ANALISIS KESTABILAN MODEL EKOEPIDEMIOLOGI DENGAN PEMANENAN SEBAGAI KONTROL PENYEBARAN PENYAKIT

Transkripsi

1 ANAL ETABLAN MODEL EOEPDEMOLOG DENGAN PEMANENAN EBAGA ONTROL PENYEBARAN PENYAT Choiotul Ummah, Abadi Juusan Matematika, Fakultas Matematika dan lmu Pengetahuan Alam, Univesitas Negei uabaya, 6 choiotul9@yahoo.co.id, abadi4@yahoo.com ABTRA Dalam atikel ini, diekonstuksi suatu model ekoepidemiologi dengan pemanenan yang menggambakan inteaksi antaa populasi ikan tilapia entan, ikan tilapia teinfeksi oleh baktei, dan populasi buung pelikan yang beada di Laut alton, Califonia, yang dipengauhi adanya pemanenan pada populasi ikan tilapia. elanjutnya model tesebut dilinieisasi, sehingga dipeoleh 4 titik kitis yang memenuhi dai 8 titik kitis yang dipeoleh, di mana kestabilannya dianalisis bedasakan nilai eigen dan salah satu titik kitisnya dianalisis bedasakan kiteia Routh-Huwitz. Untuk menganalisis kebeadaan titik bifukasi dan jenis bifukasinya, menggunakan metode manifold pusat, sehingga dipeoleh bidang vekto di manifold pusat yang menunjukkan adanya suatu bifukasi yang menaik yaitu bifukasi tanskitikal dan bifukasi Hopf. Untuk menggamba obit kestabilan dan diagam bifukasi, menggunakan softwae MatCont. Dai hasil analisis kestabilan dan bifukasi tesebut, dilakukan intepetasi biologi tentang pean usaha pemanenan dalam mengkontol penyebaan penyakit dan pengauhnya tehadap petumbuhan populasi ikan tilapia dan buung pelikan. ata kunci: model ekoepidemiologi dengan pemanenan, kestabilan lokal, bifukasi, manifold pusat PENDAHULUAN Poses pemangsaan tejadi antaa mangsa dan pemangsa, sebab tanpa adanya mangsa, populasi pemangsa tidak dapat hidup. alah satu fakto yang mempengauhi poses pemangsaan tesebut adalah adanya penyakit. Apabila suatu spesies mangsa teseang penyakit, hal ini akan mengubah peilaku mangsa, sehingga lebih mudah untuk dipedasi Fenomena alam yang menggambakan inteaksi mangsa pemangsa, di mana populasi mangsa teseang penyakit, dijelaskan oleh Chattopadhyay dan Baiagi ()., yaitu inteaksi antaa populasi buung pelikan dan ikan tilapia di Laut alton, Caifonia. kan tilapia tesebut teinfeksi baktei Avian botulism. Baktei tesebut membuat bebeapa bagian tubuh ikan tilapia mengalami kekosongan oksigen. ehingga, mengubah peilaku ikan tilapia yang teinfeksi yaitu meeka akan beenang menuju pemukaan ai dan menjadi entan dipedasi oleh buung pelikan. Apabila buung pelikan memakan ikan tilapia teinfeksi yang masih hidup, maka meeka akan mengalami keacunan dan mati, kaena di dalam jaingan tubuh ikan tilapia teinfeksi masih tedapat acun botulism yang dihasilkan oleh baktei Avian botulism. Bedasakan fenomena tesebut, Chattopadhyay dan Baiagi () membuat model ekoepidemiologi, yang tedii dai populasi ikan ikan tilapia entan, ikan tilapia yang teinfeksi oleh baktei dan populasi buung pelikan. Dalam hal ini diasumsikan, buung pelikan hanya memangsa ikan tilapia teinfeksi. Pengembangan model ekoepidemiologi tesebut dilakukan oleh Baiagi, et.al (9) dengan mengasumsikan adanya pemanenan pada populasi ikan tilapia. Pemanenan betujuan untuk menguangi banyaknya ikan tilapia, sehingga penyebaan penyakit antaa ikan tilapia entan dan teinfeksi dapat dikontol. Pada atikel ini akan dibahas ekonstuksi model ekoepidemiologi dengan pemanenan yang dimodelkan oleh Baiagi, et.al (9). elanjutnya akan ditentukan titik kitis, identifikasi kestabilan lokal, jenis titik kitis dan identifikasi adanya bifukasi dengan menetapkan paamete usaha pemanenan sebagai paamete bifukasi. ehingga dapat diketahui bagaimana pean pemanenan sebagai kontol penyebaan penyakit pada populasi ikan tilapia dan pengauhnya tehadap petumbuhan populasi ikan tilapia dan buung pelikan. Pengembangan yang dilakukan dalam penulisan ini adalah menentukan jenis bifukasi menggunakan metode manifold pusat. Untuk menggamba obit kestabilan dan diagam bifukasi menggunakan softwae MatCont.

