TRANSFORMASI HOPF-COLE PADA APPROKSIMASI DIFUSI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN TRANSFER RADIASI DALAM INVERSE PROBLEM PENCITRAAN KANKER OTAK

Transkripsi

1 Posiding Semina Nasional Penelitian, Pendidikan dan Peneapan MIPA, Fakultas MIPA, Univesitas Negei Yogyakata, 4 Mei TRANSFORMASI HOPF-COLE PADA APPROKSIMASI DIFUSI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN TRANSFER RADIASI DALAM INVERSE PROBLEM PENCITRAAN KANKER OTAK Jumini, Ena Apiliani, Mahmud Yunus 3 MTsN Balen Bojonegoo, Mahasiswa S Matematika ITS Suabaya Juminimtk@yahoo.com Juusan Matematika, Fakultas MIPA, ITS Suabaya Juusan Matematika, Fakultas MIPA, ITS Suabaya 3 Abstak Pesamaan tansfe adiasi atau Radiative Tansfe Equation (RTE adalah pesamaan diffeensial integal yang mendeskipsikan tansfe enegi photon yang begeak menyinai jaingan otot halus yang tembus cahaya, sepeti otak. Penyinaan digunakan untuk pencitaan jaingan dan mendapatkan infomasi tentang kelainan jaingan otot sepeti kanke otak. Pencitaan kanke otak adalah salah satu contoh invese poblem. Pada makalah ini dikaji pesamaan tansfe adiasi dan menyelesaikannya dengan meneapkan metode appoksimasi difusi dan tansfomasi Hopf-Cole. Kedua metode tesebut digunakan untuk menghitung batas pengukuan kepadatan photon, koefisien absopsi dan difusi pada otak. Dai hasil simulasi diketahui bahwa penyelesaian invese poblem pencitaan kanke otak dengan metode tansfomasi Hopf-Cole lebih stabil jika dibandingkan penyelesaian dengan metode appoksimasi difusi. Kata kunci: Appoksimasi Difusi, Invese Poblem, Tansfomasi Hopf-Cole. PENDAHULUAN Otak adalah pusat kehidupan. Segala aktivitas kehidupan, hingga yang sekecil-kecilnya, hanya bisa tejadi melalui mekanisme yang diatu oleh otak. Dalam waktu yang besamaan otak haus menjalankan beibu-ibu aktivitas sekaligus. Sepeti bagian tubuh lain, otak bisa tekena tumo atau kanke. Bedanya, jika pada bagian tubuh lain tumo jinak kadang tidak mengganggu dan tidak bebahaya, di otak tumo jinakpun bisa sangat mengganggu dan membahayakan nyawa. Begitu pentingnya fungsi otak, maka haus segea diambil tindakan jika tejadi gejalagejala kanke otak. Tindakan awal adalah haus dilakukan tes pencitaan dengan salah satu caa yang sudah ada yaitu Computed Axial Tomogaphy (CAT, Event-elated optical signal (EROS, Magnetic esonance imaging (MRI, Functional magnetic esonance imaging (FMRI, Electoencepalogaphy (EEG, Magnetoencephalogaphy (MEG, Positon emission tomogaphy (PET, Single photon emission computed tomogaphy (SPECT. Semua caa tesebut mempunyai kelebihan tetapi juga mempunyai kelemahan diantaanya membutuhkan biaya yang besa. Optical tomogaphy telah diakui sebagai suatu tehnik diagnostik yang ideal kaena biayanya endah dan sangat sedikit efek sampingnya (Tahi, 7. Selanjutnya tehnik pencitaan ini dikenal dengan Diffuse optical imaging (DOI atau Diffuse optical tomogaphy (DOT. DOT, adalah salah satu contoh inves poblem, yang meupakan suatu alat diagnostik yang potensial untuk mendeteksi petumbuhan jaingan otot halus yang tembus cahaya. Dalam hal ini pengukuan pengabuan dan pemancaan cahaya infa meah pada pemukaan tubuh digunakan untuk mengestimasi sifat intenal optik pada tubuh dan ekonstuksi gamba dai media yang disinai (Kaipio dan Somesalo, 4. Pencitaan optical tomogaphy dilakukan untuk mendapatkan infomasi tentang kelainan jaingan otot sepeti kanke payudaa dan tumo otak (Tahi, 7. Penyinaan pada jaingan dapat dimodelkan sebagai fenomena pepindahan photon. Secaa umum model pepindahan photon adalah pesamaan tansfe adiasi (Radiative Tansfe Equation (RTE. Tansfe adiasi adalah fenomena fisik tansfe enegi dalam bentuk adiasi M-33

