ANALISIS SURVIVAL UNTUK DATA TERSENSOR TIPE II MENGGUNAKAN MODEL DISTRIBUSI LOG-LOGISTIK

Transkripsi

1 ANALISIS SURVIVAL UNTUK DATA TERSENSOR TIPE II MENGGUNAKAN MODEL DISTRIBUSI LOG-LOGISTIK SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Univesitas Negei Yogyakata untuk memenuhi sebagian pasyaat guna mempeoleh gela Sajana Sains Oleh: DWI RETNO SARI JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 011

2

3

4

5 HALAMAN MOTTO Aku pasti bisa (Penulis) Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan (QS. Alam Nasyah:6) Tiadanya keyakinanlah yang membuat oang takut menghadapi tantangan, dan saya pecaya pada dii saya sendii. (Muhammad Ali) v

6 HALAMAN PERSEMBAHAN Kupesembahkan kaya kecil ini untuk: Kedua oangtuaku, Ibu dan Bapak tecinta Teima kasih atas doa estu dan kasih sayangnya, sungguh budimu tidak akan bisa tebalaskan. Kakak dan adikku tesayang, Feita Indiyati dan Adhi Suya H Teima kasih atas doa dan dukungannya. Ketiga sahabat tebaikku, Nana, Nuul, Santi Teima kasih atas dukungan, motivasi dan semangat dai kalian. kebesamaan kita, tangis dan tawa besama kalian tak akan penah aku lupakan. Sahabat-sahabat S.O.V: Anna, Azi, Dhita, Fifi, Ika, Lina, Nawang, Riza, Susi Teima kasih semua, atas dukungan, motivasi dan semangat dai kalian. Kana kalian aku bisa menyelesaikan kuliah yang penuh intangan dengan canda dan tawa besama kalian. Teman-teman Matematika Regule 007 vi

7 KATA PENGANTAR Segala puji dan syuku penulis panjatkan kehadiat Tuhan yang Maha Esa, yang telah membeikan segala ahmat dan kaunia-nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skipsi dengan judul Analisis Suvival untuk Data Tesenso Tipe II Menggunakan Model Distibusi Log-logistik ini guna memenuhi pesyaatan untuk mempeoleh gela Sajana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Univesitas Negei Yogyakata. Penulis mengucapkan teima kasih kepada: 1. Bapak D. Aiswan, selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam yang telah mendukung penulisan skipsi ini.. Bapak D. Hatono, selaku Ketua Juusan Pendidikan Matematika yang telah mendukung penulisan skipsi ini. 3. Ibu Atmini Dhoui, M.Si, selaku Ketua Pogam Studi Matematika yang telah mendukung penulisan skipsi ini. 4. Ibu D. Dhoiva U.W, selaku dosen pembimbing skipsi yang dengan penuh kesabaan telah meluangkan waktu untuk membeikan bimbingan, saan dan pengaahan dalam menyelesaikan skipsi ini. 5. Seluuh Dosen Juusan Pendidikan Matematika yang telah membeikan ilmu kepada penulis. 6. Bapak dan Ibu seta keluaga semua yang telah mencuahkan kasih sayang. 7. Teman-teman matematika angkatan 007 yang telah membeikan bantuan dan dukungan dalam penyelesaian penulisan skipsi ini. vii

8 8. Semua pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan skipsi ini yang tidak dapat penulis sebutkan satu pesatu. Penulis menyadai bahwa skipsi ini kuang sempuna, semoga menjadi pelajaan bagi paa pembaca aga bisa menyempunakan penulisan selanjutnya. Semoga skipsi ini bemanfaat bagi paa pembaca, khususnya paa pencinta matematika. Yogyakata, Juli 011 Penulis, viii

9 ANALISIS SURVIVAL UNTUK DATA TERSENSOR TIPE II MENGGUNAKAN MODEL DISTRIBUSI LOG-LOGISTIK Oleh: Dwi Retno Sai ABSTRAK Analisis suvival meupakan suatu analisis data mengenai daya tahan hidup atau lamanya waktu hidup suatu individu atau unit pada keadaan tetentu. Tujuan penulisan skipsi ini adalah untuk mendapatkan model suvival untuk data tesenso tipe II, mendapatkan estimasi paamete-paamete, inteval konfidensi untuk paamete-paamete dan contoh peneapannya. Biasanya data suvival akan mengikuti distibusi tetentu. Dalam skipsi ini akan dibahas mengenai data suvival yang bedistibusi log-logistik. Model suvival untuk data tesenso tipe II ditentukan dengan mencai estimasi paamete-paamete yaitu γ dan bedasakan fungsi maximum likelihood dan menentukan inteval konfidensi untuk tiap-tiap paamete dengan mencai matiks infomasi dan matiks kovaian telebih dahulu. Sedangkan contoh data bedistibusi log-logistik didapatkan dengan metode simulasi pembangkitan data dengan softwae Minitab 14. Bedasakan hasil pembahasan maka dapat disimpulkan bahwa model suvival untuk data tesenso tipe II yang bedistibusi log-logistik yaitu Estimasi paamete untuk γ dan pada model suvival untuk data tesenso tipe II bedasakan distibusi log-logistik yaitu menggunakan metode maximum likelihood, dengan inteval konfidensi untuk γ adalah γ z α/ se( γ) γ γ + zα/se( γ), dan inteval konfidensi untuk adalah z α/ se( ) + zα/se( ). Dai contoh data umu penyakit pasien pendeita kanke pau-pau yang bedistibusi loglogistik, didapatkan estimasi paamete untuk γ dan adalah 79, dan, Sedangkan inteval konfidensi untuk γ yaitu 56, γ 10,46855 dan inteval konfidensi untuk yaitu 1, , Peluang hidup untuk pasien yang mendeita kanke pau-pau selama 50 bulan adalah 0,73, sedangkan peluang hidup pasien yang mendeita selama 90 bulan adalah 0,43. ix

10 DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN.... ii HALAMAN PENGESAHAN.... iii HALAMAN PERNYATAAN iv HALAMAN MOTTO v HALAMAN PERSEMBAHAN... vi KATA PENGANTAR vii ABSTRAK... ix DAFTAR ISI... x DAFTAR TABEL... xii DAFTAR GAMBAR... xiii DAFTAR LAMPIRAN... xiv BAB I PENDAHULUAN A. Lata Belakang... 1 B. Rumusan Masalah... 3 C. Tujuan Penulisan... 3 D. Manfaat Penulisan... 3 BAB II LANDASAN TEORI A. Konsep Dasa Peluang... 4 B. Vaiabel Random... 5 C. Konsep Dasa Distibusi Suvival... 6 D. Data Tesenso... 9 E. Distibusi Log-logistik F. Metode Maksimum Likelihood x