2 PEMBAHAAN Rekonstuksi Model Ekoepidemiologi Dengan Pemanenan Dengan adanya penyakit kaena infeksi baktei Avian botulism, jumlah populasi ikan tilapia di Laut alton adalah N( t) ( t) ( t), di mana adalah banyaknya ikan tilapia entan dan adalah banyaknya ikan tilapia teinfeksi. Banyaknya ikan tilapia entan menjadi ikan tilapia teinfeksi adalah, di mana adalah laju penyebaan penyakit. nfeksi baktei hanya tejadi apabila tejadi kontak langsung antaa ikan tilapia teinfeksi tehadap ikan tilapia entan. kan tilapia yang teinfeksi baktei tesebut, akan mati dalam bebeapa hai dan cendeung beenang ke pemukaan ai. Petumbuhan populasi ikan tilapia mengikuti model logistik, yang dinyatakan dengan N N, dengan N. aena ikan tilapia teinfeksi akan mati dalam bebeapa hai, maka suku diasumsikan benilai nol, sehingga petumbuhan populasi ikan tilapia adalah, atinya petumbuhan populasi ikan tilapia dipengauhi oleh kelahian dan kematian ikan tilapia entan baik kematian alami maupun kematian kaena penyakit. Dengan demikian, laju petumbuhan populasi ikan tilapia entan akan dipengauhi oleh komponen N. Diasumsikan buung pelikan hanya memakan ikan tilapia yang telah mati, kaena buung pelikan akan mengalami keacunan apabila memakan ikan tilapia teinfeksi yang masih hidup. Banyaknya ikan tilapia teinfeksi yang dimakan mengikuti espon fungsional Holling tipe yaitu mp. elahian h populasi buung pelikan begantung pada jumlah maksimum mangsa yang dimakan, maka banyaknya buung pelikan yang lahi adalah mp, di mana h adalah efisiensi pemangsaan. Jika laju kematian alami ikan tilapia teinfeksi adalah, maka banyaknya ikan tilapia teinfeksi yang mati secaa alami kaena penyakit adalah. banyaknya buung pelikan yang mati secaa alami adalah dp, dengan laju kematian alami dinyatakan dengan d yaitu laju kematian buung pelikan kaena tidak ada makanan ditambah kematian kaena keacunan akibat mamakan ikan tilapia teinfeksi yang masih hidup. Pemanenan hanya dilakukan tehadap populasi ikan tilapia yang dilakukan secaa non selektif oleh nelayan, di mana laju penangkapan ikan tilapia teinfeksi lebih besa daipada ikan tilapia entan. Banyaknya ikan tilapia entan yang ditangkap oleh nelayan adalah qe dan banyaknya ikan tilapia teinfeksi yang ditangkap oleh nelayan adalah qe. Beikut dibeikan model kompatemen dai model ekoepidemiologi dengan pemanenan bedasakan asumsi di atas. Gamba. Model ompatemen dai Model Ekoepidemiologi Dengan Pemanenan eteangan : = banyaknya ikan tilapia entan pe satuan aea = banyaknya ikan tilapia teinfeksi pe satuan aea P = banyaknya buung pelikan pe satuan aea = laju petumbuhan intinsik yang behubungan dengan kelahian dan kematian alami ikan tilapia entan = kapasitas maksimum ikan tilapia yang ada di Laut alton = laju penyebaan penyakit m= laju pemangsaan ikan tilapia teinfeksi oleh pemangsa h = banyaknya ikan tilapia teinfeksi, saat laju pemangsaan buung pelikan sama dengan setengah dai laju pemangsaan maksimalnya = efisiensi