2 Jumini / Tansfomasi Hopf-Cole elektomagnetik. Penyebaan adiasi melalui medium dipengauhi oleh absopsi, emisi dan poses pengabuan. Pesamaan tanfe adiasi dapat menjelaskan inteaksi ini secaa matematis yang meupakan pesamaan defeensial integal dan mempunyai ketegantungan pada difusi dan paamete absopsi sebagai koefisien pokok yang tidak diketahui. Dalam masalah ini akan dipediksi batas pengukuan pada kepadatan photon, koefisien absopsi dan difusi dalam jaingan. Telah diketahui secaa umum bahwa appoksimasi difusi bedasakan inves poblem pada optical tomogaphy secaa eksponensial tidak stabil (Nattee,. Dalam tulisan ini akan dikaji pesamaan tansfe adiasi dan menyelesaikan pesamaan tesebut dengan appoksimasi difusi untuk menghitung batas pengukuan photon, koefisien absopsi dan difusi pada pencitaan kanke otak. Untuk mempebaiki kestabilan penyelesaian inves poblem dengan appoksimasi difusi akan digunakan tansfomasi Hopf-Cole. Adapun manfaat penelitian ini adalah didapatkan penyelesaian inves poblem pencitaan kanke otak baik dengan Appoksimasi difusi maupun dengan tansfomasi Hopf-Cole. Peneapan appoksimasi difusi dan tansfomasi Hopf-Cole pada pesamaan tansfe adiasi dibatasi untuk medium backgound konstan yang homogen bedimensi satu. METODE PENELITIAN Langkah awal dalam penelitian ini adalah mengkaji pesamaan tansfe adiasi (Radiative Tansfe Equation (RTE. RTE adalah sebuah pesamaan diffeensial yang mendiskipsikan adiasi L (,. Pesamaan ini dapat dituunkan melalui hukum kekekalan enegi. Singkatnya, RTE menunjukkan sina dai enegi cahaya yang hilang melalui penyeapan dan penyebaan dai sina dan tambahan sumbe cahaya dalam jaingan yang akan dibuat gambanya. RTE (pesamaan Boltzman ditulis sebagai beikut ( Wang dan Wu, 7 : L c t (,, t =. L(,, t µ t L(,, t + µ s L(,, t P(, dω + Q(, Dengan keteangan sebagai beikut: c adalah kecepatan cahaya yang masuk dalam jaingan, ditentukan dengan indeks efaksi elatif µ = µ + α, koeffisien punahan t µ s P( s, ˆ adalah fungsi keadaan yang meepesentasikan pobabilitas dai cahaya dengan aah popagasi ŝ yang disebakan pada sudut solid d Ω mengelilingi ŝ. Dalam sebagian besa kasus, fungsi keadaan hanya begantung pada sudut antaa penyebaan s ˆ dan penyeapan cahaya dengan aah ŝ. Dengan kata lain P(, = P(.. Penyebaan yang tidak isotopi dapat diekspesikan sebagai beikut: g = (.ˆ s P(.ˆ s dω s= Q (, mendiskipsikan sumbe cahaya. Langkah kedua setelah dikaji pesamaan tanfe adiasi adalah dilakukan metode appoksimasi. Pada umumnya RTE sulit diselesaikan tanpa didahului dengan appoksimasi. Appoksimasi yang digunakan disini adalah appoksimasi difusi yang pada akhinya didapatkan pesamaan difusi. Langkah ketiga dalam penelitian ini adalah tansfomasi Hopf-Cole untuk mempebaiki kestabilan appoksimasi difusi pada inves poblem pencitaan kanke otak dan menemukan solusi analitik untuk medium backgound konstan yang homogen bedimensi satu. Secaa umum tansfomasi Hopf-Cole adalah tansfomasi yang digunakan untuk mencai penyelesaian dai pesamaan diffeensial pasial non linea ke dalam penyelesaian pesamaan diffeensial pasial linea. ( M-34

