KETERKAITAN ANTARA MODUL BEBAS DENGAN MODUL DILIHAT DARI SIFAT-SIFAT HOMOMORFISME MODUL

Transkripsi

1 KETERKAITAN ANTARA MODUL BEBAS DENGAN MODUL DILIHAT DARI SIFAT-SIFAT HOMOMORFISME MODUL Khusul Afifa 1, Abdussakir 2 1 Mahasiswa Jurusa Matematika UIN Maulaa Malik Ibrahim Malag 2 Dose Jurusa Matematika UIN Maulaa Malik Ibrahim Malag apheecute@gmail.com, abdussakir@gmail.com ABSTRAK Dalam artikel ii aka dibahas tetag cara utuk megetahui suatu R-modul adalah modul bebas atau buka dega memafaatka suatu modul bebas sebagai R-modul melalui media homomorfisma modul. Peelitia ii megguaka metode kajia kepustakaa (library research), yaitu melakuka peelitia utuk memperoleh data-data da iformasi serta objek yag diguaka dalam pembahasa masalah tersebut. Berdasarka pembahasa dapat diperoleh bahwa suatu R-modul merupaka modul bebas jika R-modul tersebut isomorfik dega suatu modul bebas sebagai R-modul. Artiya, suatu Rmodul merupaka modul bebas jika terdapat suatu isomorfisma dari R-modul tersebut ke suatu modul bebas yag juga merupaka suatu R-modul. Lebih jauh lagi, jika suatu R-modul adalah modul bebas, maka R-modul tersebut isomorfik dega R, dimaa adalah kardialitas dari basis bagi R-modul tersebut. Kata Kuci : basis, homomorfisme modul, modul, modul bebas, Rig ABSTRACT I this paper, the way to kow whether R-module is free module or ot will be discussed by usig free module as R-module through module homomorphism media. I this research, the author used library research, which is coductig the research to obtai data ad iformatio about object that used i the discussio. Based o the discussio, it was obtaied that R-module was free module if the R-module was isomorphic to free module as R-module. It meas that R-module was free module if there is isomorphism from the R-module to the free module which is a R-module. Furthermore, if a R-module was free module, the the R-module would be isomorphic with R, where is cardiality from basis for the Rmodule. Keywords: basis, free module, module, module homomorphism, rig. PENDAHULUAN Struktur aljabar yag dikembagka dalam dua himpua yag tidak kosog dega dua operasi bier da memeuhi syarat tertetu, yaitu distributif kaa, distributif kiri, assosiatif, da mempuyai eleme idetitas disebut dega modul [1]. Modul sediri juga dapat dikembagka mejadi beberapa sub pembahasa di ataraya adalah homomorfisme. Seperti halya rig di dalamya dibahas megeai homomorfisme rig, maka di dalam modul juga dibahas megeai homomorfisme modul. Homomorfisme modul merupaka suatu pemetaa dari suatu modul M ke modul N yag megawetka kedua operasi yag ada dalam modul. Homomorfisme modul dibedaka mejadi 3, yaitu homomorfisme yag merupaka pemetaa satu-satu (oe to oe/ ijektif) disebut moomorfisme modul, homomorfisme yag merupaka pemetaa pada (oto/surjektif) disebut epimorfisme modul, da homomorfisme yag mempuyai sifat keduaduaya (ijektif da surjektif) atau yag dikeal dega istilah bijektif disebut isomorfisme modul [2]. Suatu modul yag memiliki basis atau himpua pembagu disebut modul bebas. Jika M adalah R-modul da terdapat X M dega X merupaka basis utuk M, maka M disebut modul bebas [3]. Peelitia ii dilakuka utuk megetahui suatu R-modul adalah modul bebas atau buka dega memafaatka suatu modul bebas sebagai R-modul melalui media homomorfisme modul.