pemangsaan yaitu kemudahan pemangsa untuk mendapatkan ikan tilapia teinfeksi = laju kematian alami ikan tilapia teinfeksi d = laju kematian alami buung pelikan q = laju penangkapan ikan tilapia entan q = laju penangkapan ikan tilapia teinfeksi E = usaha pemanenan yang dilakukan oleh nelayan Dai asumsi dan diagam kompatemen tesebut, dipeoleh model ekoepidemiologi dengan pemanenan yang mengambakan inteaksi antaa ikan tilapia dan buung pelikan di Laut alton, yang dipengauhi oleh infeksi baktei dan pemanenan pada populasi ikan tilapia, sebagai beikut. d () qe dt d mp qe dt h dp m P dp dt h

3 Penentuan Titik itis Dengan menolkan uas kanan pada model () tedapat 4 titik kitis yang memenuhi dai 8 titik kitis yang dipeoleh yaitu qe, T (,,), T,, qe qe qe dan T,, hd qe hd h T,, qe. m d m d m estabilan Titik itis Model () dilinieisasi di sekita titik kitisnya dipeoleh matiks Jacobi A sebagai beikut ( ) qe hmp m A q E ( h ) h hmp m d ( h ) h Dengan mensubtitusi titik kitis di matiks Jacobi A, secaa analitik dipeoleh kestabilannya sebagai beikut :. estabilan titik kitis T det( A ), di Dengan menyelesaikan mana A adalah matiks Jacobi di sekita titik kitist, adalah matiks identitas odo dan adalah nilai eigen di titik kitis T. Nilai eigennya adalah qe, qe dan d. Dai nilai eigen tesebut, dipeoleh kestabilan titik kitis yaitu, titik kitis T stabil jika batas paamete usaha pemanenan E dan titik kitis T tak stabil q jika E. q. estabilan titik kitis T Dengan menyelesaikan det( A ), di mana A adalah matiks Jacobi di sekita titik kitis T, adalah matiks identitas odo dan adalah nilai eigen di titik kitis T. Nilai eigennya adalah qe, qe qe dan d. Dai nilai eigen tesebut, dipeoleh kestabilan titik kitis yaitu, titik kitis T stabil jika batas paamete usaha pemanenan E dan ( ) E. Dan titik q q q kitis T tak stabil jika ( ) E dengan. q q E dan q. estabilan titik kitis T Dengan menyelesaikan det( A ), di mana A adalah matiks Jacobi di sekita titik kitist, adalah matiks identitas odo dan adalah nilai eigen di titik kitist. Nilai eigennya adalah a b, a b dan m ( ( qe) Eq) h h ( q E) Eq di mana Eq d a dan Eq ( Eq) Eq Eq b 4. Dai nilai eigen tesebut, kestabilan titik kitis yaitu, titik kitis T stabil jika batas paamete usaha pemanenan E, E dan q q q q hd( ) E q q q q m d T tak stabil jika E q q hd( ) E dengan q q q q m d d hd( ) m dan. ( ). Dan titik kitis, dan 4. estabilan titik kitis T Dengan menyelesaikan det( A 4), di mana A adalah matiks Jacobi di sekita titik kitis T, adalah matiks identitas odo dan 4 adalah nilai eigen di titik kitis T. Dipeoleh pesamaan kaakteistik p( ) a a a dengan

