Konstruksi Fungsi Lyapunov untuk Menentukan Kestabilan

Transkripsi

1 JURNAL SAINS DAN SENI ITS Vol. 6, No., (27) (23-928X Pint) A 28 Konstuksi Fungsi Lyapunov untuk Menentukan Kestabilan Reni Sundai dan Ena Apiliani Juusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopembe (ITS) Jl. Aief Rahman Hakim, Suabaya 6 Indonesia apil@matematika.its.ac.id Abstak Fungsi Lyapunov adalah salah satu fungsi yang dikonstuksi untuk memeiksa kestabilan global dai suatu sistem nonlinie. Pada penelitian ini digunakan metode Vaiabel Gadien, Kavoskii dan Enegi Casimi dalam mengkonstuksi fungsi Lyapunov. Bedasakan hasil pehitungan dan simulasi yang dilakukan menggunakan metode vaiabel gadien dan metode Enegi Casimi dipeoleh fungsi Lyapunov untuk sistem Loenz pada semua titik kesetimbangan. Sedangkan metode Kavoskii belum menghasilkan fungsi Lyapuno untuk sistem Loenz pada semua titik kesetimbangan. Kata Kunci Fungsi Lyapunov, Vaiabel Gadien, Kasovkii, Enegi-Casimi, Sistem Loenz. M I. PENDAHULUAN ATEMATIKA meupakan disiplin ilmu yang dapat diteapkan dalam bebagai ilmu pengetahuan dan dapat membeikan intepetasi solusi analitis yang lebih inci. Pemasalahan yang tejadi dalam kehidupan sehaihai kebanyakan meupakan sistem dinamik. Sistem dinamik yaitu suatu sistem pesamaan yang dipengauhi oleh peubahan geak dan waktu. Salah satu kajian penting dalam pemasalahan sistem dinamik yakni bagaimana keadaan sistem, apakah sistem tesebut meupakan sistem yang stabil atau tak stabil. Aleksande Mikhailovich Lyapunov dalam tesisnya yang bejudul A geneal task about the stability of motion mengembangkan dua metode untuk menganalisis kestabilan dai suatu kesetimbangan, yang dikenal dengan metode Lyapunov langsung (The Second Method of Lyapunov) dan metode Lyapunov tak langsung (Fist Method ). Penyelesian kestabilan sistem dinamik dengan metode Lyapunov langsung mensyaatkan suatu fungsi, yang disebut sebagai fungsi Lyapunov. Yaitu fungsi skala yang memenuhi bebeapa syaat diantaanya jika ada sebuah fungsi definit positif sedemikian sehingga tuunan dai yaitu semidefinit negatif []. Metode Lyapunov langsung banyak diteapkan untuk menganalisis kestabilan baik sistem linie maupun sistem nonlinie, sistem time-invaiant dan juga sistem time-vaying. Pada penelitian ini dibahas mengenai mengkonstuksi fungsi Lyapunov untuk menganalisis kestabilan pada sistem nonli\-nie dengan menggunakan metode vaiabel gadien, metode Kasovkii, dan metode Enegi-Casimi dan hasil konstuksi fungsi Lyapunov akan diteapkan pada contohcontoh sistem dinamik nonlinie yaitu sistem Loenz. A. Sistem Loenz II. DASAR TEORI Sistem pesamaan difeensial biasa dai sistem Loenz sebagai beikut: dx = σ(y x) dy = x y xz dz = xy βz Keadaan atmosfe dalam model ini dapat digambakan secaa utuh dengan tiga buah vaiabel begantung waktu yaitu: laju konveksi x, distibusi tempeatue hoizontal y, dan distibusi tempeatue vetikal z, dengan tiga paamete yang menjelaskan kaakte dai model tesebut yaitu: σ (asio viskositas tehadap konduktivitas temal), (pebedaan tempeatue antaa bagian atas dan bagian bawah lapisan), dan β (pebandingan luas dan ketebalan. B. Kestabilan dan Titik Kesetimbangan Setiap sistem memiliki keadaan setimbang yang bebedabeda. Keadaan setimbang suatu sistem dapat tejadi pada suatu titik yang disebut titik kesetimbangan. Titik kesetimbangan adalah suatu titik saat sistem tidak mengalami peubahan sepanjang waktu. Sebuah titik x e R n adalah sebuah titik kesetimbangan dai sistem pesamaan difeensial x = f(x) jika memenuhi f(x e ) =.