug da Bayaga Ives... Deiisi Misala : A B suatu ugsi dega domai A da age B. Bila E subhimpua A, maa bayaga lagsug dai E tehadap adalah subhimpua E dai A yag dibeia oleh E : E Bila H subhimpua B, maa bayaga ives dai H tehadap adalah subhimpua H dai A, yag dibeia oleh H A : H Jadi bila dibeia himpua E A, maa titi y B di bayaga lagsug E jia da haya jia tedapat palig tida sebuah titi E sedemiia y. Secaa sama bila dibeia H B, titi A di dalam sehigga bayaga ives H jia da haya jia y di H...3. Cotoh a. Misala R R : dideiisia dega. Bayaga lagsug himpua E 0 adalah himpua E y 0 y 4. Bila G y 0 y 4, maa bayaga ives G adalah himpua G. Jadi E E Disatu piha ita mempuyai G maa ita peoleh H. G. Tetapi bila y y 0 H H, b. Misala : A B, da G, H subhimpua dai B ita aa tujua bahwa G H G H Mecitai ilmu adalah caa temudah utu mempelajaiya

18 Pada buu ii ita aa bahas G H G H da meiggala yag sebaliya yai G H G H sebagai latiha bagi pembaca. i. Aa dibutia G H G H Ambil sebaag G H, ii beati bahwa G H ii megaibata G da H, hal, sehigga ii megaibata G da H, aea itu G H selesai. buti ii. Buti sebaliya diseaha pada pembaca. Siat-siat Fugsi..4. Deiisi setiap Suatu ugsi : A B diataa ijeti atau satu-satu bila utu, A demiia sehigga satu-satu, ita ataa suatu ijesi. megaibata. Bila Secaa eivale, ijeti jia da haya jia megaibata utu setiap, A...5. Deiisi Suatu ugsi : A B diataa sujeti atau memetaa A pada B bila A B. Bila sujeti, maa ita sebut suatu sujesi. Secaa eivale, y B tedapat A : A B sujeti bila R B, yaitu utu setiap sedemiia sehigga y. Dalam pedeiisia ugsi, petig utu meetua domai da himpua dimaa ilaiya diambil. Seali hal ii ditetua, maa dapat meayaa apaah ugsi tesebut sujeti atau tida. Mecitai ilmu adalah caa temudah utu mempelajaiya

19 ..6. Deiisi Suatu ugsi : A B diataa bijeti bila besiat ijeti da sujeti. Bila suatu ugsi bijeti, ita sebut suatu bijesi. Fugsi-Fugsi Ives Bila husus dai : A B suatu ugsi dai A e B, (aeaya, subhimpua A B ), maa pasaga beuut B A dipeoleh dega salig meua usu petama da edua di. Secaa umum hasil peuaa tesebut bualah ugsi. Tetapi bila ijeti, maa peuaa ii meghasila ugsi yag disebut ives dai...7. Deiisi Misala B. Bila g b a B A a, b g : A B suatu ugsi ijeti dega domai A da R di,, maa g suatu ugsi ijeti dega D R da age A. Fugsi g disebut ugsi ives dai da ditulisa. Dalam peulisa ugsi yag stada, ugsi sebagai beiut:..8. Cotoh Suatu ugsi y jia da haya jia y. dega R beelasi dega D besiat ijeti (butia suatu ijesi utu latiha pembaca). Selajutya ita aa peoleh ives dai adalah diiya sedii (buti diseaha pada pembaca) 3 Mecitai ilmu adalah caa temudah utu mempelajaiya

20 Fugsi Komposisi Seig ita igi megomposisia dua buah ugsi dega mecai telebih dahulu, emudia megguaa g utu mempeoleh aa tetapi hal ii bisa dilaua bila haus megasumsia bahwa R Dg..9. Deiisi Utu ugsi g, ada didalam domai g. Jadi ita : A B da g : B C, omposisi g adalah ugsi dai A e C yag dideiisia dega g g..0. Teoema Bila utu setiap A. : A B da g : B C ugsi da H suatu subhimpua dai C. Maa g H g H g H... Teoema Bila omposisi. : A B da g : B C eduaya besiat ijeti, maa g juga besiat ijeti. (Buti teoema dibeia sebagai latiha bagi pembaca) Baisa Fugsi dega Ν sebagai domai memaia atua yag sagat husus dalam aalisis, yag aa ita peeala daalam osep baisa beiut ii.... Deiisi Suatu baisa dalam himpua S adalah suatu ugsi yag domaya himpua bilaga asli Ν da ageya temuat di S. daipada Utu baisa X : Ν S, ilai X di Ν seig ditulis dega, da ilaiya seig ita sebut suu e- baisa tesebut. Baisa itu sedii seig ditulisa dega Ν. atau lebih sedehaa dega 4 Mecitai ilmu adalah caa temudah utu mempelajaiya

21 Sebagai cotoh, baisa di R yag ditulisa dega Ν sama atiya dega ugsi ilaiya X : Ν R dega X. Petig seali utu membedaa ataa baisa Ν dega Ν, yag meupaa subhimpua dai S. Suu baisa haus dipadag mempuyai uuta yag diidusi dai uuta bilaga asli, sedaga age dai baisa haya meupaa subhimpua dai S. Sebagai cotoh, suu-suu dai baisa Ν begati-gati da, tetapi age dai baisa tesebut adalah,, memuat dua usu dai R Latiha... Misala B R himpua ii ugsi? A da subhimpua R dai R, apaah, da. Misala ugsi ugsi pada R yag dideiisia dega E R 0 da R 0 E F 0 da E F 0 F tujua bahwa. Semetaa E F y R 0. Disii E F adalah subhimpua sejati dai E F tejadi bila 0 dibuag dai E da F? 3. Bila E da F sepeti soal omo. Tetua F tujua bahwa E F E \ F \ salah!. Apa yag E \ da E F \ da 4. Tujua bahwa bila : A B da E, F subhimpua dai A, maa E F E F da E F E F. 5. Tujua bila : A B, da G, H subhimpua dai B, maa G H G H da G H G H 5 Mecitai ilmu adalah caa temudah utu mempelajaiya