4 m P a ( h ) a mhdp m P ( h ) ( h ) mdh P a ( h ) estabilan titik kitis T dianalisis menggunakan kiteia Routh-Huwitz, sehingga titik kitis T stabil jika a, a dan aa a. Penentuan batas paamete usaha pemanenan dilakukan secaa numeik menggunakan softwae Maple yang akan dijelaskan pada subbab selanjutnya. Analisis Numeik Bifukasi Titik itis dan ntepetasinya Untuk memudahkan analisis bifukasi titik kitis, dibeikan nilai paamete beupa data sekunde yang dipeoleh dai atikel penelitian Baiagi et.al (7) sebagai beikut. Dalam menentukan nilai paamete laju penyebaan penyakit ( ) dan laju pemangsaan haus disesuaikan dengan analisis yang telah dipeoleh pada subbab sebelumnya, Tabel Notasi untuk vaiabel dan paamete beseta nilainya Vaiabel dan paamete Unit Nilai yang ditentukan Jumlah pe satuan aea Vaiabel Jumlah pe satuan aea Vaiabel P Jumlah pe satuan aea Vaiabel Pe hai Jumlah pe satuan aea 45 Pe hai. m Pe hai.9 h Jumlah pe satuan aea 5 Pe hai.4 Pe hai.4 d Pe hai.9 q Pe hai. q Pe hai.5 E Pe hai Paamete yang diubahubah. Analisis bifukasi titik kitis T ecaa numeik dipeoleh kestabilan titik kitis T sebagai beikut, titik kitis T stabil jika batas nilai paamete usaha pemanenan E 5 dan titik kitis T tak stabil jika E 5. Jadi, saat E 5 tejadi bifukasi. Untuk mengetahui jenis bifukasi di E 5, menggunakan metode manifold pusat sebagai beikut: Dai sistem (), dipilih invaian manifold di P sehingga dipeoleh ()..E E aena sistem memiliki nilai eigen benilai nol, sedangkan sistem dan P memiliki nilai eigen negatif saat E 5.ehingga tedapat manifold pusat di sistem (). alah satu titik kitis pada sistem () adalah * * T (, ) (,). aena invaian manifold () besinggungan dengan manifold pusat di (,), maka titik kitist ditanslasi ke (,) dipeoleh sistem hasil tanslasi sebagai beikut (. E). 5 (.4.5 E). () aena sistem () begantung pada paamete E, maka dengan memasukkan paamete E sebagai vaiabel tak bebas bau, sistem () menjadi (. E). (4) 5 E (.4.5 E). etelah dilinieisasi, sistem () memiliki nilai eigen benilai nol dan negatif jika E 5, maka tedapat manifold pusat pada sistem () di (,), yang didefinisikan sebagai c W () {, E, R H (, E), H (,), DH (.)} untuk dan E sangat kecil. Untuk menentukan bidang vekto di manifold pusat, dengan mensubstitusi sistem (4) ke tuunan pasial H (, E) tehadap t, kemudian mensubstitusi apoksimasi = H (, E) E E... dan menyamakan koefisien koefisien,,,... di pangkat tetinggi vaiabelnya, dipeoleh hasil apoksimasi manifold pusat H (, E) h. o. t,dengan h.. o t adalah high ode tems..emudian mensubtitusi H (, E) ke, dan mengubah vaiabel (. E). 5 menjadi u. ehingga dipeoleh bidang vekto di manifold pusat sebagai beikut

5 u E u u 5 E. (5) istem (5) menunjukkan bahwa jenis bifukasi saat E 5adalah bifukasi tanskitikal. Beikut dibeikan obit kestabilan titik kitis T yang menggambakan peubahan kestabilan titik kitis T akibat beubahnya nilai paamete usaha pemanenan yaitu saat E 5 dan E 5. Gafik a. Obit estabilan aat E 7 Poyeksi di Bidang - ntepetasi biologi dai analisis di atas adalah sebagai beikut, jika fekuensi usaha pemanenan yang dilakukan oleh manusia tidak dapat dikendalikan yaitu lebih dai 5 kali pe hai, maka populasi ikan tilapia akan punah. Akibatnya tidak akan tejadi penyebaan penyakit kaena tidak adanya populasi ikan tilapia. Dalam