2 Khusul Afifa TEORI DASAR 1. Fugsi Suatu fugsi dari himpua S ke T adalah atura yag megaitka setiap aggota S dega tepat satu aggota T. Aggota S disebut domai dari fugsi, da himpua T disebut kodomai [4]. 2. Operasi Bier Operasi + pada suatu himpua tidak kosog G adalah bier jika da haya jika a G, b G maka a + b G, a, b G. Sifat tersebut dari operasi di G dikataka tertutup da jika sifat ii memeuhi operasi + di G [5]. 3. Grup Misalka G adalah suatu himpua tak kosog da pada G didefiisika operasi bier +. Sistem aljabar (G, +) disebut grup jika memeuhi aksioma-aksioma: a. Operasi + bersifat assosiatif di G (a + b) + c = a + (b + c), a, b, c G b. G mempuyai usur idetitas terhadap operasi + Misalka e usur di G sedemikia higga a + e = e + a, a G maka e disebut usur idetitas. c. Setiap usur di G mempuyai ivers terhadap operasi + Utuk setiap a G ada a 1 G yag disebut sebagai ivers dari a, sehigga a 1 + a = a + a 1 = e, dimaa e adalah usur idetitas di G [5]. Grup (G, +) dikataka grup komutatif jika utuk setiap usur a da b di G berlaku a + b = b + a [6]. 4. Rig R adalah himpua tak kosog dega dua operasi bier yag dilambagka dega + da (pejumlaha pada operasi pertama da perkalia pada operasi kedua) disebut rig jika memeuhi syarat-syarat sebagai berikut: i. (R, +) adalah grup komutatif ii. Operasi bersifat asssosiatif (a b) c = a (b c), a, b, c R iii. Operasi bersifat distributif terhadap + di R, a, b, c R (a + b) c = (a c) + (b c) (distributif kaa) a(b + c) = (a b) + (a c) (distributif kiri) [7]. Misalka R da S adalah rig. Homomorfisme rig adalah pemetaa φ: R S jika memeuhi syarat-syarat berikut: i. φ(a + b) = φ(a) + φ(b), a, b R ii. φ(ab) = φ(a)φ(b), a, b R [7]. 5. Modul Misalka (R, +, ) adalah rig. R-modul di R adalah himpua M yag memeuhi: i. (M, +) adalah grup komutatif ii. Diberika pemetaa R M M, dimaa rm, r R, m M yag memeuhi: a. Distributif kaa (r + s)m = rm + sm, r, s R, m M b. Distributif kiri r(m + ) = rm + r, r R, m, M c. Assosiatif (rs)m = r(sm), r, s R, m M Jika R mempuyai usur idetitas 1 maka d. 1m = m, m M [7]. Misal R adalah rig da M adalah Rmodul. R-submodul di R adalah N subgrup dari M yag bersifat tertutup terhadap elemeeleme rig, yaitu r N, r R, N [7]. Teorema 1 Misalka R adalah rig da M adalah Rmodul. Subset N di M adalah submodul di M jika da haya jika: a. N b. x + αy N, α R, x, y N [7]. Bukti a. Jika N adalah submodul di M maka 0 N jadi N. b. N bersifat tertutup terhadap operasi pejumlaha Misal α = 1, maka x + ( 1)y = x + ( y) = x y N Maka x + αy N, α R, x, y N. Misalka R adalah rig da misalka M da N adalah R-modul. Pemetaa φ: M N disebut homomorfisme modul jika pemetaa itu memeuhi syarat sebagai berikut: a) φ(x + y) = φ(x) + φ(y), x, y M b) φ(αx) = αφ(x), α R, x M [7]. 6. Modul Bebas Diketahui M adalah R-modul. Jika terdapat X M dega X merupaka basis utuk M, maka M disebut modul bebas [3]. Misalka M suatu R-modul da X M. Usur y M dikataka kombiasi liier dari X jika utuk semua x X dapat diugkapka dalam betuk y = α 1 x 1 + α 2 x α x dimaa α 1, α 2,, α adalah skalar [8]. Misalka M suatu R-modul da X M. Jika utuk semua x X dapat diyataka 153 Volume 3 No. 3 November 2014