22 6. Misala dideiisia dega, R bijeti dai R pada y : y. 7. Utu a, b R dega b B y 0 y.. Tujua bahwa a, tetua bijesi dai A a b pada 8. Tujua bahwa bila : A B besiat ijeti dai E A, maa E E dipeuhi bila tida ijeti.. Beia suatu cotoh utu meujua esamaa tida 9. Tujua bahwa bila : A B besiat sujeti, da H B, maa H H dipeuhi bila tida sujeti. 0. Butia bila A B ugsi dega domai. Beia satu cotoh utu meujua esamaa tida : suatu ijesi, maa b, aa, b R. Kemudia butia bahwa R suatu ijeti da ives dai.. Misala A B : ijeti, tujua bahwa D da y y utu setiap R y. utu setiap. Beia cotoh dua buah ugsi : A B, : A B dai : A B pada : A B sehigga : A B, tetapi : A B 3. Butia teoema..0 da.. 4. Misala g, ugsi da g utu semua di D bahwa ijeti da R D da g Dg 5. Misala g R.. Tujua, ugsi da da g utu semua di D gy utu semua y di g D. butia bahwa g da 6 Mecitai ilmu adalah caa temudah utu mempelajaiya

23 .3 INDUKSI MATEMATIKA Idusi matematia meupaa metode pembutia petig yag aa seig diguaa dalam buu ii. Metode ii diguaa utu meguji ebeaa suatu peyataa yag dibeia dalam suu-suu bilaga asli. Walaupu eguaaya tebatas pada masalah tetetu, tetapi idusi matematia sagat dibutuha disemua cabag matematia. Kaea baya buti idusi matematia sagat dipelua disemua cabag matematia. Kaea baya buti idusi megiuti uuta omal agume yag sama, ita aa seig meyebuta hasilya megiuti idusi matematia da meiggala buti legapya epada pembaca. Dalam bagia ii ita aa membahas pisip idusi matematia da membei bebeapa cotoh utu megilustasia bagaimaa poses buti idusi. Kita aa megasumsia ebiasaa (pembaca) dega himpua bilaga asli Ν,,3,... Dega opeasi matematia pejumlaha da pealia sepeti biasa da dega ati suatu bilaga uag dai bilaga lai. Kita juga aa megasumsia siat udametal dai Ν beiut ii.3.. Siat uuta dega bai di Ν Setiap subhimpua ta osog dai Ν mempuyai usu teecil. Peyataa yag lebih detail dai siat ii sebagai beiut: bila S sub himpua dai Ν da m utu setiap S. S, maa tedapat usu m S sedemiia sehigga Dega bedasa siat uuta dega bai, ita aa meuua suatu vesi pisip idusi matematia yag diyataa dalam suu-suu subhimpua dai Ν. Siat yag didesipsia dalam vesi ii adag-adag megiuti tuua siat Ν. 7 Mecitai ilmu adalah caa temudah utu mempelajaiya

24 .3.. Pisip Idusi Matematia Misala S sub himpua dai Ν yag mempuyai siat: Maa Buti: Adaia maa i. S ii. Jia S, maa S. S Ν S Ν. Maa Ν \ S. Kaeaya bedasa siat uuta dega bai, Ν \ S mempuyai usu teecil, sebut m. Kaea S, maa m. Kaea itu m dega m juga bilaga asli. Kaea m m da m usu teecil di N \ S, maa m hauslah di S. Seaag ita guaa hipotesis () tehadap usu m di S, yag beaibat m m di S. Kesimpula ii otadisi dega peyataa bahwa m tida di S. Kaea m dipeoleh dega pegadaia Ν \ S tida osog, ita dipasa pada esimpula bahwa Ν \ S osog. Kaea itu ita telah butia bahwa S Ν. Pisip idusi matematia seig diyataa dalam eaga siat atay peyataa tetag bilaga asli. Bila maa P beati peyataa tetag Ν, P bea utu bebeapa ilai, tetapi belum tetu bea utu yag lai. Sebagai cotoh, bila semetaa P peyataa, maa P bea, P salah utu semua, N dalam otes ii pisip idusi matematia dapat diumusa sebagai beiut: Utu setiap Ν, misala P peyataa tetag, misala bahwa a) P bea b) Jia P bea, maa Maa P bea. P bea utu semua Ν. Dalam aitaya dega vesi idusi matematia tedahulu yag dibeia pada.3., dibuat misala S Ν P bea maa odisi () da () pada.3. betuut-tuut tepat besesuaia dega (a) da (b). Kesimpula S Ν besesuaia dega esimpula bahwa P bea utu semua Ν. 8 Mecitai ilmu adalah caa temudah utu mempelajaiya

25 Dalam (b) asumsi jia tida memadag pada bea salahya impliasi jia P bea, maa P bea disebut hipotesis idusi. Disii, ita P P bea., tetapi haya pada validitas.3.3. Cotoh a. Utu setiap N..., jumlah petama bilaga asli dibeia oleh Utu membutia esamaa ii, ita misala S himpua Ν, sehigga esamaa tesebut bea. Kita haus membutia odisi () da () pada.3. dipeuhi. i. Bila ii. Bila, maa ita mempuyai P :.., jadi P ita asumsia bea yai P bea.... Bila ita tambaha pada edua uas dega,maa mejadi: Dai pesamaa teahi ita etahui bahwa aea aibat P beilai bea, sehigga tebuti bahwa:..., utu setiap Ν P beimpliasi pada 9 Mecitai ilmu adalah caa temudah utu mempelajaiya

26 Mecitai ilmu adalah caa temudah utu mempelajaiya 0 b. Utu setiap Ν, jumlah uadat dai bilaga petama asli adalah sebagai beiut: 6... Utu membutia omula diatas, maa petama-tama ita butia ebeaa omula diatas utu, selajutya jia bea utu, maa aa dibutia bea pula utu i. Bila, maa ita mempuyai : P, jadi P bea ii. Bila P ita asumsia bea yai 6... Bila ita tambaha pada edua uas dega,maa mejadi:

27 Hasil teahi memilii ati bahwa dai P beilai bea sebagai impliasi P yag beilai bea, megiuti idusi matematia, maa validitas omula diatas belau utu setiap Ν c. Dibeia b a,, ita aa butia peyataa b a b utu setiap Ν. a adalah ato dai Petama-tama ita aa melihat utu, maa ita etahui bahwa peyataa matematia beilai bea aea a b adalah ato dai a b a b. Selajutya asumsia bahwa peyataa juga beilai bea utu sehigga a b adalah ato dai a b. Selajutya pehatia bahwa: a b a ab ab b a b aa b b a b, Bedasaa hipotesis maa ita etahui bahwa a b ato dai aa b, selai itu ita etahui bahwa a b adalah ato dai b a b, sehigga dai sii ita simpula bahwa a b adalah ato dai a b. Dega idusi matematia dapat ita simpula bahwa a b adalah ato dai a b utu setiap Ν d. Utu setiap Ν butialah bahwa etasamaa beiut bea! Utu membutia, petama ita lihat utu beilai bea. yai! Selajutya ita asumsia bahwa!. Dega megguaa ata, dipeoleh:.!.!!! Mecitai ilmu adalah caa temudah utu mempelajaiya

28 Mecitai ilmu adalah caa temudah utu mempelajaiya Jadi, bila etasamaa tesebut belau utu, maa belau pula utu. Kaeaya dega idusi matematia, ita simpula bahwa etasamaa tesebut bea utu setiap Ν. e. Bila R, da Ν, maa... Ii meupaa jumlah suu deet geometi. Utu membutia esamaa diatas, ita misala, maa ita mempuyai, jadi omula diatas bea utu. Selajutya ita asumsia bea utu, sehigga... bea. Selajutya pada edua uas ita tambaha, sehigga mejadi: Hasil teahi memilii ati omula tesebut juga belau utu, sehigga megiuti pisip idusi matematia, maa omula tesebut bea utu setiap Ν. Pada seolah meegah ita sudah diajaa membutia esamaa diatas tapa megguaa idusi matematia yai: Misala S..., maa... S, S S S S

29 . Pegguaa pisip idusi matematia secaa ceoboh dapat meghasila esimpula yag salah. Pembaca dihaapa mecai esalaha pada Buti Teoema beiut. Bila sebaag bilaga asli da bila masimum dai dua bilaga asli p da q adalah, maa asli sebaag, maa Buti: p q ). p q. (aibatya bila p da q dua bilaga Misala S sub himpua dai bilaga asli sehigga peyataa tesebut bea. maa S, aea p, q di Ν da masimumya. Maa masimum p da q adalah, aeaya p q, aea S, dai sii ita simpula tesebut bea utu setiap p q. Jadi S da ita simpula bahwa peyataa Ν. g. Tedapat juga bebeapa peyataa yag bea utu bebeapa bilaga asli, tetapi tida utu semua. Sebagai cotoh omula P 4 membeia bilaga pima utu,,3,..., 4 bilaga pima.. Tetapi, P bua Pisip idusi matematia memilii betu dalam vesi lai yag adagadag sagat begua. Seig disebut pisip idusi uat, walaupu sebeaya eivale dega vesi tedahulu Pisip Idusi Kuat. Misala S sub himpua Ν sedemiia higga maa S. Maa S Ν. S, da bila,,..., S Buti eivalesi pisip idusi uat dega pisip idusi matematia diseaha pada pembaca sebagai baha latiha. 3 Mecitai ilmu adalah caa temudah utu mempelajaiya

30 Latiha.3. Butia bahwa yag beiut ii belau utu semua Ν dapat dibagi dapat dibagi dapat dibagi Butia bahwa jumlah pagat tiga dai bilaga asli beuuta,,, habis dibagi Butia bahwa utu semua Ν 9. Tetua suatu omula utu jumlah Da butia dugaa tesebut dega megguaa idusi matematia. (dugaa tehadap peyataa matematia, sebelum dibutia seig disebut Cojectue ) 0. Tetua suatu omula utu jumlah buah bilaga gajil petama 3... Kemudia butia dugaa tesebut dega megguaa idusi matematia 4 Mecitai ilmu adalah caa temudah utu mempelajaiya

31 . Butia vaiasi dai.3. beiut: misala S subhimpua ta osog dai Ν sedemiia sehigga utu suatu 0 da S, maa S 0 Ν belau (a) 0 S, da (b) bila. Maa S memuat himpua. Butia bahwa! Utu setiap 4, Ν (lihat latiha ). Ν Butia bahwa 3 utu setiap 5, Ν (lihat latiha ). 4. Utu bilaga asli yag maa latiha )? Butia peyataamu (lihat 5. Butia bahwa... utu setiap Ν. 6. Misala S sub himpua dai N sedemiia sehigga (a) S utu setiap S Ν. N, da (b) bila S, da, maa S 7. Misala baisa. Butia dideiisia sebagai beiut:,, da utu meujua utu setiap Ν. N. Guaa pisip idusi uat.3.4. utu 5 Mecitai ilmu adalah caa temudah utu mempelajaiya

32 BAB II HIMPUNAN BILANGAN REAL B ab ii mejelasa tetag hal-hal yag beaita dega dega sistem bilaga eal sebagai suatu sistem matematia yag memilii siat-siat sebagai suatu lapaga yag teuut da legap. Yag dimasud dega sistem bilaga eal sebagai suatu lapaga di sii adalah bahwa pada himpua semua bilaga eal R yag dilegapi dega opeasi pejumlaha da pealia belau siat-siat aljaba dai lapaga. Siat teuut dai R beaita dega osep epositia da etidasamaa ataa dua bilaga eal, sedaga siatya yag legap beaita dega osep supemum atau batas atas teecil. Teoema-teoema dasa dalam alulus elemete, sepeti Teoema Esistesi Titi Masimum da Miimum, Teoema Nilai Tegah, Teoema Rolle, Teoema Nilai Rata-Rata, da sebagaiya, didasaa atas siat elegapa dai R ii. Siat ii beaita eat dega osep limit da eotiua. Dapat diataa bahwa siat elegapa dai R mempuyai pea yag sagat besa di dalam aalisis eal. Bab ii tedii dai bebeapa sub bab. Sub bab. membahas siat lapaga dai R. Sub bab. mejelasa siat teuut dai R, da di dalamya dibahas juga tetag osep ilai mutla. Pada sub bab.3 didisusia tetag siat elegapa dai R. Pada sub bab ii dibahas megeai siat Achimedea da siat eapata dai himpua bilaga asioal. Selajutya, sub bab.4, mejelasa tetag iteval, sebagai suatu himpua bagia dai R yag diostusi bedasaa siat teuut dai R. Yag teahi, sub bab.5 membahas tetag epesetasi desimal dai bilaga eal. Pada sub bab ii, juga dipapaa bagaimaa membutia Teoema Cato dega megguaa osep epesetasi desimal dai bilaga eal ii. Teoema Cato megataa bahwa himpua R meupaa himpua yag ta tehitug (ucoutable). 6 Mecitai ilmu adalah caa temudah utu mempelajaiya