hal ini, usaha pemanenan tidak memiliki pean dalam mengkontol penyebaan penyakit. Dampak dai punahnya populasi ikan tilapia adalah punahnya populasi buung pelikan, akibat tidak adanya makanan utamanya yaitu ikan tilapia teinfeksi.. Analisis bifukasi titik kitis T ecaa numeik dipeoleh kestabilan titik kitis T sebagai beikut, titik kitis T stabil jika batas nilai paamete usaha pemanenan.88 E 5 dan titik kitis T tak stabil jika E 5 dan E.88. Jadi, saat E.88 tejadi bifukasi. Untuk mengetahui jenis bifukasi di E.88, menggunakan metode manifold pusat sebagai beikut: Dai sistem (), dipilih invaian manifold di P sehingga dipeoleh (6)..E E aena sistem memiliki nilai eigen benilai nol, sedangkan sistem dan P memiliki nilai eigen negatif saat E.88.ehingga tedapat manifold pusat di sistem (6). alah satu titik kitis pada sistem (6) adalah * * T E. aena invaian (, ) (45,) Gafik b. Obit estabilan aat E 9 Poyeksi di Bidang - manifold (6) besinggungan dengan manifold pusat di (,), maka titik kitis T ditanslasi ke (,) dipeoleh sistem hasil tanslasi sebagai beikut.e 4.5.9E. (7) (..59 E). aena sistem (7) begantung pada paamete E, maka dengan memasukkan paamete E sebagai vaiabel tak bebas bau, sistem (7) menjadi (. E). 5 E (.4.5 E). (8) etelah dilinieisasi, sistem (7) memiliki nilai eigen benilai nol dan negatif jika E.88, maka tedapat manifold pusat pada sistem (7) di (,), yang didefinisikan sebagai c W () {, E, R H (, E), H (,), DH (.)} untuk dan E sangat kecil. Untuk menentukan bidang vekto di manifold pusat, dengan mensubstitusi sistem (8) ke tuunan pasial H (, E) tehadap t, kemudian mensubstitusi apoksimasi = H (, E) E E... dan menyamakan koefisien koefisien,,,... di pangkat tetinggi vaiabelnya, dipeoleh hasil apoksimasi manifold pusat H (, E).7E. emudian mensubtitusi H (, E).7 E h. o. t ke (..59 E)., dan mengubah vaiabel menjadi u. ehingga dipeoleh bidang vekto di manifold pusat sebagai beikut u..59e u.eu E (9) istem (9) menunjukkan bahwa jenis bifukasi saat E.88 adalah bifukasi tanskitikal. Beikut dibeikan obit kestabilan titik kitis T yang menggambakan peubahan kestabilan titik kitis T akibat beubahnya nilai paamete usaha pemanenan yaitu saat.88 E 5 dan E.88. Gafik a. Obit estabilan aat E 9 Poyeksi di Bidang - 5 Gafik b. Obit estabilan aat E.7 Poyeksi di Bidang -

6 ntepetasi secaa biologi dai analisis di atas adalah sebagai beikut, jika fekuensi usaha pemanenan ikan tilapia yang dilakukan oleh nelayan sekita 5 sampai kali pe hai, di mana penangkapan ikan tilapia teinfeksi lebih besa daipada ikan tilapia entan. Dan laju kematian ikan tilapia teinfeksi lebih besa dai laju petumbuhan maksimum ikan tilapia teinfeksi yang secaa matematis dinyatakan sebagai qe. qe Maka populasi ikan tilapia teinfeksi akan punah dan hanya populasi ikan tilapia entan yang masih dapat betahan hidup kaena diasumsikan laju petumbuhannya tinggi akibat salinitas ai laut yang tinggi yang menyebabkan epoduksinya juga tinggi. Dampak dai