11 G. Statistik Teuut H. Matiks Infomasi I. Inteval Konfidensi BAB III PEMBAHASAN A. Data Tesenso Tipe II B. Model Suvival Data Tesenso Tipe II C. Maximum Likelihood Estimato... 1 D. Inteval Konfidensi... 6 E. Contoh Peneapan... 8 BAB IV PENUTUP A. Kesimpulan B. Saan DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN xi

12 DAFTAR TABEL Tabel Halaman 3.1 Data Umu Penyakit Bedistibusi Log-logistik 8 xii

13 DAFTAR GAMBAR Gamba Hal..1 Kuva Fungsi Densitas Peluang 7. Kuva Fungsi Densitas Peluang dai Distibusi Log-logistik Ilustasi Model Tesenso Tipe II Kuva Fungsi Densitas Peluang dai Data Kuva Fungsi Hazad dai Data Kuva Fungsi Suvivo dai Data 34 xiii

14 DAFTAR LAMPIRAN Lampian Hal 1 Output Hasil Analisis Suvival Menggunakan Minitab Output Hasil Pehitungan Menggunakan Maple Output Hasil Pehitungan Menggunakan Maple Output Hasil Pehitungan Menggunakan Maple Output Hasil Pehitungan Menggunakan Maple Tabel Distibusi Nomal 45 xiv

15 BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG Dalam bidang matematika tedapat cabang statistika yang telah bekembang pesat dengan adanya penemuan-penemuan alat analisis yang dapat digunakan untuk menganalisis suatu pemasalahan. Salah satunya adalah uji hidup yang meupakan penelitian daya tahan hidup suatu unit atau individu pada suatu keadaan tetentu. Uji hidup biasa digunakan dalam bidang teknik, biologi, kedoktean dan lain-lain. Penelitian-penelitian tesebut biasanya menggunakan data yang bekaitan dengan waktu hidup dai suatu individu. Analisis yang digunakan untuk menganalisis data waktu hidup tesebut disebut analisis suvival. Analisis suvival mencakup bebagai teknik statistik yang beguna untuk menganalisis bebagai macam vaiabel andom positif. Vaiabel andom positif pada analisis suvival beupa suvival time (waktu tahan hidup) atau failue time (waktu kegagalan). Dalam penelitian uji hidup, data waktu hidup dapat bebentuk data lengkap, data tesenso tipe I dan data tesenso tipe II. Data tesebut lengkap jika data diamati secaa utuh. Data tesenso tipe I meupakan data uji hidup yang dihasilkan setelah penelitian bejalan selama waktu yang telah ditentukan. Sedangkan data tesenso tipe II meupakan data hasil penelitian dimana penelitian dihentikan setelah kematian atau kegagalan tetentu telah tejadi (Lawless, 198). 1

16 Data tesenso tipe II adalah suatu data waktu hidup yang tedapat buah obsevasi dalam sampel andom yang beukuan n dengan 1 n. Dalam suatu penelitian, penyensoan tipe II lebih seing digunakan, kaena dalam uji hidup ini tedapat obsevasi sebanyak n, tetapi penelitian dihentikan ketika obsevasi mengalami kegagalan ke-, sehingga peneliti dapat menghemat waktu dan biaya. Untuk menganalisis data suvival dengan data tesenso dipelukan asumsi tetentu tentang distibusi populasinya. Bebeapa distibusi paametik yang popule dan dapat digunakan untuk menganalisis model suvival adalah Distibusi Weibull, Distibusi Eksponensial, Distibusi Log-nomal, Distibusi Gamma, Distibusi Log-logistik dan lain-lain. Dai bebeapa distibusi yang ada, skipsi ini menggunakan fungsi suvival bedistibusi Log-logistik, atau data waktu hidup diasumsikan mengikuti Distibusi Log-logistik. Distibusi Log-logistik masih jaang digunakan dalam analisis suvival. Distibusi Log-logistik mempunyai bentuk yang hampi sama dengan Distibusi Log-nomal. Misalnya untuk meneliti tahan hidup pasien yang teseang penyakit konis, selain itu di bidang industi, juga untuk analisis tahan hidup komponen dai suatu poduk. Oleh kaena itu penulis mengangkat judul Analisis Suvival Untuk Data Tesenso Tipe II Menggunakan Model Distibusi Log-logistik, untuk menentukan analisis suvival untuk data tesenso tipe II.

17 3 B. RUMUSAN MASALAH Bedasakan uaian lata belakang, maka umusan masalah yang akan dibahas adalah: 1. Bagaimana model suvival untuk data tesenso tipe II bedasakan model distibusi log-logistik?. Bagaimana estimasi paamete model suvival untuk data tesenso tipe II bedasakan model distibusi log-logistik? 3. Bagaimana peneapan model suvival untuk data tesenso tipe II bedasakan model distibusi log-logistik? C. TUJUAN PENULISAN Tujuan dalam penulisan skipsi ini adalah: 1. Mendapatkan model suvival untuk data tesenso tipe II bedasakan model distibusi log-logistik.. Mendapatkan estimasi paamete model suvival untuk data tesenso tipe II bedasakan model distibusi log-logistik. 3. Menjelaskan peneapan model suvival untuk data tesenso tipe II bedasakan model distibusi log-logistik D. MANFAAT PENULISAN Manfaat dai penulisan ini adalah : 1. Menambah efeensi tentang analisis suvival, khususnya data tesenso tipe II menggunakan distibusi log-logistik.. Menambah pengetahuan tentang peneapan analisis suvival untuk data tesenso tipe II menggunakan distibusi log-logistik.