[5] C. Fungsi Lyapunov Fungsi Lyapunov adalah suatu fungsi yang memenuhi tiga penyataan beikut ini. Definsi 2. [6] Dibeikan fungsi V: D R n > R dan x e D titik kesetimbangan sistem pesamaan difeensial nonlinie. Fungsi V disebut fungsi Lyapunov jika memenuhi penyataan beikut: a. Fungsi V kontinu dan mempunyai tuunan pasial petama yang kontinu pada D. b. Fungsi V(x) > untuk x D dengan x x e dan V(x e ) = dengan x = xe (dengan titik kesetimbanganx e meupakan titik minimum global). c. Fungsi V (x) untuk setiap x D. D. Metode Vaiabel Gadien Dibeikan V D R adalah fungsi difeensial kontinu

2 JURNAL SAINS DAN SENI ITS Vol. 6, No., (27) (23-928X Pint) A 29 dan g(x) = ( V x )T. Deivatif dai V(x) sepanjang tayektoi dibeikan oleh n V(x) = V x i = d(σg i (σx)) dσ = g x i dσ i (x) i= Kemudian, mengkonstuksi g(x) sedemikian sehingga g(x) adalah gadien dai fungsi definit positif dan V (x) = g T (x)f(x) <, x D, x. Fungsi V(x) bisa dihitung dengan integal V(x) = g T (σx) xdσ = g j (σx)x j dσ E. Metode Kavoskii n j= Poposisi 2.2 Fungsi f, g R n R n adalah fungsi difeensial kontinu sedemikian sehingga f() =. Maka untuk setiap x R n tedapat α [,] sedemikian sehingga g T (x)f(x) = g T (x) f x (αx)x Teoema 2.2 (Teoema Kasovskii) Dibeikan x(t) = adalah titik kesetimbangan untuk system dinamika nonlinie x (t) = f(x(t)), x() = x, t Dimana f: D R n adalah difeensial kontinu dan D adalah himpunan buka dengan D. Diasumsikan tedapat matik definit positif P R nxn dan R R nxn sedemikian [ f T x (x)] P + P [ f (x)] R, x D, x x Maka solusi nol x(t) = adalah kesetimbangan tunggal stabil asymptotis dengan fungsi lyapunov V(x) = f T (x)pf(x). Jika D R n, maka solusi nol x(t) = adalah ketimbangan tunggal stabil asymptotis global. F. Metode Enegi Casimi Dibeikan fungsi C: D R dan didefinisikan (x) μ i C i (x) Untuk μ i, i =,,. Teoema 2.3 (Teoema Enegi-Casimi) dengan menganggap sistem dinamika nonlinie dimana f: D R n adalah lipschitz kontinu pada D. Dibeikan x e D adalah titik kesetimbangan dai suatu sistem dan dibeikan C i : D R, i =,, menjadi fungsi Casimi. Diasumsikan bahwa vekto C i (x e ), i = 2,, adalah bebas linie dan andaikan tedapat μ = [μ,, μ ] T R sedemikan hingga μ, E (x e ) = dan x T E (x e )x >, x M, dimana M {x D: C i (x e )x =, i = 2, }. Maka tedapat α sedemikian sehingga i= E (x e ) + α ( C i x (x e )) i=2 T ( C i x (x e )) > Kemudian, solusi kesetimbangan x(t) x e dai sistem dinamika nonlinie adalah stabil lyapunov dengan fungsi lyapunov. V(x) = E(x) E(x e ) + α 2 [C i (x) C i (x e )]2 i=2 A. Titik Kesetimbangani III. PEMBAHASAN Jika > maka tedapat dua titik kesetimbangan yaitu ( b( ), b( ), ) dan ( b( ), b( ), ), sedangkan < tedapat satu titik kesetimbangan yaitu pada titik (,,). B. Kestabilan Lokal Metode yang digunakan untuk mentansfomasi sistem nonlinie menjadi sistem linie