punahnya populasi ikan tilapia teinfeksi adalah punahnya populasi buung pelikan,. Analisis bifukasi titik kitis T ecaa numeik dipeoleh kestabilan titik kitis T sebagai beikut, titik kitis T stabil jika batas nilai paamete usaha pemanenan.5 E.88 dan titik kitis T tak stabil jika E.88 dan E.5. Jadi, saat E.5 tejadi bifukasi. Untuk mengetahui jenis bifukasi di E.5, menggunakan metode manifold pusat sebagai beikut: Dai sistem (), dipilih invaian manifold di sehingga dipeoleh.9p ().4.5E 5.6P P.9P 5 aena sistem P memiliki nilai eigen benilai nol, sedangkan sistem dan memiliki nilai eigen negatif saat E.5.ehingga tedapat manifold pusat di sistem (). alah satu titik kitis pada sistem () adalah * * T (, P ) ( E,). aena invaian manifold () besinggungan dengan manifold pusat di (,), maka titik kitis T ditanslasi ke (,) dipeoleh sistem hasil tanslasi sebagai beikut ().9P.97P.EP E E E E.6P 9.P 4.88EP P.9P E (.4.5 ) aena sistem () begantung pada paamete E, maka dengan memasukkan paamete E sebagai vaiabel tak bebas bau, sistem () menjadi.9p.97p.ep E E E E E (.4.5 ) P 9.P 4.88EP P.9P E () etelah dilinieisasi, sistem () memiliki nilai eigen benilai nol dan negatif jika E.5, maka tedapat manifold pusat pada sistem () di (,), yang didefinisikan sebagai c W () {, E, PR H ( P, E), H (,), DH (.)} untuk P dan E sangat kecil. Untuk menentukan bidang vekto di manifold pusat, dengan mensubstitusi sistem () ke tuunan pasial H ( P, E) tehadap t, kemudian mensubstitusi apoksimasi H ( P, E) P PE E... dan menyamakan koefisie,,,... di pangkat tetinggi vaiabelnya, dipeoleh hasil apoksimasi manifold pusat H ( P, E) EP h. o. t. emudian mensubtitusi H ( P, E) EP ke.6p 9.P 4.88EP, dan mengubah P E.9P vaiabel P menjadi u. ehingga dipeoleh bidang vekto di manifold pusat sebagai beikut E.7E u u u E E E () istem () menunjukkan bahwa jenis bifukasi saat E.5adalah bifukasi tanskitikal. Beikut dibeikan obit kestabilan titik kitis T yang menggambakan peubahan kestabilan titik kitis T akibat beubahnya nilai paamete usaha pemanenan yaitu saat.5 E.88 dan E.5. Gafik a. Obit estabilan aat E.7 Poyeksi di Bidang -P Gafik b. Obit estabilan aat E. Poyeksi di Bidang -P ntepetasi biologi dai analisis di atas adalah sebagai beikut, penyebaan penyakit dai ikan tilapia teinfeksi ke ikan tilapia entan diasumsikan tinggi, akibatnya populasi ikan tilapia teinfeksi betambah kaena munculnya individu bau dai individu ikan tilapia entan yang tetula penyakit akibat baktei Avian botulism. Untuk mengatasi hal tesebut, maka fekuensi usaha

