BAB I PENDAHULUAN. , membentuk struktur ring terhadap operasi penjumlahan matriks dan operasi pergandaan matriks baku. Himpunan bagian dari

Transkripsi

1 BB I PENDHULUN. Latar Belakag Masalah Struktur rig (gelaggag) R adalah suatu himpua R yag kepadaya didefiisika dua operasi bier yag disebut pejumlaha da pergadaa yag memeuhi aksioma-aksioma tertetu, yaitu: terhadap operasi pejumlaha membetuk grup abelia, terhadap operasi pergadaa membetuk struktur semigrup da memeuhi sifat distributif kiri maupu kaa. Rig disebut rig komutatif jika terhadap operasi pergadaaya, bersifat komutatif. Himpua matriks ordo atas rig R komutatif, yag selajutya diotasika dega M R, membetuk struktur rig terhadap operasi pejumlaha matriks da operasi pergadaa matriks baku. Himpua bagia dari M R yaitu himpua matriks di M R yag ivertibel yag selajutya diotasika dega G R, yaitu: G R M R ivertibel merupaka semigrup dari M R terhadap operasi pergadaa matriks baku ( Kemprasit & Siripitukdet: p. 49 ) Dari sifat matriks M R diperoleh bahwa matriks M R ivertibel jika da haya jika det U( R), dega U (R) adalah himpua semua uit di R. Dega kata lai M R ivertibel jika da haya jika det ivertible di R (Brow :p.6 ). Dega demikia, himpua G R dapat diyataka sebagai: G R M R det ivertibel di R. Selajutya himpua M R det R, da jika R merupaka lapaga, maka himpua G G R M R det. Sifat determia yag lai, atara lai: det( B) det. det B utuk setiap, B M R da setiap M R ( Brow : p.6 ). Utuk suatu semigrup S, S S (det ) det utuk jika semigrup S memuat eleme ol da S S jika semigrup S tidak memuat eleme ol. Suatu semigrup S dikataka admit struktur rig jika terdapat suatu operasi + pada S sedemikia sehigga S,,. membetuk struktur rig ( Kemprasit & Siripitukdet : p.49 ). Dari defiisi tersebut, maka semigrup M R merupaka admit struktur rig terhadap operasi stadar pejumlaha matriks.

2 B. Rumusa Masalah Dari uraia latar belakag masalah di atas, dapat dirumuska masalah sebagai berikut:. Bagaimaa karakteristik subsemigrup M R yag memuat himpua matriks yag determiaya ol? 2. Bagaimaa karakteristik subsemigrup G R maupu himpua bagia dari G R, yaitu himpua semua matriks yag determiaya?. Tujua Peelitia Peelitia ii bertujua utuk:. Meyelidiki sifat subsemigrup M R yag memuat himpua matriks yag determiaya ol 2. Meyelidiki sifat subsemigrup G R maupu himpua bagia dari G R, yaitu himpua semua matriks yag determiaya D. Mafaat Hasil Peelitia Hasil peelitia ii diharapka dapat bermafaat utuk membuka wawasa bagi peeliti lai terutama dalam megkaji struktur semigrup matriks atas rig admit struktur rig, yag merupaka semigrup dega eleme-elemya matriks atas rig yag di dalamya dapat didefiisika suatu operasi jumlah sedemikia sehigga membetuk struktur rig.. Selajutya diharapka peelitia ii dapat mejadi sumber ide yag dapat dikembagka oleh peeliti lai. E. Metode Peelitia Peelitia ii merupaka studi literatur. Seperti pada peelitia demikia, maka dalam peelitia ii ditempuh lagkah-lagkah sebagai berikut:. Dipelajari tetag defiisi da sifat struktur gelaggag 2. Dipelajari tetag defiisi da sifat matriks atas gelaggag 3. Dipelajari tetag defiisi da sifat semigrup 4. Dipelajari tetag defiisi semigrup admit struktur gelaggag. 5. Dikaji tetag karakteristik subsemigrup M R dega determiaya ol maupu suatu ideal dalam M R 6. Dikaji tetag karakteristik subsemigrup G R maupu himpua bagia dari G R, yaitu himpua semua matriks yag determiaya 2