33 . Siat Aljaba dai R Siat. (Siat Aljaba dai R ). Pada himpua bilaga eal R yag dilegapi opeasi pejumlaha ( ) da opeasi pealia ( ) belau siat-siat, tehadap opeasi pejumlaha : T. a b b a utu setiap a, b R utu setiap a, b, c R T. a b c a b c T3. Tedapat eleme 0 R sedemiia sehigga 0 a a 0 a utu setiap a R T4. Tedapat eleme R setiap a R tehadap opeasi pealia : K. a b b a utu setiap a, b R K. a b c a b c a sedemiia sehigga a a a a 0 utu setiap a, b, c R utu K3. Tedapat eleme R sedemiia sehigga a a a utu setiap a K4. Tedapat eleme / a R da utu setiap a R, D. a b c a b a c da sedemiia sehigga a a a a / / b c a b a c a utu setiap a, b, c R. Siat T da K meupaa siat omutati, siat T da K meupaa siat asosiati, siat T3 da K3 meujua esistesi eleme idetitas, da siat T4 da K4 meujua esistesi eleme ives, betuut-tuut masig-masig tehadap opeasi pejumlaha da pealia. Yag teahi, siat D meupaa siat distibuti pealia atas pejumlaha. Siat T-T4, K-K4, da D yag dipeuhi oleh semua eleme di R, mejadia R dipadag sebagai suatu lapaga. 7 Mecitai ilmu adalah caa temudah utu mempelajaiya

34 Teait dega eleme idetitas 0 (tehadap opeasi pejumlaha) da (tehadap opeasi pealia), ita memilii ata bahwa edua eleme ii meupaa eleme yag ui atau tuggal. Selai itu, pealia setiap eleme di R dega eleme 0 hasilya adalah 0. Fata-ata ii, secaa omal matematis, dapat diepesetasia dalam teoema beiut ii. Teoema.. a. Jia z, a R da z a a maa z 0. b. Jia u b b dega u, b R da b 0 maa u. c. a 0 0 utu setiap a R. Buti. a. Bedasaa siat T3, T4, T, da hipotesis z a a, z z 0 z a a z a a a a 0. b. Bedasaa siat K, K, K3, da hipotesis u b b, b 0, u u u b / b u b / b b / b. c. Bedasaa siat K3, D, da T3, a a 0 a a 0 a 0 a a. Bedasaa a., dipeoleh bahwa a 0 0. Selai ata di atas, ita juga memilii ata beiut ii. Teoema.3. a. Jia a, b R, a 0, da a b maa b / a. b. Jia a b 0 maa a 0 atau b 0. Buti. a. Bedasaa siat K3, K4, K, da hipotesis a 0, da a b, b b b a / a b a / a / a / a. b. Adaia a 0 da 0 b. Aibatya, a b a b /. Bedasaa hipotesis, yaitu a b 0, da Teoema..c., ita memilii bahwa a b a b a b / 0 / 0, 8 Mecitai ilmu adalah caa temudah utu mempelajaiya

35 Tejadi otadisi di sii, yaitu ataa peyataa a b a b a b a b / da / 0. Dega demiia, hauslah bahwa a 0 atau b 0. Teoema.3.a. megataa bahwa esistesi ives dai suatu eleme di R adalah ui. Sedaga Teoema.3.b. megadug ati bahwa pealia dua eleme ta ol di R tidalah mugi meghasila eleme ol. Di dalam himpua bilaga eal R dieal pula opeasi lai, yaitu opeasi peguaga ( ) da pembagia (:). Jia dideiisia dega a b : a b dideiisia dega a : b : a / b a, b R maa opeasi peguaga sedaga opeasi pembagia, b 0.. SIFAT TERURUT DARI R Sepeti yag telah disiggug pada pedahulua bab ii, siat teuut dai R beaita dega osep epositia da etidasamaa ataa dua bilaga eal. Sepeti apa edua osep tesebut? Di sii, ita aa membahasya. Telebih dahulu ita aa membahas osep epositiaya. Siat.4 (Siat Kepositia). Tedapat himpua bagia ta osog dai R, yag diamaa himpua bilaga eal positi a. Jia b. Jia a, b R maa a, b R maa a b R. a b R. c. Jia a R maa salah satu diataa tiga hal, yaitu a R, pasti tepeuhi. R, yag memeuhi siat-siat : a R, a 0, da Siat.4.c. disebut juga sebagai siat Tichotomy. Siat ii megataa bahwa R dibagu oleh tiga buah himpua yag disjoi. Tiga buah himpua tesebut adalah himpua a : a R yag meupaa himpua bilaga eal egati, R. Himpua a : a R himpua 0, da himpua bilaga eal positi 9 Mecitai ilmu adalah caa temudah utu mempelajaiya

36 bisa juga ditulisa dega R sebagai bilaga eal positi. Jia. Jia sebagai bilaga eal oegati. Jia sebagai bilaga eal egati. Jia sebagai bilaga eal opositi. a R maa a 0 da a diataa 0 a R maa a 0 da a diataa a R maa a 0 da a diataa 0 a R maa a 0 da a diataa Pejumlaha buah suu eleme meghasila bilaga. Himpua bilaga yag diostusi dega caa demiia disebut sebagai himpua bilaga asli, diotasia dega N. Himpua N ii meupaa himpua bagia dai himpua R. Himpua ii memilii siat udametal, yai bahwa setiap himpua bagia ta osog dai N memilii eleme teecil. Siat yag demiia disebut sebagai siat well-odeig dai N. Selajutya, jia ita ambil sembaag himpua N, 0, da : N N maa N. Gabuga membetu suatu himpua yag disebut sebagai himpua bilaga bulat, diotasia dega Z. Himpua bilaga asli N disebut juga sebagai himpua bilaga bulat positi, diotasia dega Z, sedaga himpua : Z disebut juga himpua bilaga bulat egati, diotasia dega Z. Dai himpua Z, ita bisa megostusi bilaga dalam betu m /, dega 0. Bilaga eal yag dapat diepesetasia dalam betu yag demiia disebut sebagai bilaga asioal. Sebaliya, bilaga eal yag tida dapat diepesetasia dalam betu itu disebut sebagai bilaga iasioal. Himpua bilaga asioal diotasia dega Q. Dapat diataa bahwa himpua bilaga eal R meupaa gabuga dua himpua disjoi, himpua bilaga asioal da himpua bilaga iasioal. Bilaga da 0 meupaa cotoh bilaga-bilaga asioal, da dapat ditujua bahwa pesamaa [])., aa dai, meupaa cotoh bilaga iasioal (lihat Batle-Shebet 30 Mecitai ilmu adalah caa temudah utu mempelajaiya

