ALGORITMA SIMPLIFIKASI PERAMBATAN PANAS KONDUKSI PADA BENDA DENGAN BENTUK BOLA

Transkripsi

1 ALGORITMA SIMPLIFIKASI PERAMBATAN PANAS KONDUKSI PADA BENDA DENGAN BENTUK BOLA Tomi Tistono Fakultas Teknik Univesitas Medeka Madiun Abstak Peambatan panas konduksi pada katagoi sistem dengan bentuk fisik bola adalah peambatan satu dimensi bilamana suhu benda hanya meupakan fungsi jaak adial dan tidak begantung dai sudut azimut. Peambatan panas dipengauhi sifat-sifat fisik medium yang dilalui diantaanya konduktivitas panas k, panas spesifik c dan kepadatan massa m yang dibangun dengan menganggap bahwa panas mengali/meambat secaa kontinu. Penelitian ini betujuan untuk melakukan kajian tentang model peambatan panas pada benda-benda dengan bentuk fisik bola dengan memandang sebagai pesoalan konduksi satu dimensi. Langkah petama yaitu metode penyelesaian numeik yang digunakan adalah metode volume hingga (Finite Volume Method) teknik diskitisasi QUICK (Quadatic Upwind Intepolation Conective Kinematic dengan beda maju pusat (fowad cental diffeence). Tahap beikutnya yaitu melakukan analisa uji stabilitas dan konvegensi dan akhinya pembuatan pogam disain model dengan bantuan Matlab. Veifikasi hasil simulasi dengan kompute dan validasi hasil pehitungan disain model yang dihasilkan tenyata dapat meefleksikan peambatan panas pada benda-benda bola. Kata kunci: konduksi panas, benda bola, metode volume hingga Abstact Popagation of heat conduction in the categoy of physical systems with the ball is the popagation of one-dimensional objects only when the tempeatue is a function of adial distance and is independent of the azimuth angle. Heat popagation affected the physical popeties of the medium though which the themal conductivity k of them, specific heat c and density m constucted by assuming that the heat flow / popagate continuously. This study aims to conduct a study on the model heat popagation in objects with physical ball looked as one-dimensional conduction poblems. The fist step is the completion of the numeical method used is the finite volume method (Finite Volume Method) discetization technique QUICK (Quadatic Upwind Intepolation Conective Kinematic with diffeent advanced cente (fowad cental diffeence.) Next phase is to analyze the stability and convegence test and eventually manufactue the design pogam model with the help of Matlab. Veify esults simulation with compute and validation of the esults of the design model calculations esulting was able to eflect heat popagation in objects ball. Keywods: heat conduction, the object ball, finite volume method Gamatika Vol. II No.1 Nopembe

2 1. Pendahuluan. Pepindahan kalo dimensi angkap dapat didekati dengan analisis satu dimensi saja. Pesamaan diffeensial konduksi panasnya menjadi sedehana dan sebagai akibat penyedehanaan ini penyelesaian akan mudah didapat. Hukum Foui tentang konduksi themal menjadi sedehana pula jika digunakan untuk menghitung alian themal dalam sebuah sistem satu dimensi (Holman, 2002). Sedangkan pemodelan secaa numeik peambatan panas dai benda-benda bola kali ini menggunakan metode volume hingga (Finite Volume Method) yaitu suatu konsep pembaganan yang dapat diteapkan pada masalah alian fluida dan aeodinamika (Apsley, 2005). Alian fluida memenuhi sifat fisis tetentu, dengan mempehatikan sifat sifat fisis tesebut dapat dibangun pesamaan matematikanya. Pada umumnya fluida memenuhi hukum kekekalan massa, kekekalan enegi, hukum kekekalan momentum, dan hukum fisika lainnya sesuai dengan pemasalahannya(white, 1994). Langkah diskitisasi model matematika dilakukan dengan QUICK (Quadatic Upwind Intepolation Conective Kinematic menggunakan skema beda pusat (cental diffeence scema). Adapun alasan dai penggunaan diskitisasi dengan skema beda maju pusat (cental fowad diffeence) pada penelitian ini kaena hasil yang dicapai dijamin stabil. Matik yang dipeoleh sebagai hasil diskitisasi adalah simetis bebentuk matik multidiagonal yang mempunyai inves. Penelitian ini betujuan untuk melakukan kajian untuk mendapatkan model peambatan panas aah adial pada benda-benda bola yang dipandang sebagai pesoalan konduksi satu dimensi. 1.1 Tansfomasi Koodinat Pola hubungan yang belaku antaa sistem koodinat katesius dan sistem koodinat bola menuut Soehadjo (1980) adalah sebagai beikut: z P(x, y, z) = P(, θ, φ) x 0 θ φ z y y P 1 x Gamba 1. Sistem koodinat Katesius dan sistem koodinat bola Poyeksi P(x, y, z) pada bidang XOY adalah P 1. = sudut yang dibentuk antaa sumbu x positip dengan gais OP 1. θ = sudut yang dibentuk antaa sumbu x positip dengan gais OP 1. Gamatika Vol. II No.1 Nopembe