7 pemanenan yang sehausnya dilakukan oleh nelayan adalah sebanyak kali pe hai, aga populasi ikan teinfeksi dapat dikuangi, sehingga penyebaan penyakit dapat dikontol, di mana penangkapan ikan tilapia teinfeksi lebih besa dai ikan tilapia entan. Namun hal ini dapat mengakibatkan punahnya populasi pelikan kaena ketebatasan makanan utamanya yaitu ikan tilapia teinfeksi. Akibat ketebatasan makanan tesebut, apabila buung pelikan memakan ikan tilapia teinfeksi yang masih hidup, akan mengakibatkan buung pelikan mengalami keacunan dan mati. 4. Analisis bifukasi titik kitis T husus titik kitis T, untuk menganalisis kestabilan dan mengetahui jenis bifukasinya dilakukan secaa numeik menggunakan softwae Maple dan MatCont, kaena secaa analitik membutuhkan poses yang sangat umit. Dai hasil analisis numeik tesebut, dipeoleh batas nilai paamete usaha pemanenan yang memenuhi aga titik kitis T stabil yaitu.5 E.5dan batas nilai paamete usaha pemanenan yang memenuhi aga titik kitis T tak stabil yaitu E.5. Untuk menentukan kebeadaan titik bifukasi dan jenis bifukasinya di titik kitis T, dianalisis secaa numeik menggunakan softwae Matcont, dipeoleh diagam bifukasi sebagai beikut. Gafik 4. Diagam bifukasi Hopf poyeksi di bidang E- Dai Gafik 4, aea bewana meah menunjukkan adanya limit cycle dan tedapat titik H saat E =.5 yang menunjukkan bahwa saat nilai paamete usaha pemanenan E =.5 tejadi bifukasi dan jenis bifukasinya adalah bifukasi Hopf. Beikut dibeikan obit kestabilan titik kitis T (7.75 E,5,9.8. E) yang menggambakan peubahan kestabilan akibat beubahnya nilai paamete usaha pemanenan yaitu saat.5 E.5dan E.5. Gafik 5a. Obit estabilan aat E. Poyeksi di Bidang -P Gafik 5b. Obit estabilan aat E. Poyeksi di Bidang -P ntepetasi biologi dai analisis di atas adalah sebagai beikut, penyebaan penyakit dai ikan tilapia teinfeksi ke ikan tilapia entan diasumsikan tinggi, akibatnya populasi ikan tilapia teinfeksi betambah kaena munculnya individu bau dai individu ikan tilapia entan yang tetula penyakit akibat baktei Avian botulism. Jika fekuensi usaha pemanenan yang dilakukan oleh nelayan sangat endah yaitu kuang dai atau sama dengan kali pe hai, dengan penangkapan ikan tilapia teinfeksi lebih besa dai ikan tilapia entan, maka populasi ikan tilapia teinfeksi tidak dapat dikuangi secaa maksimal. ehingga penyebaan penyakit, juga tidak dapat dikontol dengan maksimal. Hal ini bedampak negatif tehadap petumbuhan populasi ikan tilapia entan, namun bedampak positif bagi petumbuhan populasi ikan tilapia teinfeksi dan suatu saat banyaknya populasi ikan tilapia akan konstan. Hal ini juga pelu diingat, bahwa ikan tilapia entan masih dapat betahan hidup kaena laju petumbuhan ikan tilapia yang diasumsikan tinggi. Efek dai usaha pemanenan dan penyebaan penyakit tesebut, beakibat laju pemangsaan yang dilakukan oleh buung pelikan tehadap populasi ikan tilapia teinfeksi yang mati juga sangat tinggi. elain itu juga, kaena laju pemangsaan pemangsa begantung pada espon fungsional Holling tipe, akibatnya laju pemangsaan oleh buung pelikan meningkat tehadap kepadatan populasi ikan tilapia teinfeksi yang meningkat, namun pada akhinya laju pemangsaan menuun secaa asimtotik di mana laju konsumsi tetap konstan telepas dai peningkatan kepadatan populasi ikan tilapia teinfeksi. ehingga populasi ikan tilapia teinfeksi bekontibusi dalam petumbuhan populasi buung pelikan.