3 Keterkaita Atara Modul Bebas Dega Modul Dilihat Dari Sifat-Sifat Homomorfisme Modul sebagai kombiasi liier maka dikataka bahwa X meretag M [8]. Misalka M suatu R-modul da X M. Maka persamaa α 1 x 1 + α 2 x α x = 0 Mempuyai palig sedikit satu pemecaha, yaki α 1 = 0, α 2 = 0,, α = 0 Jika ii adalah satu-satuya pemecaha, maka X diamaka himpua bebas liier. Jika ada pemecaha lai, maka S diamaka himpua tak bebas liier [8]. Diketahui M adalah R-modul da X M. Himpua X dikataka basis utuk M jika da haya jika: a. X meretag M b. X bebas liier [8]. METODE PENELITIAN Metode yag diguaka dalam peelitia ii adalah metode peelitia kepustakaa (library research). Adapu lagkah-lagkah yag aka diguaka oleh peeliti dalam membahas peelitia ii adalah: 1. Medefiisika kembali tetag modul, modul bebas, da homomorfisme modul serta membuat cotohya da cotoh yag salah 2. Medefiisika moomorfisme modul, epimorfisme modul, da isomorfisme modul 3. Membuat cotoh da cotoh yag salah dari moomorfisme modul, epimorfisme modul, da isomorfisme modul dega megguaka domai modul bebas da kodomaiya modul 4. Dari poi 3 didapatka dua teorema baru da membuktika teorema tersebut serta memberika cotohya. PEMBAHASAN Homomorfisme modul merupaka pemetaa dari suatu modul ke modul yag lai yag megawetka kedua operasi yag ada dalam modul tersebut. Misalka R adalah rig da misalka M da N adalah R-modul. Pemetaa φ: M N disebut homomorfisme modul jika pemetaa itu memeuhi syarat sebagai berikut: a) φ(x + y) = φ(x) + φ(y), x, y M b) φ(αx) = αφ(x), α R, x M [7]. Cotoh: Diberika R da R 2 sebagai R-modul. Melalui pemetaa φ: R 2 R yag didefiisika dega φ(x) = 0 R. Aka ditujukka φ adalah homomorfisme modul. Berdasarka defiisi homomorfisme modul, φ dikataka homomorfisme modul jika memeuhi sifat-sifat berikut: i. φ(x + y) = φ(x) + φ(y) φ(x + y) = 0 R ( berdasarka defiisi φ, karea x + y R 2 ) Dilai pihak, φ(x) + φ(y) = 0 R + 0 R = 0 R Jadi φ(x + y) = φ(x) + φ(y) ii. φ(αx) = αφ(x) φ(αy) = 0 R ( berdasarka defiisi φ, karea αy R 2 ) Dilai pihak, αφ(y) = α0 R = 0 R φ(αx) = αφ(x) Jadi φ terbukti homomorfisme modul. Secara garis besar, homomorfisme modul dibedaka mejadi tiga, yaitu moomorfisme, epimorfisme, da isomorfisme. Misalka R adalah rig, M da N adalah R modul, jika homomorfisme modul dari M ke N bersifat ijektif (satu satu) maka disebut moomorfisme modul [7]. Cotoh: Diberika Z da Z Z 2 sebagai Z-modul. Pemetaa φ Z Z Z 2 didefiisika sebagai φ(x) = (x, 0). Pemetaa φ ii adalah pemetaa moomorfisme. Ambil sebarag x, y Z da α Z, maka 1. φ(x + y) = (x + y, 0) = (x, 0) + (y, 0) = φ(x) + φ(y) 