3 φ = sudut yang dibentuk antaa sumbu z positip dengan gais OP. ( 0 ). Hubungan antaa koodinat bola dan koodinat katesius adalah sebagai beikut: x= sin φ cos θ ; y = sin φ sin θ ; z = cos φ. (1.1) Bedasakan pola hubungan anta vaiabel maka bentuk domain sebuah bola pada sistem koodinat katesius dapat ditansfomasikan ke sebuah balok dengan sistem koodinat bola. z π φ x P y 0 2π Gamba 2. Tansfomasi koodinat pada benda bola. 1.2 Peambatan Panas Konduksi. Konduksi panas dalam medium yang padat biasanya tegabung dengan konveksi dan dalam bebeapa hal juga adiasi. Laju pepindahan kalo itu bebanding luus dengan gadien tempeatu (Holman, 2002). Neaca enegi peambatan panas pada benda bola yang hanya begantung pada jai-jai adalah sebagai beikut : 1. Enegi yang dihantakan masuk melalui jai jai dalam benda bola. Enegi yang dibangkitkan dalam unsu = q Ad Peubahan enegi dalam = ca t 2. Enegi yang dihantakan kelua melalui jai jai lua benda bola. T = ka = A t k k d x dx q : enegi yang dibangkitkan pe satuan volume W/m 3. c : kalo spesifik bahan ( J/kg.K) : keapatan atau densitas bahan (kg/m 3 ). Jika enegi yang masuk dan kelua digabungkan maka dipeoleh bentuk sebagai beikut : T ka qad = ca A t k k d (1.2) Selanjutnya kedua uas kii dan kanan dai Pesamaan (1.2) dibagi dengan A maka dipeoleh : T k qd = c t k k d (1.3) θ Gamatika Vol. II No.1 Nopembe

4 Jika Pesamaan (1.3) disedehanakan akan dipeoleh pesamaan : T k + q = c (1.4) t Pesamaan (1.4) di atas belaku untuk konduksi panas satu dimensi dengan k haga = adalah difusifitas themal (m 2 /dt). Pesamaan (1.4) dapat ditulis c kembali dalam bentuk : q 1 + = (1.5) k t Pesamaan (1.5) meupakan pesamaan konduksi panas pada satu dimensi yang beubah tehadap waktu atau bisa disebut dengan konduksi panas unsteady dengan enegi yang dibangkitkan dai dalam unsu. Pesamaan (1.5) dapat ditulis menjadi : 2 T q = (1.6) k t 1.3 Model Matematika Model matematika pada pemasalahan peambatan panas konduksi pada bola baja pejal dibangun bedasakan fenomena-fenomena alam yaitu hukum kekekalan massa, hukum kekekalan momentum dan hukum kekekalan enegi. Pesamaan matematika yang dibangun bedasakan hukum-hukum fisika yang belaku tesebut didasai oleh Teoema Pengangkutan Reynold (Chow, 1988). Pembaganan volume kendali untuk masing masing node pada pemasalahan dengan menggunakan skema cell centeed diilustasikan sepeti pada Gamba 4 dengan metode volume hingga. Adapun pembaganan metode volume hingga adalah salah satu metode yang dapat digunakan untuk pemodelan matematika peambatan panas konduksi. Metode ini dapat diteapkan kaena sesuai dengan pada masalah alian fluida dan aeodinamika (Apsley, 2005). Alian fluida memenuhi sifat fisis tetentu, dengan mempehatikan sifat sifat fisis tesebut dapat dibangun pesamaan matematikanya. Pada umumnya fluida memenuhi hukum kekekalan massa, hukum kekekalan momentum, dan hukum fisika lainnya sesuai dengan pemasalahannya. 2. Metode Penelitian. Penelitian ini temasuk penelitian teapan (applied eseach) yang menggunakan simulasi data dengan kompute dan aspek konveksi diabaikan. Data sekunde dipeoleh dai buku liteatu tentang data spesifikasi bahan penelitian. Pelaksanaan penelitian dilakukankan pada bulan Nopembe 2010 sampai dengan Desembe 2010 dengan melakukan kajian model dai bola baja pejal panas yang didinginkan secaa cepat pada poses quencing dengan caa dicelupkan dalam fluida betempeatu suhu kama. Beikut ini adalah spesifikasi dai bola baja tesebut diantaanya adalah konduktifitas themal k = 56 watt/m C, kapasitas kalo c = 460 J/kg C, jai-jai bola baja = 7 mm, massa jenis ρ = 7817 kg/m 3, sedangkan fluida yang digunakan beada pada sebuah wadah tebuka yang diletakkan di uang tebuka pada suhu kama. Gamatika Vol. II No.1 Nopembe