18 BAB II LANDASAN TEORI A. Konsep Dasa Peluang Pada dasanya statistika bekaitan dengan penyajian dan penafsian hasil yang bekemungkinan (hasil yang belum dapat ditentukan sebelumnya) yang muncul dalam penelitian yang diancang sebelumnya atau yang muncul dalam penelitian ilmiah. Paa statistisi beuusan dengan pencacahan atau pengukuan kaakteistik suatu objek kajian yang hasilnya bebentuk bilangan. Pekejaan sepeti ini biasa disebut pecobaan acak (Abadyo dan Hendo pemadi, 005). Himpunan semua hasil yang mungkin dai suatu pecobaan acak disebut uang sampel dan dinyatakan dengan lambang S. Suatu kejadian adalah himpunan bagian dai uang sampel (Bain dan Engelhadt, 199). Ruang nol atau uang kosong atau himpunan kosong ialah himpunan bagian uang sampel yang tidak mengandung satu pun anggota. Kejadian sepeti ini dinyatakan dengan lambang (Walpole, 1995). Menuut Bain dan Engelhadt (199), untuk sebuah pecobaan, S meupakan uang sampel dan AA, 1, A,... meepesentasikan kejadian-kejadian yang mungkin. Himpunan fungsi yang menghubungkan nilai P(A) dengan setiap kejadian A disebut himpunan fungsi peluang, dan P(A) meupakan peluang dai A, jika memenuhi keadaan sebagai beikut: 1. 0 P(A) untuk setiap A. P(S) = 1 4

19 5 3. P Ai = PA ( i) i= 1 i= 1 dan jika A1, A,... meupakan kejadian-kejadian yang saling asing. B. Vaiabel Random Vaiabel andom X adalah suatu fungsi dengan daeah asal S, dimana S adalah suatu uang sampel dan daeah hasil bilangan eal sedemikian sehingga X(e) = x, dengan e S dan x R(Bain dan Engelhadt, 199). Tedapat dua macam vaiabel andom, yaitu vaiabel andom disket dan vaiabel andom kontinu. Jika semua haga yang mungkin dai vaiabel andom X, adalah himpunan tehitung (countable), { x1, x,..., x n } atau { x1, x,...}, maka X disebut vaiabel andom disket. Fungsi f(x) = P[X = x] dengan x= x1, x,... yang membeikan nilai peluang untuk setiap X yang mungkin, disebut fungsi densitas peluang disket (discete pobability density function / discete pdf). Fungsi Fx ( ) = PX [ x] meupakan fungsi distibusi kumulatif (cumulative distibution function / CDF) dai vaiabel andom X untuk sembaang bilangan eal x. Menuut Bain dan Engelhadt (199), jika himpunan semua nilai yang mungkin dai suatu vaiabel andom X meupakan selang bilangan eal, maka X disebut vaiabel andom kontinu.

20 6 Suatu fungsi f(x) yang didefinisikan pada selang nilai vaiabel andom X disebut fungsi densitas peluang, sehingga fungsi distibusi kumulatifnya dapat dinyatakan sebagai x F( x) = f () t dt. C. Konsep Dasa Distibusi Suvival Data suvival adalah data lamanya individu-individu atau unit-unit dai suatu populasi menjalankan fungsinya dengan baik sampai kematian individuindividu tesebut. Dalam mempelajai peneapan data suvival, telebih dahulu haus diketahui konsep-konsep statistik pada distibusi suvival. Misalkan T meupakan vaiabel andom kontinu non negatif yang menunjukkan tahan hidup individu-individu dai suatu populasi. Pada model kontinu, fungsi-fungsi sepeti fungsi densitas peluang, fungsi distibusi kumulatif, fungsi hazad dan fungsi suvivo didefinisikan dalam inteval [0, ) (Lawless, 198). Fungsi densitas peluang pada analisis suvival adalah peluang suatu individu mati atau gagal dalam inteval waktu t sampai t + t, dengan waktu T meupakan vaiabel andom. Fungsi densitas peluang dai T dapat dinyatakan sebagai f(t), Pt ( T< ( t+ t)) f( t) = lim t 0 t yang mempunyai sifat sebagai beikut: a. f() t 0, t 0

21 7 b. 0 f () t dt = 1 Fungsi f disebut fungsi densitas peluang bagi vaiabel andom kontinu T bila luas daeah di bawah kuva dan di atas sumbu-t sama dengan 1, dan bila luas daeah di bawah kuva antaa t=a dan t=b menyatakan peluang T teletak antaa a dan b (Walpole, 1995), sebagaimana diilustasikan dalam gamba.1. Gamba.1 Kuva fungsi densitas peluang b Dengan demikian luas daeah yang diasi adalah P( a < T < b) = f () t dt dengan ab, [0, ). 1. Fungsi Distibusi Kumulatif Jika T meupakan vaiabel andom dai waktu hidup suatu individu dalam inteval [0, ), maka fungsi distibusi kumulatif F(t) untuk distibusi kontinu dengan fungsi densitas peluang f(t) dinyatakan sebagi beikut (Lawless, 198): Atau Ft () = PT ( t) a t F() t = f ( x) dx, untuk t > 0 0

22 8. Fungsi Suvivo Menuut Lawless (198) fungsi suvivo didefinisikan sebagai peluang suatu individu dapat betahan hidup sampai waktu t. Jika T meupakan vaiabel andom dai waktu hidup suatu individu dalam inteval [0, ), maka fungsi suvivo S(t) dapat dinyatakan dalam pesamaan: St () = PT ( t) = t f ( x) dx Dengan demikian dipeoleh pesamaan yang menyatakan hubungan antaa fungsi suvivo dan fungsi distibusi kumulatif, yaitu St () = 1 Ft () 3. Fungsi Hazad Fungsi hazad menyatakan peluang kegagalan suatu komponen pada waktu t, jika diketahui bahwa komponen tesebut tetap hidup hingga waktu t. Menuut Lawless (198) fungsi hazad adalah peluang suatu individu mati dalam inteval waktu t sampai t + t, jika diketahui individu tesebut masih dapat betahan hidup sampai dengan waktu t, yang dinyatakan sebagai beikut: P( t T < t+ t T t) ht ( ) = lim t 0 t Jika f(t) adalah fungsi densitas peluang pada waktu t, maka dipeoleh ht () P( t T < t+ t T t) = lim t 0 t P[( t T < ( t+ t)) ( T t)] = lim t 0 PT ( t). t

23 9 Pt ( T< ( t+ t)) = lim t 0 PT ( t). t 1 Ft ( + t) Ft () = lim. t 0 t 1 Ft () Ft ( + t) Ft () 1 = lim. t 0 t St () ht () = = F'( t) St () f() t St (). D. Data Tesenso Dalam penelitian uji hidup, data waktu hidup dapat bebentuk data lengkap, data tesenso tipe I dan data tesenso tipe II. Pada pengambilan data menggunakan data lengkap, pecobaan akan dihentikan jika semua komponen atau individu yang diteliti gagal atau mati (Lawless, 198). Metode menggunakan data lengkap memelukan waktu yang lama sehingga jaang digunakan. Data tesenso adalah data yang dipeoleh sebelum semua data teamati waktu hidupnya, sedangkan waktu pengamatan telah beakhi atau oleh sebab lain. Data tesenso tipe I meupakan data uji hidup yang dihasilkan setelah penelitian bejalan selama waktu yang telah ditentukan. Sedangkan data tesenso tipe II meupakan data hasil penelitian dimana penelitian dihentikan setelah kematian atau kegagalan tetentu telah tejadi (Lawless, 198). Data tesenso tipe II meupakan data kematian atau kegagalan yang tidak lengkap (incomplete motality data) yaitu data waktu kematian atau kegagalan