37 Seaag, ita sampai epada pejelasa tetag osep etidasamaa ataa dua bilaga eal, sebagai salah satu osep yag beaita dega siat teuut dai R. Deiisi.5. Misala a. Jia a, b R. a b R maa a b b. Jia b R 0 atau b a. a maa a b atau b a. Siat Tichotomy dai R megaibata bahwa utu sembaag belau salah satu dai a bahwa jia a ata-ata beiut ii. a, b R b, a b, atau a b. Selai itu, dapat ditujua b da a b maa a b. Dai siat teuut, dapat juga dipeoleh Teoema.6. Misala a, b, c R. a. Jia a b da b c maa a c. b. Jia a b maa a c b c. c. Jia a b da c 0 maa ac bc. Jia a b da c 0 maa ac bc. d. Jia ab 0 maa a 0 da b 0, atau a 0 da b 0. e. Jia ab 0 maa a 0 da b 0, atau a 0 da b 0. Buti Teoema.6.a-.6.b megguaa deiisi.5 da Teoema.6.d-.6.e megguaa siat Tichotomy. Buti Teoema tesebut ditiggala sebagai latiha bagi paa pembaca. Jia ita megambil sembaag a 0 maa a 0 da 0 a a. Hal ii megadug ati setiap ita megambil bilaga positi pasti selalu didapat bilaga positi lai yag lebih ecil daipadaya. Dega ata lai, tida tedapat bilaga positi yag teecil. Peyataa ii meupaa masud dai teoema beiut ii. 3 Mecitai ilmu adalah caa temudah utu mempelajaiya

38 Teoema.7. Jia a R da 0 a utu setiap 0 maa a 0. Buti. Adaia a 0. Pilih. Kita peoleh 0 a. Peyataa ii a otadisi dega hipotesis bahwa 0 a utu setiap 0. Dega demiia, hauslah bahwa a 0. Sebelumya ita telah dieala dega bilaga eal oegati, yaitu eleme dai himpua 0 Jia a 0 tetuya a 0 R. Jia a 0 atau 0, sehigga a R 0 a maa jelas bahwa R 0 a.. Bedasaa hal tesebut, aa dideiisia apa yag disebut sebagai ilai mutla dai suatu bilaga eal. Nilai mutla ii aa me-oegati-a bilaga-bilaga eal. Deiisi.8 (Nilai Mutla). Nilai mutla dai bilaga eal a, diotasia dega a, dideiisia dega a, a 0 a : a, a 0. Dai Deiisi.8 tesebut tampa bahwa a 0 atau a adalah bilaga oegati utu setiap bilaga eal a. Sebagai cotoh,, 0 0, da. Nilai mutla dai bilaga-bilaga eal ii memilii siat-siat tetetu, di ataaya sepeti yag tetuag dalam ata beiut ii. Teoema.9. a. ab a b utu setiap a, b R. b. Misala c 0 da a R, a c jia da haya jia c a c. c. Misala c 0 da a R, a c jia da haya jia a c atau a c. Buti. 3 Mecitai ilmu adalah caa temudah utu mempelajaiya

39 a. Jia a 0 atau b 0 maa ab 0 0 da a b 0. Jia a, b 0 maa ab 0, a a, da b b, sehigga ab ab da a b ab. Jia a 0 da b 0 maa ab 0, a a, da b b, sehigga ab ab da a b a b ab. Utu asus a 0 da b 0, peyelesaiaya seupa dega asus sebelumya. b. Misala a c. Utu a 0, ita peoleh a a c, sehigga didapat 0 a c. Utu a 0, ita peoleh a a c atau a c, sehigga didapat c a 0. Dega meggabuga hasil dai edua asus tesebut, ita peoleh c a c. Utu sebaliya, misala c a c. Hal tesebut megadug ati c a da a c. Dega ata lai, a c da a c. Lebih sedehaa, yag demiia dapat ditulisa sebagai a c. c. Misala a c. Utu a 0, ita peoleh a a c. Utu a 0, ita peoleh a a c atau a c. Dega meggabuga hasil dai edua asus tesebut, ita peoleh a c atau a c. Utu sebaliya, jia a ata lai, a c atau a c maa a c atau a c. Dega c. Pehatia embali siat ilai mutla yag tedapat pada Teoema.9. Utu yag bagia a., jia a maa a a a. b maa a a a a. Utu bagia b., jia c a Selajutya, ita sampai epada siat ilai mutla yag lai, yag diamaa dega Ketidasamaa Segitiga. Ketidasamaa ii mempuyai eguaa yag sagat luas di dalam matematia, hususya di dalam ajia aalisis da aljaba. 33 Mecitai ilmu adalah caa temudah utu mempelajaiya

40 Teoema.0 (Ketidasamaa Segitiga). Jia a, b R maa a b a b da esamaa tejadi atau a b a b jia a b, dega 0. Buti. Sepeti yag telah dibahas sebelumya, jia a, b R maa dapat dipeoleh bahwa a a a da b b b. Jia edua etidasamaa ii ita jumlaha maa a b a b a b atau a b a b. Buti utu peyataa beiutya ditiggala sebagai latiha bagi paa pembaca. Lebih jauh, sebagai oseuesi dai Teoema.0, ita memilii aibat beiut ii. Aibat.. Jia a, b R maa a b a b da a b a b. Buti. Pehatia bahwa a a b b. Dega megguaa etidasamaa segitiga, a a b b a b b atau a b a b. Dega caa yag seupa dapat ita peoleh bahwa b b a a a b a. Aibatya, b a a b atau a b a b. Ahiya, ita memilii a b a b a b atau a b a b. Selajutya, pehatia bahwa a b a b a b a b, bedasaa etidasamaa segitiga. Selajutya, ita aa melihat bagaimaa osep teuut dai R ii diapliasia utu meyelesaia masalah-masalah etidasamaa. Cotoh.. Tetua himpua peyelesaia dai etidasamaa 4 6. Peyelesaia. Pehatia bahwa Tampa bahwa etidasamaa 4 6 dipeuhi oleh semua :. 34 Mecitai ilmu adalah caa temudah utu mempelajaiya