5 Pembaganannya model menggunakan konsep metode volume hingga (Finite Volume Method) dengan teknik diskitisasi QUICK (Quadatic Upwind Intepolation Conective Kinematic menggunakan skema beda maju pusat (cental fowad diffeence scema). Langkah-langkahnya algoitma kajian peambatan panas pada bola pejal baja yaitu meliputi tansfomasi bentuk fisik bola, mengambil bagian potongan balok hasil tansfomasi, mendesain model matematika, pembaganan dengan konsep metode volume hingga (FVM), uji stabilitas model dan uji konvegensi (Vesteg, 1995), pembuatan algoitma dan pogam, menyelesaikan model secaa numeik, veifikasi hasil dan validasi hasil. φ π E 1 F 1 A 1 O B 1 2π G 1 θ A B E O F G E D 1 C 1 Gamba 3. Pengambilan sebuah potongan dai balok hasil tansfomasi bola. 3. Hasil Penelitian dan Pembahasan 3.1 Desain Model dengan Skema Beda Maju Pusat (cental fowad diffeence scema). Katagoi peambatan panas yang mencakup bebagai bentuk fisik yang belainan yaitu sistem silinde dan bola adalah satu dimensi bilamana suhu benda hanya meupakan fungsi jaak adial dan tidak begantung dai sudut azimut atau letak pada poos. Pada masalah peambatan panas pada bola baja pejal dalam tiga dimensi pengauh koodinat uang kecil sekali sehingga dapat diabaikan. Pepindahan kalo dimensi angkap dalam hal ini dapat didekati dengan analisis satu dimensi saja. Menuut Holman, (2002) bentuk hukum Foui tentang konduksi themal menjadi sedehana jika digunakan untuk menghitung alian themal dalam sebuah sistem satu dimensi dan sebagai akibat penyedehanaan ini penyelesaian juga akan mudah didapat. O D 1 q ( kalo) Gamba 4. Pembaganan node cell centeed pada satu dimensi 3.2 Penyelesaian Numeik Tampak pada Gamba 4. di atas yaitu bagian utama potongan melintang dai balok dalam koodinat bola hasil tansfomasi sebuah bentuk bola. Bidang OE 1 F 1 G 1 adalah hasil tansfomasi dai ttik pusat bola. Tampak samping dai potongan balok ABCD 1 OEFG adalah bidang OEAD 1 yang didiskitkan menjadi 7 pias. Node petama teletak pada bola baja bejai-jai 0,5 mm dai pusat bola. Node ke-7 beada pada jai-jai 6,5 mm dan beada 0,5 mm dai kulit bola baja. A D 1 C Gamatika Vol. II No.1 Nopembe