2. φ(αx) = (αx, 0) = (αx, α0) = α(x, 0) = αφ(x) Dari 1 da 2, dapat disimpulka bahwa φ adalah suatu homomorfisme modul. Kemudia, utuk sebarag φ(x), φ(y) R φ dega φ(x) = φ(y), berlaku 0 = φ(x) φ(y) = (x, 0) (y, 0) = (x y, 0) Oleh karea itu, x y = 0. Dega kata lai x = y. Jadi φ adalah pemetaa 1-1. Dilai pihak, terdapat (1,1) ZxZ 2 Sehigga (1,1) φ(x) utuk setiap x Z. Jadi φ buka pemetaa pada. Jadi dapat disimpulka bahwa φ adalah moomorfisme modul. Misal R adalah rig, M da N adalah Rmodul, jika homomorfisme modul dari M ke N bersifat surjektif (pada/oto), maka disebut epimorfisme modul [7]. Cotoh: Diberika Z da Z 2 sebagai Z-modul. Pemetaa φ Z Z 2 didefiisika sebagai φ(x) = x (mod2). Pemetaa φ ii adalah pemetaa epimorfisme. Ambil sebarag x, y Z da α Z, maka 1. φ(x + y) = x + y (mod2) = x (mod2) + y (mod2) = φ(x) + φ(y) CAUCHY ISSN:

4 Khusul Afifa 2. φ(αx) = αx (mod2) = α(x (mod2)) = αφ(x) Dari 1 da 2, dapat disimpulka bahwa φ adalah suatu homomorfisme modul. Kemudia, utuk sebarag z Z 2, maka i) Utuk z = 0, maka terdapat 0 Z sehigga φ(0) = 0 ii) Utuk z = 1, maka terdapat 3 Z sehigga φ(3) = 1 Jadi φ adalah pemetaa pada. Dilai pihak, terdapat 1,3 Z dega 1 3, tetapi φ(3) = 1 = φ(1). Jadi φ buka pemetaa 1-1. Jadi dapat disimpulka bahwa φ adalah epimorfisme modul. Misalka R adalah rig, M da N adalah R-modul, jika homomorfisme modul dari M ke N bersifat bijektif (satu-satu) da surjektif (pada), dega kata lai homomorfisme modul dari M ke N bersifat bijektif, maka disebut isomorfisme modul. Jika terdapat suatu isomorfisme dari M ke N, maka M isomorfik dega N atau N isomorfik dega M [7]. Cotoh: Diberika Z 4 da M = {( a 11 a 12 a 21 a ) a 11, a 12, a 21, a 22 Z} adalah Zmodul. Pemetaa φ M Z 4 didefiisika 22 sebagai φ(a) = (a 11, a 12, a 21, a 22 ) dimaa a = ( a 11 a 12 a 21 a ). Pemetaa φ ii adalah pemetaa 22 isomorfisme. Ambil sebarag x, y M da α Z, maka i) φ(x + y) = ( x 11 + y 11 x 12 + y 12 x 21 + y 21 x 22 + y 22 ) = (x 11 + y 11, x 12 + y 12, x 21 + y 21, x 22 + y 22 ) = (x 11, x 12, x 21, x 22 ) + (y 11, y 12, y 21, y 22 ) = φ(x) + φ(y) ii) φ(αx) = φ (( αx 11 αx 12 αx 21 αx 22 )) = (αx 11, αx 12, αx 21, αx 22 ) = α(x 11, x 12, x 21, x 22 ) = αφ(x) Dari (i) da (ii), dapat disimpulka bahwa φ adalah suatu homomorfisme modul. Kemudia utuk sebarag (m 11, m 12, m 21, m 22 ) Z, maka terdapat m = ( m 11 m 12 m 21 m 22 ) aggota M sehigga φ(m) = (m 11, m 12, m 21, m 22 ). Jadi φ adalah pemetaa pada. Di lai pihak, utuk sebarag φ(x), φ(y) R φ dega φ(x) = φ(y), berlaku 0 = φ(x) φ(y) = (x 11, x 12, x 21, x 22 ) (y 11, y 12, y 21, y 22 ) = (x 11 y 11, x 12 y 12, x 21 y 21, x 22 y 22 ) Oleh karea itu, x ij y ij = 0 utuk setiap i, j = 1,2. Dega kata lai x ij = y ij utuk setiap i, j = 1,2. Sehigga diperoleh x = y. Jadi φ adalah pemetaa 1-1. Jadi dapat disimpulka bahwa φ adalah isomorfisma modul. Pada cotoh