24 10 dai obsevasi tekecil dalam sampel andom yang beukuan n dengan 1 n. Dalam suatu penelitian, penyensoan tipe II lebih seing digunakan, yaitu dalam uji hidup yang tedapat obsevasi sebanyak n, tetapi penelitian dihentikan ketika obsevasi mengalami kegagalan ke-, sehingga dapat menghemat waktu dan biaya. Dalam penyensoan ini, ditentukan telebih dahulu sebelum data dikumpulkan. E. Distibusi Log-logistik Dalam statistika, distibusi log-logistik meupakan salah satu distibusi peluang kontinu untuk vaiabel andom non-negatif. Distibusi ini digunakan dalam analisis tahan hidup sebagai model paametik, misalnya untuk meneliti waktu penyembuhan suatu penyakit. Distibusi log-logistik juga telah dikembangkan di bidang industi untuk menganalisis tahan hidup komponen dai suatu poduk. Vaiabel andom T dikatakan mengikuti distibusi log-logistik dengan paamete γ dan paamete shape, jika mempunyai fungsi densitas: 1 t γ γ f(; t γ, ) = t 1 + γ, t > 0, dimana γ > 0 dan > 0. untuk selanjutnya dinotasikan sebagai T L ( γ, ). Nilai paamete shape yaitu menyatakan suatu bentuk yang bemacam-macam dai kuva fungsi densitas yaitu naik, tuun, atau mendata, sehingga kondisi ini sangat cocok digunakan untuk bebagai model data suvival. L

25 11 Gamba. Kuva fungsi densitas peluang dai distibusi log-logistik Fungsi densitas peluang dai distibusi log-logistik dengan γ =1 ditunjukkan pada gamba. untuk nilai yang bebeda. Untuk 0 1 fungsi densitas peluangnya menuun, sedangkan untuk > 1 fungsi densitas peluangnya meupakan fungsi naik dengan sebuah puncak. Semakin besa nilai, puncak dai kuva fungsi densitas peluangnya semakin uncing dan bentuknya semakin simetis. Fungsi distibusi kumulatifnya adalah misal:

26 1

27 13 Jadi Ft (; γ, ) = t γ + t, t > 0, dimana γ > 0 dan > 0 Fungsi suvivo dai T L ( γ, ) didefinisikan sebagai peluang suatu individu dapat betahan hidup sampai waktu t, yaitu St () = 1 Ft () t = 1 γ + t γ = γ + t 1 = t 1+ γ L Fungsi hazad h(t) menyatakan peluang suatu komponen mengalami kegagalan pada waktu t. ht () = f() t St () 1 t γ γ = t 1 + γ F. Metode Maksimum Likelihood Metode maksimum Likelihood adalah salah satu metode yang paling seing digunakan untuk mencai nilai estimasi dai suatu paamete. Fungsi kepadatan besama (joint density function) dai n vaiabel andom X 1, X,..., X n pada x 1, x,..., x n adalah f(x 1, x,..., x n ; θ) disebut sebagai fungsi likelihood.

28 14 Untuk x 1, x,..., x n yang tetap, fungsi likelihood adalah fungsi dai θ dan seing dinotasikan sebagai L(θ). Jika X1, X,..., X n menyatakan sampel andom dengan fungsi densitas peluang f(x; θ) maka: n 1 ; θ )... f ( xn; θ ) = f ( x i ; ) i= 1 L( θ ) = f ( x θ Misalkan L ( θ ) = f ( x1; θ )... f ( x ; θ ), θ Ω adalah fungsi kepadatan n besama dai X 1, X,..., X n. Untuk sekumpulan obsevasi yang dibeikan (x 1, x,..., x n ), suatu nilai θˆ dalam Ω sedemikian hingga L (θ ) maksimum, disebut Maximum Likelihood Estimato (MLE) dai θ. Nilai θˆ adalah nilai θ yang memenuhi: f x, x,..., x ; ˆ) θ = max f ( x, x,..., ( 1 n 1 x n ; θ ) θ Ω Apabila Ω adalah inteval tebuka, dan jika L (θ ) adalah diffeensiabel dan diasumsikan maksimum pada Ω maka MLE adalah solusi dai pesamaan: d ( θ ) = 0 dθ L Hal yang pelu dipehatikan, jika tenyata tedapat lebih dai satu solusi d untuk pesamaan ( θ ) = 0 dθ L, maka haus dilakukan pehitungan tehadap masing-masing solusi untuk mempeoleh solusi yang memaksimumkan L (θ ). Hal ini dilakukan dengan mencai nilai tuunan kedua dai L (θ ), bila nilainya negatif maka solusi tesebut adalah solusi yang maksimum.

29 15 Definisi tentang fungsi likelihood dan estimasi kemungkinan maksimum dapat diteapkan dalam paamete-paamete tak diketahui yang lebih dai satu. Bila θ adalah paamete, katakan θ ( θ θ θ ) = 1,,...,, k, maka estimasi kemungkinan maksimumnya akan beupa pesamaan simultan dengan penuunan pasial tiaptiap paametenya. θ j ln L( θ, θ,..., θ ) = 0 1 k untuk j =1,,...,k. Pesamaan di atas disebut pesamaan kemungkinan maksimum (Maximum Likelihood Equations). Nilai ˆ θ, ˆ θ,..., ˆ θ 1 k meupakan estimato bila pesamaan kemungkinan maksimumnya membeikan nilai maksimum tehadap ( θ θ,..., ) 1,. L θ k G. Statistik Teuut Misalkan himpunan vaiabel andom X 1, X,..., X n meupakan sampel andom yang beukuan n dai suatu populasi dengan fungsi densitas f(x) maka fungsi densitas peluang besama dai vaiabel andom independennya adalah sebagai beikut (Bain dan Engelhadt, 199): (,,..., ) = ( ) ( )... ( ) f x x x f x f x f x 1 n 1 Misalkan X1, X,..., X n adalah sampel andom yang beukuan n dai fungsi densitas peluang f(x), dimana untuk f(x) kontinu dan f(x) > 0, a < x < b, n maka fungsi densitas peluang dai statistik teuut ke-k, Y k n! g ( y ) = F y F y f y 1!! ( k ) ( n k) k 1 n k ( ) 1 ( ) ( ) k k k k k adalah, jika a< yk < b.