3 BB II LNDSN TEORI Utuk keperlua dalam pembahasa masalah yag telah diagkat pada rumusa masalah sebelumya, maka perlu didukug defiisi rig (gelaggag) sebagai berikut : Defiisi 2.. ( dkis : p. 49 ) Rig (R,+,. ) adalah suatu himpua R bersama dega dua operasi bier + : RxR R ( pejumlaha ) da. :RxR R ( pergadaa ) yag memeuhi aksioma sebagai berikut: (a) ( R,+ ) merupaka grup abelia (b) a.(b.c) = (a.b).c ( asosiatif) (c) a.(b + c) = a.b + a.c da (a + b).c = a.c + b.c ( distributif kaa da kiri ) Rig R dikataka komutatif, jika terhadap operasi pergadaaya bersifat komutatif, da dikataka mempuyai eleme satua jika terdapat R sedemikia sehigga a.=.a=a.. Suatu eleme a R dikataka mempuyai ivers b R jika berlaku a.b=b.a=. Suatu rig disebut lapaga ( field ) jika komutatif, mempuyai eleme satua da setiap eleme tak olya mempuyai ivers. Dalam mempelajari suatu struktur aljabar, seatiasa dipelajari suatu sub strukturya, yag didefiisika atas himpua bagiaya. Dalam hal ii, diberika defiisi tetag sub rig sebagai berikut: Defiisi 2.2. ( dkis : p. 5) Misalka S himpua bagia dari rig R, himpua S dikataka sub rig dari R jika terhadap operasi bier yag sama pada R, S membetuk rig. Matriks yag etri-etriya aggota suatu rig, disebut matriks atas rig, yag diotasika dega M x ( R ). Dalam hal ii rigya adalah rig komutatif. Utuk mecari determia matriks atas rig komutatif aalog dega cara mecari determia suatu matriks atas lapaga. Beberapa hal terkait dega matriks atas rig diberika dalam defiisi, teorema maupu lemma sebagai berikut: Teorema 2.. ( Brow: p. 6 ) ( Laplace ) Diberika =(a ij ) M x ( R) 3

4 (a) a cof ( ) det( ), i,k=,, ij j kj (b) a cof ( ) det( ) ij ik jk i dega cof adalah kofaktor matriks. ik Teorema di atas bergua dalam meetuka determia suatu matriks dega megguaka ekspasi kofaktor dari matriks yag bersagkuta. Selajutya diberika sifat sifat matriks atas rig, terkait dega determiaya: Teorema 2.2. ( Brow : p.6 ) Diberika =(a ij ) M x ( R), berlaku: adj() = adj (). =det (). I, dega dj ( ) cof ( ) Selajutya, teorema berikut secara eksplisit memberika syarat cukup da perlu suatu matriks atas rig mempuyai ivers, atau ivertibel: Teorema 2.3. ( Brow : p. 8 ) Diberika =(a ij ) M x ( R), maka ivertibel jika da haya jika det() adalah uit di R. Teorema berikutya meyajika sifat determia yag lai, terkait dega determia matriks traposeya: Teorema 2.4. ( Brow : p. 8 ) Diberika =(a ij ) M x ( R), maka ij ij det( ) t det( ) Berikut diberika defiisi rak matriks atas rig, yag secara spesifik diberika sebagai berikut: Defiisi 2.3. ( Brow : p. 8 ) Diberika =(a ij ) M x ( R), Rak dari matriks adalah bilaga iteger sebagai berikut: rak ( ) max t R ( I ( )) t Teorema berikut memberika sifat determia suatu matriks terkait dega rak matriksya: Teorema 2.5. ( Brow : p.8 ) Misalka M (R), rak ( ) jika da haya jika det( ) Z( R) Sistem persamaa liear, dega setiap koefisie masig-masig variabel (termasuk ilai ruas kaa persamaa ) merupaka eleme dari suatu rig, dapat direpresetasika dega suatu matriks atas rig. Teorema berikut mejami adaya peyelesaia o trivial dari suatu SPL homoge : 4

5 Teorema 2.6.( Brow : p. 9) Misalka M (R),sistem persamaa liear homoge rak ( ). X O mempuyai peyelesaia o trivial jika da haya jika Utuk pegertia dasar da sifat-sifat semigrup dirujuk pada Howie yag selegkapya diberika sebagai berikut: Defiisi 2.4. ( Howie: p. ) Himpua tak kosog S yag dilegkapi dega operasi bier dikataka semigrup jika bersifat asosiatif yaitu : x, y, z S ( x y) z x ( y z) Defiisi 2.5. ( Howie: p. ) Misalka S suatu semigrup. Himpua bagia tak kosog T dari S dikataka semigrup bagia dari S jika T tertutup terhadap operasi bierya. Selajutya diberika defiisi eleme reguler maupu semigrup reguler yag didefiisika sebagai berikut: Defiisi 2.6. ( Howie:p.44 ) Misalka S, semigrup. Eleme a di S disebut eleme reguler jika terdapat x S sedemikia sehigga a x a a. Semigrup S disebut semigrup reguler jika setiap eleme di dalam S adalah eleme reguler. sehigga Semigrup S dega eleme satua, jika terdapat eleme e S, sedemikia e a a e a utuk setiap a S. Selajutya, b S disebut eleme kesatua (uit ) kiri di S jika terdapat eleme kesatua (uit ) kaa jika terdapat a S sehigga ba e, da merupaka a S sehigga ab e. Defiisi 2.7. ( Kemprasit& Siripitukdet: p. 49) Diberika S adalah semigrup, maka S = S jika S memuat eleme ol, da S = S jika S tidak memuat eleme ol. Defiisi 2.8. ( Kemprasit& Siripitukdet: p. 49) Semigrup S disebut admit struktur rig jika terdapat operasi + pada S sedemikia sehigga S membetuk rig 5

