ANALISIS KESTABILAN DAN KEUNTUNGAN MAKSIMAL PADA MODEL PERTUMBUHAN POPULASI MANGSA-PEMANGSA DENGAN TAHAPAN STRUKTUR

Transkripsi

1 AALISIS KSTABILA DA KUTUGA MAKSIMAL PADA MODL PRTUMBUHA POPULASI MAGSA-PMAGSA DGA TAHAPA STRUKTUR Syamsuddin Toaha Juusan Matematika FMIPA, Univesitas Hasanuddin, Makassa, Sulawesi Selatan Atikel ini membahas model petumbuhan populasi mangsa-pemangsa. Model menyatakan laju petumbuhan tiga populasi, yaitu populasi mangsa, populasi pemangsa belum dewasa populasi pemangsa sudah dewasa. Peubahan ukuan populasi mangsa dipengauhi oleh petumbuhan intinsik dan inteaksinya dengan populasi pemangsa dewasa. Peubahan ukuan populasi pemangsa dewasa dipengauhi oleh inteaksinya dengan populasi mangsa, kematian alamiah pepindahan populasi pemangsa belum dewasa menjadi pemangsa dewasa. Peubahan populasi pemangsa belum dewasa dipengauhi oleh jumlah kelahian dai populasi pemangsa dewasa, kematian alamiah peubahan populasi pemangsa menjadi pemangsa dewasa. Dinamika ketiga populasi tesebut dinyatakan dalam bentuk sistem pesamaan diffeensial ode satu yang menyatakan peubahan ukuan populasi tehadap waktu. Dengan menganggap bahwa populasi yang ditinjau benilai ekonomi, maka ketiga populasi tesebut dieksploitasi. Selanjutnya model melibatkan fungsi pemanenan pada peubahan ketiga populasi. Kewujudan titik ekuilibium dai model beseta kestabilannya dianalisis dengan menggunakan metode lineaisasi dan uji kestabilan Routh-Huwitz. Hal ini dilakukan untuk menjamin ketiga populasi tidak akan punah dalam jangka waktu yang panjang. Selain itu, akan dianalisis usaha pemanenan optimal yang digunakan dalam mengeksploitasi populasi sehingga dipeoleh keuntungan maksimal dan ketiga populasi tetap akan lestai dalam jangka waktu yang panjang. Bebeapa kasus dianalisis yang disetai dengan simulasi numeik untuk mengetahui kestabilan titik ekuilibium dan keuntungan maksimal. Hasil analisis menunjukkan bahwa kewujudan dan kestabilan titik ekuilibium inteio pada model ditentukan oleh nilainilai paamate model dan usaha pemanenan. Ketiga populasi dapat tetap lestai meskipun dieksploitasi dengan usaha pemanenan konstan dan sekaligus membeikan keuntungan maksimal. Kata kunci: Model mangsa pemangsa, pemanenan, titik ekuilibium, kestabilan, keuntungan maksimal PDAHULUA Model petumbuhan populasi mangsa-pemangsa yang meujuk kepada model Lotka-Voltea meupakan salah model yang sangat popule dalam matematika ekologi. Luckinbill (97 mempetimbangkan suatu model populasi mangsapemangsa dan menunjukkan bahwa populasi mangsa-pemangsa dapat hidup besama untuk jangka waktu yang panjang jika kontak antaa keduanya dikuangi. Matin & Ruan ( dan Ka ( menyaankan bahwa sangat ideal untuk mengkaji fakto pemanenan pada model-model petumbuhan populasi mangsapemangsa. Ka & Chaudui ( mengkaji model mangsa-pemangsa yang meujuk kepada model Lotka-Voltea dengan mempetimbangkan pengauh pemanenan. Meeka mengkaji kemungkinan kewujudan ekuilibium bioekonomik dan pemanenan optimal. Holmbeg (99 meneliti pengauh pemanenan dengan kuota konstan dan usaha konstan. Hasi penelitian menunjukkan bahwa tangkapan dengan kuota konstan dapat mengakibatkan osilasi dan kacau seta menaikkan esiko ekploitasi yang belebihan. Sistem satu mangsa dan satu pemangsa dalam Hogat et.al. (99 A.