30 16 H. Matiks Infomasi Misalkan y1, y,..., y n meupakan sampel andom dai suatu distibusi dengan fungsi densitas peluang f(y;θ), dimana θ = ( θ1,..., θ k )' meupakan vekto dai paamete-paamete yang belum diketahui nilainya yang meupakan himpunan bagian dai Ω. Fungsi likelihood dai θ adalah n L( θ) = f( yi; θ) i= 1 sehingga pesamaan maximum likelihoodnya adalah l( θ ) U j ( θ ) =, j = 1,..., k. θ j Menuut Lawless (003), U ( θ ) mempunyai ata-ata 0 dan matiks kovaian 1 I( θ ), dimana log L( θ ) Iij ( θ ) = E, i, j = 1,..., k. sehingga matik I( θ ) θi θ j disebut matiks infomasi. I. Inteval Konfidensi Misalkan X1, X..., X n mempunyai fungsi densitas peluang besama f( x, x..., x ; θ); θ Ω, dimana Ω suatu inteval dan misalkan 1 n L X1 X X n = (,..., ) dan U= ax ( 1, X..., X n ). Suatu inteval ( ( x, x..., x ), a( x, x..., x )) meupakan inteval konfidensi 100 α % untuk θ jika 1 n 1 n [ (,..., ) θ (,..., )] P X X X < < a X X X = α 1 n 1 n

31 17 dimana 0< α < 1. Sedangkan nilai dai ( x1, x..., x n ) dan ax ( 1, x..., x n ) disebut batas konfidensi bawah dan batas konfidensi atas (Bain dan Engelhadt, 199). Jika Q= qx ( 1, X,..., Xn; θ ) adalah sebuah vaiabel andom dai fungsi X1, X,..., X n dan θ, maka Q disebut nilai pivot, jika distibusinya tidak tegantung pada θ atau paamete-paamete lain yang tidak diketahui (Bain dan Engelhadt, 199). Estimasi inteval konfidensi untuk θ dapat dipeoleh dengan menggunakan ( θ ) sebagai nomal bivaiat dengan ata-ata ( θ ) dan matik kovaian 1 V = I( θ ), sehingga standad eo untuk θ adalah 1/ se( θ) = As va( θ) dimana Asva meupakan vaiansinya (Lawless, 003). Inteval konfidensi untuk suatu fungsi paametik ψ = g( θ) menggunakan pendekatan nomal ψ ~ N( ψ, Vψ ). Dengan demikian nilai pivot dengan pendekatan nomalnya adalah Z ψ ψ = V 1/ ψ dan inteval konfidensi 1 α untuk ψ adalah ψ ± z 1/ Vψ (Lawless, 003). α /

32 BAB III PEMBAHASAN Dalam pembahasan ini akan dijelaskan mengenai model suvival dai data tesenso tipe II bedasakan model distibusi log-logistik. Model suvival ini ditentukan bedasakan fungsi likelihoodnya. Selanjutnya akan dibahas mengenai peneapan model suvival untuk data tesenso tipe II bedasakan model distibusi log-logistik. A. Data Tesenso Tipe II Data tesenso tipe II adalah suatu data waktu kematian atau waktu tahan hidup yang hanya tedapat buah obsevasi dalam sampel andom yang beukuan n dengan 1 n. Kebanyakan penelitian menunjukkan penyensoan tipe II lebih seing digunakan, kaena dapat menghemat waktu dan biaya. Dalam uji hidup ini, total obsevasi sebanyak n, tetapi uji akan behenti pada waktu obsevasi sampel mempunyai waktu kematian atau kegagalan ke- untuk 1 n (Lawless, 198). B. Model Suvival Data Tesenso Tipe II Menuut Lawless (003), misalkan T meupakan vaiabel andom tahan hidup dengan T adalah vaiabel andom kontinu non negatif yang menunjukkan tahan hidup individu-individu dalam suatu populasi yang bedistibusi Loglogistik dengan fungsi densitas peluang yaitu 1 t γ γ f(; t γ, ) = t 1 + γ, t > 0, 18

33 19 γ > 0 dan > 0. Fungsi suvivonya adalah t St (; γ, ) = 1+ γ 1 dan fungsi hazadnya adalah 1 t γ γ ht (; γ, ) =. t 1 + γ Dalam data tesenso tipe II, tedapat pengamatan dai n sampel yang diamati, dan ekspeimen akan dihentikan setelah kegagalan ke- yang tejadi sebelum waktu t i. Data tedii dai tahan hidup tekecil T(1) T() T(3)... T( ) dai sampel andom yang tedii dai n tahan hidup T 1, T, T 3,..., T n, sepei diilustasikan pada Gamba T (1) T T () ( ) T ( + 1) T ( + ) T ( n) Data tesenso Gamba 3.1. Ilustasi model tesenso tipe II Misalkan T meupakan vaiabel andom dai n individu yang diamati, f(t 1 ) meupakan fungsi densitas peluang dai vaiabel andom individu ke-1, f(t ) meupakan fungsi densitas peluang dai vaiabel andom individu ke-, dan seteusnya hingga f(t ) untuk vaiabel andom individu ke-. Individu yang gagal, yaitu individu ke-1 sampai individu ke- masingmasing sebanyak satu komponen. Sedangkan individu yang masih betahan

34 0 melebihi kegagalan dai individu ke- dituliskan dengan T + 1, T +, T + 3,..., T n sebanyak n-. Sampel andom beukuan n dengan kegagalan ini mengikuti distibusi multinomial, sehingga tedapat tejadi dai n pengamatan. n! 1!1!...1!( n )! uutan yang mungkin Fungsi densitas peluang besama dai T 1, T, T 3,..., T n dai data yang diamati dapat ditulis sebagai beikut: n! f( t1, t,..., t ) = f( t1) f( t)... f( t) [ P( T+ 1 t)... P( Tn t) ] ( n )! n! = ft ( ) ( 1 PT ( + 1 < t) )...( 1 PT ( < t) ) ( n )! i n i= 1 n! = f( t) ( 1 Ft ( ))...( 1 Ft ( )) ( n )! = i i 1 n! = f( t) 1 ( ) ( n )! i i= 1 i i= 1 [ Ft ] n! = f( t) ( ) ( n )! [ St ] Fungsi densitas peluang besama data tesenso tipe II dai t 1, t,..., t untuk n n! < n adalah f( t1, t,..., t) = f( ti) [ S( t)] ( n )! i= 1 n n. Kaena diketahui bahwa 1 ti γ γ f( ti ) = ti 1 + γ dan t St ( ) = 1+ γ 1, maka fungsi likelihoodnya adalah sebagai beikut