3 Posiding Semina Nasional Penelitian, Pendidikan dan Peneapan MIPA, Fakultas MIPA, Univesitas Negei Yogyakata, 4 Mei Selanjutnya akan dilakukan simulasi hubungan antaa paamete estimasi dengan fungsional biaya menggunakan softwae matlab untuk mengetahui pebandingan tingkat kestabilan penyelesaian invese poblem dengan metode appoksimasi difusi dan tansfomasi Hopf-Cole. PEMBAHASAN Salah satu tehnik pencitaan otak adalah dengan Diffuse Optical Tomogaphy (DOT. DOT meupakan alat non-invasive yang digunakan untuk mendeteksi dan meekonstuksi sifat optik didalam media yang sangat hambu misalnya untuk mendeteksi kanke otak. DOT menggunakan cahaya nea-infa meah untuk menyelidiki bagian dalam tubuh sepeti otak yaitu pada pegantian oksigen atau keadaan fisiologis lainnya. Tidak sepeti sina-x, enegi photon yang endah tidak bejalan dalam lintasan yang luus, melainkan peambatannya menyeba (diffuse sehingga membeikan sedikit infomasi. Untuk mengatasi hal ini DOT menggunakan detekto pada pemukaan otak dan kemudian memposes infomasi ini dengan model statistik dai tanspot photon untuk membuat gamba 3-D. Fowad model dalam DOT dideskipsikan sebagai model peambatan photon pada jaingan otak yang dibeikan dengan appoksimasi difusi pada pesamaan tansfe adiasi Boltzmann. Bebeapa besaan penting bedasa pada definisi adiasi adalah ( Ambocio, 8: a. Spektum adiasi Spektum adiasi L v adalah alian enegi pe satuan daeah nomal pe satuan sudut padat pe satuan waktu pe satuan fekuensi massa luas bidang. b. Radiasi Radiasi L didefinisikan sebagai spektum adiasi yang mengintegasikan sebuah batasan ange fekuensi [ v, v + v] L(,, t = Lv (,, t v Dengan menunjukkan posisi, ŝ menunjukkan aah vekto satuan dan t menunjukkan waktu. c. Intensitas cahaya Φ( = L(,, t dω (3 Dengan d Ω menunjukkan defensial sudut padat d. Kepadatan alian cahaya Kepadatan alian cahaya J adalah jaingan alian enegi pe daeah pe satuan waktu. J ( = s= s= sl ˆ (,, t dω Pada appoksimasi difusi diasumsikan bahwa penyinaan cahaya nea-infa meah pada otak adalah isotopik yaitu penyebaannya meata disetiap komponen jaingan otak.. Untuk mempelajai adiasi dalam batas difusi, adiasi diepesentasikan sebagai sebuah ekspansi spheical hamonic sebagai beikut: n L,, t L, t Y s (5 Dengan ( ( ( n= m= n n, m n, m ˆ Y n, m menunjukkan spheical hamonic dan n m ( (4 L, menunjukkan koeffisien ekspansi. Komponen isotopik dai L sesuai dengan n = dan m =. Pada saat n = dan m =,, ada komponen yang tidak isotopik. Dengan subtitusi pesamaan (5 ke pesamaan (3 akan dipeoleh pesamaan (6 yang beati syaat isotopik adalah intinsias cahaya dibagi dengan sudut padat penuh 4 π. M-35