41 Cotoh.3. Cai semua peyelesaia dai etidasamaa Peyelesaia. Pehatia bahwa Daiya ita peoleh bahwa 0 da 3 0, atau 0 da 3 0. Utu asus yag petama ita dapata da 3, atau dega ata lai 3. Utu asus yag edua ita peoleh bahwa da 3. Pehatia bahwa pada asus edua tesebut tida ada ilai yag memeuhiya. Dega demiia, etidasamaa semua : 3 6 dipeuhi oleh R. Cotoh.4. Selidii apaah etidasamaa memilii peyelesaia. Peyelesaia. Pehatia bahwa Yag demiia beati da 3 0, atau da 3 0. Utu asus yag petama ita peoleh 8/ 3 da 3/. Namu hal itu tida mugi tejadi, atiya tida ada yag memeuhi. Utu asus yag edua ita peoleh 8/ 3 da 3/, atau dega ata lai 8/ 3 3/. Jadi etidasamaa 3 memilii peyelesaia, da himpua semua peyelesaiaya adalah R : 8/ 3 3/. Cotoh.5. Cai himpua peyelesaia dai Mecitai ilmu adalah caa temudah utu mempelajaiya

42 Peyelesaia. Bedasaa Teoema.9.b., 5 5 atau 6 4. Daiya ita peoleh 3. Jadi himpua peyelesaiaya adalah R : 3 Bisa juga etidasamaa tesebut diselesaia dega caa lai. Pehatia bahwa, jia /, jia /. Peyelesaiaya dibagi mejadi dua asus, yaitu : Kasus I, /. Kita peoleh 5. Aibatya, 4 atau. Pada asus ii, himpua peyelesaia dai 5 adalah Kasus II, /. : / R : R : / R l. 5. Aibatya, 6 atau 3. Kita peoleh Pada asus ii, himpua peyelesaia dai 5 adalah : / R : 3 R : 3 / R. Peyelesaia seluuhya dai 5 adalah himpua peyelesaia asus I digabug dega himpua peyelesaia asus II. Aibatya, ita dapata himpua peyelesaia eseluuha dai 5 adalah R : 3. Cotoh.7. Tetua himpua peyelesaia dai. Peyelesaia. Sebelum melagah jauh di dalam meyelesaia etidasamaa tesebut, pehatia bahwa, jia 0, jia da, jia 0, jia. Peyelesaiaya ita bagi mejadi tiga asus telebih dahulu, yaitu : 36 Mecitai ilmu adalah caa temudah utu mempelajaiya

43 Kasus I,. Kita peoleh da. Aibatya, atau 3 atau 3/. Pada asus ii, himpua peyelesaia dai adalah Kasus II, Kita peoleh : 3/ R : R : 3/ R. 0. da. Aibatya, atau. Ketidasamaa dipeuhi oleh semua R himpua peyelesaia dai adalah Kasus III, 0. Kita peoleh : 0 R R : 0 R. da. Utu asus II,. Aibatya, atau atau /. Utu asus III, himpua peyelesaia dai adalah : 0 R : / R : 0 / R. Dega meggabuga himpua peyelesaia utu asus I, asus II, da asus III, dipeoleh seluuh ilai R yag memeuhi etidasamaa., yaitu R : 3/ /. Cotoh.8. Selidii apaah etidasamaa 3 4 memilii peyelesaia. Peyelesaia. Sebelum melagah jauh di dalam meyelesaia etidasamaa tesebut, pehatia bahwa 3, jia 3, jia 3 da 3, jia 3., jia. Peyelesaiaya ita bagi mejadi tiga asus telebih dahulu, yaitu : 37 Mecitai ilmu adalah caa temudah utu mempelajaiya

44 Kasus I,. Kita peoleh da. Aibatya, atau 3 atau 3/. Utu asus ii, ita tida mempuyai peyelesaia dai 3 4 aea : 3/ R : R. Kasus II, 3. Kita peoleh da. Aibatya, atau 5 4. Peyataa ii meupaa sesuatu yag mustahil. Jadi utu asus ii, ita tida mempuyai peyelesaia. Kasus III, 3. Kita peoleh 3 3 da. Aibatya, atau 5 atau 5/. Utu asus ii, ita tida mempuyai peyelesaia dai 3 4 aea : 3 R : 5/ R. Secaa eseluuha, ita tida memilii solusi utu etidasamaa SIFAT KELENGKAPAN DARI R Pada subbab ii ita aa membahas siat etiga dai R, yaitu siat elegapa. Sepeti yag telah diataa pada pedahulua bab ii, siat elegapa beaita dega osep supemum atau batas atas teecil. Utu itu, ita aa bahas telebih dahulu apa yag dimasud dega batas atas dai suatu himpua bilaga eal, da ebaliaya, yaitu batas bawahya. 38 Mecitai ilmu adalah caa temudah utu mempelajaiya