35 1 n! f( t1, t,..., t) = f( ti) [ S( t)] ( n )! i= 1 n (3.1) Jadi fungsi likelihood dai distibusi log-logistik untuk data tesenso tipe II memiliki bentuk (3.) C. Maximum Likelihood Estimato (MLE) Dalam analisis data suvival telebih dahulu dipilih bentuk distibusi dai data, kemudian dicai bentuk fungsi paamete yang diwakili data suvival tesebut. Dalam skipsi ini menggunakan metode maksimum likelihood untuk mencai estimasi paamete dai distibusi log-logistik. Metode maksimum likelihood menggunakan nilai dalam uang paamete Ω yang besesuaian dengan haga kemungkinan maksimum dai data obsevasi sebagai estimasi dai paamete yang tidak diketahui. Dalam aplikasinya L ( γ, ) menunjukkan fungsi densitas peluang besama L dai sampel andom. Jika Ω uang paamete yang meupakan inteval tebuka dan

36 L (, ) L γ meupakan fungsi yang dapat dituunkan seta diasumsikan maksimum pada Ω, maka pesamaan maksimum likelihoodnya adalah LL ( γ, ) γ = 0 dan LL ( γ, ) = 0 Jika penyelesaian dai pesamaan tesebut ada, maka maksimum dai L (, ) L γ dapat tepenuhi. Apabila penyelesaian dai pesamaan tesebut sulit untuk diselesaikan maka fungsi L ( γ, ) dapat dibuat logaitma natualnya, L dengan ketentuan ln LL ( γ, ) maksimum, sehingga pesamaan logaitma natual maksimum likelihoodnya adalah ln LL ( γ, ) γ = 0 dan ln LL ( γ, ) = 0 Untuk mengetahui apakah penduga dai γ dan tesebut telah maksimum, maka dicai tuunan ke- dai ln LL ( γ, ), jika hasilnya negatif, maka maksimum likelihood untuk γ dan didapat dengan menyelesaikan pesamaan ln LL ( γ, ) γ = 0 dan ln LL ( γ, ) = 0. Dai pesamaan likelihood sampel tesenso tipe II dipeoleh fungsi likelihood untuk distibusi log-logistik

37 3 Kemudian fungsi likelihood dikalikan dengan logaitma natual (ln), sehingga dipeoleh fungsi log-likelihood dai distibusi log-logistik sebagai beikut 1 n n! ti ti t i= 1 γ i= 1 γ γ ln LL ( γ, ) = ln + ln ln γ + ln + ln ln 1 + ( n )! ln LL ( γ, ) = ln + ln ln γ + ( 1) ln + ln 1 + ( n )! n! ti ti i= 1 γ i= 1 γ t + ( n) ln 1 + γ (3.3) Pehitungan tuunan ln LL ( γ, ) tehadap γ adalah sebagai beikut ln LL ( γ, ) γ 1 (1 ) ti ti ( n) t = + + ( ) 1 + γ γ i= 1 γ γ γ t γ γ 1+ γ 1 ti ti ( ) t 1 i= 1 t n = + + γ γ γ γ γ γ 1+ γ (3.4) Pehitungan tuunan ke- dai ln L ( γ, ) tehadap γ adalah sebagai beikut L

38 4 1 t i t i t + i 1 ln L ( γ, ) γ γ + γ γ γ = 1 + γ L γ γ γ i= 1 t i ( ) n 1 t t t γ γ γ γ γ γ t 1 + γ (3.5) Pehitungan tuunan ke- dai ln LL ( γ, ) tehadap γ mendapatkan hasil yang negatif, sehingga maximum likelihood estimato γ dipeoleh dengan menyelesaikan ln LL ( γ, ) γ = 0 1 t ( ) i t i n t + 1+ = 0 γ γ i= 1 γ γ t γ γ 1+ γ (3.6) Pehitungan tuunan ln LL ( γ, ) tehadap adalah sebagai beikut 1 L γ t i t i ti ti n = + ln 1 + ln + ln i= 1 γ i= 1 γ γ γ t γ γ ln L (, ) ( ) t t 1+ γ (3.7) Pehitungan tuunan ke- dai ln LL ( γ, ) tehadap adalah sebagai beikut

39 5 i i ln LL( γ, ) γ ( n) t t γ ln i= 1 γ γ ti t t t ln = γ γ (3.8) Pehitungan tuunan ke- dai ln LL ( γ, ) tehadap mendapatkan hasil yang negatif, sehingga maximum likelihood estimato dipeoleh dengan menyelesaikan ln LL ( γ, ) = 0. 1 t i t i t i t i ( n) t t + ln 1 ln + + ln 0 = i= 1 γ i= 1 γ γ γ t γ γ 1+ γ Jadi dai pehitungan yang telah dilakukan, maka maximum likelihood estimato γ dan dipeoleh dengan menyelesaikan pesamaan 1 t ( ) i t i n t = 0 γ γ i= 1 γ γ t γ γ 1+ γ (3.9) dan 1 t i t i t i t i ( n) t t + ln 1 ln + + ln 0 = i= 1 γ i= 1 γ γ γ t γ γ 1+ γ (3.10)

40 6 Kedua pesamaan tesebut sulit diselesaikan secaa manual kaena memiliki bentuk yang kompleks, sehingga dipelukan bantuan dengan menggunakan suatu pogam atau softwae tetentu yang dapat digunakan untuk analisis suvival dengan distibusi log-logistik. D. Inteval Konfidensi Pada analisis suvival ini, setelah didapatkan nilai dai γ dan, selanjutnya akan dihitung inteval konfidensi untuk γ dan. Langkah petama adalah menentukan matik infomasi log L( θ ) Iij ( θ ) = E θi θ j ( I( γ, ) ) dai data yaitu I( γ, ) ln L γ ln L γ ln L γ ln L = Dai pehitungan sebelumnya telah didapatkan pesamaan ln L dan γ ln L pada pesamaan (3.5) dan (3.8). selanjutnya akan dihitung pesamaan ln L γ dan ln L γ. Kedua pesamaan tesebut memiliki hasil yang sama, sehingga ln L ln L = γ γ