6 Hasil simulasi peambatan panas satu dimensi dengan menggunakan softwae matematika Matlab dapat dilihat pada Tabel 1 dan Gamba 5 beikut: Pemasalahan tesebut akan dibahas dengan kondisi syaat batas Diichlet = 200 C yaitu untuk suhu bola baja. T B adalah syaat batas suhu udaa uangan sekita dimana fluida tesebut dibiakan tebuka beada yaitu 28 C. Kajian dilakukan dengan asumsi suhu pusat bola beada pada bebeapa keadaan dan q yang besesuaian pe satu satuan luas ke aah kelua. Hasil dai diskitisasi di atas maka model dinyatakan dalam pekalian matiks AT = B. Dengan A meupakan matiks koefisien T (suhu) yaitu matiks beukuan 7 x 7. T meupakan matiks kolom suhu yang mempunyai ukuan 7 x 1dan B meupakan nilai hasilnya di uas kanan yang juga meupakan matiks kolom beukuan 7 x 1. Dalam menyusun penyelesaian numeik pelu dipehatikan juga kestabilan dan keakuasiannya. Hal ini dibutuhkan bila penyelesaian eksaknya itu tidak diketahui. Sehingga untuk meyakinkannya pelu ditunjukkan sebeapa akuat penyelesaian ini. Menuut Vesteg dan Malalasekea (1995) dalam bukunya menyebutkan bahwa diskitisasi QUICK bisa tidak stabil utamanya disebabkan kaena munculnya koefisien negatif. Tetapi hal ini bisa dikuangi dengan caa memfomulasi kembali dengan caa yang bebeda sehingga dapat meningkatkan kestabilan. Bebeapa dai pendekatan yang tekenal lebih baik yaitu yang didiskipsikan oleh Han et al, Pollad dan Siu; daan Hayase et al. Pengaang teakhi mengenealisasi pendekatan untuk meancang kembali pembaganan QUICK dan menuunkan kestabilan seta kekonvegenan yang sangat cepat. 3.3 Hasil Simulasi Numeik Penyelesaian masalah kajian peambatan panas dilakukan dengan simulasi kompute menggunakan softwae matematika MATLAB 6.5. Gamba 5. Hasil Simulasi Distibusi suhu Bedasakan Gamba 5 tentang hasil Simulasi distibusi suhu maka dapat dibuat Tabel beikut: Tabel 1. Hasil Simulasi Distibusi suhu dengan bebeapa kondisi suhu pada pusat bola Node ke Jai - jai (mm) =200 C q = -120 watt Suhu Pusat Bola ( C) =100 C -60 =150 C -90 =50 C -20 =30 C -0.1 Gamatika Vol. II No.1 Nopembe

7 Kesimpulan. Bedasakan kajian peambatan panas bola-bola baja secaa numeik yang dilakukan penulis dalam penelitian ini, maka dapat ditaik bebeapa kesimpulan antaa lain: 1. Model matematika peambatan panas konduksi pada katagoi sistem dengan bentuk fisik bola adalah peambatan satu dimensi bilamana suhu benda hanya meupakan fungsi jaak adial dan tidak begantung dai sudut azimut. 2. Model yang dapat mensimulasikan distibusi alian panas satu dimensi pada benda bola dengan menggunakan konsep pembaganan metode volume hingga dan skema QUICK (Quadatic Upwind Intepolation Conective Kinematic menggunakan beda maju pusat (cental fowad diffeence scema). Dafta Pustaka Apsley, D.D. (2007). Quantitative Popeties of F.D. Schemes. Lectue handout: CFD, Univesity of Mancheste, Mancheste. Holman, J.P, Jasjfi E. (2002). Pepindahan Kalo, Elangga. Keith, Fank. (2002). Pinciples of Heat Tansfe. Mc Gaw Hill Book Company New Yok. Soehadjo, Ds. (1980). Matematika 3. ITS Pess. Vesteg, H.K. dan Malalasekea, W. (1995). An Intoduction to Computational Fluid Dynamics The finite volume Method. Longman Scientific & Technical: London. White, F.M. (1986). Fluid Mechanics, 2 nd edition, McGaw-Hill, Inc. New Yok. Gamatika Vol. II No.1 Nopembe