2 Posiding Semina asional Matematika, Sains Teknologi. Volume, Tahun, A.-A. meninjau kedua populasi mangsa dan pemangsa dipanen dengan hasil tangkapan konstan dan dipeoleh kestabilan pada hasil maksimal yang lestai. Model dinamika populasi mangsa-pemangsa memainkan pean yang penting dalam bioekonomik, khususnya dalam manajemen sumbedaya yang tebaukan. Contoh manajemen sumbe daya tebaukan adalah populasi ikan. Tangkapan optimal bekelanjutan yang bedasakan pada kiteia biaya betujuan untuk memaksimalkan keuntungan. Model dinamika populasi yang akuat melibatkan pemanenan membuat model menjadi sangat kompleks. Bebeapa fakto yang pelu dipetimbangkan dalam membuat model dinamika populasi yang kompleks adalah ukuan populasi, laju petumbuhan, kapasitas bawaan, kompetito, biaya opeasional pemanenan, haga tangkapan sebagainya, Clak (99. Bebeapa peneliti sepeti Zhang et al. (, Kaili & Xinyu ( Xu et al. (, mengembangkan model mangsa-pemangsa dengan mempehatikan tahapan stuktu pada populasi. Sun et al. (8 mengembangkan model dengan tahapan stuktu yang mempetimbangkan espon fungsional dan kebijakan pemanenan optimal. Ka & Chattopadhyay ( mengkaji model dengan tahapan stuktu dan menghubungkannya dengan kebijakan pemanenan optimal. Poblem kombinasi pemanenan telah dikaji secaa mendalam oleh Chaudui (998. Poblem kebijakan pemanenan optimal dalam bebeapa model yang melibatkan pemanenan juga telah dikaji oleh Sutinen dan Andeson (98 dan Ka dan Chaudui (. Tulisan ini menganalisis suatu model petumbuhan populasi mangsa-pemangsa dengan stuktu pada populasi pemangsa bedasakan model Lotka-Voltea dengan melibatkan usaha pemanenan konstan. Analisis pada model ini difokuskan pada hubungan antaa titik ekuilibium inteio yang stabil dengan keuntungan maksimal dan usaha pemanenan optimal. MODL POPULASI MAGSA-PMAGSA DGA TAHAPA STRUKTUR Model yang ditinjau adalah model petumbuhan populasi yang melibatkan tiga populasi, yaitu populasi mangsa, populasi pemangsa belum dewasa populasi pemangsa sudah dewasa. Model dinamika populasi mangsa-pemangsa melibatkan dua populasi pemangsa dengan tahapan stuktu telah ditinjau oleh Ka & Chattopadhyay ( dengan bebeapa asumsi yang bebeda. Model petumbuhan populasi mangsa-pemangsa dinyatakan sebagai A.

3 Toaha, Analisis Kestabilan Dan d d d K m. t menyatakan ukuan populasi mangsa pada saat t, t t menyatakan ukuan populasi pemangsa belum dewasa pada saat t menyatakan ukuan populasi pemangsa dewasa pada saat t. Model ( meupakan model dinamika pada populasi mangsa dan pemangsa dengan tahapan stuktu kaena melibatkan populasi pemangsa belum dewasa dan populasi pemangsa sudah dewasa. Petumbuhan populasi mangsa mengacu pada model petumbuhan logistik dengan laju petumbuhan intinsik sebesa dan kapasitas batas K. Laju kelahian untuk populasi pemangsa belum dewasa poposional dengan ukuan populasi pemangsa dewasa dengan konstanta poposionalitas (. Laju kematian untuk populasi pemangsa belum dewasa dan populasi pemangsa dewasa dinyatakan oleh dan. Paamete menyatakan laju konvesi dai inteaksi populasi mangsa dan populasi pemangsa dewasa yang besifat pedasi dan nilai paamete m memenuhi m. Paamete menyatakan laju konvesi populasi pemangsa belum dewasa menjadi pemangsa dewasa. Dengan asumsi bahwa ketiga populasi yang ditinjau meupakan populasi (stok yang bemanfaat bagi manusia, maka ketiga populasi tesebut selanjutnya dieksploitasi dengan laju penangkapan poposional dengan masing-masing ukuan populasi. Dengan petimbangan tesebut, model ( dikembangkan menjadi d d d K m Paamete, masing-masing menyatakan koefisien ketetangkapan untuk populasi mangsa, populasi pemangsa belum dewasa populasi pemangsa dewasa. Paamete, masing-masing menyatakan usaha (effot penangkapan yang dikenakan pada populasi mangsa, populasi. ( A. 7