adalah metode matik Jacobi. Matik Jacobi yang dibentuk dai sistem diatas adalah σ σ J = [ z x] y x b Titik kesetimbangan nol T = (,,), dipeoleh pesamaan kaakteistik yaitu (λ + b)(λ 2 + (σ + )λ + σ( )) = Kaena b, σ dan adalah konstanta positif, maka aka-aka pesamaan kaakteistik yang dipeoleh adalah λ = b, λ 2,3 = 2 (σ + ) ± 2 σ2 (2 + 4)σ +. Untuk <, kondisi didalam aka kuadat kuang dai (σ ) 2, menjadikan λ < sehingga nilai eigen benilai negatif dan iil. Oleh kaena itu, titik kesetimbangan pada titik (,,) besifat stabil. Sedangkan pada dua titik yang lain (T 2 dan T 3 ), pesamaan kaakteistik yang didapatkan yaitu λ 3 + (b + σ + )λ 2 + (σb + b)λ + 2bσ( ) = Dengan menggunakan Routh-Huwitz, maka dua titik kesetimbangan jika < < σ(σ+b+3),maka T σ b 2,3 = (± b( ), ± b( ), ) besifat stabil. C. Metode Vaiabel Gadien Dengan dimisalkan h x h 2 y h 3 z V(x) = [ h 2 x h 22 y h 23 z] h 3 x h 32 y h 33 z Maka fungsi Lyapunov adalah. Titik Kesetimbangan nol V = V(x) dx = γ(x 2 + y 2,3z 2 + yz)d γ = 2 (x2 + y 2,3z 2 + yz) 2. Titik Kesetimbangan pada dua titik yang lain V = 2 ((x x ) 2 + (y y ) 2 ) D. Metode Kavoskii,3(z z ) 2 + (y y )(z z )). Titik Kesetimbangan nol Titik kesetimbangan yaitu T = (,,) disubstitusikan ke matiks J. Selanjutnya

3 JURNAL SAINS DAN SENI ITS Vol. 6, No., (27) (23-928X Pint) A 3 mendapatkan matiks P yaitu 2 ( ) 22( ) 22( ) P = ( ) ( ) 22( ) 22( ) [ Fungsi Lyapunov adalah V = f T (x)pf(x) 3 6] IV. SIMULASI DAN ANALISIS A. Titik Kesetimbangan nol Nilai paamete yang digunakan adalah σ =, β = 8/3. Beikut ini adalah hasil penyelesaian dai fungsi Lyapunov beseta tuunannya 2 = (σ(y x))2 22( ) 2( ) σ(y x)(x( z) y) 22( ) ( ) + 22( ) (x( z) y)2 + 3 (xy βz) Titik kesetimbangan pada T 2 = ( b( ), b( ), ) V =,346(σ(y x)) 2 +,339σ(y x)(x( z) y) +,726σ(y x)(xy βz) +,4694(x( z) y) 2,26(x( z) y)(xy βz) +,338(xy βz) 2 3. Titik Kesetimbangan T 3 = ( b( ), b( ), ) V = 5,642(σ(y x)) 2 4,83σ(y x)(x( z) y) +,3256σ(y x)(xy βz) 27,2288(x( z) y) 2,8564(x( z) y)(xy βz) 7,2255(xy βz) 2 E. Metode Enegi Casimi. Titik Kesetimbangan nol Gamba. Gafik Fungsi Lyapunov dengan Metode Vaiabel Gadien, =.5 Gamba 2. Gafik Tuunan Fungsi Lyapunov Bedasakan gamba dan 2, telihat bahwa fungsi Lyapunov dengan metode vaiabel gadien semua beada pada nilai positif dan begeak menuju nol. Dan tuunannya dimana semua nilai beada pada bagian negatif dan begeak menuju titik nol.hal ini menunjukkan bahwa Fungsi Lyapunov dapat dikonstuksi dengan metode Vaiabel gadien untuk sistem Loenz pada titik kesetimbangan nol dengan paamete =,5. V = 2 (x2 + y 2 ) + 4 y4 2. Titik Kesetimbangan pada dua titik yang lain V = b 2 (y2 y 2 ) + d 2 (z2 z 2 ) (y y ) (z z ) + 2 d ( 2 (z2 z 2 ) ) (z z ) Dengan b = ± dan d =. β( ) 2 Gamba 3. Gafik Fungsi Lyapunov dengan Metode Kavokii, =,5

