ESTIMASI VARIANSI PADA PENARIKAN SAMPEL DUA TAHAP UNTUK DATA TIDAK LENGKAP. Sri Subanti Jurusan Matematika F.MIPA Universitas Sebelas Maret Surakarta.

Transkripsi

1 Vol. 6. No., 0 6, Apil 003, ISSN : ESTIMASI VARIANSI PADA PENARIKAN SAMPEL DUA TAHAP UNTUK DATA TIDAK LENGKAP Si Subanti Juusan Matematika F.MIPA Univesitas Sebelas Maet Suakata. Abstact Rasio estimation unde two phase simple andom sampling is studied. A new lineaisation vaiance estimato that makes moe complete use of the sample data than a standad one is poposed. A jackknife vaiance estimato and its lineaised vesion ae also obtained. Unconditional and conditional epeated sampling popeties of these vaiance estimates ae studied though simulation. Applications to mass imputation unde two phase sampling and deteministie imputation fo missing data ae also given. Keywods : A design consistent vaiance estimation; lineaisation vaiance estimation; jackknife vaiance estimation.. PENDAHULUAN Penaikan sampel dua tahap seing pula disebut sebagai penaikan sampel geombol dua tahap, kaena meupakan pengembangan lebih lanjut dai penaikan sampel geombol sedehana atau yang lebih dikenal dengan penaikan sampel begeombol. Alasan digunakannya penaikan sampel dua tahap yaitu tidak adanya keangka penaikan sampel yang dapat mndaftakan semua elemen atau submit dalam populasi. Dengan demikian pada dasanya penaikan sampel dua tahap yaitu memilih sampel acak sedehana dai chuste-chuste dan kemudian mengambil lagi sampel acak sedehana dai elemen-elemen dalam setiap chuste tepilih. Adapun teknik penaikan sampel tegantung pada peolehan infomasi sebelumnya mengenai vaiabel pembantu i, estimasi asio dan egesi membutuhkan suatu pengetahuan tentang ata-ata X. Jika diinginkan untuk melapis populasi menuut i haus diketahui lebih dulu fekuensi distibusinya. 0

2 Estimasi Vaiansi pada (Si Subanti Jika keteangan kuang atau data yang dipeoleh tidak lengkap maka untuk lebih mudahnya pada pengambilan sampel besa petama i sendii yang diuku. Tujuan sampel ini adalah untuk membeikan estimasi yang baik dai X atau fekuensi distibusi i. Sehingga dalam sebuah suvei yang tujuannya membuat estimasi untuk bebeapa vaiabel y i lainnya, pehatian banyak ditujukan pada sumbe-sumbe dai awal walaupun ini beati bahwa ukuan sampel dalam suvei pokok mengenai y i akan bekuang.. LANDASAN TEORI Beckman dan Michael [987] telah menyelidiki bahwa nilai haapan µ = Ef{ y} yang beasal dai fungsi densitas f dan µ = Ef { y} yang beasal dai fungsi densitas f. Kemudian oleh deming, d.k.k (994 ancangan tesebut yang seupa dengan penaikan sampel ata-ata dapat menghasilkan estimasi yang tidak bias tentang µ dan µ. Selanjutnya oleh Yeh, Lam dan Chi Van (997 telah menyelidiki pula bahwa penaikan sampel sedehana untuk setiap y dengan pembobot yang sama yaitu w mempunyai ata-ata sampel y yang bebentuk m w y. Hestebey [995] juga telah behasil menyelidiki bahwa y mempunyai vaiansi minimu, kemudian dikembangkan oleh Fahmie, d.k.k [985] yaitu telah i= mempeoleh estimasi-estimasi yang tidak bias untuk y tesebut. Kemudian Hamilton dan May [995] telah mengembangkan vaiansi y dapat dihitung dai seluuh pemutasi sehingga dapat menghasilkan juga vaiansi yang minimum. Oleh kaena itu Kig [998] dapat menyimpulkan bahwa vaiansi minimum dalam suatu sampel meupakan estimasi maksimum likelihood. 3. SAMPLING DUA TAHAP 3.. Estimato Vaiansi Linie i i Pada peneapan penaikan sampel dua tahap, vaiabel pembantu i telah digunakan untuk membuat estimasi egesi dai Y.

3 Vol. 6. No., 0 6, Apil 003, ISSN : Pada sampel petama (besa dengan ukuan n kita hanya menguku i, dan pada sampel kedua sebuah subsampel acak dengan ukuan n n = vn = dengan faksi v k dipilih telebih dulu, selanjutnya diuku i dan y i. Estimasi Y adalah = y + b dengan, meupakan ata-ata i pada sampel petama dan kedua, dan b meupakan koefisien egesi kuadat tekecil dai i dihitung dai sampel kedua. yi tehadap Jika tidak ada anggapan yang dibuat mengenai kebeadaan sebuah egesi linie pada populasinya maka tahap. Sebuah pendekatan untuk V ( y l ye akan menjadi bias sepeti pada penaikan satu dapat dipeoleh dengan anggapan bahwa penaikan sampel adalah acak dan seta dapat diabaikan. n n V ( ( S y ρ ρ S y S y n n N = +. ( Dalam menentukan kesalahan penakan sampel dai pada penaikan sampel acak sedehana, telah ditunjukkan bahwa jika b dalam dituka oleh koefisien S y B = maka kesalahan dalam estimasinya sebesa S Selanjutnya diuji estimasi vaiansinya y B elatip tehadap l n = + Misalkan ui = yi B. Dalam tahap kedua, dianggap sampel besa sebagai populasi tebatas. Selanjutnya, kaena sampel kecil diambil secaa acak dai sampel besa maka ( l ( e E y y V y n n S S = : = n dengan n besa. V y l = V y + E Sn n n Sehingga = Sy + S ρ n N n n y. meupakan vaiansi n dalam sampel