4 Posiding Semina asional Matematika, Sains Teknologi. Volume, Tahun, A.-A. pemangsa belum dewasa populasi pemangsa dewasa seta memenuhi i imak s untuk i,,. Dengan memisalkan m,, d d d, model ( dinyatakan dalam bentuk. Model ( mempunyai tiga titik ekuilibium, yaitu Q,,, Q,,, dan,,, p p p Q p p ( dengan p dan. Titik Q meupakan titik inteio jika p dan p p, yaitu keadaan dimana ketiga komponen titik tesebut benilai positif. AALISIS KSTABILA TITIK KUILIBRIUM Pada model ( hanya titik ekuilibium inteio, yaitu titik Q yang akan dianalisis kestabilannya kaena pada titik ekuilibium ini keadaan ukuan populasi mangsa, populasi pemangsa belum dewasa populasi pemangsa dewasa dalam kondisi benilai positif. Analisis kestabilan titik ekuilibium dilakukan dengan metode pelineaan dan penentuan kestabilan dengan mempehatikan nilai eigen yang dipeoleh dai matiks Jacobi yang dievaluasi pada titik Q. Dai model ( dipeoleh matiks Jacobian J Dengan mengevaluasi matiks Jacobian J pada titik,. Q, dipeoleh J. A. 8

5 Toaha, Analisis Kestabilan Dan A. 9 Selanjutnya dipeoleh pesamaan kaakteistik, det ( J I f yaitu ( a a a f, dimana a,, a. a Menuut kiteia kestabilan Routh-Huwitz titik Q stabil asimptotik jika dan hanya jika, a, a dan, a a a Jeffies (989. KUTUGA MAKSIMAL PADA TITIK KUILIBRIUM ITRIOR Titik ekuilibium Q yang stabil asimptotik selanjutnya dihubungkan dengan pesoalan keuntungan maksimal. Dengan petimbangan bahwa ketiga populasi yang ditinjau benilai ekonomi dan selanjutnya dieskploitasi maka tentunya melibatkan biaya yang digunakan dalam usaha pemanenan dan hasil tangkapan membeikan pendapatan. Untuk kepeluan tesebut didefinisikan fungsi biaya total dan fungsi peneimaan total. Fungsi biaya diasumsikan poposional dengan usaha pemanenan yang dilakukan, yaitu c TC dimana c menyatakan unit biaya pemanenan. Fungsi peneimaan didefinisikan sebagai py( TR, dimana p menyatakan unit haga stok dan Y, ( menyatakan hasil pemanenan. Dengan demikian dipeoleh fungsi keuntungan sebagai. TR TC Titik ekuilibium Q,, begantung pada usaha pemanenan yang dilakukan. Dengan demikian fungsi keuntungan begantung kepada usaha pemanenan, yaitu ( ( ( TC TR. Pada keadaan ini, nilai-nilai usaha pemanenan akan ditentukan sehingga membeikan keuntungan maksimal dan titik ekuilibium yang besesuaian dengan usaha pemanenan tesebut juga stabil asimptotik. Kasus ( Pada kasus, usaha pemanenan yang dikenakan pada setiap populasi adalah sama. Dengan demikian, titik Q,, beada pada oktan petama jika (i p dan (ii p p. Syaat (i dapat dinyatakan sebagai C B A dengan A, B,