4 Jumini / Tansfomasi Hopf-Cole Φ( L, ( Y, (ˆ s = (6 Pekalian pesamaan (5 dengan pesamaan ŝ dan mensubtitusikannya ke pesamaan (4 akan didapatkan pesamaan sebagai beikut: m= 3 L, m ( Y, m ( = J (. (7 Dai pesamaan (6 dan (7 maka pesamaan ekspansi spheical hamonik pada pesamaan (5 akan menjadi: 3 L(,, t = Φ( + J( (8 Subtitusi pesamaan (8 ke pesamaan tansfe adiasi pesamaan ( dan mengintegalkannya dipeoleh pesamaan diffeensial skala sebagai beikut: Φ( + µ αφ( + J ( = Q( (9 c t Subtitusi pesamaan (8 ke dalam pesamaan tansfe adiasi, pesamaan ( dan mengalikan kedua uas pesamaan dengan ŝ, kemudian mengintegalkannya, dipeoleh: J ( + ( µ α + µ s J ( + Φ( = ( c t 3 Diasumsikan nilai J ( sangat kecil maka pesamaan ( menjadi: c t J( = D Φ( ( Subtitusi pesamaan ( ke dalam pesamaan (9 dipeoleh pesamaan difusi yang begantung pada waktu sebagai beikut: D = 3 ( µ α + µ S Φ( + µ ( [ D ( ] Q( αφ Φ = ( c t adalah koefesien difusi dan ( s µ s = g µ adalah eduksi koefisien penyebaan. Selanjutnya, appoksimasi difusi pada pesamaan tansfe adiasi dapat ditulis pada kasus yang tidak tegantung pada waktu sebagai beikut: D µ (3 ( Φ( + ( Φ( = Q( α Dalam penelitian ini jika diasumsikan Ω adalah otak yang menjadi domain dalam pembahasan pada pemukaan Ω, maka dapat didefinisikan inves poblemnya adalah sebagai beikut: dibeikan data Φ yaitu intensitas cahaya, maka akan ditemukan koefisien difusi D dan koefisien penyeapan µ α. Koefisien difusi D dan koefisien penyeapan µ α selanjutnya disebut q. Objek dai inves atau paamete estimasi dalam masalah ini dipilih sebuah paamete q * M-36

5 Posiding Semina Nasional Penelitian, Pendidikan dan Peneapan MIPA, Fakultas MIPA, Univesitas Negei Yogyakata, 4 Mei dengan meminimumkan kiteia eo atau fungsional biaya. Secaa khusus fungsional biaya dibeikan sebagai beikut (Khan, 7: J λ J λ N ( q = Φ( ς q i= i i, z + λ q q Dengan ς i beada dalam Ω dan N adalah banyaknya pengukuan, z i pengukuan kepadatan photon pada batas yaitu pada pemukaan kepala dan λ adalah paamete egulaisasi. Sebagai contoh, dalam satu dimensi dengan Ω = [,l], appoksimasi difusi dengan backgound tetap adalah pesamaan Stum-Louiville sebagai beikut: µ α Φ + q Φ = (4 Dengan q = D adalah konstan, dan kondisi batas Rubin sebagai beikut: Φ( α Φ( = Φ( l α Φ( l = (5 Dalam masalah ini inves poblemnya adalah mengestimasi skala q dai pengukuan kepadatan photon z yang diuku pada x = atau x = l Tansfomasi Hopf-Cole dimulai dengan tansfomasi Φ sebagai beikut (Evan, 998: ( ln( Φ ψ = D (6 Pesamaan (6 adalah tansfomasi Hopf-Cole kemudian pesamaan (4 dan (5 beubah menjadi: ψ ψ + q D = (7 D Dengan q = µ α D adalah konstan,dengan kondisi batas ubin: α ψ ( = D α ψ ( l = D (8 Pesamaan (4 dan (5 dapat diselesaikan secaa analitik dan solusi untuk Dengan keteangan: qη qη qη qη ( e γe ( e βe ( β γ x < η adalah: Φ( x, η; q = (9 qd γ = e lq β αq β = + αq M-37

6 Jumini / Tansfomasi Hopf-Cole Jika pengukuan dilakukan pada x =, maka invese poblemnya adalah mengestimasi q dai data z yang diuku pada x =. Dengan demikian paamete pada pemetaan output dibeikan sebagai beikut: ( Φ( x,η q Tq = C ; (, ;q = Φ η = qη qη ( e γe ( + β ( β γ Pesamaan ( meupakan fungsi nonlinea dai paamete q yang dihaapkan. Dengan caa yang sama penyelesaian dai pesamaan (7 dan (8 adalah sebagai beikut: qx ( x; q = Dln( β e qdx ( ψ ( Dan untuk pengukuan pada x =, paamete pada pemetaan output dibeikan sebagai beikut: T ~ q = Cψ ; ( x q = ψ ( ; q ( = D ln β ( Selanjutnya dilakukan simulasi hubungan antaa fungsional biaya J λ (q untuk medium backgound tetap yang homogen dalam satu dimensi dengan paamete estimasi q menggunakan softwae matlab. Pada simulasi ini dibeikan kondisi batas Rubin dengan D =, 33mm. Sehingga estimasi awal untuk q =, 97mm difusi, besanya fungsional biaya dapat dihitung dengan umus: =,mm µ α dan. Untuk metode appoksimasi J λ q = Φ( ; q Φ(; q + λ q q Dengan Φ ( ; q adalah fungsi solusi analitik pada pesamaan (9. Simulasi pada gamba menggunakan dua paamete egulaisasi λ yaitu λ = (tanpa egulaisasi dan λ =.. x - Paamete Estimasi dengan Appoksimasi Difusi.5 Tanpa Regulaisasi (lamda= Dengan egulaisasi (lamda=. Fungsional biaya Paamete Estimasi q Gamba. Paamete estimasi q dengan appoksimasi difusi M-38