45 Deiisi.9. Misala X adalah himpua bagia ta osog dai R. a. Himpua X diataa tebatas atas jia tedapat a R sedemiia sehigga a, utu setiap X. Bilaga eal a yag demiia disebut sebagai batas atas dai X. b. Himpua X diataa tebatas bawah jia tedapat b R sedemiia sehigga b, utu setiap X. Bilaga eal b yag demiia disebut sebagai batas bawah dai X. c. Himpua X diataa tebatas jia X tebatas atas da tebatas bawah. Himpua X diataa tida tebatas jia X tida tebatas atas atau tida tebatas bawah. Sebagai cotoh, pehatia himpua R : 0. Setiap eleme pada himpua b R : b 0 meupaa batas bawah dai : 0 ita megambil eleme : 0 R. Setiap R maa selalu ita dapata bahwa, sedaga R : 0. Yag demiia megadug ati bahwa tida ada a R sedemiia sehigga a, utu setiap R : 0. Jadi himpua : 0 R tebatas bawah tetapi tida tebatas atas, atau juga dapat diataa bahwa himpua tesebut tida tebatas. Cotoh lai, padag himpua R :. Himpua a R : a meupaa olesi semua batas atas dai R :. Tida ada b R sedemiia sehigga b, utu semua R :, aea setiap ita megambil : R maa selalu dapat ita peoleh bahwa, sedaga R :. Aibatya, himpua : R tida mempuyai batas bawah. Jadi himpua R : tebatas atas tetapi tida tebatas bawah, atau juga dapat diataa bahwa himpua tesebut tida tebatas. Bedasaa papaa sebelumya, himpua R : 0 memilii batas atas da batas bawah, atau dega ata lai himpua tesebut meupaa 39 Mecitai ilmu adalah caa temudah utu mempelajaiya

46 himpua tebatas. Dai batas-batas bawahya, ita dapat memilih batas bawah yag tebesa, yaitu eleme 0. Sedaga dai batas-batas atasya, ita dapat memilih batas atas yag teecil, yaitu eleme. Beiut ii adalah deiisi secaa omal dai batas atas teecil, disebut supemum, da batas bawah tebesa, disebut iimum, dai suatu himpua bilaga eal. Deiisi.0. Misala X adalah himpua bagia ta osog dai R. a. Misala X tebatas atas. Eleme a R diataa supemum dai X jia memeuhi syaat-syaat : () a adalah batas atas dai X () a v, utu setiap v, batas atas dai X. b. Misala X tebatas bawah. Eleme b R diataa iimum dai X jia memeuhi syaat-syaat : () b adalah batas bawah dai X () b w, utu setiap w, batas bawah dai X. Selajutya, mugi timbul petayaa, apaah pebedaa ataa supemum (iimum) dega masimum (miimum)? Cotoh sebelumya tetag himpua R : 0, bisa mejadi ilustasi utu mejelasa hal ii. Himpua R : 0 tidalah mempuyai miimum da masimum, aea tida ada, M : 0 m R sedemiia sehigga m da M, utu setiap : 0 R. Sedaga utu supemum da iimum, himpua R : 0 memiliiya, yaitu da 0, masig-masig secaa beuuta. Eleme miimum da masimum hauslah eleme dai himpua yag besaguta, tetapi eleme iimum da supemum tidalah haus demiia. Jadi eleme iimum da supemum bisa temasu atau tida temasu e dalam himpua yag besaguta. Himpua R : 0 memilii iimum da supemum, yaitu eleme da 0, yag temasu e dalam himpua R : 0. Selajutya, ita aa membeia omulasi lai dai deiisi supemum da iimum pada deiisi.0. Kita mulai dega deiisi supemum. Eleme a 40 Mecitai ilmu adalah caa temudah utu mempelajaiya

47 adalah batas atas dai X euivale dega a, utu setiap X. Peyataa a v, utu setiap v, batas atas dai X, megadug ati bahwa jia z a maa z adalah bua batas atas dai X. Jia z adalah bua batas atas dai X maa tedapat z X sedemiia sehigga z z. Jadi ita mempuyai ata bahwa jia z a maa tedapat z X sedemiia sehigga z z. Selajutya, jia dibeia 0 maa a a. Dega megguaa ata sebelumya, maa tedapat X sedemiia sehigga a. Jadi ita mempeoleh ata bau, yag euivale dega ata sebelumya, yaitu utu setiap 0 tedapat X sedemiia sehigga a. Dega demiia ita mempeoleh ata-ata yag euivale dega deiisi.0. Teoema.. Eleme a R, batas atas dai X, himpua bagia ta osog dai R, adalah supemum dai X jia da haya jia apabila z tedapat z X sedemiia sehigga z z. a maa Teoema.. Eleme a R, batas atas dai X, himpua bagia ta osog dai R, adalah supemum dai X jia da haya jia utu setiap 0 tedapat X sedemiia sehigga a. Fata-ata seupa yag beaita dega eleme iimum adalah sebagai beiut. Teoema.3. Eleme b R, batas bawah dai X, himpua bagia ta osog dai R, adalah iimum dai X jia da haya jia apabila z tedapat z X sedemiia sehigga z z. b maa Teoema.4. Eleme b R, batas bawah dai X, himpua bagia ta osog dai R, adalah iimum dai X jia da haya jia utu setiap 0 tedapat X sedemiia sehigga b. 4 Mecitai ilmu adalah caa temudah utu mempelajaiya

48 Buti Teoema.3 da Teoema.4 ditiggala sebagai latiha bagi paa pembaca. Selajutya, mugi ita mempetayaa apaah eleme supemum atau iimum tuggal atau tida. Mai ita aji masalah ii. Misala u, v R adalah supemum dai himpua yag tebatas atas U. Utu meujua bahwa supemum dai U adalah tuggal, beati ita haus meujua bahwa u Utu meujuaya, pehatia bahwa u v. w da v w, utu setiap w, batas atas dai U. Kaea u da v juga batas atas dai U, ita memilii u v da v u. Yag demiia beati u v atau supemum dai U adalah tuggal. Dega mudah, dapat pula ita tujua bahwa iimum dai suatu himpua yag tebatas bawah juga tuggal. Bedasaa semua pejelasa pada subbab ii, ita mempuyai suatu asioma yag sagat esesial. Asioma iilah yag dimasud dega siat Kelegapa dai R, atau biasa juga disebut siat supemum dai. Asioma.5 (Siat Kelegapa dai R ). Setiap himpua bagia dai R yag tebatas atas memilii supemum di R. Asioma tesebut megataa bahwa R, digambaa sebagai himpua titititi pada suatu gais, tidalah belubag. Sedaga himpua bilagabilaga asioal Q, sebagai himpua bagia dai R yag juga memeuhi siat aljaba (lapaga) da teuut, memilii lubag. Iilah yag membedaa R dega Q. Kaea tida belubag iilah, R, selai meupaa lapaga teuut, juga mempuyai siat legap. Oleh aea itu, R disebut sebagai lapaga teuut yag legap. Peetua supemum dai himpua t T : Q : t 0, t bisa dijadia ilustasi utu mejelasa temiologi lubag pada himpua Q. Supemum dai aa dai pesamaa T Q yaitu, yag meupaa, bualah bilaga asioal. Bilaga ii meupaa salah satu lubag pada Q. Masudya, supemum dai T Q adalah yag bua meupaa eleme dai Q. Sehigga dapat diataa 4 Mecitai ilmu adalah caa temudah utu mempelajaiya