6 Posiding Semina asional Matematika, Sains Teknologi. Volume, Tahun, A.-A. dan C. Syaat (ii dapat dinyatakan sebagai A B C dengan A B C K, ( ( ( K ( (. K Dengan asumsi bahwa tedapat nilai yang memenuhi syaat (i dan (ii seta memenuhi petama. maka titik, mak s Q, beada pada oktan Fungsi keuntungan yang besesuaian dengan titik, Q, dibeikan sebagai ( p p p ( c c c ( dimana p, p, p menyatakan haga pe unit stok dan c, c, c menyatakan biaya. Pada fungsi keuntungan tesebut nilai, begantung pada. Selanjutnya akan ditentukan nilai yang memenuhi syaat (i dan (ii mak s yang memaksimalkan ( asimptotik. dan titik, Q, seta stabil Contoh. Dibeikan paamete untuk model ( dengan nilai,,,,,, K.,,,,, m,,,,,,,,. Demikian pula dibeikan nilai p,, p,, p,, c,, c,, c. Dengan nilai paamete tesebut dipeoleh titik, Q, dengan,, 8. Titik Q meupakan titik inteio jika nilai memenuhi (i 8 8 dan (ii 8. Dai syaat (i dipeoleh,, mak s maks dan dai syaat (ii dipeoleh maks,, min,.88. Dengan mengambil nilai, maka mak s dipeoleh syaat sehingga titik Q meupakan titik inteio. mak s A.

7 Toaha, Analisis Kestabilan Dan Fungsi keuntungan yang besesuaian dengan titik Q dibeikan oleh ( ( p p p ( c c c. Dengan nilai paamete yang dibeikan dan nilai pada titik ekuilibium maka dipeoleh, (,7x Plot kuva fungsi keuntungan ( dibeikan pada Gamba. Pehatikan titik kitis fungsi keuntungan pada inteval dipeoleh titik kitis *, 778 yang memaksimalkan fungsi keuntungan dengan ( 8, 9. Gamba. Fungsi keuntungan Selanjutnya dengan mengambil nilai usaha pemanenan sebesa *, 778 dipeoleh titik Q 88,8,,, 9,87. Pesamaan kaakteistik yang besesuaian dengan titik ekuilibium tesebut dibeikan oleh f (,9,78, dengan nilai eigen,87,i dan, Hal ini bemakna bahwa dengan mengaplikasikan nilai usaha pemanenan sebesa *, 778 maka ketiga populasi mangsa-pemangsa yang dieksploitasi dengan usaha pemanenan konstan tetap akan lestai dalam waktu yang panjang dan juga membeikan keuntungan maksimal. Kasus ( Pada kasus, usaha pemanenan yang dikenakan sama untuk populasi pemangsa belum dewasa dan populasi pemangsa dewasa. Dengan demikian, titik Q,, beada pada oktan petama jika memenuhi (i p dan (ii p p. Syaat (i dapat dinyatakan A.

8 Posiding Semina asional Matematika, Sains Teknologi. Volume, Tahun, A.-A. sebagai A B C dengan A, B C. Syaat (ii dinyatakan sebagai. K Dengan asumsi bahwa tedapat pasangan, yang memenuhi syaat (i dan (ii seta memenuhi mak s dan mak s maka titik Q,, beada pada oktan petama. Fungsi keuntungan yang besesuaian dengan titik, dibeikan sebagai Q, p p p c ( c c (, dimana p, p, p menyatakan haga pe unit stok dan c, c, c menyatakan biaya. Pada fungsi keuntungan tesebut nilai, begantung pada dan. Selanjutnya akan ditentukan nilai dan yang memenuhi syaat (i dan (ii seta mak s dan mak s dan titik, Q, yang memaksimalkan nilai, stabil asimptotik. ( Contoh. Dibeikan paamete untuk model ( dengan nilai,,,,,, K.,,,,, m,,,,,,,,. Demikian pula dibeikan nilai p,, p,, p,, c,, c,, c. Dengan nilai paamete tesebut dipeoleh titik, dengan Q,, 8 8,., dan Titik Q meupakan titik inteio jika nilai memenuhi (i 8 8 dan (ii. Dai syaat (i dipeoleh,, maks maks. Dengan mengambil nilai mak s dan mak s, maka titik Q meupakan titik inteio jika, D, dimana D, :,,. A.