moomorfisme da epimorfisme, domaiya adalah Z sebagai Zmodul. Telah diketahui bahwa Z sebagai Zmodul adalah Modul bebas dega basis {1}. Pada cotoh epimorfisme, mudah diketahui bahwa Z 2 sebagai Z-modul buka modul bebas disebabka satu-satuya pembagu di Z 2, yaitu {1} tak bebas liear, karea terdapat 2 Z dimaa 2 0, berlaku 2 1 = 0 di Z 2. Jadi epimorfisme buka jamia utuk kodomai merupaka modul bebas saat domai modul bebas. Selajutya, pada cotoh moomorfisme, Z Z 2 juga buka modul bebas ( Hal ii aka dibuktika dega teorema terakhir pada bab ii ). Jadi moomorfisme buka jamia utuk kodomai merupaka modul bebas saat domai modul bebas. Terakhir, pada cotoh ketiga, yaitu isomorfisme, Z 4 sebagai Z-modul adalah modul bebas dega basis {(1,1,1,1)}. Begitu pula dega M sebagai Z-modul juga merupaka modul bebas dega basis {( ), ( ), ( ), (0 0 )}. Dari cotoh 0 1 isomorfisme ii, ada kemugkia bahwa isomorfisme bisa jadi jamia utuk kodomai modul bebas saat domai adalah modul bebas. Hal ii dijawab oleh teorema berikut. Teorema 2 Misalka M da F adalah R-modul. Jika M adalah modul bebas da M isomorfik dega F, maka F modul bebas. Bukti Misalka X = {x 1, x 2,, x } adalah basis utuk M da φ adalah isomorfisme dari M ke F. Selajutya aka ditujukka bahwa V = {φ(x 1 ), φ(x 1 ),, φ(x )} adalah basis bagi F. i) V membagu F Ambil y F. Karea φ pemetaa pada, maka terdapat m M sehigga φ(m) = y. Karea M modul bebas, maka terdapat r 1, r 2,, r R sehigga m = r i x i = r 1 x 1 + r 2 x 2 + r 3 x r x i=1 Selai itu, karea φ suatu homomorfisme, maka φ(m) = φ( i=1 r i x i ) = φ(r 1 x 1 + r 2 x r x ) = φ(r 1 x 1 ) + φ(r 2 x 2 ) + + φ(r x ) = r 1 φ(x 1 ) + r 2 φ(x 2 ) + + r φ(x ) = i=1 r i φ(x i ) = y 155 Volume 3 No. 3 November 2014

5 Keterkaita Atara Modul Bebas Dega Modul Dilihat Dari Sifat-Sifat Homomorfisme Modul Jadi V membagu F. ii) V bebas Liear Berikutya, persamaa i=1 s i φ(x i ) = 0 F dimaa s 1, s 2,, s R, dapat dituliska mejadi φ( i=1 s i x i ) = 0 F. Karea φ pemetaa 1-1, maka prapeta dari 0 F adalah 0 M. Dega kata lai i=1 s i x i = 0 M. Karea X adalah basis bagi M, maka persamaa i=1 s i x i = 0 M haya dipeuhi oleh s 1 = s 2 = = s = 0. Oleh i=1 s i karea itu persamaa φ(x i ) = 0 F haya dipeuhi oleh skalar s 1 = s 2 = = s = 0. Jadi V bebas liear. Oleh karea itu, V basis bagi F. Jadi F adalah modul bebas. Teorema di atas adalah jamia megetahui suatu modul adalah modul bebas dega memafaatka modul bebas yag lai melalui isomorfisme. Namu, masih diperluka cara utuk meetuka modul pada domai (atau kodomai ) tersebut modul bebas atau buka, tetu saja tidak dega memafaatka kebebasa dari modul pada kodomai ( atau domai ) karea tetu saja hal ii seperti berputar ditempat yag sama. Teorema berikut dapat dijadika sebagai prosedur utuk megetahui apakah suatu R-modul adalah modul bebas atau buka. Teorema ii mejadi teorema peutup pada bab pembahasa