41 7 ti ti ti ti ti ti = ln 1 + ln 1 + γ γ i= 1 γ γ γ γ γ γ ( n) 1 t t t t t 1 ln 1 ln + + γ γ γ γ γ γ γ t 1 + γ (3.11) Matiks kovaian V meupakan inves dai matiks Infomasi yaitu: 1 V = I( γ, ) V11 V 1 V = V 1 V dengan standad eo untuk γ adalah se( γ ) = V 1/ 11, dan standad eo untuk adalah se( ) = V 1/. Inteval konfidensi untuk γ dan dapat dipeoleh dai pendekatan nilai pivot Z 1 γ γ = dan se( γ ) Z = se( ) dengan keduanya mendekati distibusi nomal N(0,1) untuk sampel besa. Sehingga dengan taaf signifikansi 1 α didapatkan inteval konfidensi untuk γ adalah P( z Z z ) = 1 α / 1 α / α γ γ P( zα/ z α/) = 1 α se( γ )

42 8 γ z se( γ) γ γ + z se( γ) α / α / dan inteval konfidensi 1 α untuk adalah P( z Z z ) = 1 α / α / α P( zα/ z α/) = 1 α se( ) z se( ) + z se( ). α / α / E. Contoh Peneapan Beikut ini adalah data 30 umu penyakit hingga pasien meninggal dai 50 pasien yang mendeita penyakit kanke pau-pau. Data beasal dai hasil metode simulasi pembangkitan data dengan bantuan softwae Minitab 14 yang bedistibusi log-logistik. Tabel 3.1. Data umu penyakit pasien (bulan) 0,835 36,917 45,787 61,168 71,817 3,364 37,794 46,38 64,449 7,157 7,959 40,37 49,080 64,56 7,896 30,830 41,869 53,179 65,448 7,99 31,395 4,985 56,004 67,540 73,0 33,600 43,959 59,18 69,055 74,316 Dai 50 pengamatan yang ada, hanya diambil 30 hasil pengamatan petama. Banyaknya pengamatan yang diambil telah ditentukan sebelum penelitian dilakukan. Pada data ini hanya diambil 30 pengamatan, sehingga tedapat 0 pengamatan yang tesenso. Akan dicai nilai dai maximum likelihood estimato untuk γ dan, untuk menghitung peluang hidup seoang pasien yang mendeita penyakit kanke pau-pau selama 50 dan 90 bulan.

43 9 Untuk mempemudah pehitungan dalam mencai nilai maximum likelihood estimato, dapat menggunakan softwae Minitab. Dalam skipsi ini menggunakan softwae Minitab 14. Dalam softwae ini, fungsi densitas peluang yang digunakan adalah f( y) = ln y µ exp σ ln y µ σ 1 + exp σ (3.1) dengan µ = location paamete σ = scale paamete. Bentuk fungsi densitas pada pesamaan (3.1) meupakan hasil tansfomasi dai fungsi densitas 1 t γ γ f(; t γ, ) = t 1 + γ 1, dimana γ = exp( µ ) dan =. σ Dai hasil output softwae Minitab 14 (lampian 1), dipeoleh nilai location paamete dai data adalah 4,37719 dan nilai dai scale paamete adalah 0,465591, sehingga didapatkan: γ = exp( location paamete ) = 4,37719 e = 79,

44 30 = 1/ scale paamete 1 = 0, =, Setelah dilakukan pengecekan dengan softwae maple 11 (lampian ), nilai dai γ dan tesebut memenuhi pesamaan (3.9) dan (3.10), kaena menghasilkan nilai yang mendekati nol. Jadi nilai untuk γ adalah 79, dan nilai untuk adalah, Selanjutnya akan ditentukan inteval konfidensi untuk γ dan. Dai pehitungan sebelumnya telah didapatkan pesamaan ln L, γ ln L dan ln L ln L = γ γ pada pesamaan (3.5), (3.8), dan (3.11). Dengan bantuan pogam maple 11 pada lampian 3, nilai dai ln L γ dimana γ = 79, dan =, adalah 0, Nilai dai ln L pada lampian 4 adalah 9, , sedangkan nilai dai ln L ln L = γ γ pada lampian 5 adalah -0, Oleh kaena itu didapatkan matik infomasi I( γ, ) ln L γ ln L γ ln L γ ln L =

45 31 0, , I( γ, ) = 0, , dan matik kovaian 1 V = I( γ, ) 0, , V = 0, , V11 V1 V = V 1 V 135, , V =, , , sehingga se( γ ) = V 1/ 11 = 11, dan se( ) = V 1/ = 0, Inteval konfidensi untuk γ didapatkan dai nilai pivot Z 1 γ γ = yang se( γ ) bedistibusi nomal. Dengan taaf signifikansi 0,05, inteval konfidensi untuk γ yaitu γ ± z 0,05 se( γ). Dai tabel z pada lampian 6 didapatkan nilai dai z 0,05 adalah 1,96, dengan demikian γ z se( γ) γ γ + z se( γ) α/ α/ γ 1,96 se( γ) γ γ + 1,96 se( γ) 79, ,96(11,657569) γ 79, ,96(11,657569) 56, γ 10, Jadi batas konfidensi bawah untuk γ adalah 56, dan batas konfidensi atasnya adalah 10,46855.

46 3 Inteval konfidensi untuk didapatkan dai nilai pivot Z = yang se( ) bedistibusi nomal. Dengan taaf signifikansi 0,05, inteval konfidensi untuk yaitu ± z α / se( ). Dai tabel z pada lampian 6 didapatkan nilai dai z 0,05 adalah 1,96, dengan demikian z se( ) + z se( ) α/ α/ 1, 96 se( ) + 1, 96 se( ), ,96(0, ), ,96(0, ) 1, , Jadi batas konfidensi bawah untuk adalah dan batas konfidensi atasnya adalah Beikut ini adalah bentuk fungsi densitas peluang dai data, sedangkan bentuk kuvanya ditunjukkan pada gamba 3.: f( t ) = i ( 0, ) ti 79, , , ti , (3.13)

47 33 Gamba 3.. Kuva fungsi densitas peluang dai data umu penyakit pasien Bentuk fungsi hazad ditunjukkan pada pesamaan 3.14 dan kuva fungsi hazad dai data pada gamba 3.3. ht ( ) = i ( 0, ) 1, ti 79, , ti , (3.14) Gamba 3.3 Kuva fungsi hazad dai data umu penyakit pasien