6 BB III PEMBHSN Utuk suatu matriks M R da i, j :,,, ij meotasika eleme dari matriks pada baris ke- i da kolom ke j. Utuk k, l :,,, didefiisika suatu matriks kl E, dega etri-etriya didefiisika sebagai berikut: jika k i, j l Eij kl utuk yag Dapat diberika beberapa cotoh webagai berikut: E kl Sehigga matriks E selalu memuat kolom maupu baris ol. Dega demikia matriks ii selalu memeuhi det E kl utuk semua k, l :,, ( Kemprasit, Y & Siripitukdet, M: 49). Pada awalya, aka diberika teorema utuk meujukka bahwa tidak ada semigrup S yag memuat matriks-matriks di M R yag determiaya ol, yaitu M R det S R, yag merupaka semigrup admit struktur rig. M E 2 lai Teorema 3.. Misalka S adalah sub semigrup dari M R yag memuat setiap matriks M R dega det. Jika S admit struktur rig, maka S = M R. Bukti: Dari defiisi matriks k, l :, 3,,, sehigga kl E di atas, diperoleh bahwa det utuk setiap kl E S. Diketahui S admit struktur rig, sehigga dapat E kl diasumsika terdapat suatu operasi pada S sedemikia sehigga S,,. membetuk struktur rig dimaa '.' adalah operasi perkalia pada S. Selajutya ditujukka bahwa S = M R. Misalka matriks B, M R yag didefiisika sebagai berikut: B 2,, da 2 6

7 Diperoleh bahwa det B da det. Dega demikia B, S. Diketahui S admit struktur rig, maka B S. Selajutya, diperoleh juga bahwa: Sehigga dipeuhi: da E BE 2 2 E,, 2 Serta E kl, k :, 3,, Sehigga berlaku: B E BE E, da kl kl kl kl kl B E BE E BE BE utuk setiap k :, 3,, Sehigga utuk i :, 3,,, berlaku: B i B ik Ek B E i i k Utuk i :, 3,, da j :, 3,,, berlaku: i B ij k B j ik Ek B j E i j BE i j B ikek k Bij ij Kosekuesimya, B M R Sebagai akibatya, subsemigrup M R det dari semigrup R buka merupaka admit struktur rig atau dega kata lai, tidak ada operasi 7 M

8 pejumalaha yag didefiisika pada M R det sedemikia sehigga M R det membetuk struktur rig. Sifat tersebut selegkapya diberika pada akibat sebagai berikut: kibat 3.. Subsemigrup M R det dari semigrup M R buka merupaka admit struktur rig. Bukti: ka dibuktika dega kotraposisiya: Misalka himpua T M R det merupaka admit struktur rig, jelas bahwa T memuat semua matriks di M R yag determiaya ol. Meurut Teorema 3., maka berakibat T M R. Hal ii kotradiksi dega yag diketahui bahwa T M R det R M, karea tidak semua matriks di M R determiaya ol. Lema berikut meyataka salah satu sifat semigrup M (R),., dega R adalah daerah itegral dega karakteristikya tidak sama dega dua, yag aka bergua utuk pembuktia pada teorema selajutya: Lema 3.. ( Yupapor & Siripitukdet: 4 ). Misalka R adalah daerah itegral dega karakteristikya tidak sama dega dua. Jika M(R) sedemikia sehigga suatu B B utuk setiap B M (R) dega detb, maka ai utuk a R dimaa I adalah matriks idetitas atas R. Bukti: Utuk membuktika lema ii, maka utuk setiap k,, dibetuk suatu matriks ( k) M ( R), dega etri-etriya didefiisika sebagai berikut: ( ) ij k, jika i, jika k, utuk yaglai i j j k Sehigga diperoleh : 8

9 (),.. (2) da.. ()... (k) Dega demikia diperoleh: det utuk setiap k,,. Meurut yag ( k ) ( k) diketahui, maka dipeuhi: i, j,, da i j diperoleh: utuk setiap k,,. Selajutya, jika ( j) ij ( j) ikkj k Dega demikia diperoleh ij ij ij da ( j) ij ( j) ik kj k ij, atau. Dega megigat R da R adalah daerah itegral dega karakteristik tidak sama dega dua, maka persamaa tersebut haya dipeuhi utuk ij utuk setiap i, j,, da i j. Selajutya, utuk setiap k,, dibetuk suatu matriks D M ( R) dega etri-etriya didefiisika sebagai berikut: Sehigga: () D, (k) ( Dij k ) (2) D. 2 ij jika jika utuk. i i, j j k yaglai, ( k) ij () D... Sehigga det D utuk setiap k,,. Meurut yag diketahui, maka dipeuhi: ( k ) ( k) D D utuk setiap k,,, da diperoleh juga: Sehigga diperoleh ( i) ( i) D ii ikdki ii k 22. da ( i) D ii ( i) Dik ki k Dari kodisi ij utuk i j da 22, maka : ii Sehigga I ai, dega a. 9