ii. Teorema 3 Misalka M adalah R-modul. Jika M adalah modul bebas maka M isomorfik dega R, dimaa adalah kardialitas dari basis M. Bukti Misalka X = {x 1, x 2,, x } adalah basis utuk M. Maka setiap m di M dapat dituliska secara tuggal sebagai m = i=1 m i x i utuk suatu m 1, m 2,, m R. Sekarag, misalka pemetaa φ: M R didefiisika sebagai φ(m) = (m 1, m 2,, m ) dimaa m = i=1 m i x i utuk m 1, m 2,, m R. Ambil sebarag z, y M da α Z, maka i) φ(z + y) = ( i=1 (z i + y i )x i ) = (z 1 + y 1, z 2 + y 2, z 3 + y 3,, z + y ) = (z 1, z,, z ) + (y 1, y 2,, y ) = φ(z) + φ(y) ii) φ(αy) = φ( i=1 (αy i )x i ) = (αy 1, αy 2, αy 3,, αy ) = α(y 1, y 2, y 3,, y ) = αφ(y) Dari (i) da (ii), dapat disimpulka bahwa φ adalah suatu homomorfisme modul. Kemudia, utuk sebarag (m 1, m 2,, m ) R, maka terdapat m = i=1 m i x i aggota M sehigga φ(m) = (m 1, m 2,, m ). Jadi φ adalah pemetaa pada. Di lai pihak, utuk sebarag φ(z), φ(y) R φ dega φ(z) = φ(y), berlaku 0 = φ(z) φ(y) = (z 1, z 2,, z ) (y 1, y 2,, y ) = (z 1 y 1, z 2 y 2, z 3 y 3,, z y ) Oleh karea itu, x i y i = 0 utuk setiap i = 1,2,,, dega kata lai x i = y i utuk setiap i = 1,2,,. Sehigga diperoleh z = y, jadi φ adalah pemetaa 1-1. Jadi dapat disimpulka bahwa φ adalah isomorfisme modul. Oleh karea itu, M isomorfik dega R. Akibat dari Teorema 2 Jika M isomorfik dega R da M adalah modul bebas, maka R modul bebas. PENUTUP 1. Kesimpula Dari pembahasa pada bab 3, dapat disimpulka bahwa suatu R-modul merupaka modul bebas jika R-modul tersebut isomorfik dega suatu modul bebas sebagai R-modul. Artiya, suatu R-modul merupaka modul bebas jika terdapat suatu isomorfisme dari R-modul tersebut ke suatu modul bebas yag juga merupaka suatu R-modul. Lebih jauh lagi, jika suatu R-modul adalah modul bebas, maka Rmodul tersebut isomorfik dega R, dimaa adalah kardialitas dari basis bagi R-modul tersebut. 2. Sara Dalam studi modul, dikeal pula modul otheria. Utuk peelitia selajutya, dapat megkaji tetag bagaimaa megetahui suatu modul adalah modul otheria atau buka, metodeya mugki melalui media homomorfisma modul juga, atau mugki megguaka media yag lai. DAFTAR PUSTAKA [1] Yuita Wildaiati, "Pejumlaha Lagsug Pada Modul," Malag, [2] Khusiyah, "Kajia Homomorfisme Modul Atas Rig Komutatif," Malag, [3] Wija. (2009, 5 Februari) [4] Joh R. Durbi, Moder Algebra a Itroductio third editio. New York: Joh Willey & Sos, Ic, [5] M.D Raisighaia ad R.S Aggarwal, Moder Algebra. New Delhi: Ram Nagar, [6] Achmad Arifi, Aljabar. Badug: ITB CAUCHY ISSN:

6 Khusul Afifa Badug, [7] David S Dummit ad Richard M. Foote, Abstract Algebra. New York: Pretice-Hall Iteratioal, Ic, [8] Howard Ato, Aljabar Liear Elemeter Edisi Kelima. Jakarta: Erlagga, [9] M.D Raisighaia ad R.S Aggarwal, Moder Algebra. New Delhi: Ram Nagar, [10] Ato Howard, Aljabar Liear Elemeter Edisi Kelima. Jakarta: Erlagga, Volume 3 No. 3 November 2014