8 Diagam Bifukasi Beikut dibeikan diagam bifukasi yang menggambakan keseluuhan analisis bifukasi di atas, yang dipeoleh dai simulasi menggunakan softwae MatCont. Gafik 6. Diagam bifukasi Poyeksi di Bidang E- Gafik 6 di atas, secaa numeik mendeskipsikan keseluuhan peubahan kestabilan titik kitis akibat peubahan nilai paamete usaha pemanenan E. Dan telihat saat melewati nilai paamete usaha E 5, E.88 dan E.5, jenis bifukasinya adalah bifukasi tanskitikal kaena saat melewati nilai paamete usaha tesebut, tedapat dua titik kitis, yang keduanya mengalami peubahan kestabilan. Dan tedapat bifukasi Hopf, saat kaena saat melewati nilai paamete usaha E.5. MPULAN Model ekoepidemiologi dengan pemanenan disajikan dalam bentuk tiga pesamaan difeensial biasa tak linie sepeti pada sistem (), yang menggambakan inteaksi antaa populasi ikan tilapia entan, ikan tilapia teinfeksi dan buung pelikan di Laut alton, Califonia, yang dipengauhi adanya pemanenan pada ikan tilapia entan dan ikan tilapia teinfeksi. ecaa umum, pean pemanenan dalam mengkontol penyebaan penyakit akan bebeda-beda, sesuai dengan batas-batas usaha pemanenan yang ada. Apabila fekuensi usaha pemanenan semakin lama semakin tinggi, maka penyebaan penyakit dapat dikontol secaa maksimal, kaena semakin lama populasi ikan tilapia teinfeksi dapat dikuangi. Meskipun suatu saat bedampak punahnya populasi ikan tilapia dan buung pelikan, akibat fekuensi usaha pemanena ikan yang belebihan yaitu lebih dai 5 kali pe hai. Apabila fekuensi usaha pemanenan semakin lama semakin bekuang, yaitu hanya satu kali pe hai, maka kontol penyebaan penyakit tidak maksimal, kaena populasi ikan tilapia teinfeksi semakin betambah. Meskipun suatu saat kepadatan populasi ikan tilapia teinfeksi akan konstan, akibatnya tejadi inteaksi secaa teus meneus antaa populasi ikan tilapia dan populasi buung pelikan, yang ditunjukkan adanya limit cycle pada sistem. Hal ini bedampak buuk bagi kelangsungan hidup populasi ikan tilapia dan buung pelikan di Laut alton, Califonia, kaena ledakan epidemi ikan tilapia tidak dapat dikontol dan beakibat punahnya buung pelikan. ARAN Analisis kestabilan secaa analitik dengan manifold pusat dan secaa numeik dengan softwae Matcont hanya dilakukan pada titik kitis T, T dan T, sedangkan titik kitis T hanya dilakukan secaa numeik menggunakan softwae Maple dan Matcont. Dihaapkan ada pengkajian lebih lanjut dalam menganalisis titik kitis T secaa analitik. elain itu, bagi pembaca dapat mengembangkan model ekoepidemiologi dengan pemanenan ini, dengan meneapkan suatu kebijakan pemanenan optimal bedasakan pinsip maximum sustainable yield, sehingga dapat memanajemen populasi ikan yang dipanen aga tidak mengalami kepunahan dan membeikan keuntungan maksimum bagi nelayan. DAFTAR PUTAA [] Baiagi, N, Chaudhui,, Chattopadhyay, J. (9) Havesting as a Disease Contol Measue in an Eco-epidemiological ystem A theoetical study. Mathemetical Biosciences. 7:4-44. [] Baiagi, N, Roy, P., Chattopadhyay, J. (7) Role of nfection on The tability of a Pedato- Pey ystem with eveal Respon Functions A compeative study. Jounal of Theoetical Biology. 48:-5. [] J. Chattopadhyay, N. Baiagi. () Pelicans at Risk in alton ea An Eco-epidemiological tudy. Ecological Modelling. 6:-. [4] uznetsov,yu A. (9) Tutoial : Onepaamete bifucation analysis of equilibia with MatCont. [Online]. Diakses di AB.pdf. [Diakses: Oktobe ]. [5] hone, R. () Economic Dynamics Phase Diagams and thei Economic Application. econd Edition. United tates of Ameica: Cambidge Univesity Pess. [6] Tu,P.N.V. (994) Dynamical ystem, An ntoduction with Applications in Economics and Biology. econd Revision ann enlaged edition. New Yok: pinge-velag. [7] Vehulst, F. (99) Nonlinea Diffeential Equations and Dynamical ystem. New Yok: pinge-velag [8] Wiggins,. (99) ntoduction to Applied Nonlinie Dynamical ystems and Chaos. New Yok: pinge-velag