9 Toaha, Analisis Kestabilan Dan Fungsi keuntungan yang besesuaian dengan titik Q dibeikan oleh p p p c ( c c (, Dengan nilai paamete yang dibeikan dan nilai pada titik ekuilibium dipeoleh (,, ,87x Plot pemukaan fungsi keuntungan, dibeikan pada Gamba. Pehatikan ( titik kitis fungsi keuntungan pada daeah D dipeoleh titik kitis,,79 yang memaksimalkan fungsi keuntungan dengan, (, 88,.. Gamba. Pemukaan fungsi keuntungan Selanjutnya dengan mengambil nilai usaha pemanenan sebesa,,79 dipeoleh titik Q 7,8, 7,9, 7,977., Pesamaan kaakteistik yang besesuaian dengan titik ekuilibium tesebut dibeikan oleh f (,,7, 8 dengan nilai eigen,7,78i dan, 7. Hal ini bemakna bahwa dengan mengaplikasikan nilai usaha pemanenan sebesa dan, 79 maka ketiga populasi mangsa dan pemangsa yang dieksploitasi dengan usaha pemanenan konstan akan tetap lestai untuk waktu yang panjang dan juga membeikan keuntungan maksimal. Kasus ( Pada kasus, usaha pemanenan yang dikenakan untuk ketiga populasi tidak sama. Dengan demikian, titik, Q, beada pada oktan petama jika A.

10 Posiding Semina asional Matematika, Sains Teknologi. Volume, Tahun, A.-A. memenuhi (i p dan (ii p p. Selanjutnya syaat (i dan (ii dapat dinyatakan sebagai dan. Dengan K asumsi bahwa tedapat pasangan, yang memenuhi syaat (i dan (ii seta memenuhi pada oktan petama. i imak s, untuk,, i, maka titik, Q, beada Fungsi keuntungan yang besesuaian dengan titik, dibeikan sebagai, Q, p p p c c c ( dimana p, p, p menyatakan haga pe unit stok dan c, c, c menyatakan biaya. Pada fungsi keuntungan tesebut nilai, begantung pada,, dan. Selanjutnya akan ditentukan nilai, yang memenuhi syaat (i dan (ii seta i imak s untuk i,, yang memaksimalkan nilai (,, dan titik Q,, stabil asimptotik. Contoh. Dibeikan paamete untuk model ( dengan nilai,,,,,, K.,,,,, m,,,,,,,,. Demikian pula dibeikan nilai p,, p,, p,, c,, c,, c. Dengan nilai paamete tesebut dipeoleh titik, dengan 8 8,. Q,, Titik Q meupakan titik inteio jika nilai memenuhi (i 8 8 dan (ii. mak s Dengan mengambil nilai, dan, maka titik Q meupakan titik inteio jika mak s,, D, dimana mak s A.