4 Estimasi Vaiansi pada (Si Subanti Kaena S u meupakan estimasi tidak bias dai ( u = y S S ρ sehingga dipeoleh : V ( ( S y ρ ρ S y S y = + n n N Selanjutnya Royal [970] menganggap bahwa populasi tebatas adalah sebuah sampel acak dai sebuah populasi yang tidak tebatas, kemudian menjadi model tidak bias dan hasil-hasil sampel kecil untuk vaiansinya dapat dipeoleh, sehingga ( σ y ρ ρ σ y σ y E = V ye = + ( n n N Pesamaan ( mempunyai bentuk sama sepeti pesamaan ( kecuali pada ( σ y dan ρ menyatakan populasi tidak tebatasnya. Kemudian penaikan sampel dua tahap dengan egesi telah dipeluas oleh Khan dan Tipathi [967] untuk kasus p vaiabel pembantu diuku dalam sampel kedua, Y dengan egesi linie beganda diestimasi denga egesi linie beganda y pada vaiabel ini. Dengan sampel kedua meupakan sebuiah sampel acak dai sampel petama dan dengan menganggap kenomalan peubah ganda untuk y dan, pesamaan ( untuk p > dipeoleh vaiansi ata-ata V ( ( ( S y R n n ρ R S y S y. (3 n n ( n ρ n N Misalkan sampel acak sedehana s. untuk ukuan n diambil tanpa = + + pengembalian dai populasi yang beukuan N dan i telah diobsevasi untuk semua elemen i s. Maka subsampel acak sedehana s untuk ukuan n dipilih tanpa pengembalian dai s dan y i diobsevasi untuk semua i s. Estimato asio untuk y Y adalah y = = R meupakan ata-ata untuk s dan j s meupakan ata-ata untuk s., dengan y dan keduanya 3

5 Vol. 6. No., 0 6, Apil 003, ISSN : Estimato vaiansi linieisasi tak bias untuk y dinyatakan sebagai V 0 s d = + n n n N s y. (4 dengan ( i s d = di ; s y y y n = i= s n i= s d = y R i i i Pesamaan (4 vaiansi sampel s y digunakan untuk estimasi vaiansi S y. Estimato vaiansi linieisasi untuk y e, petama dinyatakan S y sebagai i S y = y R R N N i i= S = S D + R D + R S. (5 dengan S D dan S meupakan vaiansi populasi untuk Di = yi R i dan i, SD meupakan vaiansi populasi untuk D i dan i. Sedangkan Y R =. Selanjutnya s y = s d + Rs + R s. (6 d Bedasakan (5 dan (6 bentuk estimato S y dengan i S = n i s menghasilkan estimato vaiansi linieisasi : V = s d + Rsd + R s n N n N n N Estimato ini meupakan estimato tak bias. (7 Dengan menggunakan pesamaan (6, pesamaan (4 dapat ditulus sebagai : V0 = s d + Rsd + R S n N n N n N 3.. Estimato Vaiansi Jacknife (8 Pada sampling dua tahap, misalkan Y i tidak teobsevasi untuk dapat menentukan estimato vaiansi j s maka dapat ditentukan nilai y j. i s s. Kita y, dengan elemen ke-j untuk setiap Selanjutnya untuk dan y hanya jika j s dan jika tidak j s s, menyebabkan untuk semua j s. 4

6 Estimasi Vaiansi pada (Si Subanti { } Sehingga dapat didefinisikan dengan ( j dan y j n j untuk j s = n untuk j s s y j = y j j j untuk semua j s n y y j untuk j s = n (9 untuk j s s y n j j = untuk semua j s n Metode Jacknife pada j s y ( j adalah { } n v = y j y (0 n Pesamaan (0 meupakan estimato vaiansi Jacknife dengan koeksi populasi n n hingga dan N N Untuk paamete nonlinea g ( Y adalah ɵ θ dan { } ɵ dan θ ( j = g y j = g y y j y φ =, estimato vaiansi Jacknife dan j j y j R j R untuk j s n ( j n y ( j y = j R untuk j s s n ( dengan asumsi j, bentuk (0 dan ( menjadi j s d R sd R s v + +. ( n n n 5

7 Vol. 6. No., 0 6, Apil 003, ISSN : Jika untuk n besa, maka menuut pesamaan (7; pesamaan ( menjadi v s d + R sd + R s (3 n N n N n N 4. KESIMPULAN Bedasakan uaian tesebut dapat disimpulkan bahwa, jika penaikan sampel acak sedehana dengan pengembalian maka estimato vaiansi linie maupun estimato vaiansi Jacknife meupakan estimato yang tidak bias. DAFTAR PUSTAKA. Cochan, W.Gi., Sampling Techniques, 3 d. ed, New Yok, Wily, Dofman, A.H. A note on Vaiance, estimation fo the egession estimato in double sampling. J. Am. Statist. Assoc.84, 37 40, Raw, J.N.k. E Shaw, J., Vaiance estimation unde two phase sampling with application to imputation fo missing data. Biometika 8,, , Royall, R.M., The pediction appoach to obust vaiance estimation in two stage cluste sampling J. Am. Statist. Assoc.8,4 3,