49 bahwa asioma elegapa tida belau pada Q. Tetapi jia ita beeja pada R, yag demiia tida aa tejadi. Seaag, misala V adalah himpua yag tebatas bawah, atiya tedapat l R sedemiia sehigga l, utu setiap V. Daiya, ita mempeoleh bahwa l, utu setiap V. Dega demiia, himpua : V tebatas atas. Meuut Asioma.5., himpua : V memilii supemum. Misala s adalah supemum dai : V. Yag demiia beati s, utu setiap V, da s, utu setiap, batas atas dai : V. Daiya, ita memilii s, utu setiap V, da s, utu setiap, batas atas dai : V. Dapat ditujua bahwa batas atas dai : V jia da haya jia adalah batas bawah dai V. Jadi ita memilii s, utu setiap V, da s t, utu setiap t, batas bawah dai V, atau dega ata lai, s adalah iimum dai himpua V. Bedasaa pejelasa tesebut, ita memilii hal yag seupa dega Asioma.5, yaitu bahwa setiap himpua bagia dai R yag tebatas bawah memilii iimum di R. Cotoh.6. Tetua supemum dai himpua : S R. Peyelesaia. Kita laim telebih dahulu bahwa sup S, supemum dai S, adalah. Klaim ita bea jia dapat ditujua bahwa :. Batas atas dai S adalah, atau, utu setiap S.. v, utu setiap v, batas atas dai S. Jelas bahwa adalah batas atas dai S. Selajutya, misala v. Pehatia eleme / v /. Dapat ditujua bahwa v / v /. Atiya, setiap eleme v bualah batas atas dai S. Jelas bahwa v batas atas dai S jia da haya jia v. Hal ii sealigus meujua bahwa meupaa batas atas teecil dai S. Dega demiia, meupaa supemum dai S. 43 Mecitai ilmu adalah caa temudah utu mempelajaiya

50 Selajutya, ita aa megguaa Teoema. utu meujua adalah supemum dai S. Jia v, bedasaa pembahasa tadi, dega memilih sv / v /, ita peoleh bahwa sv S da v sv. Jadi meupaa supemum dai S. Kita aa coba caa lai utu meujua bahwa meupaa supemum dai S, sepeti yag tetulis pada Teoema.. Dibeia 0. Di sii ita aa memilih apaah ada s S sedemiia sehigga s (pemiliha s yag demiia tidalah ui). Jia ita memilih / maa ita mempeoleh apa yag ita haapa, aea jelas bahwa /, atau dega ata lai s S da s /. Yag demiia selalu mugi utu sembaag 0 yag dibeia. Jadi memag adalah supemum dai S. s s Cotoh.7. Tetua iimum dai : 0 I R. Peyelesaia. Kita laim telebih dahulu bahwa i I, iimum dai I, adalah 0. Klaim ita bea jia dapat ditujua bahwa :. Batas bawah dai I adalah 0, atau 0, utu setiap I.. w 0, utu setiap w, batas bawah dai I. Jelas 0 meupaa batas bawah dai I. Beiutya, misala w 0. Pehatia bahwa 0 w/ w. Di sii w / I. Atiya, jia w 0 maa w bua batas bawah dai I. Jelas bahwa w 0 jia da haya jia w adalah batas bawah dai I. Hal ii sealigus meujua bahwa 0 adalah batas bawah tebesa dai I. Beiutya, ita aa megguaa Teoema.3 utu meujua 0 adalah iimum dai I. Misala w 0. Bedasaa pembahasa sebelumya, dega memilih i w / w iimum dai I., ita peoleh bahwa i w I da i w w. Aibatya, 0 adalah 44 Mecitai ilmu adalah caa temudah utu mempelajaiya

51 Caa lai, adalah dega meujua sepeti apa yag tecatum pada Teoema.4. Dibeia 0. Kita aa memilih apaah ada i I sedemiia sehigga i 0. Jia i / maa i I da i. Hal ii selalu mugi utu sembaag 0 yag dibeia. Dega demiia, 0 adalah iimum dai I. Cotoh.8. Tujua bahwa jia himpua maa supemum dai as : as : s S, sup as a sup S. S R tebatas atas da a 0 Peyelesaia. Ada bebeapa caa utu meyelesaia masalah tesebut. Kita mulai dega caa yag petama, yaitu bahwa ita haus meujua bahwa a sup S adalah batas atas dai as atau a sup S as, utu setiap s S, da a sup S v, utu setiap v, batas atas dai as. Kaea S adalah himpua yag tebatas atas, S mempuyai supemum, meuut siat Kelegapa dai R. Kaeaya, sup S s, utu setiap s S. Kaea a 0, a sup S as, utu setiap s S. Atiya, a sup S adalah batas atas dai as. Aibatya, as memilii supemum. Selajutya, misala w adalah sembaag batas atas dai as atau w as, utu setiap s S. Kaea a 0, ita peoleh bahwa w / a s, utu setiap s S. Di sii w / a adalah batas atas dai S. Aibatya, w / a sup S atau w a sup S. Kita peoleh bahwa a sup S w, utu setiap w, batas atas dai as. Jadi sup as a sup S. Caa edua utu meyelesaia masalah tesebut adalah dega meujua bahwa a sup S adalah batas atas dai as da utu setiap v a sup S tedapat sv as sedemiia sehigga v sv. Telah ditujua bahwa a sup S adalah batas atas dai as. Seaag, misala v Aibatya, tedapat sv / a a sup S. Kaea a 0, v / a sup S. S sedemiia sehigga v a s / mempeoleh v as v / a. Di sii jelas bahwa as / ita mempuyai sv v a / v a. Kaeaya, ita as. Dega memilih sv asv / a, as da v sv. Jadisup as asup S. Lebih jauh, ita aa melihat bagaimaa siat elegapa dai R ii diguaa utu meujua bahwa himpua semua bilaga asli N tida mempuyai 45 Mecitai ilmu adalah caa temudah utu mempelajaiya