11 Toaha, Analisis Kestabilan Dan D,, :,,, 8. 8, Fungsi keuntungan yang besesuaian dengan titik Q dibeikan oleh, p p p c c c ( Dengan nilai paamete yang dibeikan dan nilai pada titik ekuilibium tesebut dipeoleh (,,., ,9x Dengan mempehatikan titik kitis fungsi keuntungan pada daeah D dipeoleh titik kitis,,,,8 yang memaksimalkan fungsi keuntungan dengan, (,, 8,77. Selanjutnya dengan mengambil nilai usaha pemanenan sebesa,,,,8 dipeoleh titik,8, 78,, 7,987, Q. Pesamaan kaakteistik yang besesuaian dengan titik ekuilibium tesebut dibeikan oleh f (,987,7, 79 dengan nilai eigen,7,i dan,. Hal ini bemakna bahwa dengan mengaplikasikan nilai usaha pemanenan sebesa,, 8 maka ketiga populasi mangsa dan pemangsa yang dieksploitasi dengan usaha pemanenan konstan akan tetap lestai untuk waktu yang panjang dan juga membeikan keuntungan maksimal.. KSIMPULA Dai model dinamika populasi mangsa-pemangsa dengan pemanenan usaha konstan pada masing-masing populasi dapat dipeoleh satu titik ekuilibium inteio jika belaku, p dan i imak s untuk i,,. Titik ekuilibium inteio tesebut stabil jika memenuhi syaat kestabilan Routh-Huwitz. Dai hasil simulasi dalam kasus, dipeoleh nilai usaha-usaha pemanenan yang optimal yang membeikan titik ekuilibium inteio Q,, stabil asimptotik dan membeikan keuntungan maksimal dai usaha ekploitasi populasi mangsa dan populasi pemangsa. A.

12 Posiding Semina asional Matematika, Sains Teknologi. Volume, Tahun, A.-A. Dai hasil analisis teoitis dan numeik disimpulkan bahwa kewujudan dan kestabilan titik ekuilibium inteio Q,, ditentukan oleh besaan nilai usaha-usaha pemanenan yang dibeikan. Ketiga populasi dapat tetap lestai meskipun dieksploitasi dengan usaha pemanenan konstan dan juga membeikan keuntungan maksimal. DAFTAR PUSTAKA Chaudhui, K. S Dynamic optimization of combined havesting of two species fishey. cological Modelling,, 7-. Clak, C.W. 99. Mathematical Bioeconomics, The optimal management of enewable esouces, nd d., John Wiley & Sons, ew Yok-Toonto. Hogath, W.L., obuy, J., Cunning, I. and Sommes, K. 99. Stability of a pedatopey model with havesting. cological Modelling. :8-. Holmbeg, J. 99. Socio-ecological pinciples and indicatos fo sustainability, PhD Thesis, Gotebog Univesity, Sweden. Jeffies, C Mathematical modeling in ecology. Boston. Bikhause. Kaili, Y. and Xinyu, S.. Pedato-pey system with stage stuctue and delay. Applied Math. J. Chinese Univ. Se. B. 8(:-. Ka, T.K. and Chaudui, K.S. (. On non-selective havesting of a multispecies fishey. Int. J. Math. duc. Sci. Technol. (:-. Ka. T.K.. Selective havesting in a pey-pedato fishey with time delay. Mathematical and Compute Modelling. 8:9-8. Ka, T.K. dan Chaudhui, K.S.. Havesting in a two-pey one pedato fishey: A bioeconomic model. J. AZIAM. :-. Ka, T.K. and Chattopadhyay, S. K.. A dynamic eaction model of a pey-pedato system with stage-stuctue fo pedato. Moden Applied Science,, o.: 8-9. Luckinbill, L.S. 97. Coexistence in laboatoy populations of paamecium auelia and its pedato didinium nasutum. Jounal of cology. (:-7. Matin, A. and Ruan, S.. Pedato-pey models with time delay and pey havesting. J. Math. Biol. :7-7. Sun, Z., Li, Y., Yang, H. and Lin, L. 8. A stage-stuctue pedato-pey model With functional esponse. Applied Mathematical Sciences. Vol. o.7, -9. Sutinen, J.G. and Andeson, P. (98. The economics of fisheies law enfocement. Land. co. : Xu, Rui., Chaplain, M.A.J. and Davidson, F. A.. Pesistence and stability of a stage-stuctued pedato-pey model with time delays, Jounal of Applied Mathematics and Computation,, Zhang, X., Chen, L., and eumann, U. A.. The stage-stuctued pedato-pey model and optimal havesting policy, Mathematical Biosciences, 8, -. A.