Penggunaan Persamaan Pendekatan Untuk panjang gelombang pantai

Transkripsi

1 Penggunaan Persamaan Penekatan Untuk panjang gelombang pantai Nizar Acma Program Stui Teknik Sipil, Universitas Janabara Yogyakarta, Jl.Tentara Rakyat Mataram Yogyakarta ABSTRAK Persamaan gelombang Airy ipergunakan secara luas karena akurasinya yang masih memaai an keseerhanaan hitungannya ibaningkan teori lain. Sungguhpun emikian masih aa satu persamaan yang membutuhkan sebuah hitungan yang iteratif yaitu menghitung panjang gelombang. Oleh sebab itu paa berbagai stanar hitungan iberikan tabel ataupun persamaan penekatannya. Makalah ini bertujuan untuk memberikan pemilihan penekatan penyelesaian persamaan gelombang yang lebih seerhana. Stui ilakukan engan cara membaningkan akurasi ari persamaan yang imunculkan alam publikasi ilmiah an tingkat kesulitan penggunaan berasarkan kompleksitas persamaan. Hasil stui menunjukkan bahwa persamaan yang iusulkan oleh John Fenton (8) memberikan hasil terbaik, itinjau ari ketelitian an keseerhanaan penggunaannya. Kata kunci: Persamaan gelombang Airy, panjang gelombang penekatan. PENDAHUUAN Perhitungan mengenai gelombang pantai paa umumnya apat menggunakan persamaan gelombang Airy. Sungguhpun persamaan ini ipanang yang paling seerhana, akan tetapi persaman analitik tersebut merupakan persamaan kompleks yang membutuhkan analisa numerik agar iperoleh hasil yang cepat an akurat. Sehingga untuk kebutuhan praktis juga iperlukan tabel hitungan interpolasi an juga pilihan penggunaan persamaan penekatan yang menggantikan persamaan kompleks tersebut engan akurasi yang apat iterima secara umum. Selanjutnya parameter hitungan lainnya apat iselesaikan engan persamaan seperti paa tabel berikut ini, Tabel. Persamaan Gelombang Pantai (USACE,6) Proses hitungan gelombang rencana imulai engan metetapkan nilai T (perioa) an H (tinggi gelombang) baik berasarkan hasil analisa preiktif ari ata primer ataupun preiksi statistik ari ata sekuner. Seangkan untuk panjang gelombang rencana apat ihitung engan persamaan (). tanh () o = gt /(π) () aalah kealaman air i lokasi (m); aalah panjang gelombang yang icari (m); T aalah perioe gelombang recana (etik); o panjang gelombang laut alam (m) yang ihitung engan persamaan (). SEMINAR NASIONA- BMPTTSSI - KoNTekS 5 H- Universitas Sumatera Utara, Mean - 4 Oktober

2 Permasalahan ini apat ikategorikan sebagai mencari penyelesaian persamaan sebagai berikut / = f(/ o ) (3) Penyelesaian secara numeris apat iselesaiakan cara interpolasi atau extrapolasi engan menggunakan program. Seangkan pencarian persamaan penekatan apat ilakukan sesuai moel persamaan yang ipilih sesuai kebutuhan, misalnya regresi linear, polinomial, regresi moel tertentu, an yang kami panang menarik aalah penekatan engan logaritmik matching (Guo Junke, ). Bambang Triatmojo alam bukunya memberikan Tabel A- untuk menghitung secara interpolasi linear. Buku Coastal Engineering Mechanic USACE (6) memberikan tiak hanya tabel tetapi juga ua persamaan penekatan yang apat igunakan. Diantara keua hal tersebut Tabel A- memberikan nilai yang paling teliti hingga 6 (enam) angka i belakang koma. Penyelesaian numerik paa persamaan tersebut ikenal engan penyelsaian mencari akar persaman. Beberapa buku an publikasi telah memberikan persamaan yang ipanang cukup baik, akan tetapi engan berkembangnya ilmu maka beberapa tahun terakhir telah itemukan perbaikan ketelitian yang cukup signifikan, misalnya oleh John Fenton (8) an Peter Nielsen (5). Publikasi ini imaksukan untuk memberikan penilaian yang setara bagi setiap persamaan penekatan tersebut sehingga memuahkan bagi pengguna untuk memilih sesuai engan kebutuhannya. Parameter penilaian alam hal ini memiliki nilai obyektif aalah perbaningan antara selisih hitungan ibaningkan relatif terhaap angka analitik, an penilaian secara subyektif yaitu melihat tingkat kesulitan penggunaan persamaan tersebut secara praktis. Batasan ari penelitian ini aalah meliputi persamaan-persamaan yang iberikan oleh USACE, Peter Nielsen, John Fenton (8), an juga sebuah persamaan yang telah kami kembangkan seniri. Metoe pengembangan ari persamaan-persamaan penekatan tersebut meliputi penekatan eret Taylor (Peter Nielsen), penekatan logaritmic matching (Nizar Achma, John Fenton 8). Seangkan penekatan persamaan lain kami efinisikan sebagai penekatan secara analogi (user moel) persamaan.. TINJAUAN PUSTAKA Persamaan Gelombang Airy Persamaan gelombang Airy aalah teori untuk gelombang engan amplituo kecil yang ikembangkan oleh Airy (845), imana muah igunakan an apat memberikan hasil hitungan perkiraan yang apat iterima untuk batasan variabel yang cukup besar. Persamaan ini tergolong persamaan gelombang linear imana hanya menggunakan orer (satu) engan amplituo kecil sehingga muah iaplikasikan an akurasinya masih memaai alam perancangan. Batasan ari persamaan Airy aalah : Fluia bersifat homogen an incompressible, jai kepaatan ρ konstan; Tegangan permukaan apat iabaikan; Efek coriolis karena putaran bumi apat iabaikan; Tekanan paa permukaan seragam an konstan; Fluia bersifat ieal atau invisci (tiak memiliki kekentalan); Gelombang tiak seang berinteraksi engan gerakan air lainnya; Aliran irotasional sehingga partikel air tiak berputar (hanya aa gaya normal an gaya geser apat iabaikan; Dasar horizontal, kaku, an bounary keap, sehingga kecepatan i asar nol; Amplituo gelombang kecil n bentuk gelombang tiak berubah paa waktu an tempat; Gelombang berbentuk atar atau lembahnya panjang (paa ua imensi); Berlaku persamaan laplace berlaku sebagai berikut: Dengan bounary : x y asar (y= -) v ; permukaan bebas = an v y fluktuasi permukaan menggunakan y ; bounary lateral ( x ) ( x ) ; H x t H Cos ( ) Cos ( kx t ) (5) T (4) H- SEMINAR NASIONA- BMPTTSSI - KoNTekS 5 Universitas Sumatera Utara, Mean - 4 Oktober

3 engan aalah frekwensi gelombang, an H aalah tinggi gelombang Gambar. Gelombang Airy (EM -- Part II chap,usace, 6) Dengan persamaan bernoulli irotational p ( v u ) gy t iperoleh fluktuasi permukaan g t Sehingga iperoleh persamaan gelombang Airy H g cosh k ( y ) sin( kx t ) (6) cosh( k ) k aalah angka gelombang /; aalah frekwensi gelombang yaitu /T Selanjutnya apat iturunkan persamaan engan tambahan penyeerhanaan yaitu paa laut angkal (shalow water) an laut alam engan spesifikasi sebagai berikut Tabel. Klasifikasi an penyeerhanaan persamaan gelombang Airy Classification / K tanh (k) Deep water ½ 4 to 4.» Transitional / to ½ / to Tanh k. Shallow water to / to /»k. Selanjutnya apat iturunkan persamaan persamaan yang aa paa tabel, yaitu sebagian ari seluruh persamaan yang terseia. Metoe penyelesaian hitungan panjang gelombang airy Metoe penyelsaian panjang gelombang airy yang iefinisikan alam persamaan (3) apat iekati sebagai:. problem penyelesaian akar persamaan numerik engan tahapan iterasi. problem penyelesaian interpolasi engan memberikan tabel yang iperlukan (misal tabel A-, Triatmojo) 3. problem penyeerhanaan persamaan ari persamaan kompleks engan penekatan antara lain: curve fitting, analogi moel, moel persamaan logaritmic matching Penyelesaian engan numerik umum ilakukan alam sebuah program aplikasi, ataupun juga apat ibuat sebagai sebua makro visual basic alam MS.Excel sebagai berikut: SEMINAR NASIONA- BMPTTSSI - KoNTekS 5 H-3 Universitas Sumatera Utara, Mean - 4 Oktober

4 Const Pi As Double = , g As Double = 9.8 Function Cari(T, ) As Double a =.56 * T ^ : a = g * T ^ * Htan( * Pi * / a) / / Pi Err = Abs(a - a) / a If Err >. Then a = (a + a) / GoTo En If Cari = a En Function Function Htan(X As Double) As Double Htan = (Exp(X) - Exp(-X)) / (Exp(X) + Exp(-X)) En Function Definisi Konstanta Menghitung : - (panjang gelombang, m) Input : - T (perioe, etik) - (kealaman laut, m) Metoa : - iterasi moifikasi bagi ua Menghitung tangen hiperbolik Gambar. Makro VBA (Visual Basic for Application) Ms Excel untuk panjang gelombang Dengan efinisi ini maka hitungan alam excel untuk kealaman 6 meter an perioe gelombang etik apat langsung istulis : =Cari(,6) Penyelesaian engan penekatan interpolasi apat ilakukan engan menyeiakan tabel hitungan gelombang Airy sebagai berikut : Tabel 3. Harga /, angka gelombang n, an koefisien Shoaling Ks fungsi (/o), alam Triatmaja Raianta Denga informasi tabel i atas maka apat ipilih harga harga yang menekati untuk selanjutnya ibuat hitungan interpolasi secara seerhana, baik itu untuk menghitung / atau n an juga Ks. Penyelesaian berikutnya aalah menggunakan persamaan penekatan, yaitu persamaan yang iturunkan engan menghilangkan kompleksitas masalah an iekati engan cara baik itu curve fitting ataupun moel lain misalnya analogi moel persamaan setara. Penjabaran an cara yang igunakan isampaikan paa bahasan berikutnya hanya mengenai cara khusus non linear yang ikembangkan untuk curve fitting ata tengan ua asimtot. Penyelesaian engan persamaan penekatan Usulan peneliti 7 berasarkan logaritmik matching (Junke Guo,) Persamaan penekatan non liniear imana terapat ua grafik asimptotis apat ilakukan penekatan berasarkan logaritmic matching. Menurut Guo (), apabila itemukan penyelesaian non linear engan ua grafik asimptotis baik paa metoe analitis maupun percobaan, maka keuanya apat ituliskan sebagai berikut : H-4 SEMINAR NASIONA- BMPTTSSI - KoNTekS 5 Universitas Sumatera Utara, Mean - 4 Oktober

5 y C C n xo n x Gambar 3. Grafik moel persaamaan penekatan logaritmik engan ua asimtot imana x aalah variabel inepenen an y aalah variabel epenen an K, K aalah ua slope paa skala logaritmis an C an C aalah titik potong i sumbu y, an x o aalah titik balik referensi ari x Untuk menggabungkan keua garis asimptot paa persamaan gabungan, maka apat igunakan ua moel persamaan logaritmik, salah satunya aalah sebagai berikut : y k x é æ x ö ù ê ç ú C ê x (7) ë è ø úû ln( ) ln Berasarkan moel persamaan tersebut maka persaman moel æ tanhç è ö ø (8) Disesuaikan menjai x y tanh( y ) an mengambil ua asimptot: x y ( y ) y untuk / kecil, x = y untuk / besar (9) Selanjutnya engan mengikuti proseur maka apat itemukan persamaan penekatan yaitu: /.46. æ ö æ 4 ö ç æ ö ç ç () ç è gt ø ç è ç è gt Rumusan J.D. Fenton, 8 berasarkan logaritmik matching (Junke Guo, ) Dengan menggunakan cara yang sama, akan tetapi engan persamaan batas / asimptot yang lain Fenton apat menyelesaikan persamaan penekatan sebagai berikut: k» g e ( / g ) ø 5 / ø / 5 Rumusan engan penekatan eret Taylor oleh Peter Nielsen, 5 Dengan menggunakan eret Taylor untuk tangen hiperbolik sebagai berikut: n n n x x 7 x ( ) B n x tanh( x ) x, x () (n )! engan B n aalah bernoulli number. Nielsen mengembangkan persamaan penekatan panjang gelombang sebagai berikut: å n () SEMINAR NASIONA- BMPTTSSI - KoNTekS 5 H-5 Universitas Sumatera Utara, Mean - 4 Oktober

6 é ù k» k ê k ( k ) jika ko <.56 (3) ú ë 6 36 û kh 3. PEAKSANAAN PENEITIAN k h k h e penekatan jika k o >.56 (4) Untuk apat memberikan penilaian ari persamaan-persamaan penekatan maka iperlukan pembaningan yang setara, untuk itu iperlukan penyetaraan persamaan, penetapan titik benchmark nilai an range batas penilaian. Penilaian ilakukan engan menghitung selisih ari persamaan penekatan terhaap titik benchmark, an iambil nilai terbesar ari seluruh titik yang iuji Penyetaraan Persamaan penekatan Persamaan penekatan harus memiliki paramter yang sama sehingga apat ihitung tabulasinya engan cara yang sama. Oleh sebab itu apat iperoleh persamaan setara sebagai berikut :. Persamaan Eckart, 95. Persaamaan Fenton an Mc Kee, tanhk k k (5) o o 3 / 4 / 3 k k tanh k o (6) 3. Persamaan Peter Nielsen, 5 é k k ê k ë 6 k k 36 ( k ) ù ú untuk ko.56 û k e untuk ko.56 (7) 4. Persamaan usulan, 7 k.46 ( k. k (8) ) 5. Persamaan Fenton, 8 5 / 4 ( k o ) / 5 k k e (9) o Penetapan range persamaan an penetapan nilai benchmark Range perbaningan hasil persamaan penekatan ilakukan paa batas batas an nilai bechmark sebagai berikut Benchmark k. E Benchmark. ko.. Gambar 4. titik-titik benchmark alam range untuk penilaian persamaan peekatan H-6 SEMINAR NASIONA- BMPTTSSI - KoNTekS 5 Universitas Sumatera Utara, Mean - 4 Oktober

7 Nilai benchmark ilakukan paa titik uji engan menggunakan persamaan : k k tanh k (9) Hasil ini menjai hasil analitik untuk ibaningkan engan hasil hitungan engan persamaan penekatan. Range igunakan aalah perkiraan ari peneliti engan memberikan range yang ipanang suah mecukupi batas maksimal an minimal yang masih mungkin terjai. Tabulasi an grafik akurasi persamaan penekatan Tabulasi pehitungan setiap titik ata ilakukan untuk semua persamaan penekatan, an sebagai hasil apat ibuat grafik hasil sebagai berikut : k..... nizar 7 eckart 95 Fenton 989 Fenton 8 Nielsen 6 Benchmark ko. Gambar 5. Plotting hasil analisis persamaan penekatan terhaap titik benchmark Penliaian hasil Berasarkan tabulasi pehitungan menurut maksimum kesalahan terjai maka apat iperoleh penilaian obyektif, seangkan penilaian kemuahan pemakaian ilihat ari jumlah suku hitungan. Tabel 4. Penilaian hasil persamaan penekatan Persamaan tahun Maksimal kesalahan Obyektif penelitian Prioritas pakai Persamaan Eckart Teliti no 4 Muah ipakai 4 Persaamaan Fenton an Mc Kee Teliti no 3 Seikit sulit 3 Persamaan Peter Nielsen Teliti no Sulit igunakan Persamaan Usulan Teliti no 5 Seikit sulit 5 Persamaan Fenton Teliti no Seikit sulit 4. KESIMPUAN DAN SARAN Berasarkan hasil hasil penelitian tersebut apat kami temukan hasil hasil simpulan sebagai berikut :. Seluruh persamaan memiliki kesalahan lebih kecil ari 6% terutama untuk kisaran k o sekitar nilai.. Kesalahan terkecil imiliki oleh penekatan oleh Nielsen, akan tetapi persamaan ini kurang praktis karena aa persamaan, akan tetapi jika hitungan ko <.46 maka persamaan ini aalah yang terbaik 3. Secara keseluruhan persamaan Eckart aalah yang termuah an relatif memiliki ketelitian memaai. 4. Persamaan yang iusulkan penulis masih belum memiliki ketelitian yang baik an belum layak igunakan. 5. Persamaan Fenton an Nielsen layak untuk igunakan engan ketelitian terbaik an apat ipilih salah satu ari keuanya sesuai kebutuhan Saran. Tiak muah untuk apat merumuskan an memperoleh persamaan yang baik sehingga perlu pembelajaran lebih lanjut untuk apat menurunkan persamaaan sekelas hasil John Fenton atau Peter Nielsen SEMINAR NASIONA- BMPTTSSI - KoNTekS 5 H-7 Universitas Sumatera Utara, Mean - 4 Oktober

8 . Persamaan keuanya layak untuk igunakan i lingkungan kampus agar memuahkan mahasiswa alam menghitung tanpa menggunakan tabel an interpolasi DAFTAR PUSTAKA Achma, Nizar (7), Pemaanan ogaritmis Paa Penekatan Persamaan Gelombang Airy, Jurnal teknik Janateknika, FT-UJB Eisi khusus Kemerekaan Agustus 7, halaman -7 Achma, Nizar (), ap. Penelitian Analisa Persamaan Penekatan Gelombang Airy Untuk Perhitungan Panjang Gelombang Pantai, PPM Universitas Janabara, Yogyakarta Fenton, John, June, Coastal an Ocean Engineering, Course Moule Institut für Wasserbau un Ingenieurhyrologie, TU Wien Guo, Junke (), ogaritmic Matching an its Application in Computational Hyraulics An Seiment Transport, J of Hyraulic research vol 4,, No 5, pg Nielsen, Peter (5), Teaching notes on coastal an estuarine proccesses, School of Engineering, The University of Quensan, Brisbane Australia Triatmojo, Bambang, Pelabuhan (996), Buku cetakan pertama, Beta Offset, Yogyakarta Triatmojo, Raianta (7), catatan kuliah Teknik Pantai, Program Pasca Sarjana Universitas Gajah Maa, Yogyakarta Inonesia USACE (6), Coastal Engineering Mechanic EM -- (change ), Chap II Part. Water Wave Mechanic H-8 SEMINAR NASIONA- BMPTTSSI - KoNTekS 5 Universitas Sumatera Utara, Mean - 4 Oktober