48 34 Bentuk fungsi suvivo ditunjukkan pada pesamaan 3.15 dan kuva fungsi suvivo dai data pada gamba 3.4. St ( ) = i 1 ti 1+ 79, , (3.15) Gamba 3.4 Kuva fungsi suvivo dai data umu penyakit pasien Jika fungsi suvivo telah didapatkan, maka dapat dihitung peluang seoang pasien untuk hidup jika mendeita penyakit kanke pau-pau selama 50 dan 90 bulan. S (50) = , S (50) = 0, , Jadi peluang seoang pasien untuk hidup jika mendeita kanke pau-pau selama 50 bulan adalah 0,73. Sedangkan peluang pasien untuk hidup jika mendeita kanke pau-pau selama 90 bulan adalah

49 35 S (90) = , S (90) = 0, , Jadi peluang seoang pasien untuk hidup jika mendeita kanke pau-pau selama 90 bulan adalah 0,43.

50 BAB IV PENUTUP A. KESIMPULAN Dai pembahasan, dipeoleh bebeapa kesimpulan mengenai model suvival dan infeensia statistik data tahan hidup tesenso tipe II yang bedistibusi log-logistik, yaitu sebagai beikut: 1. Model suvival untuk data tesenso tipe II bedasakan model distibusi loglogistik adalah Model suvival ini dipeoleh dengan mencai fungsi likelihood dai data tesenso tipe II yang bedistibusi log-logistik. Fungsi likelihood untuk data n! tesenso tipe II tesebut adalah f( t1, t,..., t) = f( ti) [ S( t)] ( n )! i= 1. Infeensia statistik data suvival tesenso tipe II bedasakan distibusi loglogistik adalah sebagai beikut: a. Menentukan nilai maximum likelihood estimato untuk γ dan yaitu γ n dan. Dai fungsi likelihood untuk data tesenso tipe II, dapat dipeoleh maximum likelihood estimato untuk γ dan yaitu γ dan dengan menuunkan fungsi log-likelihoodnya tehadap γ dan tehadap dan menyelesaikan kedua pesamaan tesebut, yaitu 36

51 t ( ) i t i n t = 0 γ γ i= 1 γ γ t γ γ 1+ γ dan 1 t i t i t i t i ( n) t t + ln 1 ln + + ln 0 = i= 1 γ i= 1 γ γ γ t γ γ 1+ γ Kedua pesamaan tesebut sulit diselesaikan secaa manual kaena memiliki bentuk yang kompleks, sehingga dalam skipsi ini memelukan bantuan softwae Minitab14 untuk mencai nilai maximum likelihood estimatonya. b. Menentukan inteval konfidensi untuk γ dan. Untuk menentukan inteval konfidensi data tesenso, digunakan pendekatan nilai pivot Z 1 γ γ = dan se( γ ) Z 1 = dengan keduanya se( ) mendekati distibusi nomal N(0,1). Oleh kaena itu inteval konfidensi untuk γ adalah γ z se( γ) γ γ + z se( γ) dan inteval konfidensi α/ α/ untuk adalah z se( ) + z se( ). α/ α/ 3. Hasil pengolahan dai data umu pasien yang mendeita penyakit kanke pau-pau dengan simulasi pembangkitan data bedistibusi log-logistik adalah nilai estimasi untuk γ yaitu 79, dan estimasi untuk yaitu, Sedangkan inteval konfidensi untuk γ adalah 56, γ 10, dan inteval konfidensi untuk adalah

52 38 1, , Sehingga didapatkan peluang hidup untuk pasien yang mendeita kanke pau-pau selama 50 bulan adalah 0,73, sedangkan peluang hidup pasien yang mendeita selama 90 bulan adalah 0,43. B. SARAN Skipsi ini membahas tentang model suvival dengan menentukan maximum likelihood estimato untuk γ dan yang meupakan paametepaamete dai distibusi log-logistik. Dalam penulisan ini hanya membahas model suvival untuk data tesenso tipe II. Oleh kaena itu disaankan adanya penelitian lebih lanjut mengenai model suvival dengan menggunakan distibusi log-logistik untuk data tesenso tipe I dan juga untuk distibusi-distibusi lain pada data bekelompok.

53 DAFTAR PUSTAKA Abadyo dan Hendo Pemadi Metode Statistika Paktis. Malang: UM Pess. Bain, L.J and Engelhadt Intoduction to Pobability and Mathematical Statistics. nd ed. Califonia: Duxbuy Pess. Collett, David Modelling Suvival Data in Medical Reseach. nd London: Chapman and Hall. ed. Dixit, Asha Exact Compaison of Hazad Rate Functions of Log-logistic Suvival Distibution [Tesis]. Alabama: Aubun Univesity. Lawless, J.F Statistical Model and Methods fo Lifetime Data. New Yok: John Wiley and Sons, Inc. Lawless, J.F Statistical Model and Methods fo Lifetime Data. nd ed. New Jesey: John Wiley and Sons Inc. Machin, David, Yin Bun C and Mahesh Pama Suvival Analysis A Pactical Appoach. nd ed. Chiceste: John Wiley and Sons Ltd. Rao, G.S, Kantam and K.Rosaih Reliability Estimation in Log-logistic Distibution fom Cencoed Samples, Pob.Stat.,0,5-67. Walpole, Ronald E Penganta Statistika Edisi ke-3. Jakata: Gamedia Pustaka Utama. 39

54

55 40 Lampian 1 Output Hasil Analisis Suvival Menggunakan Minitab 14 Distibution Analysis: data Vaiable: data Censoing Infomation Count Uncensoed value 30 Right censoed value 0 Type (Failue) Censoed at 31 Estimation Method: Maximum Likelihood Distibution: Loglogistic Paamete Estimates Standad 95,0% Nomal CI Paamete Estimate Eo Lowe Uppe Location 4, ,1486 4,1371 4,6176 Scale 0, , , , Log-Likelihood = -168,968 Goodness-of-Fit Andeson-Daling (adjusted) = 18,746

56 41 Lampian Output Hasil Pehitungan Menggunakan Maple 11

57 4 Lampian 3 Output Hasil Pehitungan Menggunakan Maple 11

58 43 Lampian 4 Output Hasil Pehitungan Menggunakan Maple 11

59 44 Lampian 5 Output Hasil Pehitungan Menggunakan Maple 11

60 45 Lampian 6 Tabel Distibusi Nomal