4 JURNAL SAINS DAN SENI ITS Vol. 6, No., (27) (23-928X Pint) A 3 B. Titik Kesetimbangan dua titik yang lain Gamba 4. Gafik Tuunan Bedasakan gamba 3 dan 4 telihat bahwa fungsi Lyapunov dengan metode Kavoskii semua beada pada nilai positif dan begeak menuju nol. Dan tuunan dimana sebagian nilai beada pada bagian positif dan sebagian nilai beada pada bagian negatif begeak menuju titik nol juga.hal ini menunjukkan bahwa Fungsi Lyapunov tidak dapat dikonstuksi dengan metode Kavoskii untuk sistem Loenz pada titik kesetimbangan nol dengan paamete <. Gamba 7. Gafik Fungsi lyapunov dengan metode Vaiabel Gamba 8. Gafik tuunan dai gamba 7 Gamba 5. Gafik Fungsi Lyapunov dengan Metode Enegi Casimi Bedasakan gamba 7 dan 8, telihat bahwa fungsi Lyapunov semua beada pada nilai positif dan begeak menuju nol. Dan tuunannya dimana semua nilai beada pada bagian negatif dan begeak menuju titik nol.hal ini menunjukkan bahwa Fungsi Lyapunov dapat dikonstuksi dengan metode Vaiabel gadien untuk sistem Loenz pada titik kesetimbangan 2 dengan paamete = 24. Sistem Loenz pada titik kesetimbangan 2 besifat stabil. Gamba 6. Gafik Tuunannya Bedasakan gamba 5 dan 6 telihat bahwa fungsi Lyapunov dengan metode Enegi Casimi semua beada pada nilai positif dan begeak menuju nol. Dan tuunannya dimana semua nilai beada pada bagian negatif dan begeak menuju titik nol.hal ini menunjukkan bahwa Fungsi Lyapunov dapat dikonstuksi dengan metode Enegi-Casimi untuk sistem Loenz pada titik kesetimbangan nol dengan paamete =.5. Gamba 9.Gafik Fungsi Lyapunov dengan metode Kavokii

5 JURNAL SAINS DAN SENI ITS Vol. 6, No., (27) (23-928X Pint) A 32 V. PENUTUP Gamba. Gafik Tuunan dai gamba 9 Bedasakan gamba 9 dan telihat bahwa fungsi Lyapunov semua beada pada nilai negatif dan begeak menuju titik nol. Dan tuunannya dimana nilai beada pada bagian positif dan begeak menuju titik nol. Hal ini menunjukkan bahwa Fungsi Lyapunov belum dapat dikonstuksi dengan metode Kavoskii untuk sistem Loenz pada titik kesetimbangan A. Kesimpulan. Sistem pada titik kesetimbangan pada (,,) besifat stabil local jika < dan pada dua titik kesetimbangan yang lain besifat stabil jika < < σ(σ+β+3) σ β 2. Sistem Loenz pada titik kesetimbangan (,,) dipeoleh a. Fungsi Lyapunov dapat dikonstuksi dengan metode vaiabel gadien. b. Fungsi Lyapunov belum dapat dikonstuksi dengan menggunakan metode Kavoskii. c. Fungsi Lyapunov dapat dikonstuksi dengan metode Casimi. 3. Sistem pada dua titik kesetimbangan yang lain. a. Fungsi Lyapunov dapat dikonstuksi dengan metode vaiabel gadien. Sistem Loenz besifat stabil jika < < σ(σ+β+3) σ β b. Fungsi Lyapunov belum dapat dikonstuksi dengan menggunakan metode Kavoskii. c. Fungsi Lyapunov dapat dikonstuksi dengan metode Casimi. Sistem Loenz besifat stabil jika < < σ(σ+β+3) σ β DAFTAR PUSTAKA Gamba. Gafik Fungsi Lyapunov dengan metode Enegi Casimi [] Riyanto, Andi (25). Analisis Kestabilan Sistem Suspensi Mobil Sepeempat Kendaaan Dengan Metode Lyapunov Langsung. Skipsi S, Univesitas Islam Negei Sunan Kalijaga Yogyakata. [2] Khalil, H. (22). Nonlinea System Thid Edition. New Jesey: Peason Pentice Hall Gamba 2.Gafik tuunan gamba Bedasakan gamba dan 2 telihat bahwa fungsi Lyapunov semua beada pada nilai positif dan begeak menuju titik nol. Dan tuunan dimana semua nilai beada pada bagian negatif dan begeak menuju titik nol. Hal ini menunjukkan bahwa Fungsi Lyapunov dapat dikonstuksi dengan metode Enegi-Casimi untuk sistem Loenz pada dua titik kesetimbangan yang lain. Sistem tesebut pada titik kesetimbangan T 2 besifat stabil jika < < 24.7.