7 Posiding Semina Nasional Penelitian, Pendidikan dan Peneapan MIPA, Fakultas MIPA, Univesitas Negei Yogyakata, 4 Mei Pada gamba, gafik meah menunjukkan besanya fungsional biaya dengan λ = (tanpa egulaisasi dan gafik biu menunjukkan besanya fungsional biaya dengan egulaisasi λ =.. Pada gamba juga telihat bahwa paamete egulaisasi sangat bepengauh tehadap besanya fungsional biaya, hal ini dibuktikan dengan gafik meah yang menyimpang jauh dengan gafik biu, hal ini juga menandakan bahwa metode appoksimasi difusi kuang stabil dalam penyelesaian inves poblem. Sedangkan untuk metode tansfomasi Hopf-Cole, besanya fungsional biaya dapat dihitung dengan umus: J q = ψ ( ; q ψ (; q + λ q q λ Dengan ψ ( ; q adalah fungsi solusi analitik pada pesamaan (. Simulasi ini menggunakan dua paamete egulaisasi λ yaitu λ = (tanpa egulaisasi dan λ =.. Hasil simulasi pada gamba menunjukkan bahwa dengan egulaisasi atau tanpa egulaisasi, gafik fungsional biaya tidak akan menyimpang jauh, atinya egulaisasi tidak mempengauhi besanya fungsional biaya. Dengan kata lain, metode tansfomasi Hopf-Cole akan mempebaiki dan menstabilkan penyelesaian inves poblem jika dibandingkan dengan metode appoksimasi difusi. 4.5 x -9 4 Paamete Estimasi dengan Tansfomasi Hopf-Cole Tanpa Regulaisasi (lamda= Dengan egulaisasi (lamda= Fungsional biaya Paamete Estimasi q Gamba Paamete estimasi q menggunakan Tansfomasi Hopf-Cole KESIMPULAN penyelesaian invese poblem pencitaan kanke otak dengan metode tansfomasi Hopf- Cole lebih stabil jika dibandingkan penyelesaian dengan metode appoksimasi difusi. Hal ini bisa diketahui dai simulasi bahwa gafik hubungan paamete estimasi dengan fungsional biaya baik menggunakan paamete egulaisasi atau tanpa egulaisasi untuk tansfomasi Hopf-Cole tidak tejadi banyak peubahan atau sama-sama cekung, jika dibandingkan dengan appoksimasi difusi. DAFTAR PUSTAKA Ambocio, E, (8, A Self-Consisten Obstacle Scatteing Theoy fo the Diffusion Appoximation of the Radiative Tanspot Equation, A Technical epot submitted in patial fulfillment of the equiement fo degee of Maste of Science, Univesity of Califonia, Meced M-39

8 Jumini / Tansfomasi Hopf-Cole Evan, LC, (998, Patial Diffeential Equation, Ameican Mathematical Society, volume 9, Ameika Kaipio, J dan Somesalo, E, (4, Statistical and Computational Inves Poblem, 6, Helsinki dan Kuopio. Khan, T, R, (7, Inves Poblem In Optical Tomogaphy Using Diffusion Appoximation and Hopf-Cole Tansfomation, Depatement of Mathematical Science, Clemson Univesity, SC , Clemson Nattee, F, (, Mathematical Methods in Image Recontuction, Siam Tahi, K, (7, Optical Tomogaphy, diakses pada tanggal 7 Desembe. Wang, LV, dan Wu, HI, (7, Biomedical Optics, Wiley. ISBN M-3