10 Sudah dijelaska di depa bahwa M (R),. membetuk semigrup. Semetara itu, dari himpua M (R) dapat dibetuk suatu himpua bagia, yaitu himpua semua matriks di M (R) yag mempuyai ivers, atau ivertibel. Selajutya himpua tersebut diotasika dega G (R), sehigga (R) G M ( R) ivertibel. Himpua ii merupaka sub semigrup dari M (R),.. Teorema 3.2. ( Yupapor & Siripitukdet: 4 ) Misalka R adalah daerah itegral dega karakteristikya tidak sama dega dua. Jika S sub semigrup dari G (R) yag memuat semua matriks G (R) dega det, maka S buka semigrup admit struktur rig. Bukti: Misalka terdapat operasi bier pada S sedemikia sehigga S,,. membetuk suatu rig. Jelas bahwa deti, sehigga I S dega I adalah matriks idetitas dega ukura matriks B S berlaku: Hal ii berakibat maka dipeuhi atas daerah itegral R. Sehigga terdapat S sedemikia sehigga dipeuhi I. Sehigga utuk setiap B B ( I ) B B( I ) B B utuk setiap B S. Dega megguaka Lema 2., ai utuk suatu a R. Dega demikia dipeuhi I ai. Selajutya dibetuk M (R), dega etri-etriya didefiisika sebagai berikut: B B ij, jika, jika, jika, utuk i, j 2 i j i j 3 yag lai yaitu:

11 2 Jelas bahwa I, ai, I, det, sehigga S. Diketahui bahwa I ai da ai, sehigga dipeuhi I. Diketahui bahwa S sub semigrup dari G (R), sehigga: ( I ) 2 I I Dipeuhi I, sehigga persamaa tersebut haya dipeuhi I. Hal ii kotradiksi dari yag dibetuk. kibat dari Teorema 3.2 meyataka bahwa grup G (R) da sub grup G (R), yaitu himpua matriks di G (R) yag determiaya adalah buka merupaka semigrup admit struktur rig. Selegkapya diberika sebagai berikut: kibat 3.2 Jika R adalah daerah itegral dega karakteristik tidak sama dega dua, maka G (R) da sub grup G (R), yaitu himpua matriks di G (R) yag determiaya adalah buka merupaka semigrup admit struktur rig. Bukti: Diketahui G (R) suatu grup, maka dega sediriya merupaka semigrup, yag sekaligus merupaka sub semigrup trivialya. Diketahui pula G (R) memuat U G ( R) det. Sehigga meurut Teorema 2. berakibat G (R) buka merupaka semigrup admit struktur rig. Diketahui U G ( R) det suatu sub grup, maka dega sediriya merupaka sub semigrup. Jelas bahwa U memuat semua matriks dega determiaya. Sehigga meurut Teorema 2. berakibat U G ( R) det buka merupaka semigrup admit struktur rig.

12 BB IV KESIMPULN DN SRN. Kesimpula Dari pembahasa di atas disimpulka bahwa:. Misalka S adalah sub semigrup dari M R yag memuat setiap matriks M R dega det. Jika S admit struktur rig, maka S = M R. 2. Subsemigrup M R det dari semigrup M R buka merupaka admit struktur rig 3. Misalka R adalah daerah itegral dega karakteristikya tidak sama dega dua. Jika S sub semigrup dari G (R) yag memuat semua matriks (R) dega det, maka S buka semigrup admit struktur rig. 4. Jika R adalah daerah itegral dega karakteristik tidak sama dega dua, maka G (R) da sub grup G (R), yaitu himpua matriks di G (R) yag G determiaya adalah buka merupaka semigrup admit struktur rig. B. Sara Pada peelitia ii difokuska haya pada semigrup matriks, utuk peelitia selajutya dapat dikembagka pada semigrup semigrup lai 2

13 BB V DFTR PUSTK dkis, Weitraub lgebra: pproach via Module Theory. Spiger Verlag, New York. Brow, W Matrices Over ommutative Rigs. Marcel Dekker, Ic, New York. Howie. J.M, 976. Itroductio to Semigroup Theory. cademic Press, Ltd. Lodo Kemprasit, Y & Siripitukdet. 22. Matrix Semigroups dmittig Rig Structure. Bulleti al. of Mathematics 94 (5). p: